Chúng ta ứng dụng lý thuyết nhóm để phát triển các khái niệm đối với hệ quen thuộc trong cơ học lượng tử - một hạt trong trường thế năng( hoặc hai hạt tương tác lẫn nhau ). Thực tế thì hàm thế năngV(r)chỉ phụ thuộc độ lớnrcủa vector tọa độ xbiểu thị phép quay đối xứng của hệ. Trong toán học nguyên lí đối xứng này được phát biểu là:
[H,U(R)] =0 (2.12)
với mọi R ∈ SO(3). Trong đó H là hàm Hamilton của hệ, U(R) là toán tử unita trên không gian vector trạng thái biểu diễn phép quay R. Từ phương trình:
[H,Ji] =0
vớii=1, 2, 3.
Đặc biểu của trạng thái
Trạng thái cơ học lượng tử của hệ được chọn là vector riêng của phép giao hoán các toán tử{H,J2,J3}. Các vector riêng này kí hiệu là|E,l,m >. Chúng thỏa mãn:
H|E,l,m >=|E,l,m>E J2|E,l,m>=|E,l,m >m J3|E,l,m >=|E,l,m>m
vớilnguyên,m=−l, . . . ,l.
Hàm sóng Sch¨odinger của các vector là:
ψElm=<x|E,l,m> (2.13) trong đó|x >là vector riêng của toán tử X. Ta có thể sử dụng tọa độ cầu (r,θ,φ) cho vector tọa độxvà đặt|x>≡ |r,θ,φ>bởi
Chú ý, ta đã chọn để xác định tất cả các vector thành phần của vector chuẩn |rzˆ >=
|r, 0, 0>; nó biểu diễn một vector trên trụczcách gốc một khoảngr. Với một hạt, ngầm giả định rằng một vector phải bất biến dưới phép quay quanh trụcz:
e−iψJ3|r, 0, 0>=|r, 0, 0> Từ đó: J3|r, 0, 0>=0 Kết hợp (2.13),(2.14): ψElm(r,θ,φ) =<r, 0, 0|U+(φ,θ, 0)|E,l,m >= <r, 0, 0|E,l,m′ >[Dl(ψ,θ, 0)+]mm′ Suy ra: <r, 0, 0|E,l,m′ >=δm′.0ψ˜El(r) Nên ψElm(r,θ,φ) = ψ˜El(r)[Dl(ψ,θ, 0)m0]∗
Cuối cùng thu được:
ψElm(r,θ,φ) = ψEl(r)Ylm(θ,φ)
trong đó
ψEl(r) = ψ˜El(r)(4π/2l+1)1/2
Phương trình trên là sự phân tích củaψ(x)thành thành phần gócYlm(θ,φ)và hàm bán kínhψEl(r), phụ thuộc vào hàm thế năngV(r).Ylm(θ,φ)trong phép phân tích này được xem là kết quả trực tiếp của đối xứng cầu, nó không phụ thuộc chi tiết vào hệ động lực học.
Sự tiến triển theo thời gian của hàm sóng
Xét tán xạ của một hạt trong trường thế năngV(r). Cho động lượng của vector tiệm cận lúc đầu theo trục z , pi = (p,θ = 0 = φi); và vector cuối theo hướng (θ,φ), pf = (p,θ,φ)thì biên độ tán xạ có thể viết:
trong đó toán tử tán xạ T phụ thuộc vào hàm Hamilton. Tính chất duy nhất củaT mà ta có thể sử dụng nó là phép quay bất biến. Có nghĩa là, khi áp dụng với một vector momen xung lượng, T sẽ cho các số lượng tử không đổi(l,m).
< p,l,m|T|p,l′,m′ >=δll′δmm′T1(p) (2.16) Vậy < pf|T|pi > = ∑ lm ∑ l′ Ylm(θ,φ) < p,l,m|T|p,l′, 0>Yl∗′0(0, 0) = ∑ l 2l+1 4π Tl(E)Pl(cosθ)
Tóm lại, những ví dụ minh họa này được ứng dụng vào các vấn đề vậy lý: nó cho phép phân biệt rõ ràng tác dụng động học do tính đối xứng cơ bản (Ylm và Pl) từ tác dụng động lực học. Kết quả này đã đơn giản hóa vấn đề để tìm hàm sóng , có sự giảm các phương trình vi phân theo ba biến thành phương trình vi phân thông thường theo biến bán kínhr. Tương tự, biên độ tán xạ từ phụ thuộc vào ba biến (E,θ,φ)xuống chỉ còn phụ thuộc vào biếnE.