Mô hình Sommerfeld (Khí electron tự do)

🗒 Bài tập tuần LTCR Hạn @05/11/2021 → 12/11/2021 Lý thuyết Chất rắn Môn học Ngày nhận tập @05/11/2021 Phân loại Bài tập Tiến độ Hoàn thành Mail giáo viên vqtuyen@hcmus.edu.vn Column Overdue Column Column Họ tên: Phạm Thế Hiếu MSSV: 19130159 Mơ hình Sommerfeld (Khí electron tự do) Mơ hình khí Electron tự với electron hạt chủ đạo (Bỏ qua ion) khơng có tương tác hạt electron vậy, ta viết Hamiltonian hệ sau: H= He0 N N k=1 k=1 ℏ2 = −∑ ∇ = ∑ Hk 2m k (1) Phương trình Schoedinger tổng quát: HΨ = EΨ (2) ∑ Hk Ψ = EΨ (3) N k=1 Với hàm sóng Ψ hàm sóng N hạt, viết Ψ = Ψ({rl }) với {rl } = {r1 , r2 , rN } Do e không tương tác với nhau, ta tách hàm sóng tổng quát của hàm sóng hạt độc lập: N hạt thành tích N Ψ({rl }) = Ψ1 (r1 )Ψ2 (r2 )Ψ3 (r3 ) = ∏ Ψl (rl ) (4) l=1 Ta tách lượng hệ thành tổng lượng hạt electron: N E = E1 + E2 + + EN = ∑ El (5) l=1 Thế (4) vào (3), ta thấy tốn tử hàm sóng khác, nên ta được: Bài tập tuần LTCR Hk tác động lên Ψl=k mà ko tác dụng lên N N N k=1 l=1l=k  l=1 ∑ ( ∏ Ψl Hk Ψk ) = E ∏ Ψl (rl ) Ψ({rl }) = ∏N l=1 Ψl (rl ) Đồng thời (5) vào phương Chia hai vế phương trình cho trình: N k=1 N ∑( k=1 Từ (7) ta có hệ N Hk Ψk ) = ∑ El Ψk (6) Hk Ψk − Ek ) = Ψk (7) ∑( l=1 N phương trình với phương trình có dạng: ℏ2 ∇ Ψk (rk ) = Ek Ψk (rk ) 2m k 2mEk ∇2k Ψ(rk ) = − Ψk (rk ) ℏ − (8) (9) Đây phương trình Schoedinger cho hạt tự chiều, ta có dạng hàm sóng là: Ψk (rk ) = Aeikrk    Với k2 = 2mE ℏ2 (10) Vậy lượng có cơng thức: Ek = Để xác định hệ số ℏ2 k2 2m (11) A cho hàm sóng, ta sử dụng điều kiện chuẩn hóa, theo đó: ∫ ∣Ψk ∣2 dr = A2 ∫ dr = A2 ∫ dxdydz = A2 V = → A = V ⎧Ψ(x + Lx , y, z) = Ψ(x, y, z) ⎨Ψ(x, y + Ly , z) = Ψ(x, y, z) ⎩ Ψ(x, y, z + Lz ) = Ψ(x, y, z) (12) Ta viết tường minh (10): Ψk (rk ) = ikrk i(kx x+ky y+kz z) e = e V V Áp dụng phương trình thứ (12): ( Bài tập tuần LTCR ) ( ) eikx (x+L x )+ky y+kz z = ei(kx x+ky y+kz z) eikx L x = kx Lx = 2πnx 2π kx = nx Lx Tương tự cho trường hợp cịn lại, ta có kết luận: ki = 2π ni      i = 1, 2, 3 tương ứng x, y, z Li (13) Như ta xác định hamiltonian giải phương trình Schoedinger với mơ hình Sommerfeld Xác định Mật độ trạng thái(DOS) D(E), D(k) DOS chiều Mỗi trạng thái chiếm thể tích Số trạng thái (2π/L)3 mạng điểm dk là: 2L3 2V dk = dk (2π)3 (2π)3 ∫ dk = ∫ dϕ sin θdθk2 dr = ∫ k2 dr ∫ 2π dϕ ∫ π sin θdθ = ∫ 2π.2.k2 dr = ∫ 4πk2 dr → dk = 4πk2 dk Số trạng thái lớp cầu bán kính k, bề dày dk: D(k)dk = 2V 4πk2 dk (2π)3 (14) D(E)dE = D(k) dk V 2m dE = ( ) E dE dE 2π ℏ2 (15) DOS chiều Ta thấy, điểm k không gian chiếm chỗ trạng thái Số trạng thái k chiếm diện tích (2π/L)2 Mỗi điểm k dk 2L2 2S dk = dk (2π) (2π)2 ∫ dk = ∫ dθkdk = ∫ 2π dθ ∫ kdk = ∫ 2πkdk → dk = 2πkdk Số trạng thái hình vành khăn bán kính k bề dày D(k)dk = dk: 2S 2πkdk (2π)2 (16) chiều ta có: k2 = Bài tập tuần LTCR 2mE 2m → 2kdk = dE ℏ ℏ Thế vào (16) ta được: 2S S 2m π(2kdk) = dE (2π) 2π ℏ2 D(E)dE = (17) DOS chiều Tương tự ta có số trạng thái chiều dài D(k)dk = k= 2L dk 2π dk = L dk π L dk π (18) 2mE 2m 12 → dk = ( ) dE ℏ Eℏ L 2m D(E)dE = ( ) dE π Eℏ (19) Bán kính Fermi - Trạng thái Trạng thái gian N electron tong thể tích V tương ứng với k có lượng thấp nhất, điểm chiếm electron Các điểm lấp đầy hình cầu Fermi có bán kính N điểm khơng kF Ta có: N=∫ kF D(k)dk = ∫ → kF = (3π kF kF 2V V V 4πk dk = ∫ k2 dk = k (2π) π 2π F N N ) = (3π n)  với n =  laˋ mật độ hạt V V (20) Từ (11), ta có lượng Fermi: EF = ℏ2 kF2 2m (21) Từ (11), ta có lượng cho trạng thái hệ E0 = ∫ kF = ℏ2 k2 2V 4πk2 dk 2m (2π) ℏ2 V kF5 k4 dk = 2m π E.D(k)dk = ∫ kF ℏ2 V = ∫ 2mπ N hạt: ℏ2 kF2 N = NEF 2m kF (22) 3N k3 F Năng lượng trung bình hạt trạng thái nền: ϵ0 = E0 = EF N (23) Phân bố Fermi-Dirac Hệ N hạt cân nhiệt nhiệt độ T , từ Vật lý Thống kê ta có: PN (E) = Bài tập tuần LTCR e−βE N ∑n e−βEn (24) β = kB1T , Tổng thống kê Z = ∑n e−βEn , EnN lượng tương ứng với trạng thái dừng n hệ N hạt N Với Lại có, lượng tự Helmholtz F= ln Z β → ln Z = −βF → Z = e−βF → ∑ e−βEα = e−βFN (25) PN (E) = e−β(E−FN ) (26) N n Từ (24) (25), ta có: Ta xét đại lượng fiN , xác xuất có electron bậc i (i xác định vector sóng số lượng tử spin s), hệ N hạt cân nhiệt: fiN = ∑ PN (EαN ) Tổng tất trangj thái k (27) α − N electron có electron bậc i Ta viết lại cơng thức theo số trạng thái kì electron bậc i γ − N electron mà khơng có bất fiN = − ∑ PN (EγN ) Với hệ N hạt trạng thái γ ta thêm hạt trạng thái n, lượng hệ: EαN +1 = EγN + εi Với εi chênh lệch lượng trạng thái α γ → fiN = − ∑ PN (EαN +1 − εi ) Khi thêm hạt vào hệ, ta xét đến hóa vào hệ: μ= μ Hóa lượng thêm hạt ∂F  Hay viˊˆet rời rạc μ = FN +1 − FN ∂N → PN (EαN +1 − εi ) = eβ(ε i −μ) PN +1 (EαN +1 ) fiN = − eβ(ε i −μ) PN +1 (EαN +1 ) = − eβ(ε i −μ) fiN +1 Ta thấy, hệ với số hạt N lớn, ta thêm hạt không làm thay đổi nhiều đến fiN +1 fiN , đó: phân bố xác suất vậy, thay fiN = eβ(ε i −μ) + (28) Hàm phân bố Fermi-Dirac f(E, μ, T ) = e (E−μ) kB T +1 (29) Ta có: Bài tập tuần LTCR Etotal = ∫ ED(E)f(E, μ, T )dE =∫ ∞ E V 2m 12 ( ) E f(E, μ, T )dE 2π ℏ2 N = ∫ D(E)f(E, μ, T )dE =∫ Tại giới hạn ∞ V 2m ( ) E f(E, μ, T )dE 2π ℏ2 T = 0K, f(E, μ, T ) hàm bậc thang vớt bước nhảy EF μ(T → 0) → EF Sommerfeld expansion I(T ) = ∫ → I(T ) = ∫ μ −∞ ∞ −∞ g(E)f(E, μ, T )dE (30) ∞ g(E)dE + ∑ αn (kB T )2n g(2n−1) (μ) (31) π2 (kB T )2 D(EF ) +      (???) (32) n=1 → ϵ(T ) = ϵ0 + Nhiệt