5 Kết luận chương 1
2.3.2Biện pháp 2
Bồi dưỡng tính tích cực cho học sinh tiếp cận hướng khám phá trong khi giải toán
Ta biết rằng động cơ chính là sức hấp dẫn, lôi cuốn của đối tượng mà cá nhân nhận thấy cần chiếm lĩnh để thoả mãn nhu cầu hay mong muốn của mình. Sức hấp dẫn lôi cuốn của đối tượng càng lớn thì động cơ thúc đẩy hành động càng lớn.
Để tạo động cơ, nhu cầu và hứng thú cho học sinh khám phá, phát hiện kiến thức mới. Giáo viên cần quan tâm một số định hướng sau:
- Thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động khám phá với các hình thức đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn phù hợp với đặc trưng bài học, với đặc điểm và trình độ của học sinh, với điều kiện cụ thể của lớp. Học sinh chỉ học tập một cách tự giác tích cực, khi họ cảm thấy có nhu cầu và hứng thú khi giải quyết vấn đề đặt ra.
Để làm được điều đó, cần làm cho họ thấy rằng mình đang thực sự thiếu hụt kiến thức, thấy được vai trò, ý nghĩa và lợi ích của những hoạt động mà họ sắp tiến hành hay của đối tượng kiến thức mới mà họ sắp lĩnh hội.
- Động viên, khuyến khích, tạo cơ hội và điều kiện cho học sinh tham gia một cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào quá trình khám phá và lĩnh hội kiến thức; chú ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng đã có của học sinh; tạo niềm vui, hứng khởi, nhu cầu hành động và thái độ tự tin trong học tập cho học sinh; giúp học sinh phát triển tối đa năng lực, tiềm năng của bản thân.
- Tạo cho học sinh có nhu cầu, hứng thú khi tự mình đặt ra các câu hỏi: Liệu bài toán còn có cách giải nào khác nữa hay không? Có lời giải nào tốt hơn không? Ta có thể phát triển được bài toán nữa hay không?... Trả lời những câu hỏi đó sẽ dẫn đến nhu cầu xem xét các dữ kiện và nhìn bài toán theo những cách khác nhau. Nhờ thế mà chúng ta có thể rèn luyện cho học sinh cách nhìn bài toán
47
một cách toàn diện, đa dạng, khai thác được nhiều thuộc tính, nhiều mối liên hệ giữa các dữ kiện, tạo cho học sinh sự hứng thú trong việc khám phá tri thức.
Theo [14], Ngay mới lúc bắt tay nghiêm chỉnh vào việc giải bài toán, đã có cái gì đó thúc giục chúng ta nhìn lên phía trước. Thường chúng ta thử đoán trước điều gì sẽ diễn ra; chúng ta chờ đợi nó để điền vào đấy, cố dự đoán những đường bao của lời giải. Đường nét ấy có thể mơ hồ, ít hoặc nhiều, thậm chí có thể không chính xác ở mức độ nào đó, nhưng trong thực tế thường đường bao ấy không bao đến nổi quá sai lệch.
Tất cả những người giải toán đều phải xây dựng các phỏng đoán hay đề ra giả thiết, song giữa những phỏng đoán của người giải nông cạn và người suy nghĩ sâu sắc có sự khác biệt.
Người nông cạn chỉ ngồi bóp trán hay cắm bút chờ đợi sự hiểu thấu, và trong lúc đợi chờ anh ta làm rất ít( hay thậm chí chẳng làm gì cả) để cho ý nghĩa đó xuất hiện nhanh chóng. Lúc ý nghĩ ao ước đó hiện lên và mang lại các phỏng đoán dường như thì anh ta chộp ngay hầu như không phê phán (hay chẳng phê phán gì cả), coi như lời giải sẵn.
Lúc không tìm được câu trả lời trọn vẹn, người suy nghĩ chín chắn hơn, có kinh nghiệm hơn, sẽ cố gắng phỏng đoán một bộ phận nào đó, nét đặc trưng nào đó trong giải đáp ấy, một tiếp cận nào đó của lời giải, hay thậm chí một chi tiết trong tiếp cận ấy. Rồi cố gắng mở rộng phỏng đoán của mình, đồng thời tìm cách kiểm tra phỏng đoán của mình phù hợp với những hiểu biết hoàn chỉnh nhất đã thu được ở tùng giai giai đoạn nhất định của quá trình giải.
