5 Kết luận chương 1
2.3.1 Biện pháp 1
Tăng cường tổ chức các hoạt động quan sát, thực nghiệm trên các ví dụ..., nhằm giúp học sinh rút ra các thuộc tính, các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm, trên cơ sở đó hình thành biểu tượng và đi đến định nghĩa khái niệm.
Các nhà triết học duy vật biện chứng cho rằng, nét đặc trưng cơ bản phân biệt trực quan sinh động với tư duy trừu tượng là ở giai đoạn đầu tiên này của quá trình nhận thức (chủ yếu với những hình thức khác nhau như cảm giác, tri
giác và biểu tượng), nhận thức được thực hiện trong mối liên hệ sinh động trực tiếp với hoạt động thực tiễn. Trong đó:
Cảm giác là hình thức đầu tiên, đơn giản nhất của nhận thức ở giai đoạn
trực quan sinh động. Cảm giác nảy sinh do sự tác động trực tiếp của khách thể nhận thức lên giác quan con người,... Cảm giác phản ánh những mặt, những khía cạnh, những thuộc tính riêng biệt của sự vật. Cảm giác đưa lại cho con người những thông tin trực tiếp, đơn giản nhất về sự vật để từ đó hình thành những hiểu biết khác, phức tạp hơn về sự vật.... Nhiều cảm giác khác nhau được tổng hợp lại trong mối liên hệ thống nhất tạo nên hình ảnh cảm tính hoàn chỉnh trực tiếp của sự vật - đó là tri giác.
Tri giác cũng là một hình thức nhận thức ở giai đoạn trực quan sinh động,
là kết quả của sự tác động qua lại trực tiếp giữa sự vật được tri giác và con người đang hoạt động nhận thức. Tri giác hình thành nhờ hoạt động phối hợp, bổ sung lẫn nhau của nhiều giác quan. Nó là sự tổng hợp nhiều thuộc tính khác nhau của sự vật do các cảm giác riêng lẻ đưa lại, là hình ảnh cảm tính hoàn chỉnh về sự vật. Nhưng tri giác mới chỉ phản ánh được sự vật ‘‘ở đây và vào lúc này’’.
Biểu tượng là hình thức cao nhất của nhận thức ở giai đoạn trực quan sinh
động. Giống như tri giác, biểu tượng cũng là hình ảnh cảm tính hoàn chỉnh của sự vật. Nhưng khác với tri giác, biểu tượng được tái tạo lại và được giữ lại trong đầu óc con người khi sự vật - khách thể của nhận thức đã không còn nằm trong tầm tri giác của chủ thể. ... Biểu tượng cũng được hình thành nhờ hoạt động phối hợp bổ sung của nhiều giác quan nhưng đã có sự tham gia của các hoạt động phân tích và tổng hợp. Tuy là hình thức nhận thức cảm tính, nhưng biểu tượng ít nhiều đã mang tính khái quát. Tuy nhiên, biểu tượng không thể nắm được sự vật trong tính chỉnh thể, cũng không thể đưa lại những hiểu biết khái quát mang tính bản chất về sự vật. Nhiệm vụ này được giải quyết trong giai đoạn nhận thức tiếp theo của quá trình nhận thức là tư duy trừu tượng.
Tư duy trừu tượng bắt nguồn từ trực quan sinh động, nó cũng phản ánh
37
hơn, chính xác hơn, đầy đủ hơn’’ bằng các khái niệm, phán đoán, suy luận. Khái niệm, phán doán và suy luận là các hình thức cơ bản của tư duy trừu tượng.
Quá trình hình thành một khái niệm thường diễn ra như sau:
+ Giáo viên đưa ra tình huống để học sinh thấy sự tồn tại của một loạt đối tượng nào đó.
+ Giáo viên dẫn dắt học sinh quan sát, phân tích, so sánh và làm nổi bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang xem xét (có thể đưa thêm những đối tượng không có những đặc điểm đó - các phản ví dụ).
