CHNG 1 h THC LNG

CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG 1.1 Tỉ số đơn – Tỉ số kép 1.1.1 Trục số - Độ dài đại số - Tọa độ điểm Định nghĩa Trục tọa độ đường thẳng d, có chọn điểm gốc O vectơ đơn vị e Ký hiệu : d - Chiều dương trục chiều vectơ e Chiều âm trục chiều ngược lại Định nghĩa Cho vectơ AB phương với vectơ đơn vị e trục d Độ dài đại số vectơ AB trục d AB  AB  AB  AB.e e Chú ý: AB số thực AB  AB AB hướng với vectơ e AB  AB AB ngược hướng với vectơ e Định nghĩa Cho điểm M trục d, tọa độ điểm M trục d x M  OM Ký hiệu: M(x M ) Hệ thức Saclơ - Cho điểm A, B, C d Ta có: AC  AB  BC hay BC  AC  AB Cho n điểm A1 ,A2 ,A3 , ,An trục d, ta có A1An  A1A2  A2A3   An 1A n - Cho AB d: AB  x B  x A Ví dụ 1: Cho điểm A(5),B(2),C(4)  d Tìm tọa độ điểm M d biết MA  MB  MC  Ví dụ 2: Cho điểm A, B, C, D trục d Chứng minh rằng: a) ABCD  ACDB  ADBC  b) DA BC  DB2 CA  DC2 AB  BCCAAB  1.1.2 Tỉ số đơn Định nghĩa Cho ba điểm thứ tự A, B, C trục d, ta gọi tỉ số ba điểm thẳng hàng cho Ký hiệu : (ABC)  CA tỉ số đơn CB CA CB Ví dụ 1: Cho ba điểm A(1),B(5),C(2)  d Tính (ABC),(ACB),(BCA) Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng có (ABC)  k Hãy tính (ACB), (BCA), (BAC), (CAB), (CBA) theo k Nhận xét: - Nếu (ABC)  C nằm A, B - Nếu (ABC)  C nằm ngồi đoạn AB 1.1.3 Tỉ số kép 1.1.3.1 Định nghĩa Cho bốn điểm thứ tự A,B, C, D phân biệt nằm trục số (ABC) Ta gọi tỉ số tỉ số kép bốn điểm thẳng hàng cho Ký hiệu: (ABD) (ABC) (ABCD)  (ABD) hay (ABCD)  CA DA : CB DB 1.1.3.2 Các tính chất tỉ số kép Dựa vào định nghĩa ta chứng minh tính chất sau tỉ số kép a) Tỉ số kép bốn điểm không đổi - Hoán vị cặp điểm đầu với cặp điểm cuối, nghĩa (ABCD) = (CDAB) - Hoán vị đồng thời hai điểm đầu hai điểm cuối, nghĩa (ABCD) = (BADC) - Viết chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa (ABCD) = (DCBA) b) Tỉ số kép bốn điểm thay đổi - Hoán vị hai điểm đầu hai điểm cuối tỉ số kép bốn điểm trở thành số đảo ngược nó, nghĩa (BACD)  (ABDC)  (ABCD) - Hoán vị hai điểm điểm đầu điểm cuối tỉ số kép bốn điểm trở thành phần bù 1, nghĩa (ACBD)  (DBCA)   (ABCD) 1.2 Hàng điểm điều hòa Định nghĩa Cho hàng điểm A,B,C,D nằm trục số Nếu (ABCD) = - ta nói bốn điểm A,B,C,D lập thành hàng điểm điều hịa Khi CA DA  nghĩa điểm C,D chia đoạn AB theo tỉ số đối CB DB AC BC  nghĩa điểm A,B chia đoạn CD theo tỉ số đối AD BD Dựa vào biểu thức ta nhận thấy vai trị bình đẳng A,B C,D 1.2.1 Biểu thức tọa độ hàng điểm điều hòa Cho bốn điểm A,B,C,D nằm trục số Giả sử OA  a,OB  b,OC  c,OD  d CA DA  CB DB a c a d   bc bd  (a  c)(b  d)  (a  d)(b  c)  2(ab  cd)  (a  b)(c d) (ABCD)  1  a) (1) b) Nếu chọn O  A a = hệ thức (1) trở thành 1   b c d 1 hay (ABCD)  1    AB