Trong vậy lý ứng dụng, sự biến đổi tính chất của hàm sóng và toán tử là hữu ích để xét sự biến đổi tính chất của hàm sóng và các toán tử. Cụ thể, ta bắt đầu với biểu diễn tọa độ của cơ học lượng tử. Các kết quả là tổng quát và có thể được áp dụng cho biểu diễn xung lượng và lĩnh vực khác trong vật lí cổ điển và lý thuyết trường lượng tử.
Xét hệ thức:
U[R]|x > = |x′ >
x′ = Rx (x′i = Rijxj)
trong đó x,x′ là tọa độ không gian 3 vector,|x >và|x′ > là các trạng thái tương ứng tạix,x′,R∈ SO(3)là một phép quay. Với|ψ>là vecto trạng thái bất kì, thì:
|ψ>=
Z
trong đóψ(x)là hàm sóngctrong biễu diễn tọa độ. Câu hỏi đặt ra làψ(x)biến đổi như thế nào dưới phép quayR, đặc biệt hơn nếu:
|ψ′ >=U[R]|ψ=
Z
|x >ψ′(x)d3x
thìψ′(x)vàψ(x)có mối liên hệ như thế nào?
Định lí 2.2.6(Công thức biến đổi cho hàm sóng)
Hàm sóng của một trạng thái bất kì biến đổi dưới phép quay là:
ψ(x) →ψ′(x) =ψ(R−1x)
Chứng minh: Áp dụng toán tử quay cho cả 2 vế và thu được:
U[R]|ψ = Z U[R]|x>ψ(x)d3x = Z |x′ >ψ(x)d3x = Z |x′ >ψ(R−1x′)d3x′ = Z |x>ψ(R−1x′)d3x Vậy: ψ′(x) =ψ(R−1x) Ví dụ 1:
Cho|ψ >=|p >là trạng thái sóng phẳng, thìψ(x) = eip.x, áp dụng định lí trên, thu được: ψ′(x) = ψ(R−1x) =eip.R−1x =eiRp.x Ta thấy: ψ′(x) =<x|U[R]|p >=<x|p′ >=ψp′(x) với p′ = Rp Ví dụ 2:
Cho|ψ>=|E,l,m >,ψ(x) = ψEl(r)Ylm(xˆ), trong đóxˆkí hiệu cực và phương vị góc của vector đơn vịxˆ. Mặt khác,
ψ′(x) =< x|U[R]|ψ>=U[R]|E,l,m>=|E,l,m′ >Dl[R]mm′,
từ đó:
Đây là tính chất đã biết của hàm điều hòa cầu.
Để tổng quát sự xem xét hàm sóng ở trên là mang chỉ số rời rạc. Cụ thể, xét trường hợp của hàm sóng hệ tọa độ không gian, lúc này spin1/2là hàm sóng spin Pauli. Vecto cơ sở là{|x,σ>,σ=±1/2} và chúng biến đổi là:
U[R]|x,σ >=|Rx,λ >D1/2[R]λσ
trong đóD1/2[R] là ma trận quay momen động lượng 1/2.Với trạng thái bất kì có spin 1/2, có thể viết là:
|ψ>=∑
σ
Z
|x,σ >ψσ(x)d3x
trong đóψσ(x) là hàm sóng Pauli hai thành phần|ψ>vàψσ(x)sẽ biến đổi dưới phép quay như thế nào? Ta có
|ψ′ >=U[R]|ψ = Z |Rx,λ >D1/2[R]λσψσ(x)d3x = Z |x,λ>D1/2[R]σλψσ(R−1x)d3x = Z |x,λ>ψ′λ(x)d3x Vì:ψ→ψ′nên ψ′λ(x) = D1/2[R]λσψσ(R−1x)
Định nghĩa 2.2.3(Hàm sóng bất khả quy và trường):
Một tập hợp của hàm đa thành phần{φm(x),m =−j, . . . ,j}của vector tọa độ được gọi là tạo thành hàm sóng bất khả quy và trường bất khả quy của spin j nếu chúng biến đổi dưới phép quay là:
φ−→Rφ′; φ′m(x) = Dj[R]mnφn(R−1x)
trong đóDj[R]m
n là ma trận biểu diễn bất khả quy momen xung lượng j của SO(3). Trong vật lý lượng tử, điện trường Ei(x), từ trường Bi(x) và trường vận tốc vi(x)
là trường spin 1(j = 1), hàm sóng Pauli ψσ(x) là trường spin 1/2, hàm sóng Dirac là trường khả quy gồm tổng trực tiếp hai trường bất khả quy spin 1/2 còn tenso ứng xuất là trường spin 2.