Người giải, dầu nhiều hay ít kinh nghiệm, nhất thiết đều mong đi đến phỏng đoán thực sự tốt, một ý thực sự có hiệu quả.
Và những ai không biết phỏng đoán của mình có triển vọng chính xác đến mức nào. Không thể nào cân đo chính xác những triển vọng này (ở đây không phải là lúc phân tích những khả năng tìm hiểu cách đánh giá), Tuy nhiên, có lẽ trong nhiều trường hợp người giải đã nhận cảm được rõ ràng triển vọng của các phỏng đoán của mình. Ngay cả những người suy nghĩ hoàn toàn thiếu thấu đáo,
không biết chứng minh như thế nào, vẫn có thể những cảm giác mạnh mẻ nhất về các phỏng đoán của mình; còn người suy nghĩ thấu đáo có thể phân biệt được những sắc thái tinh tế của cảm giác. Nhưng, dẫu là ai, nhất thiết đều có khái niệm nào đó về số phận có thể xảy ra đối với các phỏng đoán mình nêu lên. Như vậy ngoài cảm giác về những điều có liên hệ hay không liên hệ với bài toán khảo sát ngoài cảm giác về sự tiếp cận với lời giải, ta còn nhận thấy trong suy nghĩ của người giải một cảm giác thuộc dạng khác, đó là: sự đoán trước.
Ta có thể minh họa những nội dung trên thông qua một số ví dụ sau:
Ví dụ 2.5:
Trong bài phương trình chứa ẩn ở mẫu. Để giúp học sinh khám phá ra: trước khi giải phương trình thì phải tìm điều kiện xác định của phương trình.
Giáo viên nêu tình huống:
Có một phương trình rất đơn giản 1 1 1
1 1 x x x + = + − − , em hãy tìm nghiệm của phương trình đó.
Học sinh sẽ rất hào hứng giải ngay bằng cách chuyển vế và thực hiện biến đổi biểu thức hữu tỉ, và kết luận ngay: nghiệm của phương trình x = 1.
Khi đó giáo viên lật ngược lại vấn đề: Ta biết rằng nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn làm cho 2 vế của phương trình bằng nhau. Vậy ta hãy thử lại xem x = 1 có thỏa mãn không?
Từ đó tạo cho học sinh có nhu cầu khám phá về mâu thuẫn đó.
Ví dụ 2.6: Hay từ một bài toán tổng quát ta có thể ta tó thể áp dụng thành công thức tính cho một bài cụ thể:
a. Cho n N∈ *. Chứng minh : S= 1 1 1 (n 1) n n n 1= n − n 1 + + + + b. Áp dụng tính tổng : 2005 1 1 1 ... 2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005 S = + + + + + +
49
Câu a, Sử dụng cách trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp của mẫu (n+1) n n n− +1 và được kết quả
S= 1 1
1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n − n
+
Câu b, Từ kết quả câu a, ta có:
1 1 1 2 1 1 2 = 1− 2 + 1 1 1 3 2 2 3 = 2 − 3 + ……… 1 1 1 2004 2003 2003 2004 = 2003 − 2004 + 1 1 1 2005 2004 2004 2005 = 2004 − 2005 +
Cộng các đẳng thức trên, vế với vế, ta được:
2005 1 2005 1 2005 2005 1 2005 2005 2005 S = − = − = − 2.3.3 Biện pháp 3.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, biến đổi hoặc diễn đạt bài toán theo các cách khác nhau nhằm làm bộc lộ, nảy sinh các mối liên hệ logic bên trong giữa các đối tượng hoặc làm cho giả thiết và kết luận của bài toán trở nên gần gũi hơn trong quá trình giải.