AC AD 2cd  bc  bd  (Hệ thức Đề - Các) c) Gọi I trung điểm AB, chọn O  I b = -a Khi đó, (1) trở thành 2(a  cd)   a  cd Vậy (ABCD)  1  IA2  ICID , với I trung điểm AB ( Hệ thức Newton ) 1.2.2 Một số ví dụ hàng điểm điều hịa Ví dụ 1: Cho bốn điểm A,B,C,D hàng điểm điều hòa, I trung điểm CD CA k CB a) Tính IC IB b) Chứng minh Giải IA  k2 IB a) (ABCD)  1  IC2  IAIB  IC IA IA  IC CA     k IB IC IC  IB CB IA  k2 IB b) Ta có IC2  IAIB  IC2 IA IA    (k)2  k 2 IB IB IB Ví dụ 2: Cho trục số hai điểm A(1),B(3) Các nghiệm x1 , x phương trình x  mx  2m   có hiển thị hai điểm M1 , M phân biệt trục số Hãy chứng tỏ bốn điểm A,B, M1 , M lập thành hàng điểm điều hịa tìm điều kiện để có hai điểm M1 , M 1.3 Chùm điều hòa 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa Chùm đường thẳng tập hợp gồm tất đường thẳng mặt phẳng qua điểm điểm gọi tâm chùm Định lý Một chùm bốn đường thẳng cắt cát tuyến thay đổi theo hàng điểm có tỉ số kép không đổi Chứng minh: O D N N' D' d B C A k B' M C' b A' l M' c a Giả sử bốn đường thẳng a,b,c,d chùm tâm O cắt hai cát tuyến k l không qua tâm O theo hàng điểm A,B,C,D A',B',C',D tương ứng Ta cần chứng minh (ABCD)  (ABCD) Qua điểm B dựng đường thẳng MBN song song với đường thẳng a cắt c d M N Ta có Chia vế hai đẳng thức ta có CA DA NB :  CB DB MB NB  (ABCD)  MB Tương tự, qua điểm B’ đụng đường thẳng B’M’N’ song song với a cắt c d M’ N’ Ta có (ABCD)  Vì BN / /B'N' nên NB MB NB NB  MB MB Vậy (ABCD)  (ABCD) Định nghĩa Tỉ số kép khơng đổi nói gọi tỉ số kép chùm đường thẳng a,b,c,d ký hiệu (abcd) Ta có (abcd) = (ABCD) Định nghĩa Cho chùm bốn đường thẳng a,b,c,d Nếu (abcd) = -1 ta nói chùm cho chùm điều hịa Khi đó, cặp đường thẳng a,b chia điều hòa cặp đường thẳng c,d a,b c,d hai cặp đường thẳng liên hợp điều hịa với 1.3.2 Một số ví dụ chùm điều hịa Ví dụ 1: Chứng minh điều kiện cần đủ để bốn đường thẳng đồng quy lập thành chùm điều hịa có đường thẳng song song với bốn đường bị chia thành hai đoạn thẳng Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng cắt a,b, gọi c,d hai đường phân giác góc tạo a b Khi đó, (abcd)  1 1.4 Một số định lý hình học cổ điển Định nghĩa 10 Cho hai điểm A,B phân biệt số thực k  Ta nói điểm M MA k chia đoạn AB theo tỉ số k điểm M nằm đường thẳng AB MB Chú ý: Với k  ta có điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Khi đó, ta k có AM  AB k  điều khơng chấp nhận Như vậy, khơng có điểm k 1 chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  A  B 1.4.1 Định lý Menelaus Cho tam giác ABC điểm A',B',C' thuộc đường thẳng BC,CA,AB Điều kiện cần đủ ba điểm A',B',C' thẳng hàng AB BC CA 1 AC BA CB (1) Chứng minh ) Giả sử ba điểm A',B',C' thuộc đường thẳng d Từ ba