+ Giáo viên giới thiệu tên khái niệm mới và gợi mở để học sinh phát biểu được định nghĩa khái niệm bằng cách nêu các tính chất đặc trưng của khái niệm.
+ Giáo viên chính xác hóa định nghĩa khái niệm trên cơ sở phát biểu của học sinh.
Các bước hình thành khái niệm theo con đường này có thể diễn đạt ở sơ đồ sau:
Ví dụ 2.1: Để rút ra nhận xét về vị trí tương đối của hai đường thẳng khi dựa vào phương trình đường thẳng:
Bước 1: Cho học sinh quan sát các hình và trả lời câu hỏi:
Sơđồ
GV Tình
huống Hoạt động thuộc tính Bộc lộ của đối tượng Phát biểu định nghĩa Định nghĩa Thể chế hoá Học sinh
x y y=2x-2 y=2x y=2x+3 -1,5 2 -1 -2 -1 3 2 1 O 1
- Vị trí tương đối của đường thẳng y= 2x+3 và đường thẳng y= 2x-2 - Nhận xét vị trí tương đối của y= 2x+3 và y=2x; Nhận xét vị trí
tương đối của y= 2x-2 và y=2x;
Bước 2: Cho học sinh nhận xét và so sánh hệ số a của từng cặp đường thẳng: Bước 3: Cho học sinh nhận xét và so sánh hệ số a của từng đường thẳng với phương trình đường thẳng y=ax, suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng dựa vào hệ số a
Ví dụ 2.2: Để đưa ra tính chất của hàm số y=ax2: Bước 1: Yêu cầu học sinh tính giá trị và điền vào bảng
x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=2x2
Bước 2: Nhận xét theo gợi ý: Đối với từng bảng giá trị
- Khi x tăng nhưng luôn luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm - Khi x tăng nhưng luôn luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm Bước 3: Dựa vào kết quả bước 2, nêu tính chất tổng quát của hàm số y= ax2
Có thể thấy rằng, con đường hình thành tính chất như trên có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và tạo điều kiện cho họ nâng cao tính độc lập trong việc x -3 -2 -1 0 1 2 3
39
đưa ra định nghĩa khái niệm. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi tốn kém thời gian, vì vậy không phải bao giờ cũng có điều kiện thực hiện. Song qua khảo sát thực tế dạy học ở các trường phổ thông có thể thấy rằng, nếu giáo viên biết lựa chọn và phân phối thời gian một cách hợp lí thì vẫn có nhiều cơ hội để tổ chức dạy học các khái niệm theo con đường khám phá.
HS nắm vững khái niệm phương trình, bất phương trình và những khái niệm có liên quan: nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình, giải phương trình hoặc giải bất phương trình,...
- HS có kỹ năng giải phương trình và bất phương trình, thành thạo việc giải phương trình và bất phương trình theo thuật giải, theo công thức hay một hệ thống quy tắc biến đổi xác định, chẳng hạn phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình trùng phương,...
- HS có kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, nhất là đối với phương trình bậc nhất và bậc hai, thông qua đó rèn luyện khả năng toán học hóa những tình huống thực tế. Làm quen với một số bài toán tối ưu đơn giản và có vận dụng kiến thức về phương trình và bất phương trình.
- HS được phát triển về tư duy thuật giải trong việc giải phương trình và bất phương trình theo thuật giải hoặc theo một hệ quy tắc xác định, được rèn luyện về tính linh hoạt và khả năng sáng tạo, đặc biệt là trong việc giải những phương trình theo nội dung, những phương trình không mẫu mực.
Để đạt được mục tiêu nói trên, GV phải nắm vững tinh thần SGK, tài liệu chuẩn kiến thức. Đồng thời phải thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của HS để HS luôn được học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.
Ví dụ 2.3: Vận dụng các thành tố cơ sở của PPDH vào dạy học bài: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (Đại số 9).
Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn? (định nghĩa SGK toán 9, tập 2, tr 40).
