CÁC CÔNG THỨC GIỚI HẠN CƠ BẢN lim sin x =1 x lim tan x arcsin x = lim =1 x→ x x x x→ x0 x→ x0 ln ( + x ) =1 x→ x0 x lim x 1 lim 1 + ÷ = e x→±∞ x x lim ( + x ) = e x→0 ex −1 lim =1 x →0 x CÁC VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG 1.sin u ~ u; arcsin u ~ u 2.tan u ~ u 3.ln ( + u ) ~ u 4.eu − ~ u u n u2 6.1 − cos u ~ n + u − ~ 7.( + u ) − ~ au a ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN α α −n n f ( x ) = ( ax + b ) , f ( ) ( x ) = α ( α − 1) α − ( n − 1) ( ax + b ) f ( x) = Đặc biệt: f ( x ) = e ax , f ( n) n! n n ⇒ f ( ) ( x ) = ( −1) n +1 x+a ( x + a) ( x ) = a n eax f ( x ) = ln ( ax + b ) , f ( n) ( x ) = ( −1) f ( x ) = sin ax, f ( n) a n ( n − 1) ! ( ax + b ) ( x ) = a n sin ax + n f ( x ) = cos ax, f ( n −1 n) π ÷ 2 ( x ) = a n cos ax + n n π ÷ 2 CÔNG THỨC MACLAURIN CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP x2 xn f ( x ) = e = + x + + + + ( x n ) 2! n! x x3 x5 x n+1 n f ( x ) = sin x = x − + − + ( −1) + ( x n+1 ) 3! 5! ( 2n + 1) ! x2 x4 x2n n −1 f ( x ) = cos x = − + + + ( −1) + ( x n +1 ) 2! 4! ( 2n ) ! f ( x) = = + x + x + x + + x n + ( x n ) 1− x f ( x) = n = − x + x − x + + ( −1) x n + ( x n ) x +1 −1) x n ( x2 x3 x f ( x ) = ln ( + x ) = x − + − + + + ( xn ) n n −1 f ( x) = (1+ x) α α ( α − 1) x α ( α − 1) ( α − n + 1) x n = 1+ α x + + + + ( xn ) 2! n! CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN α ∫ x dx = ∫ α +1 x + C , α ≠ −1 α +1 dx = ln x + C x ax a =e x x ∫ a dx = ln a + C → ∫ e dx = e + C x ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C dx ∫ cos x = tan x + C dx ∫ sin x = − cot x + C ∫x dx x = arctan + C +a a a ∫ 10 11 12 13 14 15 ∫a dx a2 − x2 = arcsin x +C a dx a+x = ln +C −x 2a a−x dx ∫ x + a = ln x + x + a + C ∫ x a x + adx = x + a + ln x + x + a + C 2 ∫ x a2 x 2 a − x dx = a − x + arcsin + C 2 a 2 dx x = ln tan +C ∫ sin x dx x π = ln tan + ÷+C ∫ cos x 2 4 ... + + ( xn ) n n ? ?1 f ( x) = (1+ x) α α ( α − 1) x α ( α − 1) ( α − n + 1) x n = 1+ α x + + + + ( xn ) 2! n! CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN α ∫ x dx = ∫ α +1 x + C , α ≠ ? ?1 α +1 dx = ln x + C... 2 CƠNG THỨC MACLAURIN CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP x2 xn f ( x ) = e = + x + + + + ( x n ) 2! n! x x3 x5 x n +1 n f ( x ) = sin x = x − + − + ( ? ?1) + ( x n +1 ) 3! 5! ( 2n + 1) ! x2 x4 x2n n ? ?1 f (... sin x + C dx ∫ cos x = tan x + C dx ∫ sin x = − cot x + C ∫x dx x = arctan + C +a a a ∫ 10 11 12 13 14 15 ∫a dx a2 − x2 = arcsin x +C a dx a+x = ln +C −x 2a a−x dx ∫ x + a = ln x + x + a + C