đỉnh A,B,C kẻ ba đường thẳng song song với tùy ý cắt đường thẳng d A1 ,B1 ,C1 Ta có AB BB1 BC CC1 CA AA1  ,  ,  AC CC1 BA AA1 CB BB1 Nhân ba đẳng thức vế theo vế, ta AB BC CA BB1 CC1 AA1  1 AC BA CB CC1 AA1 BB1 ) Giả sử với tam giác ABC ta có hệ thức (1) Ta chứng minh đường thẳng B’C’ cắt BC Thật vậy, B’C’//BC, ta có A C' B BC CB BC CA   1 BA CA BA CB B' C So sánh với đẳng thức (1) ta suy AB 1 AC Điều có nghĩa điểm A’ chia đoạn BC theo tỉ số k  điều Vậy đường thẳng B’C’ cắt BC Gọi {A}=BC  BC Vì A,B',C' thẳng hàng nên theo () ta có AB BC CA 1 AC BA CB So sánh hệ thức với (1) ta suy AB AB  , tức A  A AC AC Vậy A',B',C' thẳng hàng Ví dụ 1: Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy, chân đường phân giác góc kề đáy chân đường phân giác ngồi góc kề đáy cịn lại ba điểm thẳng hàng Ví dụ 2: Chứng minh tam giác, chân đường phân giác hai góc chân đường phân giác ngồi góc thứ ba ba điểm thẳng hàng 1.4.2 Định lý Ceva Cho tam giác ABC điểm A',B',C' thuộc đường thẳng BC,CA,AB Điều kiện cần đủ để đường thẳng AA',BB',CC' đồng quy AB BC CA  1 AC BA CB (2) Chứng minh: A B' C' B I A' C ) Giả sử AA',BB',CC' đồng quy I Áp dụng định lý Menelaus cho AAB ba điểm thẳng hàng I,C,C' IA CA CB 1 IA CB CA Áp dụng định lý Menelaus cho AAC ba điểm thẳng hàng I,B,B' IA BA BC 1 IA BC BA Nhân đẳng thức vế theo vế rút gọn, ta AB BC CA  1 AC BA CB ) Giả sử với tam giác ABC ta có hệ thức (2) Ta chứng minh đường thẳng AA',BB',CC' đồng quy Giả sử BB' CC'  {M} Khi AM phải cắt BC AM//BC BC BC CA AM  ,  BA MA CB BC Nhân hai đẳng thức vế theo vế, ta có BC CA BC AM   1 BA CB MA BC BC CA   1 BA CB So sánh với đẳng thức (2) ta suy AB  1 (vô lý) AC Vậy đường thẳng AM cắt BC A1 nên theo () ta có A1B BC CA  1 A1C BA CB So sánh hệ thức với (2) ta suy AB A1B , tức A1  A  AC A1C Vậy AA',BB',CC' đồng quy Ví dụ 1: Chứng minh ba đường phân giác tam giác đồng quy điểm Ví dụ 2: Chứng minh ba đường trung tuyến tam giác đồng quy 1.4.3 Định lý Stewart Trên đường thẳng d, cho ba điểm A,B,C Điểm M nằm ngồi d ta có MA2 BC  MB2 CA  MC2 AB  BC.CA.AB  M m B A C Ví dụ 1: Tính độ dài đường phân giác tam giác Giải: A la B m D n C Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Tính độ dài đường phân giác AD Theo định lý Stewart, ta có AB2 DC  AD2 CB  AC2 BD  DC.CB.BD  Chọn hướng BC hình vẽ, ta có c2 n  la (a)  b2m  n(a)m  Mặt khác, theo tính chất đường phân giác tam giác AB DA c m    AC DC b n c m cb mn a ab     n b n b n n bc c m c m m ac      m b n bc mn a bc  Thay vào biểu thức ta có ab ac ab ac  la a  b  a 0 bc bc bc bc c b  b 2c a bc  la   bc (b  c) c2  la  bc[(b  c)2  a ] bc Tương tự ac[(a  c)  b ] ac lc  ab[(a  b)  c ] ab lb  Ví dụ 2: Tính độ dài đường trung