D X= E( X− EX)2 NếuX là ĐLNN liên tục thì:
3. Hàm PHân PHốI THực NGHIệM Và Các đặc TR−NG Của MẫU NGẫU NHIêN
3.1. Hàm phân phối thực nghiệm:
ở phần trê n ta thấy rằng một mẫu ngẫu nhiên WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn) là một đại diện cho một ĐLNN X có hàm phân phối F(x) nào đó. Các bài toán thực tiễn về thực chất mà nói là dựa vào mẫu ngẫu nhiên đã thu đ−ợc để nghiên cứu các tính chất đặc tr−ng của X. Chính vì lẽ đó mà ta cần xây dựng các mô hình −ớc l−ợng cho các đặc tr−ng của X nh− hàm phân phối, kỳ vọng toán, ph−ơng sai, ã ã ã
Từ khái niệm về mẫu ở trên ta thấy rằng, bằng cùng một ph−ơng pháp ta có thể lấy ra nhiều mẫu cùng kích th−ớc khác nhau. Tập hợp tất cả các mẫu có thể lấy ra
đ−ợc từ tổng thể đ−ợc gọi là không gian mẫu. Ta có thể hình dung không gian mẫu là không gian n chiều và mỗi mẫu đ−ợc biểu thị bởi một điểm của không gian này. Không gian mẫu ứng với không gian các sự kiện sơ cấp và mỗi mẫu ứng với sự kiện sơ cấp trong lý thuyết xác suất.
Giả sử ta đang nghiên cứu ĐLNN X với hàm phân phối F(x) đã biết hoặc ch−a biết. Ta thành lập mẫu ngẫu nhiên kích th−ớc n
WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn)
Định nghĩa: Ta gọi hàm F(x) là hàm phân phối thực nghiệm t−ơng ứng với mẫu
WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn) nếu hàm đó đ−ợc xác định bởi công thức:
F(x) = 0 nếu x ≤ min {X1, X2,ã ã ã , Xn} k n nếu có k p.tử bé hơn x 1 nếu max {X1, X2,ã ã ã , Xn}< x
Về thực chất thì hàm phân phối thực nghiệm là một −ớc l−ợng (xấp xỉ) của hàm phân phối f(x) dựa trên mẫu WX.
3.2. Các đặc tr−ng của mẫu ngẫu nhiên:
Để nghiên cứu ĐLNN gốcX, nếu dừng lại ở mẫu ngẫu nhiênWX = (X1, X2,ã ã ã , Xn)
thì ch−a giải quyết vấn đề gì, bởi các ĐLNN Xi có cùng qui luật phân phối xác suất với X mà ta ch−a biết đ−ợc hoàn toàn. Vì vậy ta cần phải liên kết hay tổng hợp các đại l−ợng X1, X2,ã ã ã , Xn lại, sao cho ĐLNN mới thu đ−ợc có những tính chất mới, có thể đáp ứng đ−ợc những yêu cầu giải đ−ợc bài toán khác nhau về ĐLNN gốc.
Trong thống kê toán học , việc tổng hợp mẫu WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn) đ−ợc thực hiện d−ới dạng hàm của các ĐLNN X1, X2,ã ã ã , Xn ký hiệu
G = f(X1, X2,ã ã ã , Xn).
ĐLNN G đ−ợc gọi là một thống kê. Sau đây ta xét một số thống kê thông dụng
hay còn đ−ợc gọi là các đặc tr−ng của mẫu ngẫu nhiên. 3.2.1. Trung bình mẫu ngẫu nhiên:
1) Định nghĩa: Cho mẫu ngẫu nhiên kích th−ớc n, đ−ợc xây dựng từ ĐLNN X :
WX = (X1, X2,ã ã ã , Xn)
Trung bình của mẫu ngẫu nhiên là một thống kê (ký hiệu là X đ−ợc xác định bởi: X = 1 n(X1 + X2 +ã ã ã+Xn) = 1 n n X i=1 Xi
Do X1, X2,ã ã ã , Xn là các ĐLNN nên X cũng là ĐLNN.
Nếu mẫu ngẫu nhiên WX có một giá trị wX = (x1, x2,ã ã ã , xn) thì X sẽ nhận giá trị: x = 1 n n X i=1 xi.
Nh− vậy x là một giá trị của X, đồng thời là trung bình của mẫu cụ thể
wX = (x1, x2,ã ã ã , xn).
2) Tính chất: Nếu ĐLNN gốc X có kỳ vọng toán E(X) = m; ph−ơng sai D(X) =
σ2 thì:
E(X) =m và D(X) = σ
2
n
Thật vậy, theo tính chất của kỳ vọng toán, ta có:
E(X) = E1 n n X i=1 Xi = 1 n n X i=1 E(Xi) = 1 n.n.m= m
để ý rằng các ĐLNN Xi độc lập có cùng qui luật phân phối xác suất với ĐLNN
X, nên theo tính chất của ph−ơng sai thì:
D(X) =D1 n(X1 +X2 +ã ã ã+Xn) = = 1 n2 D(X1) +D(X2) +ã ã ã+D(Xn) = 1 n2.n.σ2 = σ 2 n .
Nh− vậy bất kể qui luật phân phối xác suất của ĐLNN gốc nh− thế nào, thống kê X cũng có kỳ vọng toán bằng kỳ vọng toán của ĐLNN gốc, tức là: E(X) =
E(X) = m, còn ph−ơng sai D(X) của nó nhỏ hơn ph−ơng sai của ĐLNN gốc n
lần: D(X) = σ
2
n, nghĩa là các giá trị có thể có của X ổn định quanh kỳ vọng toán
hơn các giá trị có thể có của X.