Tư duy thuật giải

5 Kết luận chương 1

2.3.4.4Tư duy thuật giải

Một trong những luận điểm cơ bản của giáo dục học là: Con người phát triển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động.

Quan điểm định hướng đổi mới phương pháp dạy học chỉ ra rằng: Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động và sáng tạo.

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực.

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ.

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động. Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng.

Tương thích với khái niệm thuật giải ta cần khai thác các dạng hoạt động sau:

T1: Thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải. T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định.

T3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.

T4: Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động. T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc.

Hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải. Các hoạt động từ T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải. Cả 5 hoạt động trên đươc gọi là các hoạt động của tư duy thuật giải.

Như vậy có thể phát biểu rằng: "Tư duy thuật giải là phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải" (Vương Dương Minh 1996, tr. 28).

Ví dụ 2.9: Dạy học sinh quy tắc giải phương trình: ax + b = 0.

Để hình thành quy tắc giải phương trình: ax + b = 0, giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài tập sau:

Bài tập 1:

a. Giải các phương trình sau:

4x + 3 = 0 ; -3x + 4 = 0 ; 0x + 5 = 0 ; 0x - 0 = 0

b. Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phương trình tổng quát ax + b = 0 với a, b bất kỳ.

Hướng dẫn: Lọai bài toán này nhằm mục đích chính là cho học sinh tập luyện hoạt động (T3). Mục đích này thể hiện ở câu (b), nhưng câu (a) là bước chuẩn bị, là cơ sở để giải câu (b).

Học sinh sẽ không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhưng sẽ gặp lúng túng khi giải câu (b). Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra những câu hỏi gợi ý như sau:

57

+ Về nghiệm của phương trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trường hợp, đó là những trường hợp nào?

(Có 3 trường hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm).

+ Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phương trình trong từng trường hợp?

(Có nghiệm duy nhất khi a ≠ 0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vô nghiệm khi a = 0, b ≠ 0)

+ Hãy nêu các bước giải phương trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ? Bước 1: xác định a, b.

Bước 2. Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

a b

x =−

Nếu a = 0, b ≠0 thì phương trình vô nghiệm. Nếu a = 0, b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.

Dạy học khái quát hóa như trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trường hợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm). Một phương án khác để dạy hoạt động này là trên cơ sở xuất phát từ một trường hợp riêng. Trường hợp riêng này cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát hóa từ đó. Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai lầm là một tình huống sư phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức. Theo phương án đó thì có thể hình thành quy tắc giải phương trình ax + b = 0 thông qua bài tập sau:

Bài tập 2: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

a. Giải các phương trình sau:

4x - 3 = 0 ; - 2x - 3 = 0 ; 6x + 0 = 0.

b. Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phương trình tổng quát: ax + b = 0 (a, b bất kỳ).

Hiện nay, những qui tắc, phương pháp như vậy thường không phải là đối tượng dạy học tường minh trong nhà trường phổ thông. Trong điều kiện đó, những qui tắc, phương pháp này thường được thực hiện theo hai con đường tùy từng trường hợp cụ thể:

* Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động;

* Tập luyện cho học sinh những hoạt động ăn khớp những qui tắc, phương pháp mà ta mong muốn họ biết thực hiện.

Những qui tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật giải bảo đảm chắc chắn dẫn tới thành công. Vì vậy, khi cho học sinh sử dụng chúng, cần rèn luyện cho học sinh tính mềm dẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sẽ không có gì đáng ngại nếu học sinh không thành công khi áp dụng một qui tắc, phương pháp tìm đoán nào đó. Điều quan trọng là tới một lúc nào đó, họ phải phát hiện ra sự lầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi tới thành công.

Ví dụ 2.10. Khám phá tựa thuật giải bài toán: Tìm các giá trị nguyên của x để

phân thức ( ) ( ) h x M g x = là một số nguyên:

Bài tập 1: Tìm các giá trị nguyên của x sao cho các phân thức sau là một số

nguyên: a) 2 2 M x = − ; b) 9 3 x N x − = −

Định hướng cách giải bài toán:

Với câu a học sinh dễ dàng lập luận rằng để M nhận giá trị nguyên khi 2 chia hết cho x – 2, khi đó x – 2 nhận một trong các giá trị ± ±1; 2. Do vậy học

sinh chỉ việc giải phương trình bậc nhất sẽ tìm được các giá trị của x. Công việc còn lại là xem xét những giá trị tìm được của x những giá trị nào nguyên và khác 2. Như vậy bài toán đã được giải quyết.