tuyến tam giác BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng với AB  BC  CD Hãy tính tỉ số kép (ABCD) Bài 2: Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng Chứng minh rằng: a) (ABCD)  (ACBD)  b) (ABCD)  (DBCA)  Bài 3: Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng Chứng minh rằng: a) AC  BD  AD  BC b) Nếu (ABCD)  1 1 1    0 AC AD BC BD c) Chiều ngược lại b) có xảy khơng? Bài 4: Cho điểm A cố định đường thẳng d cố định không qua A Gọi O hình chiếu vng góc A d I trung điểm đoạn AO Trên đường thẳng d ta lấy hai điểm thay đổi P Q không trùng với O dựng đường thẳng Px Qy vng góc với d Đường thẳng QI cắt AP Px M N Đường thẳng PI cắt AQ Qy M’ N’ Chứng minh (QMIN)  1,(PM'IN')  1 Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, qua A vẽ đường thẳng d Gọi E,F,G giao điểm d với cạnh BD,CD,BC Chứng minh 1   AE AF AG Bài 6: Một đường thẳng cắt cạnh BC,CA,AB tam giác ABC hay phần kéo dài cạnh A1 ,B1 ,C1 Gọi A2 ,B2 ,C2 điểm đối xứng A1 ,B1 ,C1 qua trung điểm cạnh BC,CA,AB Chứng minh ba điểm A2 ,B2 ,C2 thẳng hàng x1 (x , , x n ) f2 ( (x , , x n ), x , , x n ) f m ( (x , , x n ), x , , x n ) Định lí sở để giải hệ phương trình n ẩn số phương pháp khử ẩn phép Ví dụ: Giải hệ phương trình y  x   2  x  y  4x  Giải: y  x  y  x   y  x  x        2 2x  x  y  4x  x  (x  1)  4x   y    x  Vậy nghiệm hệ  y  Định lí Giả sử k ij  ,k ij  Khi hai hệ phương trình sau tương đương f1  f1  f  k f  k f  2  22   12    f m  k1m f1  k 2m f   k mm f m  Định lí phương pháp giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Ví dụ: Giải hệ phương trình 2  f1  x  y  3y    2  f  x  y  y   Giải: 2 2 2   f1  x  y  3y   f1  x  y  3y   f1  x  y  3y      2    y  2 f1  f  2y   f  x  y  y   x    y  2    x  1    y  2 2.3 Hệ phương trình tuyến tính 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa Hệ m phương trình tuyến tính (hay bậc nhất) n ẩn số (x1 ,x2 , ,x n ) hệ phương trình có dạng a11x1  a12 x   a1n x n  b1 a x  a x   a x  b  21 22 2n n   a m1x1  a m2 x   a mn x n  b m (I) a ij ,bi  ;i  1,2, ,m; j  1,2, ,n Ta có ma trận hệ số A ma trận hệ số mở rộng B hệ phương trình (I)  a11 a12 a a 22 A   21   a m1 a m2 a1n   a11 a12  a a 2n  a 22 , B   21     a mn  a m1 a m2 a1n b1  a 2n b    a mn b m  Định nghĩa Các phép biến đổi tương đương sau hệ phương trình tuyến tính gọi phép biến đổi sơ cấp - Đổi chỗ hai phương trình hệ cho - Nhân hai vế phương trình với số khác khơng - Cộng phương trình với phương trình khác (sau nhân với số khác 0) vế theo vế 2.3.2 Các dạng đặc biệt hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Cho hệ phương trình tuyến tính (I) Nếu b1  b2   bm  hệ phương trình (I) trở thành a11x1  a12 x   a1n