Định nghĩa 2.2.4(Tenso bất khả quy cầu)
Chúng ta gọi tập hợp bất kì của các toán tử{Osλ,λ=−s, . . . ,s}biến đổi dưới phép quay
U(R)OsλU(R)−1 =∑
λ′
Osλ′Ds(R)λλ′
là ten sơ bất khả quy cầu của momen xung lượngsđối với SO(3) và mỗi toán tử trong tập hợp này gọi là các phần tử cầu của tenso.
Định lý 2.2.9(Vi phân đặc biểu của tenso cầu bất khả quy)
NếuOsλlà phần tử của một tenso cầu như định nghĩa trên thì:
[J2,Osλ] =s(s+1)Osλ
[J3,Osλ] =λOsλ
Chứng minh
Xét phép quay vô cùng nhỏ quanh trục l, áp dụng phương trình định nghĩa, thu được vế trái:
Osλ−idψ[Jl,Osλ]
Mà vế phải:
Osλ−idψOsλ′(Jls)λλ′
trong đó Jls là ma trận mà ở đó hàm J1là ánh xạ trên s-biểu diễn .
Định nghĩa 2.2.5(Toán tử vector)
(i) 3 toán tử{Al,l =1, 2, 3}là thành phần Cartesian của một vector nếu chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán với các hàm của phép quay:
[Jk,Al] =iεklmAm
(ii) Tập hợp các toán tử {Tl1...ln;li = 1, 2, 3} là các thành phần của tenso hạng n nếu chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán với Jk,
[Jk,Tl1...ln] =i{εklmTml2...ln+· · ·+εklnmTl1...ll−1m}
Như vậy{J1}biến đổi như một vector, giống với toán tử động lượng{Pi =1, 2, 3}. Nếu hệ vector{Osλ}biến đổi theo s-biểu diễn, các phần tử ma trận của chúng thỏa mãn định lí Wigner-Gordan. Ta có:
< j′m′|Osλ|jm >=<j′m′(s,j)λm >< j′||Os||j >
Trong đó, phần tử đầu tiên bên vế phải là hệ số Clebsch-Gordan,< j′||Os||j >là phần tử ma trận tối giản ( phụ thuộc vào O nhưng không phụ thuộcm,m′vàλ). Hệ quả suy ra từ phương trình trên:
(i) Quy tắc lựa chọn: |j−s| ≤ j′ ≤j+s m′ =λ+m (ii) <j′m′|Osλ|jm > < j′n′|Osσ|jn > = < j′m′(s,j)λm > <j′n′(s,j)σn> . .
Kết luận
Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, về cơ bản e tài đã hoàn thành những mục tiêu đặt ra và đạt được một số kết quả:
• Giới thiệu được một số khái niệm cơ bản của lý thuyết nhóm và biểu biễn nhóm. • Tìm hiểu một số nhóm quay trong không gian, cụ thể là phép quay trong mặt
phẳng - nhóm SO(2) và trong không gian - nhóm SO(3) trong đó xác định được biểu diễn bất khả quy của chúng.
Do bước đầu làm quen với việc nhiên cứu về lý thuyết nhóm và thời gian có hạn cũng như tầm hiểu biết hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót.
Do vậy, tôi rất mong nhận được sự sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Hoàng Phương, Nhập môn cơ học lượng tử, Nhà xuất bản khoa học và kĩ thuật, 2006.
[2] Wi - Ki Tung,Group Theory in Physics.
[3] Vũ Văn Hiệu,Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử, Khóa luận tốt nghiệp đại học, 2007.