Giải phương trình 3x2 + 12x + 1 = 0 (1) - Chuyển 1 sang vế phải 3x2 + 12x = - 1 - Chia hai vế cho 3, ta được x2 + 4x = -
3 1
hay x2 + 2.x.2 = -
3 1
- Thêm vào hai vế cùng một số để vế trái thành một bình phương: x2 + 2.x.2 +4 = - 1
2 + ... 22
GV nêu vấn đề: Bài học trước các em đã học cách giải phương trình thông qua những ví dụ cụ thể. Bài toán trên đây cũng là một trong các dạng toán có cùng cách giải với các ví dụ bài học trước. Sau khi giải nhiều phương trình bậc hai cụ thể chúng ta rút ra nhận xét, các em đã lặp đi lặp lại nhiều lần cùng một thao tác khi biến đổi các phương trình cụ thể, như chia cả hai vế cho hệ số của x2, thêm bớt các số thích hợp, dùng hằng đẳng thức,... đó là một điều bất hợp lý, làm lãng phí thời gian, công sức. Vậy có cách nào hợp lý hơn, tổng quát hơn mà thay thế cách đó không? Bài hôm nay sẽ xây dựng một phương pháp tổng quát để giải một phương trình bậc hai rất thuận tiện. Không cần phải lặp đi lặp lại nhiều lần như các em đã từng làm.
- HS bắt chước các bước biến đổi từ phương trình 3x2 + 12x + 1 = 0
(a ≠ 0), dẫn tới các bước biến đổi phương trình tổng quát ax2 +bx + c = 0
thành dạng bình phương của một nhị thức 2 2 2 4 2 4 b b ac x a a − + = ÷ (2).
Giới thiệu biệt thức ∆ (đenta)
Trong thực tiễn dạy học hoạt động này thường được GV giới thiệu trực tiếp để HS nắm vững ký hiệu này. Nhưng nếu làm như vậy thì áp đặt đối với HS
41
và HS sẽ nhớ một cách máy móc và dễ quên. Ta có thể dẫn dắt HS hoạt động để hình thành trong họ biểu tượng một biểu thức đặc biệt bằng cách dẫn dắt HS tách thành phần b2 - 4ac trong phương trình (2) và sau đó giới thiệu kí hiệu, kí hiệu đó chính là biệt thức ∆ của phương trình. GV có thể dẫn HS hoạt động bằng việc nêu các câu hỏi như sau:
- Vế trái của phương trình 2 có đặc điểm gì? (bình phương của một nhị thức).
- Em nhận thấy điều gì ở mẫu thức của phân thức vế phải? (với a ≠ 0 thì 4a2 luôn luôn dương).
- Vậy để phân biệt phương trình (2) có nghiệm hay vô nghiệm thì ta cần quan tâm đến thành phần nào? (b2 - 4ac).
Từ đó GV giới thiệu b2 - 4ac là biệt thức của phương trình. Kí hiệu là ∆, đọc là đenta (∆ = b2 - 4ac).
Xét mọi khả năng có thể xảy ra đối với ∆ để suy ra số nghiệm của phương trình.
HS điền vào chỗ trống (...) những biểu thức thích hợp: a) Nếu ∆ > 0 thì phương trình (2) suy ra x +
2
b
a = ±... Do đó phương trình (1) có hai nghiệm: x1 =..., x2 =... b) Nếu ∆ = 0 thì từ phương trình (2) suy ra x +
2
b a =... Do đó phương trình (1) có nghiệm kép x =...
c) Hãy giải thích vì sao ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
đưa ra kết luận chung về công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b2 - 4ac. - Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2 b x a − + ∆ = , 1 2 b x a − − ∆ = ;
x1 = x2 =
2
b a
−
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
Trong dạy học, việc cho HS áp dụng trực tiếp công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai sẽ gặp khó khăn. Bởi vậy ta cần dựa vào công thức nghiệm để xây dựng quy trình giải để HS có thể áp dụng công thức nghiệm một cách dễ dàng hơn.
Xây dựng quy trình giải.