x n  a x  a x   a x   21 22 2n n   a m1x1  a m2 x   a mn x n  , a ij  ;i  1,2, ,m; j  1,2, ,n gọi hệ phương trình tuyến tính Nếu A ma trận vng (m  n) có phần tử a ii  , phần tử a ij  với j  i A gọi ma trận tam giác hệ phương trình (I) trở thành hệ tam giác a11 a12 0 a 22 A   0 a1n  a11x1  a12 x   a1n x n  a 2n  0x1  a 22 x   a 2n x n  ,     a nn  0x1  0x   a nn x n  Nếu m  n mà a ij  với j  i B gọi ma trận hình thang hệ phương trình (I) gọi hệ hình thang 2.3.3 Cách giải hệ phương trình tuyến tính 2.3.3.1 Giải hệ tam giác a11x1  a12 x   a1n x n  b1  a 22 x   a 2n x n  b     a nn x n  b n Giải hệ cách ẩn liên tiếp từ lên x n ,x n 1, ,x1 ta nghiệm hệ phương trình Ví dụ: Giải hệ phương trình 2x1  x  x     x  x3    7x   Giải: 2x1  x  x  2x1  x  x  2x1  x  x   x1      x2   x    x  x3     x  x3      x  1  x  1  7x  x  1    Vậy hệ phương trình có nghiệm (1,2, 1) 2.3.3.2 Giải hệ hình thang a11x1  a12 x   a1n x n  b1  a 22 x   a 2n x n  b     a ss x s   a sn x n  bs s  n ( số phương trình nhỏ số ẩn), a ii  0,i  1,2, ,s Ta chuyển số hạng chứa x s1 , ,x n sang vế phải a11x1  a12 x   a1s x s  b1  a1(s 1) x s 1   a1n x n  a 22 x   a 2s x s  b  a 2(s 1) x s 1   a 2n x n     a ss x s  bs  a s(s1) x s1   a sn x n  Gán cho ẩn x s1 , ,x n giá trị tùy ý xs1  s1 , ,x n  n Ta hệ tam giác Giải hệ tam giác ta xác định x1  1 ,x  2 , ,xs  s Khi (1, 2 , , s1 , , n ) nghiệm hệ phương trình Vì lấy tùy ý giá trị s1 , , n nên hệ phương trình có vô số nghiệm Ta gọi ẩn x s1 , ,x n ẩn tự do, ẩn x1,x , ,x s ẩn Ví dụ : Giải hệ phương trình  x1  2x  4x  6x    2x  x  x   Giải: x1  2x  4x  6x  x1  2x   4x  6x    2x  x  x    2x   x  x  Gán cho ẩn x  ,x   ta  x   5  5  x1  2x   4  6    1   2x       x  1     1 Vậy nghiệm hệ cho (3  5  5, 1    , , ) , ,  hai số 2 tùy ý 2.3.3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát phương pháp Gauss Sử dụng phép biến đổi sơ cấp ta đưa hệ phương trình tuyến tính tổng qt hệ tam giác hệ hình thang Ta nhận thấy việc biến đổi tương đương hệ phương trình tuyến tính thực chất biến đổi số ma trận mở rộng Vì vậy, ta cần viết q trình biến đổi ma trận hệ số mở rộng Ví dụ : Giải hệ phương trình  x1  2x  5x  x   2x1  3x  7x  3x   3x1  8x  11x  3x  2  x1  5x  4x  2x  10 Giải: Ta có ma trận hệ số mở rộng  5 1  1  2 3  0    11 3 2  0    10  0  1  1 5 0 3    0 10 16 17     0 0 5 1  1 3  0  6 5 0   1 11  0 0 5 1  3  10 16 17   20 32 31 Hệ có phương trình vơ nghiệm nên hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ : Giải hệ phương trình  x1  2x  2x  x   4x1  x  10x  5x  2x  3x  7x  2x   Giải : Ta có ma trận hệ số mở rộng  2  1 2  1 2   4 1 10 5  0 1  0 1        2 2  0  0 1  Hệ phương trình nhận có dạng  x1  2x  