D X= E( X− EX)2 NếuX là ĐLNN liên tục thì:
thì G là −ớc l−ợng vững của θ.
2.2.2. Tr−ờng hợp n≥ 30, σ2 ch−a biết:
Tr−ờng hợp này vì kích th−ớc mẫu lớn (n ≥ 30) nên ta có thể dùng −ớc l−ợng của DX là S02 để thay cho σ2 ch−a biết.
Tiến hành các b−ớc t−ơng tự nh− tr−ờng hợp ở mục 2.2.1. ta đ−ợc KTC cụ thể của m với độ tin cậy 1−α là:
(x−ε, x+ε) với ε = uγ. S 0 √
(trong đó uγ là phân vị chuẩn mức γ = 1−α
2 xác định bằng cách tra bảng phân vị chuẩn).
2.2.3. Tr−ờng hợp n < 30;σ2 ch−a biết, X tuân theo qui luật chuẩn:
Tr−ờng hợp này ta chọn thống kê T = (X −m)√ n S0 .
ĐLNN T phân phối theo qui luật Student với n−1 bậc tự do.
T−ơng tự phần 2.2.1, và do tính đối xứng của qui luật Student; với độ tin cậy 1−α cho tr−ớc ta tìm đ−ợc KTC của m trong tr−ờng hợp này là:
X −t1−α 2. S 0 √ n; X −t1−α 2. S 0 √ n . Từ mẫu cụ thể wX = (x1, x2,ã ã ã , xn) ta tính đ−ợc x và s0. Từ đó xác định đ−ợc KTC cụ thể của m theo công thức:
(x−ε, x+ε) với ε= tγ. s 0 √
n.
Với tγ là phân vị Student với n−1 bậc tự do và mức xác suất γ = 1− α 2.
Ví dụ 1:
Điều tra năng suất lúa trên 100 ha trồng lúa của một vùng, ta thu đ−ợc bảng số liệu sau:
Năng suất (ta/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích t−ơng ứng 10 20 30 15 10 10 5
Hãy −ớc l−ợng năng suất lúa trung bình của toàn vùng với độ tin cậy 95%. Giải:
Gọi m là năng suất lúa trung bình của toàn vùng. Ta cần −ớc l−ợng m với độ tin cậy 95%. Tr−ờng hợp này kích th−ớc mẫu n = 100 > 30; σ2 ch−a biết. Nên KTC của m là (x−ε, x+ε) với ε = uγ. S
0 √
n.
Độ tin cậy 1−α = 95%, nên tra bảng phân vị chuẩn ta đ−ợc:uγ = u0,975 = 1,96. Từ bảng số liệu tính đ−ợc: x = 46, S2 = 10,8 =⇒S02 = 100
99 .10,8 = 10,91.=⇒S0 = 3,3 nên ε = 0,65. =⇒S0 = 3,3 nên ε = 0,65.
Vậy KTC là (46−0,65; 46 + 0,65) = (45,35 ; 46,65).
Ví dụ 2:
Trọng l−ợng một loại sản phẩm là ĐLNN tuân theo qui luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 1 gam. Cân thử25 sản phẩm loại này ta thu đ−ợc kết quả:
Trọng l−ợng 18 19 20 21 Số sản phẩm 3 5 15 2
Với độ tin cậy 1−α = 0,95, hãy tìm KTC đối xứng của trọng l−ợng trung bình của loại sản phẩm nói trên.
Giải:
Gọi X là "trọng l−ợng sản phẩm". Theo giả thiết X tuân theo qui luật phân phối chuẩn; σ(X) = 1 còn EX = à ch−a biết, ta cần phải −ớc l−ợng:
Gọi Xi là "trọng l−ợng sản phẩm thứ i"; i = 1,25 ta có mẫu ngẫu nhiên:
WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn); X = 1 25 25 X i=1 Xi.
Với độ tin cậy 1−α = 0,95 thì à1−α
2 = 1,96. Vậy KTC đối với xứng của à là: X −1,96. 1 25; X + 1,96. 1 25 = (X −0,392;X + 0,392). Từ số liệu đã cho, ta tính đ−ợc: x = 19,46. Vậy KTC
(19,248 ; 20,032).
Ví dụ 3:
Thống kê tuổi thọ của 256 bóng đèn do một nhà máy sản xuất, ta có bảng thống kê d−ới đây:
tuổi thọ (giờ) số bóng tuổi thọ (giờ) số bóng 1000−1100 4 1100−1200 10 1200−1300 16 1300−1400 20 1400−1500 36 1500−1600 48 1600−1700 42 1700−1800 32 1800−1900 26 1900−2000 14 2000−2100 8
Hãy −ớc l−ợng tuổi thọ trung bình của loại bóng đèn này với độ tin cậy 95,60%. Giải:
Gọi X là tuổi thọ của loại bóng đèn mà nhà máy sản xuất. Ta cần tìm KTC EX = m. Tr−ờng hợp này kích th−ớc của mẫu là 256và ch−a biết σ2, do vậy KTC cụ thể của m là: (x−ε, x +ε) với ε = uγ. S
0 √
n. Với độ tin cậy 95,6% thì u1−α
2 = u0,978 = 2,014.
Từ số liệu đã cho ta tính đ−ợc: x = 1587,5 (giờ); S0 = 226,83. Từ đó ta có: ε = 28,55. Vậy KTC của m là (1558,95 ; 1616,05).