Mặc dù không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán, nhưng những gợi ý mang tính tổng quát thể hiện qua bốn bước của Polya (1975) về cách thức giải một bài toán là hết sức có ý nghĩa về mặt phương pháp luận. Các bước bao gồm: Thứ nhất phải hiểu bài toán, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh. Thứ hai là tìm cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh để nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bài toán, từ đó vạch ra được chương trình
giải. Thứ ba là thực hiện chương trình giải. Thứ tư là nhìn lại cách giải đã tìm được, nghiên cứu và phân tích nó nhằm khắc sâu những tri thức thu được.
Mỗi bước trong quy trình trên đều có tầm quan trọng tùy thuộc mỗi bài toán. Tuy nhiên, suy cho cùng, điều quan trọng nhất là phải tìm được lời giải bài toán. Do vậy, trước hết cần phải chú trọng việc rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, biến đổi bài toán.
Theo Triết học duy vật biện chứng, Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể ra thành nhiều bộ phận, nhiều mặt, những yếu tố cấu thành đơn giản hơn, ... nhằm tái hiện cái toàn thể, nhận thức được cơ cấu bên trong, tính chất, chức năng và quy luật phát triển của nó.
Như vậy, để tìm kiếm lời giải bài toán, không thể không tổ chức cho học sinh phân tích bài toán. Đồng thời, ‘‘sự biến đổi bài toán là cốt yếu, bởi muốn đi đến cách giải một bài toán ta phải động viên và tổ chức những kiến thức đã có từ trước. Chúng ta cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết cho việc giải toán. Việc biến đổi bài toán giúp ta nhớ lại những yếu tố đó’’ và ‘‘Bằng cách biến đổi bài toán, chúng ta mang lại những chi tiết mới, những khả năng mới, làm sống lại trong trí nhớ những cái gì liên quan tới bài toán của ta’’.
Trong chương trình toán THCS nói chung, chương trình đại số nói riêng, ta thường gặp những bài toán có dạng A → B, trong đó A là giả thiết, B là điều phải chứng minh hay phải tìm. Để phân tích, biến đổi những bài toán có cấu trúc như trên, cần giúp học sinh hình thành những tri thức về phương pháp suy luận như suy xuôi, suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi) thể hiện qua các sơ đồ sau:
- Phép suy xuôi: A = A0→ A1→ ... → An = B
- Phép suy ngược tiến: B = B0→ B1→ ... → Bn = A - Phép suy ngược lùi: B = B0← B1← ... ← Bn = A
Trong quá trình hướng dẫn học sinh sử dụng các phép suy luận trên đây, phải chú ý rằng phép suy ngược tiến chỉ có tác dụng tìm kiếm chứ chưa phải là
51
lời giải bài toán như phép suy xuôi và suy ngược lùi, đồng thời cần có những gợi ý mang tính hỗ trợ và để cho học sinh tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải.
Có thể sử dụng những câu hỏi gợi ý như:
- Từ giả thiết của bài toán, chúng ta có thể suy ra được những điều gì? Trong những điều đó, có điều nào gần gũi với yêu cầu của bài toán hơn không? Giả thiết của bài toán có ý nghĩa gì? có thể hiểu cách khác được không? ... (trong trường hợp thực hiện phép suy xuôi). Hoặc:
- Nếu yêu cầu của bài toán thoả mãn thì chúng ta suy ra được điều gì? (trong trường hợp thực hiện phép suy ngược tiến).
- Yêu cầu của bài toán sẽ thoả mãn khi nào? Trong các điều kiện đó, có điều kiện nào liên quan đến giả thiết của bài toán không? ... (trong trường hợp thực hiện phép suy ngược lùi).
Cứ sau mỗi bước, những câu hỏi tương tự lại tiếp tục được đặt ra cho đến khi đi đến đích là tìm ra mối liên hệ giữa giả thiết và yêu cầu của bài toán.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, cần đặt cho học sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán. Những câu hỏi như thế lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần sẽ biến thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.
Ví dụ 2.7:
Tìm điều kiện của m đề đường thẳng (d) và parapol (P) tiếp xúc nhau : Có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp suy ngược để tìm kiếm lời giải bài toán thông qua các câu hỏi gợi ý sau :
(d) và parapol (P) tiếp xúc nhau là vị trí như thế nào ?