2x  x  x1  2x  2x   x   7x  2x  x    7x  2x  x    x3  x  x3  x   Gán cho x  t , ta x   t, x  27 , x1   t 7t Vậy nghiệm hệ cho  27    t, ,  t, t   7t  t số thực tùy ý Nhận xét : Hệ phương trình có nghiệm (0,0, ,0) gọi nghiệm tầm thường 2.4 Ứng dụng phương trình, hệ phương trình giảng dạy tốn Tiểu học Nhiều tốn Tiểu học giải cách lập phương trình hệ phương trình, việc giải giúp định hướng suy trực tiếp cách giải tốn Tiểu học Ví dụ 1: lọ mực đỏ lọ mực xanh giá 2300 đồng lọ mực đỏ lọ mực xanh giá 2200 đồng Tính giá tiền lọ mực loại Giải toán cách lập hệ phương trình Gọi x giá tiền lọ mực đỏ, y giá tiền lọ mực xanh (điều kiện x>0, y>0) Theo giả thiết ta có hệ phương trình 3x  2y  2300(1) 6x  4y  4600   2x  3y  2200(2) 6x  9y  6600 6x  4y  4600  x  500   5y  2000   y  400 Nhận xét: Nhân hai vế phương trình (1) với tương đương với giả thiết số tiền mua lọ mực đỏ lọ mực xanh 4600 đồng Nhân hai vế phương trình (2) cho tương đương với giả thiết số tiền mua lọ mực đỏ lọ mực xanh 6600 đồng Vì giải toán cách dùng giả thiết tạm Giải toán cách giải Tiểu học Số tiền mua lọ mực đỏ lọ mực xanh là: 2300 x = 4600 đồng Số tiền mua lọ mực đỏ lọ mực xanh là: 2200 x = 6600 đồng Số tiền mua – = lọ mực xanh là: 6600 – 4600 = 2000 đồng Giá tiền lọ mực xanh là: 2000 : = 400 đồng Giá tiền mua lọ mực đỏ là: 2300 – x 400 = 1500 đồng Giá tiền lọ mực đỏ là: 1500 : = 500 đồng Ví dụ 2: Có 18 tô gồm loại: loại bánh chở tấn, loại bánh chở tấn, loại bánh chở Các xe có tất 106 bánh chở 101 Hỏi loại có xe? Giải toán cách lập hệ phương trình Gọi x số xe bánh, y số xe bánh, z số xe bánh Điều kiện x, y, z số tự nhiên khác ( x,y,z < 18 ) Theo giả thiết ta có hệ phương trình (1)  x  y  z  18 5x  6y  6z  101   4x  6y  8z  106 (2)  4x  6y  8z  106 5x  6y  6z  101 (3) 6x  6y  6z  108   5x  6y  6z  101   4x  6y  8z  106 x 7  x  x  x       y  z  11   y  z  11   y  6y  8z  78 2z  12 z     Nhận xét : Nhân phương trình (1) với trừ vế theo vế với phương trình (3) để nhận kết x = Điều có nghĩa ta giả thiết xe chở nên số hàng chở thêm Như có xe loại bánh chở Nhân hai vế phương trình y + z = 11 với tương đương với giả thiết 11 xe cịn lại xe có bánh Khi số bánh xe thừa 12 bánh Từ suy số xe bánh Vì giải tốn phương pháp giả thiết tạm Tiểu học Cách giải tiểu học Nếu 18 xe, xe chở số hàng chở 18 x = 108 Số hàng dư 108 – 101 = Dư xe loại bánh chở thêm Do đó, xe loại bánh xe Số xe loại bánh bánh 18 – = 11xe Số bánh hai loại xe 106 – x = 78 bánh Nếu 11 xe xe có bánh số bánh xe 11 x = 66 bánh Như số bánh xe hụt 78 – 66 = 12 bánh Số bánh hụt xe bánh lấy bánh Vậy số xe bánh 12 : = xe Số xe loại bánh 11 – = xe Ta giải theo cách khác  x  y  z  18  4x  6y  8z  106 5x  6y  6z  