Tiếp theo, ta xét sự biến đổi tính chất của các toán tử trên không gian vector trạng thái. Toán tử vecto tọa độXi xác định bởi phương trình trị riêng:
Xi|x >=|x>xi
Định lí 2.2.7(Công thức biến đổi cho toán tử vector)
Các thành phần của toán tử vector tọa độ X (khi tất cả các toán tử vector được xác định ) biến đổi dưới phép quay:
U[R]XiU[R]−1 = XjRij (2.17) trong đóRijlà ma trận3×3SO(3).
Chứng minh: Áp dụng toán tửU[R]vào phương trình trị riêng, ta được vế trái là:
U[R]XiU[R]−1U[R]|x >=U[R]XiU[R]−1|x′ Vế phải : U[R]|x > xi =|x >xi =|x′>(R−1)ijx′j Khi đó, U[R]XiU[R]−1|x>=|x >xj(R−1)ij Nên U[R]XiU[R]−1 = (R−1)ijXj
Chúng ta có thể viết kết quả này về dạng thuận tiện hơn với chú ý: (i) tính trực giao của ma trận R kéo theo(R−1)ij = (RT)ij = Rij, (ii) trong không gian Ơclit 3 chiều không phân biệt chỉ số trên và dưới, do đó:
U[R]XiU[R]−1 = XjRij
Toán tử xung lượng Pilà toán tử vector. Chúng ta dự đoán rằng:
U[R]PiU[R]−1 = PjRij (2.18) Chú ý rằng vế phải của phương trình này là tương tự như đối với vector tọa độ đơn vị và tọa độ thành phần. Liên hệ với J, nó biểu thị cấu trúc nhóm của SO(3), hai phương trình (2.16), (2.17) có dạng giống nhau. Bởi vậy, toán tử momen xung lượngJcũng biến
đổi như toán tử vector.
Toán tử vector không là phải trường hợp duy nhất của toán tử, nó là trường hợp đặc biệt của toán tử bất khả quy hay tenso bất khả quy.Ví dụ đơn giản nhất của toán tử bất khả quy dưới phép quay là toán tử Hamilton, nó là bất biến, khis =0.
Để kết thúc phần này, ta xét biến đổi tính chất của toán tử phụ thuộc vào biến không gianx, ở đây là toán tử hai thành phần với giá trị spin PauliΨσ(x). Chúng ta sẽ tìmΨ
biến đổi như thế nào dưới phép quayR. Để trả lời cây hỏi này phải biết hệ thức liên hệ giữa toán tửΨvà hàm sóngc. Nếu|ψ>là trạng thái bất kì của một hạt thì:
<0|Ψσ(x)|ψ >=ψσ(x) (2.19) trong đóψσ(x) là hàm sóng Pauli cđối với trạng thái và |0 >là trạng thái không hay 0-hạt. Dưới phép quay bất kì,U[R]|ψ >= |ψ′ >, sử dụng mối liên hệ giữa ψ′σ(x) và
ψσ(x), nên có thể viết phương trình trên là:
<0|U[R]|Ψσ(x)U[R]−1|ψ′ >=Ψσ(x) = D1/2[R−1]σλψ′λ(Rx)
Mặt khác nhân vế trái của phương trình (2.18) với D1/2[R−1] sau đó thay ψ bởi ψ′ và
x′ =Rxchoxthu được:
<0|D1/2[R−1]σλΨλ(Rx)|ψ′ =D1/2[R−1]σλψ′λ(Rx)
So sánh 2 phương trình ta có:
U[R]|Ψσ(x)U[R]−1 =D1/2[R−1]σλΨλ(Rx) (2.20) VìD[R]là đơn vị nên
D[R−1]σλ =D+[R]σλ = (D[R]σλ)∗
Thay vào vế phải của (2.20), sau đó lấy liên hợp cả hai vế:
U[R]|Ψ+σ(x)U[R] = Ψ+
λ(x)D1/2[R]λσ (2.21) Các toán tử có spin nguyên và được chọn là Hermite, với toán tử có spin bán nguyên chúng không tự Hermite, hai phương trình (2.20),(2.21) là khác biệt.
Kết quả ở trên có thể được tổng quát đối với các trường. Cho{Am(x);m=1, 2, . . . ,N} là tập hợp của trường toán tử mà chúng biến đổi dưới phép quay thì ta phải có:
U[R]Am(x)U[R]−1 =D[R−1]mnAn(Rx)
trong đó {D[R]} là biểu biễn (N- chiều) của SO(3). Nếu biểu biễn là bất khả quy và tương đương với j=s,{A} gọi là có spin s.