Cho một trục cố định theo hướngnˆ, phép quay theonˆ tạo thành một nhóm con của SO(3). Mỗi nhóm con là một đẳng cấu với nhóm của phép quay trong mặt phẳng (mặt phẳng trực giao vớinˆ ) - SO(2) đã nghiên cứu ở phần trước. Sự kết hợp của các nhóm con với nhau tạo thành 1 hàm kí hiệu Jn. Tất cả phần tử của nhóm con được viết là:
Rn(ψ) = e−iψJn
hình thành nhóm con một tham số của SO(3).
Bổ đề
Cho một vector đơn vịnˆ và phép quay bất kìR, ta có:
RJnR−1= Jn,
trong đónˆ′ =Rnˆ
Chứng minh: Kết quả này được suy ra trực tiếp từ (2.7) và phần tử ma trận đơn vị
Re−iψJR−1 =e−iψ(RJR−1).
Ta thấy dưới phép quay, Jn xem như một vector theo hướng củanˆ (mỗi Jn là một ma trận3×3). Xét ba ma trận cơ sở dọc theo hướng của trục cố định. Bằng cách sử dụng góc quay vô cùng nhỏ, ta có: J1= 0 0 0 0 0 −i 0 i 0 J2= 0 0 i 0 0 0 −i 0 0 J3= 0 −i 0 i 0 0 0 0 0 Kết quả này có thể được tổng quát hóa trong phương trình:
(Jk)lm =−iεklm
vớiεklm là tenso đơn vị bất đối xứng hạng 3.
Định lý 2.2.2(Hàm vecto J)
(i) Dưới các phép quay,{Jk,k=1, 2, 3}xem như hệ vector tọa độ{eˆk}:
RJkR−1= J1Rlk;
(ii) Hàm của phép quay quanhnˆk bất kì là:
vớinˆ =eˆknk
Chứng minh
(i) Nhân cả hai vế của phương trình với Rsi , lấy tổng theoi và sử dụng tính trực giao củaR, ta có:
Rmj Rknεsmn = Rsiεijk
Đồng nhất các phần tử tenso bất đối xứng ε với các phần tử của ma trận J, suy ta hệ thức cần chứng minh.
(ii) Phép quayR(φ,θ, 0)đưaeˆ3đếnnˆ(θ,φ)(hình 2.5).
nk =R(φ,θ, 0)k3
Hình 2.5: Phép quay đưaeˆ3đếnnˆ(θ,φ)
Từ đó:
Jn =RJ3R−1= JkR(φ,θ, 0)k3 = Jnnk
Chứng tỏ{J1,J2,J3}tạo thành hàm cơ sở của nhóm con abelian một tham số của SO(3), và
Rn(ψ) =e−iψJknk (2.10)
Tương tư, biểu diễn góc Ơle có thể viết:
Định lý 2.2.3(Đại số Lie của SO(3))
Ba hàm cơ sở{Jk}thỏa mãn đại số Lie:
[Jk,Jl] =iεklmJm
trong đó vế trái là phép giao hoán của toán tửJk vàJl.
Chứng minh
Khik =l, hai vế của phương trình triệt tiêu.
Xét trường hợp khik 6= l(k = 1,l = 2), áp dụng phép quay vô cùng nhỏ quanheˆ2đối với J1:
R2(dψ)J1R−21(dψ) = JkR2(dφ)kl
MàR2(dψ) = E−idψJ2(Elà ma trận đơn vị). Như vậy, nếu chỉ có số hạng bậc một của
dψđược giữa lại, thì vế trái của phương trình này là:
J1−idφ(J2J1−J1J2) = J1+idψ[J1,J2]
Tiếp tục thếR2(dψ) vào vế phải, ta được:
J1−dψJ3
Sau đó so sánh hai vế, thu được:
[J1,J2] =iJ3
Như vậy, hệ thức giao hoán (đại số Lie) tương đương với quy tắc nhân nhóm trong lân cận phép biến đổi đơn vị. Cùng với các phương trình (2,10), (2.11) nó xác định các tính chất quan trọng nhất của cấu trúc nhóm và biểu diễn nhóm.
Chú ý rằng nếu một hệ vật lý biểu diễn bởi hàm Hamilton H là bất biến dưới phép quay thì:
[H,Rn(ψ)] =0
với mọinˆ,ψ. Hay đơn giản hơn
[H,Jk] =0