101   x  y  z  18   2x  2z  x 7  z    y  x   Khi ta có cách giải Tiểu học sau Giả sử xe chở số hàng dư 18 x – 101 = Dư loại xe bánh chở thêm tấn, có xe loại bánh Giả sử xe có bánh số bánh xe nhiều lên 18 x – 106 = bánh Dó số xe loại bánh nhiều số xe loại bánh xe Vậy số xe loại bánh – = xe Số xe loại bánh 18 – ( + ) = xe Ví dụ : Một trăm trâu, trăm bó cỏ Trâu đứng ăn 5, trâu nằm ăn 3, lụ khụ trâu già bó Hỏi có trâu đứng, trâu nằm, trâu già ? Giải tốn cách lập hệ phương trình Đặt x, y, z số trâu đứng, số trâu nằm , số trâu già Điều kiện x, y, z số nguyên dương nhỏ 100 Theo giả thiết ta có hệ phương trình  x  y  z  100  x  y  z  100  x  y  100  z     5x  3y  z  100 15x  9y  z  300 15x  9y  300  z Gán cho z giá trị tùy ý t ta có nghiệm hệ  x   100  t     y  200  t  z  t   Chọn t thích hợp để x, y, z nghiệm tốn Vì x, y số nguyên dương nên 200  29 t  3k,k   25  k  Thử chọn k  26  x  4, y  18,z  78 k  27  x  8, y  11,z  81 k  28  x  12, y  4,z  84 Cả ba trường hợp thỏa mãn, tốn có đáp án 1) Trâu đứng 4, trâu nằm 18, trâu già 78 2) Trâu đứng 8, trâu nằm 11, trâu già 81 3) Trâu đứng 12, trâu nằm 4, trâu già 84 Cách giải Tiểu học Nếu số bó cỏ trâu già ăn k bó số trâu già 3k, cịn số trâu đứng trâu nằm 100  3k Nếu trâu đứng trâu nằm ăn bó cỏ 3(100  3k) nhỏ 100  k Suy k  25 Nếu trâu đứng trâu nằm ăn bó cỏ 5(100  3k) nhỏ 100  k Suy k  29 Vậy số trâu già 78, 81 84 Nếu số trâu già 78 số trâu đứng trâu nằm 100  78  22 ăn 100  (78: 3)  74 bó cỏ Nếu trâu đứng trâu nằm ăn bó cỏ, nghĩa trâu nằm ăn thêm bó cỏ số cỏ phải thêm 5 22  74  36 bó Do đó, số trâu nằm 36 : = 18 Số trâu đứng 22 – 18 = Lập luận tương tự cho hai trường hợp lại ta nhận ba đáp án cách giải hệ phương trình Ví dụ : Khi cộng số thập phân với số tự nhiên, sơ suất học sinh cộng thành dấu trừ nên kết 219,3 Tìm hai số biết kết 38,43 Giải tốn cách lập hệ phương trình Gọi số thập phân x, số tự nhiên y, ta có  x  y  38,43  x  y  38,43 x  23,43    10x  y  219,3 11x  257,73    y  15 Vậy số thập phân 23,43 Số tự nhiên 15 Nhận xét : Qua cách giải tốn cách lập hệ phương trình ta thấy tổng số 219,3 38,43 11 lần số thập phân Lý giải điều cách giải tiểu học ta nhận cách giải Tiểu học sơ đồ đoạn thẳng Cách giải Tiểu học A B C 38,43 D 219,3 11 lần AB Biểu diễn số thập phân đoạn thẳng AB, số tự nhiên đoạn thẳng CD Theo sơ đồ, ta có 11 lần số thập phân 38,43  219,3  257,73 Số thập phân 257,73:11  23,43 Số tự nhiên 38,43  23,43  15 Ví dụ : Hai bể nước chứa tất 5m3 nước người ta mở vòi lấy nước phút 25 lít bể thứ nhất, 35 lít bể thứ hai Sau nử đóng vịi lại, lượng nước hai bể cịn lại Hỏi lúc đầu bể chứa lít nước ? Giải tốn cách lập hệ phương trình Gọi x số lít nước bể thứ nhất, y số