Học sinh có thể chỉ ra nhiều dấu hiệu nhưng giáo viên phải định hướng để đi đến được điều kiện: có một điểm chung.
Trong thực tế, nhiều khi các mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận hay yêu cầu của bài toán được dấu khá kĩ, cần phải có sự phân tích biến đổi đồng thời cả giả thiết và kết luận mới phát hiện ra được.
Ví dụ 2.8: Không giải phương trình x2 –(m-1)x –m2+ m – 2=0 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 2 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 2
x +x
Đây là dạng toán khá khó đối với học sinh THCS bởi nó tổng hợp nhiều kiến thức( thường đối với học sinh THCS, phải có sự giải thích kỹ về những việc cần phải thực hiện).
Khi đó, có thể hướng dẫn học sinh phân tích, biến đổi bài toán thông qua các câu hỏi gợi ý sau:
H1. Trước hết ta phải làm gì?
(chứng minh phương trình luôn có nghiệm : Tính ∆ và chứng minh ∆ ≥0
2 2
(m 1) 4( m m 2) ∆ = − − − + −
= (m-3)2 + 4m2 ≥0 H2. Phải tìm gì tiếp theo? ( Tìm tổng và tích của nghiệm). S=m-1
P= - m2 + m - 2= - (m2 - m +2)
H3. Tính giá trị biểu thức A như thế nào, Hằng đẳng thức liên quan?:
2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 A x= +x =(x +x ) −2x x =(m−1) − −2( m + − =m 2) = m2 - 2m + 1+ 2m2 - 2m +4 = 3m2 - 4m + 5 H6. Sử dụng kiến thức BĐT, tìm giá trị nhỏ nhất : 2 2 1 2 x +x ≥a, a là một số dương A 2 2 3 4 11 2 2 11 11 ( 3 ) 2 3 ( 3 ) 3 3 3 3 3 3 m m m = − + + = − + ≥
53 Vậy A= 2 2 1 2 x +x đạt giá trị nhỏ nhất là 11 3 khi 3 2 0 3 m− = hay 2 3 m=
Nhằm giúp học sinh có khả năng phân tích, biến đổi để đi đến phát hiện các mối liên hệ ẩn dấu trong mỗi bài toán thì ngoài việc cung cấp các tri thức phương pháp như đã đề cập ở trên, giáo viên cần rèn luyện cho các em khả năng xem xét, diễn đạt một đối tượng bởi các cách thức khác nhau có thể.
2.3.4 Biện pháp 4.
Bồi dưỡng cho học sinh khả năng tìm nhiều cách giải, phân tích cách giải hay cho một bài toán.
2.3.4.1 Tổ chức cho học sinh phát hiện, khám phá các qui tắc thuật giải, tựa thuật giải thuật giải
Trong chương trình Toán 9, phần Đại số chiếm một nửa thời lượng. Trong đó bao gồm các nội dung cơ bản như:
- Các phép tính và các phép biến đổi căn bậc hai, căn bậc ba. - Hàm số bậc nhất
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hàm số bậc hai, giải phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Viet và ứng dụng, phương trình quy về phương trình bậc hai, Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai
Trong quá trình học các nội dung trên, học sinh được hình thành rất nhiều qui tắc hoặc trình tự thực hiện như: qui tắc thực hiện các phép tính với căn thức, ..., các bước để giải phương trình hệ phương trình, giải phương trình bậc hai, giải bài toán bằng cách lập phương trình...
Những qui tắc, trình tự thực hiện trên hầu hết là các thuật giải hoặc tựa thuật giải. Như vậy việc hình thành các thuật giải và tựa thuật giải chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8, 9. Cho nên việc tổ chức cho học sinh khám phá ra các qui tắc, trình tự thực hiện trong mỗi bài học Đại số cần
được quan tâm đúng mức, từ đó sẽ góp phần nâng cao hiệu quả và tích cực hóa hoạt động học của học sinh. Biện pháp này sẽ trình bày những vấn đề cơ bản về việc tổ chức các hoạt động khám phá có hướng dẫn trong dạy học các thuật giải và tựa thuật giải trong nội dung đại số 8, 9.
2.3.4.2 Thuật giải
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trình