Với câu b, học sinh sẽ gặp khó khăn hơn nếu áp dụng cách làm ở câu a, bởi lẽ, x – 9 chia hết cho x - 3 khi nào? Nếu học sinh gặp khó khăn giáo viên có thể định hướng bằng câu hỏi. Hãy viết phân thức N thành dạng tổng của một đa

59 dễ dàng viết phân thức N thành 3 6 1 − − x . Khi đó học sinh có thể độc lập tìm ra các giá trị nguyên x trên cơ sở áp dụng câu a.

* Giáo viên hướng dẫn học sinh mô tả, xây dựng các bước giải câu b.

Bước 1: Tìm tập xác định của biểu thức

Bước 2: Phân tích N thành dạng dạng tổng của một đa thức và một phân thức mà

tử thức là một hằng số hay N = 3 6 1 − − x .

Bước 3: Tìm các giá trị nguyên nguyên của x sao cho 6 chia hết cho x - 3.

Bước 4: So sánh với tập xác định. Kết luận các giá trị nguyên của x cần tìm.

Sau đó giáo viên có thể cho học sinh giải các bài tập ở Ví dụ 2 để nâng dần mức độ khó khăn của dạng toán này.

Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của các phân thức sau cũng là số

nguyên: 2 3 4 17 , 2 x x a A x − − = + 2 2 , 3 x x b B x − + = − c, 2 10 7 5 2 3 x x C x − − = −

Sau khi giải được Ví dụ 1 thì học sinh cũng không khó khăn lắm khi giải quyết ví dụ này.

* Từ các ví dụ trên giáo viên có thể định hướng cho học sinh khám phá tựa thuật giải cho bài toán tổng quát sau:

Bài toán: Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức M h x( )( ) g x

= là một số nguyên:

Bước 1: Tìm tập xác định của biểu thức M; (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bước 2: Viết mỗi phân thức sau thành dưới dạng tổng của một đa thức và một

phân thức với tử thức là một hằng số. Hay nói cách khác viết M thành

( ) ( ) K f x g x + , với K∈Z.

Bước 3: Tìm các giá trị nguyên nguyên của x sao cho Kchia hết cho g x( ).

Ví dụ 2.11. Khám phá thuật giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Để học sinh ý thức được điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, giáo viên yêu cầu học sinh tìm sai lầm trong lời giải của bài toán giải phương trình: 1 1 2 5 2 5 2 5 x x x + = + − −

Có một học sinh giải như sau:

" Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế: 2 1 1 5

2 5 2 5 x x x + − = − − . Thu gọn vế trái, ta tìm được 5 2 x= ."

Nếu học sinh không tìm được sai lầm trong lời giải trên. giáo viên có thể

định hướng: Giá trị 5

2

x= có phải là nghiệm của phương trình hay không? Vì

sao?

Qua ví dụ này học sinh ý thức được rằng: Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không

tương đương với phương trình ban đầu. Bởi vậy, khi giải phương trình ẩn ở mẫu,

cần chú ý đến một yếu tố đặc biệt, đó là điều kiện xác định của phương trình.

Bài tâp 1: Giải phương trình 2 22( 32)

x x

x x

+ = + − (1)

Giáo viên có thể định hướng học sinh giải phương trình như sau: Giáo viên:Tìm điều kiện xác định của phương trình?

Học sinh: x≠0 và x≠2.

Giáo viên: Để khử mẫu của phương trình ta cần thực hiện phép biến đổi nào?

Học sinh: Quy đồng hai vế của phương trình: 2(2 (2)( 2)2) 2(2( 3)2)

x x x x

x x x x

+ − = +

− − từ đó suy

ra 2(x+2)(x− =2) x x(2 +3). Như vậy ta đã khử mẫu của phương trình. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Giáo viên: Giải phương trình 2(x+2)(x− =2) x x(2 +3)? (1a)

61

2 2 2 8

2( 4) (2 3) 2 8 2 3 3 8 .

3

x − =x x+ ⇔ x − = x + x⇔ x= − ⇔ = −x

Giáo viên: Phương trình (1a) có tương đương với phương trình (1) đã cho hay không?

Học sinh: Do việc khử mẫu nên phương trinh (1a) có thể không tương đương với phương trình (1) đã cho

Giáo viên: Vậy ta cần phải làm gì?