lít nước bể thứ hai Điều kiện x, y số nguyên dương nhỏ Ta có  x  y  5000 x  2350    x  30.25  y  30.35  y  2650 Vậy số lít nước lúc đầu bể thứ 2350 lít bể thứ hai 2650 lít Nhận xét : Qua cách giải toán cách lập hệ phương trình ta thấy tổng số nước hai bể 5000 lít, cịn hiệu 300 lít Đó tốn tìm hai số biết tổng hiệu hai số Cách giải tiểu học Ta thấy số lít nước bể thứ hai nhiều số lít nước bể thứ 30  35  30  25  300 lít Biểu diễn số nước hai bể sơ đồ đoạn thẳng 5000 300 Số nước bể thứ Số nước bể thứ hai Hai lần số nước bể thứ 5000  300  4700 lít Số nước bể thứ 4700 :  2350 lít Số nước bể thứ hai 5000  2350  2650 lít Ví dụ : Tìm số biết lấy số cộng với chia cho sau lấy thương tìm trừ 2, nhân với kết 32 Giải toán cách lập phương trình Gọi số phải tìm x Ta có : x6  x6     32     x  24    Vậy số phải tìm 24 Nhận xét : Qua cách giải toán cách lập phương trình ta thấy tìm số cần tìm cách tính ngược từ cuối Cách giải Tiểu học Số phải tìm cộng với chia cho 5, lấy thương tìm trừ 32 : = Số phải tìm cộng với chia cho + = Số phải tìm cộng với x = 30 Số phải tìm 30 – = 24 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài : Giải biện luận phương trình : a) 7mx  2m2  3m  3m2  8m  2mx 2a a b) x Bài : Xác định b để phương trình 25x  bx  24  có hai nghiệm thực x  x1 2 Bài : Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình 2x  5x   Hãy thiết lập phương trình bậc hai có nghiệm x1 x , x  x1  Bài : Tìm nghiệm hữu tỉ phương trình sau a) x3  6x  15x  14  b) x  2x3  8x  13x  24  c) 2x3  3x  6x   Bài : Giải hệ phương trình tuyến tính sau  2x  3y   a) 3x  y  9  x  2y   x  y  z   b) 2x  y  z  3x  y  z    x  y  z  2 2x  3y  2z   c)  3x  5y  4z  8 2x  2y  3z  Hãy giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Sau giải theo cách Tiểu học Bài : Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Tính số gà số chó Bài : Một người từ Hà nội quê, khởi hành lúc sáng với vận tốc 45 km Người nghỉ uống nước 40 phút, sau tiếp với vận tốc 35 km Đến nhà lúc 20 phút Hỏi lúc bắt đầu nghỉ uống nước giờ, biết quãng đường từ Hà nội quê 230 km Bài : Khi cộng số thập phân với số tự nhiên, sơ suất học sinh bỏ quên dấu phẩy số thập phân tiến hành phép cộng cộng hai số tự nhiên nên kết 357 Tìm hai số đó, biết kết phép tính 18,42 Bài : Viết thêm vào bên phải số tự nhiên chữ số số lớn số cũ 11112 Tìm số Bài 10 : Có 12 bánh chia cho 12 người gồm đàn bà, đàn ông trẻ em Đàn bà người hai bánh, đàn ông bánh hai người, trẻ em bốn cháu bánh Ai có phần bánh Hỏi có đàn bà, đàn ông trẻ em ? TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC – MẦM NON TÀI LIỆU GIẢNG DẠY TỐN HỌC TRÌNH ĐỘ : ĐẠI HỌC NGÀNH : GIÁO DỤC TIỂU HỌC SỐ TÍN CHỈ : BÌNH ĐỊNH, 2015