Phần tử cơ sở của đại số Lie là hàm của phép quay vô cùng bé, ta thấy rằng mỗi biểu diễn của nhóm tương ứng là biểu diễn của đại số Lie. Ngược lại, một biểu diễn của đại số Lie cũng cho một biểu diễn của nhóm. Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng biểu diễn bất khả quy của đại số Lie của SO(3).
Chọn các vector cơ sở của không gian biểu diễnV làm các vector riêng của một tập hợp các hàm giao hoán với nhau. Các hàm{J1,J2,J3}không giao hoán với nhau nhưng giao hoán với toán tử bình phươngJ2,
J2 =J.J = (J1)2+ (J2)2+ (J3)2
tức là:
[Jk,J2] = 0, k =1, 2, 3
Định nghĩa 2.2.2(Toán tử Casimir):
Toán tử giao hoán với tất cả các phần tử của nhóm Lie được gọi là toán tử Casimir của nhóm đó.
Ta thấy J2giao hoán với nhóm biến đổi SO(3). Tất cả các vector của biểu biễn bất khả quy là vector riêng của J2 với cùng trị riêng. Bằng quy ước, vecto cơ sở được chọn là vecto riêng của toán tử giao hoán (J2,J3). Các hàm còn lại cũng có vai trò quan trọng trong việc hình thành các toán tử:
J± = J1±iJ2
Cho|m >là vector riêng chuẩn hóa của tùy ý củaJ3trong không gian biểu diễn V,
J3|m >=|m >m
Vector mớiJ+|m>thỏa mãn:
J3J+|m >= [J3,J+]|m >+J+J3|m>= J+|m>(m+1)
Như vậy, J+|m > là vector riêng của J3 với trị riêng mới (m+1). Tương tự như vậy, vector J−|m >hoặc triệt tiêu hoặc cũng là vector riêng của J3với trị riêng(m−1).
dụngJ+trên vector mới ta được|m+2>hoặc 0. Quá trình này được lặp lại, hình thành một dãy vector {|m+k >,k = 0, 1, 2, . . .}. Điều kiện để kết thúc dãy bởi không gian biểu diễn là hữu hạn chiều. Gọi vector cuối cùng của dãy là|j>, ta có:
J3|j > = j|j>
J+|j > = 0
Từ đó:
J2|j>=|j >j(j+1)
Bây giờ xét dãy của vector{(J−)n,n =0, 1, 2, . . .}, vector riêng của J3ứng với trị riêng
j,j−1,j−2, . . ., vector riêng của J2ứng với cùng trị riêng j(j+1). Tiếp theo chuẩn hóa những vector này về đơn vị và kí hiệu chúng là{|m >,m = j,j−1,j−2}. Gọi vector cuối của dãy là|l >, thì:
0 = <l|J−+J−|l =<l|J+J−|l >=<l|(J2−J32+J3)|l >
= j(j+1)−l(l−1)
Điều kiện này chol =−jhay|l >=| −j> Vậy ta cój−(−j) = 2j =n,n=0, 1, 2 . . .
j=0,1 2, 1,
3 2, 2, . . .
Định lý 2.2.4(Biểu diễn bất khả quy đại số Lie của SO(3))
Biểu diễn bất khả quy của đại số Lie của SO(3) đặc trưng bởi trị riêng momen xung lượng j là một tập hợp các số nguyên dương và bán nguyên. Vector cơ sở trực chuẩn xác định bởi các phương trình:
J2|jm> = |jm> j(j+1)
J3|jm> = |jm>m
J±|jm> = |jm±1>[j(j+1)−m(m±1)]1/2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khi biết các hàm tác động trên vector cơ sở như thế nào, có thể suy ra ngay phần tử ma trận trong các biểu diễn bất khả quy khác. Ta viết:
trong đó,Ulà toán tử biểu diễn phần tửR(α,β,γ), suy ra
Dj(α,β,γ)mm′ = e−iαm′dj(β)mm′e−iγm dj(β)mm′ = < jm′|e−iβJ2|jm > Ví dụ: trường hợp momen động lượngj= 12
J3= 1/2 0 0 1/2 ! J+ = 0 1 0 0 ! J− = 0 0 1 0 !
hayJk =σ/2,k=1, 2, 3, trong đóσklà ma trận Pauli,
σ1 = 0 1 1 0 ! σ2= 0 −i i 0 ! J− = 1 0 0 −1 ! Sử dụng tính chấtσ2 =E(j=1/2), suy ra: d1/2(β) = e−iβσ/2 =Ecos(β/2)−iσ2sin(β/2) = cos(β/2) −sin(β/2) sin(β/2) cos(β/2) ! từ đó D1/2(α,β,γ) = e− iα/2cos(β/2)e−iγ/2 −e−iα/2sin(β/2)eiγ/2 eiα/2sin(β/2)e−iγ/2 eiα/2cos(β/2)eiγ/2 ! Và D[Rn(2π)] =D[R]e−iπσ2D[R]−1 =D[R](−E)D[R]−1 =−E
Định lý 2.2.5(Biểu diễn bất khả quy của nhóm SO(3)):
Áp dụng biểu diễn bất khả quy của đại số Lie đối với nhóm SO(3): (i) Đối với j nguyên dương, biểu diễn là đơn trị;
(ii) Đối với j bán nguyên, biểu diễn là lưỡng trị.
Chứng minh:
Dj[R3(2π)]mm′ =Dj[e−i2πJ3]mm′ =δm′me−i2mπ =δm′me−i(2jπ) = (−1)2jδm′m
Trong đó ở đẳng thức thứ ba sử dụng (j−m) nguyên, Rπ(2π) = RR3(2π)R−1 nên