Học sinh: Ta cần phải thử xem giá trị 8

3

x= − có đúng là nghiệm của phương trình (1) hay không.

Giáo viên: Muốn vậy ta cần phải làm gì?

Học sinh: Chỉ cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn điều kiện xác định hay không. Ta

nhận thấy rằng 8

3

x= − thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của (1).

Nên tập nghiệm của phương trình là 8

3

S= −      .

Từ cách sự dẫn dắt trên giáo viên yêu cầu học sinh khái quát lên thuật giải giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4 (Kết luận): Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa

mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài tập 2 (bài tập áp dụng): Giải các phương trình: a, 2(xx 3) 2+ xx 2 =(x 1)(2xx 3) − + + − b, 1 1 312 2 8 x x + = + +

c, 13 1 6

(x 3)(2x 7) 2+ x 7=(x 3)(x 3)

− + + − + . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ví dụ mở đầu nhằm mục đích nhắc nhở cho học sinh thấy rằng: Đối với các phương trình chứa ẩn ở mẫu thì các phép biến đổi thường dùng để giải phương trình có thể cho ta các giá trị của ẩn không phải là nghiệm của phương trình. Vấn đề là làm thế nào để phát hiện được. Câu trả lời là thử trực tiếp vào phương trình. Thật đơn giản! Nhưng trên thực tế, cách làm đó không phải lúc nào cũng thuận lợi, chẳng hạn khi phải thực hiện các phép tính số học phức tạp, hay khi số giá trị cần phải thử là quá nhiều.

Bởi vậy, khái niệm điều kiện xác định của phương trình có ý nghĩa quan trọng trong việc phát hiện và loại các nghiệm ngoại lai.

Để học sinh không quên nghiệm ngoại lai, giáo viên nên yêu cầu học sinh thực hiện đầy đủ bốn bước giải như trên, đặc biệt là bước kết luận.

Từ việc hướng dẫn học sinh khám phá ra thuật giải như trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh tự mình khám phá ra các thuật giải các bài toán khác. Chẳng hạn,

Ví dụ 2.12. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trọng tâm của Đại số 8. Có thể gặp gặp lại nhiều bài toán ở lớp dưới, chỉ khác là giải bằng phương pháp đại số. Nó đòi hỏi khả năng phân tích và trừu tượng hóa các sự kiện cho trong bài toán thành các biểu thức và phương trình. Nó cũng đòi hỏi kĩ năng giải phương trình và lựa chọn nghiệm thích hợp.

Các bài toán được đề cập trong Đại số 8 chủ yếu là toán bậc nhất, nghĩa là các bài toán dẫn đến phương trình có thể quy về bậc nhất. Tuy nhiên, để kiểm tra kĩ năng giải phương trình tích (kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử) cũng có thể cho thêm một số hạn chế những bài toán đòi hỏi giải phương trình bậc hai không quá phức tạp. Các bài toán này chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi.

Giáo viên cần chú ý rèn luyện một số kĩ năng cho học sinh khi thực hiện thuật giải trên:

63

* Về chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn, chẳng hạn:

- Nếu ẩn x biểu thị một chữ số thì điều kiện x là nguyên và 0≤ ≤x 9.

- Nếu ẩn x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số người,… thì điều kiện là x dương. - Nếu ẩn x biểu thị vận tốc của một chuyển động thì điều kiện làx>0. …

* Về lập phương trình: Muốn lập phương trình, cần biểu diễn các đại lượng chưa

biết bởi những biểu thức của ẩn, cùng với các quan hệ giữa chúng. Học sinh có thể sử dụng cách lập bảng nhưng không nhất thiết phải viết ra trong bài giải.

* Về giải phương trình: Vận dụng các phương pháp giải phương trình đã học

trong các bài trước.

* Kết luận: Cần đối chiếu giá trị tìm được của ẩn sau khi giải phương trình với điều kiện của ẩn. Nếu cần, phải thử lại để chắc chắn rằng giá trị ấy là thích hợp rồi mới kết luận.

Với thuật giải như vậy, khi học lên lớp 9 học sinh có thể dễ dàng đưa ra ngay thuật giải: giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Để từ đó học sinh có thể hình thành nên thuật giải giải các bài toán có nội dung thực tiễn ở lớp 10. Thuật giải bài toán có nội dung thực tiễn:

Bước 1: Chuyển bài toán thực tế về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết toán