dung riêng: cv (T ) = ( ∂ϵ(T ) π2 π kB T ) = kB T D(EF ) = nkB ∂T V EF Khí electron tự trường điện từ Ta có Hamiltonian thay đổi: H= eℏ (p + eA)2 + σB      Với B = μ0 H 2m 2m Nếu hướng trường dọc theo trục (33) z , B = (0, 0, B) vector A = (0, Bx, 0) σ ma trận Pauli Đặt toán tử π = p + eA = (px , py + eBx, pz ) [πx , πy ] = [px , py ] + eB[px , x] = −iℏeB   [πz , πx ] = [πy , πz ] = → π × π = −iℏeB (34) Viết lại Hamiltonian: H= Với πz = ℏkz μB = eℏ ℏ2 kz2 π + σB = (πx2 + πy2 ) + + μB σz B 2m 2m 2m 2m eℏ 2m Ta viết lại cách sử dụng toán tử πx = Với l= ℏ eB (35) a, a† (tương tự Cơ lượng tử 1!!! a− , a+ ) ℏ iℏ † (a† + a)     πy = − (a − a) 2l 2l [a, a† ] = Ta viết lại Hamiltonian: 2 Bài tập tuần LTCR ℏ2 kz2 H = ℏωc (a† a + ) + + μB σz B 2m Với ωc = (36) eB m Thế vào phương trình Schoedinger, ta có trị riêng lượng: ℏ2 kz2 g ϵ(n, kz , ±) = ℏωc (n + ) + ± μB B 2m (37) Số hạng thứ Mức lượng giao động tử cylotron(???) Số hạng thứu hai thành phần chuyển động song song với trường Số hạng thứ ba phân tách spin với tham số g electron tự hωc = ϵ(n + 1, kz , ±) − ϵ(n, kz ±) Ta xét lại Hamiltonian: (p + (py + eBx)2 + p2z ) + μB σz B 2m x p2 ℏky ℏ2 kz2 = x + mωc2 (x − ) + + μB σz B 2m mωc 2m H= x0 < x0 = Mà, ky = ℏky < Lx mωc 2πmy Ly → < ny < Lại có Lx Ly eB 2πℏ Lx Ly eB từ thông Φ qua diện tích Lx Ly , nên ta viết lại: Lx Ly Φ eB = ,    Φ0 = h/e 2πℏ Φ0 Lz Φ eB 2Lz Φ eB → = → = Lx Ly Lz Φ0 2πℏ 2πΦ0 2π ℏ Khi ta xét chiều, ta có, số trạng thái D(E, B)dE = dkz là: eB dkz eB m dE = dE 2π ℏ dE 2π ℏ ℏ2 kz (38) ℏ2 kz2 g ωc m E = ϵ(n, kz , ±) = ℏωc (n + ) + ± μB 2m e1 σ 2m → kz = ∑ [E − ℏωc (n + + )] ( ) 2 ℏ n,σ=±1 → D(E, B) = V ℏωc 2m E σ −2 ( ) ∑ [ − (n + + )] 8π ℏ2 ℏωc 2 (39) n,σ=±1 Tổng kết: Do chưa phân phối thời gian hợp lý dẫn đến tập hoàn thành trễ Cịn số nội dung chưa hồn thành vài điểm chưa hiểu rõ nội dung Bài tập tuần LTCR Khả đọc tiếng Anh hạn chế dẫn đến tốn nhiều thười gian việc tham khảo tài liệu Em cố gắng cải thiện hạn chế tập đồng thời tiếp tục tham khảo thêm để hiểu phần cịn chưa hồn thiện tập Bài tập tuần LTCR ... fiN = ∑ PN (EαN ) Tổng tất trangj thái k (27) α − N electron có electron bậc i Ta viết lại cơng thức theo số trạng thái kì electron bậc i γ − N electron mà khơng có bất fiN = − ∑ PN (EγN ) Với hệ... nx Lx Tương tự cho trường hợp cịn lại, ta có kết luận: ki = 2π ni      i = 1, 2, 3 tương ứng x, y, z Li (13) Như ta xác định hamiltonian giải phương trình Schoedinger với mơ hình Sommerfeld Xác... thái gian N electron tong thể tích V tương ứng với k có lượng thấp nhất, điểm chiếm electron Các điểm lấp đầy hình cầu Fermi có bán kính N điểm khơng kF Ta có: N=∫ kF D(k)dk = ∫ → kF = (3π kF kF