D X= E( X− EX)2 NếuX là ĐLNN liên tục thì:
1. Các ph−ơng pháp tìm −ớc l−ợng điểm
1.1. Ph−ơng pháp hàm −ớc l−ợng
1.1.1. Mô tả ph−ơng pháp
Giả sử cần −ớc l−ợng tham số θ của ĐLNN X. Từ X ta lập mẫu ngẫu nhiên kích th−ớc n: WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn).
Chọn thống kê G= f(X1, X2,ã ã ã , Xn). Thống kêG đ−ợc gọi là hàm −ớc l−ợng của θ.
của mẫu ngẫu nhiên với hàm số cần −ớc l−ợng của ĐLNN. Ph−ơng pháp này gọi là ph−ơng pháp momen.
Trong thực tế ng−ời ta th−ờng chọn hàm −ớc l−ợng nh− sau:
i) Chọn G = f(X1, X2,ã ã ã , Xn) = X = n1 n X i=1 Xi nếu là −ớc l−ợng kỳ vọng toán. ii) Chọn G= S02 = 1 n−1 n X i=1
(Xi −X)2 nếu là −ớc l−ợng ph−ơng sai.
Từ mẫu cụ thể wX = (x1, x2,ã ã ã , xn), ta tính giá trị của G (ký hiệu là g). Tức là g = f(x1, x2,ã ã ã , xn). Ước l−ợng điểm của θ chính là giá trị g vừa tính đ−ợc.
1.1.2. Tiêu chuẩn −ớc l−ợng
Chất l−ợng của −ớc l−ợng không thể đánh giá qua một giá trị cụ thể g. Nh− vậy chỉ có cách so sánh trực tiếp g và θ, mà θ lại ch−a biết.
Do vậy chỉ có thể đánh giá chất l−ợng của −ớc l−ợng thông qua việc khảo sát xem: việc tìm ra giá trị g đ−ợc tiến hành nh− thế nào, tức là xét bản thân thống kê G= f(X1, X2,ã ã ã , Xn).
Ta thấy có vô số cách chọn dạng của hàm f, tức là có vô số thống kê G có thể dùng làm hàm −ớc l−ợng của θ. Vì vậy cần đ−a ra các tiêu chuẩn để đánh giá chất l−ợng của −ớc l−ợng, để từ đó lựa chọn thống kê G tốt hơn.
D−ới đây ta sẽ xét một số tiêu chuẩn đó: a) Ước l−ợng không chệch.
* Định nghĩa: Thống kê G đ−ợc gọi là −ớc l−ợng không chệch của tham số θ của ĐLNN X nếu
E(G) =θ
Ng−ợc lại, nếu EG 6= θ thì G đ−ợc gọi là −ớc l−ợng chệch của θ.
* ý nghĩa: Ta thấy Gθ là ĐLNN biểu thị sai số của −ớc l−ợng. Theo tính chất của kỳ vọng toán, ta có:
E(G−θ) = EG−Eθ = θ −θ = 0, nếu G là −ớc l−ợng không chệch.
Nh− vậy −ớc l−ợng không chệch là −ớc l−ợng có trung bình của sai số bằng 0, tức là các giá trị của G không bị chệch về một phía (lớn hơn θ hay nhỏ hơn θ, nếu dùng G để −ớc l−ợng θ thì không mắc phải sai số hệ thống.
Rõ ràng trong hai loại −ớc l−ợng: chệch và không chệch thì ta nên chọn −ớc l−ợng không chệch.
Chú ý rằng: Glà −ớc l−ợng không chệch của θ không có nghĩa là mọi giá trị của G đều trùng với θ mà chỉ có nghĩa là: trung bình các giá trị của G bằng 0. Một giá trị của G có thể lệch rất lớn so với θ.
Ví dụ :
1) Trung bình của mẫu ngẫu nhiên: X là −ớc l−ợng không chệch của EX = m. Và EX = m.
2) Ph−ơng sai hiệu chỉnh S02 là −ớc l−ợng không chệch của DX = σ2 vì ES02 = σ2.
3) Ph−ơng sai S2 là −ớc l−ợng chệch của DX = σ2 vì ES2 = n−1 n σ
2 6= σ2. b) Ước l−ợng vững: Một hàm −ớc l−ợng đ−ợc coi là hợp lý nếu nh− khi kích th−ớc của mẫu tăng lên khá lớn thì giá trị của nó phải gần tham số cần −ớc l−ợng
bao nhiêu cũng đ−ợc.
* Định nghĩa: Cho mẫu WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn) xây dựng ĐLNN X. Hàm −ớc l−ợng G = f(X1, X2,ã ã ã , Xn) của tham số θ đ−ợc gọi là −ớc l−ợng vững nếu với mọi ε > 0 bé tùy ý cho tr−ớc ta đều có:
lim
n→∞P |f(X1, X2,ã ã ã , Xn)−θ| < ε = 1. (4.2)
Điều kiện đủ của −ớc l−ợng vững đ−ợc phát biểu d−ới dạng định lý sau: * Định lý: Nếu G là −ớc l−ợng không chệch của θ và lim
n→∞DG = 0