Thầy giáo lặp đi lặp lại những câu hỏi có dụng ý chỉ dẫn HS để tìm quy trình giải phương trình bậc hai theo công thức nghiệm. Những câu hỏi đó có thể như sau:
Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai trước hết ta phải làm gì? (tính
∆).
Để tính ∆ ta cần xác định những thành phần nào? (xác định các hệ số a, b, c của phương trình).
Sau khi tính ∆ ta cần vận dụng công thức nào để xác định nghiệm của phương trình? (công thức nghiệm của phương trình bậc hai).
Vậy em hãy tóm tắt lại quy trình giải phương trình bậc hai một ẩn? Quy trình 1:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c; Bước 2: Kiểm tra điều kiện a ≠ 0.
Bước 3: Viết biểu thức tính ∆
Bước 4: Thay bước 1 vào bước 3 rồi thực hiện phép tính ∆
(∆ = b2 - 4ac).
Bước 5: So sánh giá trị ∆ với số 0.
Bước 6: Xác định nghiệm của phương trình. Nghiệm của phương trình được xác định dựa vào giá trị của ∆ (∆ > 0, ∆ = 0, ∆ < 0). Rút gọn kết quả mỗi khi có thể.
43
Ví dụ 2.4:
Giải phương trình 3x2 - 7x + 2 = 0 (1). HS thực hiện các bước như sau:
- Xác định các hệ số của phương trình. Ta có: a = 3, b = -7, c = 2.
- Viết biểu thức tính ∆: ∆ = b2 - 4ac.
- Thay các hệ số vào rồi tính ∆: ∆ = (-7)2 - 4.3.2 = 25 - So sánh ∆ với 0: ∆ = 25 > 0.
Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 7 25 6 x = + = 2, 1 7 25 6 x = − = 2 1 6 =3;
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2; x2 = 1
3. Các thành phần của thành tố cơ sở là:
Việc thực hiện các bước giải phương trình bậc hai theo công thức nghiệm như quy trình 1 nói trên là khá chi tiết, dễ dàng thực hiện đối với mọi đối tượng HS. Tuy nhiên, sau khi HS đã nắm vững quy trình 1, để rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc hai, thầy giáo có thể dẫn dắt HS quy gọn các bước giải ở quy trình 1 để đi đến quy trình giải gọn hơn, tổng quát hơn.
- Bước 1: Xác định hệ số a, b, c. - Bước 2: Tính ∆ = b2 - 4ac.
- Bước 3: Tính nghiệm theo công thức nếu ∆ ≥ 0.
Dựa vào quy trình này thì ví dụ 1 có thể trình bày gọn như sau: - Tính ∆ = b2 - 4ac.
Các hệ số của phương trình là a = 3, b = -7, c = 2. ∆ = (-7)2 - 4.3.2 = 25
- Do ∆ > 0, áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 7 25 6 x = + = 2, 1 7 25 6 x = − = 2 1 6=3;
- Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2; x2 = 1
3. Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Gợi động cơ mở đầu hướng tới sự hợp lý hoá công việc.
• Dạy học tường minh tri thức được phát biểu một cách tổng quát.
Rèn luyện kỹ năng áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai.
Áp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình (SGK toán 9, tập 2, tr 45):
a) 4x2 - 4x + 1 = 0; b) -3x2 + x + 5 = 0;
Đối với bài toán (cả câu a và câu b) HS trình bày theo cách hiểu của mình. Có thể trình bày theo các bước ở quy trình 1, cũng có thể trình bày theo các bước ở quy trình 2. Tuy nhiên, khi trình bày GV cần định hướng cho HS trình bày lời giải gọn theo quy trình 2.
Trong khi trình bày lời giải, HS thường hay mắc phải sai lầm ở bước 2 (quy trình 2), đặc biệt đối với các phương trình bậc hai có các hệ số a hoặc b âm. Do vậy, bước này GV cần cho HS rèn luyện kĩ việc tính ∆ bằng cách cần phải thực hiện tốt bước 4 (quy trình 1).
Các thành phần của thành tố cơ sở là:
• Phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung.
• Lựa chọn những hoạt động dựa vào mục tiêu.
• Tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp.