Biểu diễn tích trực tiếp và tối giản của chúng- 123docz.net

ChoDjvàDj′là hai biểu diễn bất khả quy của SO(3) xác định trên không gian vector V và V’. Tích biểu diễnDJ×J′ được xác định trên không gian vectoV×V′(2j+1)(2j′+

1)chiều . Nó là tự nhiên để bắt đầu với vector cơ sở|m,m′>, dạng tích của vector cơ sở chính tắc trên V và V’:

|m,m′ >=|jm >×|jm′ >

U(R)|m,m′ >=|n,n′ >Dj(R)nmDj′(R)nm′′

Ta thấy (i) phương trình trên xác định một biểu diễn của của SO(3); (ii) biểu diễn là đơn trị nếuj+j′là số nguyên và lưỡng trị nếu j+j′ là bán nguyên. Nếujhoặc j′ bằng không, tích biểu diễn không khả quy.

Để nghiên cứu sự tối giản của biểu diễn tích, cần thiết lập mối quan hệ giữa toán tử trên không gian tích V×V′ và trên từng không gianV, V′. Cuối cùng, xét một phép quay vô cùng bé quanh trục bất kìnˆ,

Dj[Rn(dψ)]Dj[Rn(dψ)] = Dj×j′[Rn(dψ)]

Xét bậc một đối vớidψ, vế trái phương tình trên là:

[Ej−idψJnj][Ej′−idψJnj′] =Ej×Ej′ −idφ[Jnj ×Ej′ +Ej×Jnj′]

Mặt khác vế phải:

Ej×j′−idψJnj×j′]

Đồng nhất 2 biểu thức, ta có:

Định lý 2.2.8

Hàm của một biểu diễn tích trực tiếp là tổng các hàm tương ứng cấu thành nên biểu diễn đó.

Từ định lý suy ra|m,m′ >là vector riêng của J3,

J3|m,m′>=|m,m′ >(m+m′)

Vì−j ≤ m ≤ jvà−j′ ≤m′ ≤ j′, trị riêng lớn nhất của J3là j+j′. Thật vậy, chỉ có một vector ứng với trị riêng này là|j,j′ >, có hai vecto có trị riêngJ3= j+j′−1là|j−1,j′ > và|j,j′−1 >, chúng được minh họa trong hình 2.6, trong đó mỗi điểm biểu diễn một vector cơ sở. Các trạng thái với cùng trị riêng của J3(kí hiệu là M) được liên hệ bằng nét gạch.

Hình 2.6: Vector cộng của momen động lượng

Chúng ta có thể xây dựng vector riêng của {J2,J3} với trị riêng {J(J+1),M}. Vì vector với M = j+j′ là duy nhất và không vector nào có trị riêng lớn hơn của J3, nó phải là lớn nhất của một cơ sở bất khả quy với J = j+j′

|J =j+j′,M =j+j′ >=|j+j′ >

Ta có thể tổng quát trạng thái|J,M>với M= j+j′−1, . . . ,−j−j′bằng cách áp dụng lại J−:

= J−|J =j+j′,M =j+j′ >= J−|j+j′ >

=|j−1,j′ >(2j)1/2+|j,j′−1 >(2j′)1/2

trong đó các vector trên hai dòng đầu tiên thuộc cơ sở mới|J,M >trong khi hai dòng cuối xem như cơ sở ban đầu|m,m′ >

Vì có hai vector độc lập tuyến tính với M = j+j′−1 và một trong số đó được chứa trong không gian con bất biến J = j+j′, nên phải có J = j+j′−1, kí hiệu vector này là|J = j+j′−1,M = j+j′−1 >, ta có không gian con bất biến khác tương ứng với

J = j+j′−1 bằng cách áp dụng lại toán tử J−; cơ sở của nó có 2(j+j′−1) +1 =

2(j+j′)−1vector.

Xây dựng vector cơ sở mới {|J,M >;M = −J, . . . ,J;J = |j−j′|, . . . ,(j+j′)} là trực chuẩn, xem như các vector gốc. Phép biến đổi ma trận giữa 2 tập hợp, phần tử của nó gọi là hệ số Clebsch-Gordan, là unita:

Một số tính chất của hệ số Clebsch- Gordan: Quy tắc lựa chọn momen động lượng

<mm′(jj′)JM>=0 trừ khim+m′ = Mvà|j−j′| ≤ J ≤j+j′ Tính trực giao và đầy đủ ∑ mm′ < JM(jj′)mm′>< mm′(jj′)J′M′ >=δJJδMM′ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

∑ JM <mm′(jj′)JM>< JM(jj′)nn′ >=δmnδnm′′ Hệ thức đối xứng <mm′(jj′)JM >= (−1)j+j′−J <m′m(j′j)JM > = (−1)j+j′−J <−m,−m′(jj′)J,−M > = (−1)j−J+m′ <M,−m′(Jj′)jm >[(2J+1)/(2j+1)]1/2

Vậy phương trình tối giản của biểu diễn tích:

DJ(R)mn Dj′(R)m′n′ = ∑

JMN

<mm′(jj′)JM >Dj(P)MN < JN(jj′)nn′

Nghịch đảo với hệ thức này là:

δJJ′DJ(R)MM′ =< JM(jj′)mm′ >Dj(R)nmDj′(R)nm′′ <nn′(jj′)J′M′ >

Biểu diễn tích trực tiếp và tối giản của chúng

Tenso bất khả quy và định lý Wigner-Eckart