Bài thi Giữa kỳ Lý thuyết Nhóm Mã học phần: PHY10503 Họ tên: Phạm Thế Hiếu MSSV: 19130159 Ngày 15 tháng 11 năm 2021 Cho ma trận R = 0 −1 0 0 0 (1) Chứng minh quy nạp R2j = (−1)j 0 0 0 0 (j = 1, 2, ) (2) Với j = ta có: R2 = RR = 0 0 −1 0 0 0 R2 = (−1)1 0 −1 −1 = 0 0 0 0 0 −1 0 (3) Như ta thấy, với j = 1, thỏa mãn (2) Giả sử (2) với j với j + 1, ta xét: R2(j+1) = R2j+2 = R2j R2 = 0 = (−1)j 0 0 (−1)1 0 0 0 = (−1)j+1 0 0 0 0 Như (2) với j + 1, (2) với j 0 (4) Suy R2j+1 = (−1)j R (j Ta có: R2j+1 = R2j R = (−1)j 0 = 1, 2, ) 0 0 0 0 1 0 −1 0 = (−1)j 0 → R2j+1 = (−1)j R 0 −1 0 (5) Tính ma trận: exp(θR) (θ tham số thực) Khai triển Taylor hàm Exponential, ta được: ∞ exp(θR) = j=0 (θR)j = j! ∞ ∞ (θR)2j (θR)2j+1 + (2j)! (2j + 1)! j=0 j=0 (6) Xét tổng thứ nhất: (θR)2j ∞ j=0 2j 0 0 (−1)j 2j 0 θ (2j)! 0 = θ2j (−1)j 0 (θR) = (2j)! ∞ j=0 (7) 0 (8) ∞ Mà cos x = ∞ → j=0 (θR)2j = cos θ 0 (2j)! (−1)j 2j x (2j)! j=0 0 cos θ 0 = 0 0 0 cos θ (9) Xét tổng thứ hai: (θR)2j+1 = θ2j+1 (−1)j R ∞ j=0 (θR)2j+1 = (2j + 1)! ∞ j=0 ∞ (−1)j 2j+1 θ R (2j + 1)! (−1)j 2j+1 x (2j + 1)! j=1 0 − sin θ 2j+1 (θR) 0 = sin θR = (2j + 1)! sin θ 0 (10) (11) Mà sin x = ∞ j=0 (12) ∞ ∞ (θR)2j (θR)2j+1 + (2j)! (2j + 1)! j=0 j=0 cos θ 0 0 + = 0 cos θ sin θ cos θ − sin θ 0 = sin θ cos θ exp(θR) = − sin θ 0 0 (13)