Để tiện theo dõi các chương tiếp theo, phần này trình bày một số ký hiệu và định nghĩa như sau:
- Ký hiệu 𝐼𝑚×𝑛 là tập các ma trận nguyên không âm cấp 𝑚 × 𝑛.
- Với 𝐹 ∈ 𝐼𝑚×𝑛, nếu nói phần tử (𝑖, 𝑗) có nghĩa là phần tử trên hàng thứ 𝑖 và cột thứ 𝑗 (chỉ quan tâm đến vị trí), và nếu nói phần tử 𝐹𝑖,𝑗 nghĩa là phần tử trên hàng 𝑖, cột 𝑗 và có giá trị bằng 𝐹𝑖,𝑗 (quan tâm đến cả vị trí và giá trị). Hai giá trị 𝐹𝑖,𝑗, 𝐹𝑢,𝑣
khác tính chẵn lẻ được ký hiệu là 𝐹𝑖,𝑗 # 𝐹𝑢,𝑣.
Định nghĩa 1.3. Phép nhân đồng vị ⊗ hai ma trận 𝐴 ∈ 𝐼𝑚×𝑛, 𝐵 ∈ 𝐼𝑚×𝑛 ký hiệu là
𝐶 = 𝐴 ⊗ 𝐵 và được xác định theo công thức:
𝐶𝑖,𝑗 = 𝐴𝑖,𝑗 × 𝐵𝑖,𝑗 với 𝑖 = 1, … , 𝑚 và 𝑗 = 1, … , 𝑛
Định nghĩa 1.4. Phép toán 𝑆𝑈𝑀 trên ma trận 𝐴 ∈ 𝐼𝑚×𝑛 là một số nguyên, ký hiệu
𝑆𝑈𝑀(𝐴) và tính theo công thức: 𝑆𝑈𝑀(𝐴) = ∑ ∑ 𝐴𝑖,𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑚 𝑖=1
Định nghĩa 1.5. Phép toán 𝑀𝑂𝐷 trên ma trận nguyên 𝐹 ∈ 𝐼𝑚×𝑛 là ma trận nhị phân cấp 𝑚 × 𝑛 ký hiệu:
𝐶 = 𝑀𝑂𝐷(𝐹)
và được tính theo công thức:
𝐶𝑖,𝑗 = 𝐹𝑖,𝑗 𝑚𝑜𝑑 2 với 𝑖 = 1, … , 𝑚 và 𝑗 = 1, … , 𝑛
Định nghĩa 1.6. Trên ma trận 𝐹 ∈ 𝐼𝑚×𝑛, phần tử (𝑢, 𝑣) được gọi là liền kề với phần tử (𝑖, 𝑗) ký hiệu:
(𝑖, 𝑗)(𝑢, 𝑣) nếu 𝑀𝑎𝑥{|𝑢 − 𝑖|, |𝑣 − 𝑗|} = 1
Định nghĩa 1.7. Ma trận nhị phân 𝐾 ∈ 𝐼𝑚×𝑛 được gọi là ma trận liên thông nếu với mỗi cặp hai phần tử bất kỳ không kề nhau (𝑖, 𝑗) và (𝑢, 𝑣) có giá trị 𝐾𝑖,𝑗 = 𝐾𝑢,𝑣 = 1 luôn tồn tại dãy các phần tử (𝑝𝑡, 𝑞𝑡) với 𝑡 = 1, … , 𝑘 sao cho:
24
Định nghĩa 1.8. Phép ⨁ hai số nguyên không âm là phép toán 𝑥𝑜𝑟 trên từng cặp bít tương ứng của chúng.
Ví dụ 5 ⨁ 12 = 0101⨁1100 = 1001 = 9.
Định nghĩa 1.9. Với 𝐹 là ma trận nguyên không âm cấp 𝑚 × 𝑛, ký hiệu s = 𝑋𝑆𝑈𝑀(𝐹) hay ∑ 𝐹⨁ 𝑖,𝑗
𝑖,𝑗 được hiểu là phép ⨁ trên tất cả các phần tử của 𝐹. Ví dụ
𝑋𝑆𝑈𝑀 (10 1211 6 4 5
) = 10 ⨁12⨁11⨁6⨁4⨁5 = 10
Những định nghĩa này được sử dụng trong các thuật toán giấu tin trình bày ở những chương tiếp theo của luận án.