Chuyên đề đạo hàm – nguyễn hoàng việt

MỤC LỤC Chương §1 – CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm A Tóm tắt lí thuyết B Các dạng toán Dạng Tính đạo hàm hàm số định nghĩa Dạng Ý nghĩa đạo hàm vào số toán Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Dạng Mối quan hệ tính liên tục đạo hàm hàm số 11 §2 – Quy tắc tính đạo hàm 12 A Tóm tắt lí thuyết 12 B Ví dụ 12 C Các dạng toán 14 Dạng Tính đạo hàm hàm số chứa đa thức, chứa thức 14 Dạng Một số ứng dụng đạo hàm 18 §3 – Đạo hàm hàm số lượng giác 23 A Tóm tắt lí thuyết 23 B Các dạng toán 23 Dạng Tính đạo hàm hàm số lượng giác 23 Dạng Chứng minh đẳng thức giải phương trình 30 Dạng Tính giới hạn hàm số có chứa biểu thức lượng giác 36 §4 – Đạo hàm cấp hai 42 A Tóm tắt lý thuyết 42 B Các dạng toán 42 Dạng Tính đạo hàm cấp hai - Ý nghĩa đạo hàm cấp hai 42 Dạng Chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm cấp 46 Dạng Vận dụng đạo hàm cấp hai chứng minh đẳng thức tổ hợp 49 §5 – Đề Kiểm tra Chương 55 A Đề số 1a 55 B Đề số 1b 56 C Đề số 2a 58 D Đề số 2b 60 i/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 ii MỤC LỤC ii/64 Kết nối tri thức với sống E Đề số 3a 61 F Đề số 3b 63 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chươ ng CHƯƠNG V ĐẠO ĐẠO HÀM HÀM CHƯƠNG V CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM BÀI ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A – TÓM TẮT LÍ THUYẾT Đạo hàm điểm Ą Định nghĩa 1.1 Cho hàm số y = f (x) xác định khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) f (x) − f (x0 ) lim x→x0 x − x0 giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 ký hiệu f (x0 ) (hoặc y (x0 )), tức f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim x→x0 x − x0 Đại lượng ∆x = x − x0 gọi số gia đối số x0 Đại lượng ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) gọi số gia tương ứng hàm số Như ∆y ∆x→0 ∆x y (x0 ) = lim Quan hệ tồn đạo hàm tính liên tục hàm số Ą Định lí 1.1 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 liên tục điểm a) Định lí 1.1 tương đương với khẳng định: Nếu y = f (x) gián đoạn x0 khơng có đạo hàm điểm b) Mệnh đề đảo Định lí 1.1 không Một hàm số liên tục điểm khơng có đạo hàm điểm Ý nghĩa hình học đạo hàm Ą Định lí 1.2 Đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm M0 (x0 ; f (x0 )) Ą Định lí 1.3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y = f (x) điểm M0 (x0 ; f (x0 )) y − y0 = f (x0 )(x − x0 ), y0 = f (x0 ) 1/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Kết nối tri thức với sống Ý nghĩa vật lí đạo hàm a) v(t) = s (t) vận tốc tức thời chuyển động s = s(t) thời điểm t b) I(t) = Q (t) cường độ tức thời dòng điện Q = Q(t) thời điểm t Đạo hàm khoảng Ą Định nghĩa 1.2 Hàm số y = f (x) gọi có đạo hàm khoảng (a; b) có có đạo hàm điểm x khoảng Khi đó, ta gọi hàm số f : (a; b) −→ R x −→ f (x) đạo hàm hàm số y = f (x) khoảng (a; b), ký hiệu y hay f (x) Đạo hàm bên Ą Định nghĩa 1.3 a) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên phải lim x→x0+ f (x) − f (x0 ) , x − x0 ta gọi giới hạn đạo hàm bên phải hàm số y = f (x) điểm x = x0 kí hiệu f (x0+ ) b) Nếu tồn giới hạn (hữu hạn) bên trái lim x→x0− f (x) − f (x0 ) , x − x0 ta gọi giới hạn đạo hàm bên trái hàm số y = f (x) điểm x = x0 kí hiệu f (x0− ) Các đạo hàm bên phải bên trái gọi chung đạo hàm bên Ą Định lí 1.4 Hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 f (x0+ ), f (x0− ) tồn Khi đó, ta có f (x0+ ) = f (x0− ) = f (x0 ) Ą Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f (x) gọi có đạo hàm đoạn [a; b] thỏa mãn điều kiện sau: - Có đạo hàm x ∈ (a; b); - Có đạo hàm bên phải x = a; - Có đạo hàm bên trái x = b 2/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống B – CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tính đạo hàm hàm số định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 định nghĩa, ta thực sau: ○ Bước Giả sử ∆x số gia đối số x0 , tính ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ○ Bước Lập tỉ số ∆y ∆x ∆y ∆x→0 ∆x ○ Bước Tìm lim Ą Ví dụ Tính đạo hàm hàm số f (x) = điểm x0 = x ɓ Lời giải Ą Ví dụ Tính đạo hàm hàm số y = −x2 + 3x − điểm x0 = ɓ Lời giải Ą Ví dụ Tính đạo hàm hàm số f (x) = √ x điểm x0 = ɓ Lời giải 3/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Kết nối tri thức với sống Ą Ví dụ Bằng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f (x) = x3 điểm x ɓ Lời giải BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ą Bài Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f (x) = x0 = x−3 ɓ Lời giải Ą Bài Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f (x) = sin 3x x = π ɓ Lời giải 4/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống Ą Bài Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f (x) = 3x − điểm x ɓ Lời giải Ą Bài Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f (x) = 4x − x2 điểm x = ɓ Lời giải Ą Bài Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số f (x) = √ 3x + điểm x = ɓ Lời giải Dạng Ý nghĩa đạo hàm vào số toán a) Xét chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t), s quảng đường thời gian t Lúc đó, vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 v(t0 ) = s (t0 ) b) Từ f (x0 ) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ta có cơng thức xấp xỉ ∆x f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )∆x c) Ý nghĩa tổng quát: Đạo hàm hàm số đặc trưng cho tốc độ thay đổi hàm số theo biến số Ą Ví dụ Một vật rơi tự theo phương trình s = gt , g ≈ 9, m/s2 gia tốc trọng trường Tìm vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t0 = s ɓ Lời giải Ą Ví dụ Một viên đạn bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu v0 = 196 m/s (bỏ qua sức cản khơng khí) Tính vận tốc tức thời viên đạn thời điểm t0 = 10 s Biết gia tốc trọng trường g ≈ 9, m/s2 ɓ Lời giải 5/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Định nghĩa ý nghĩa đạo hàm Kết nối tri thức với sống Ą Ví dụ Tính gần giá trị √ 8, 99 ɓ Lời giải Từ công thức xấp xỉ ta viết lại f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) Lúc này, ta hiểu rằng: đường cong có phương trình y = f (x) xấp xỉ tiếp tuyến có hệ số góc f (x0 ) quanh lân cận tiếp điểm BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) Ą Bài Tính giá trị gần √ 3, 99 ɓ Lời giải Ą Bài Sau mùa lũ, địa phương A, chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh đường ruột kể từ ngày xuất bệnh nhân đến ngày thứ n xác định công thức D(n) = 45n2 − n3 Hỏi tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tức thời thời điểm n = 10 bao nhiêu? ɓ Lời giải √ x+1−1 Ą Bài Tính giới hạn sau lim x→0 x ɓ Lời giải Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), M(x0 ; y0 ) thuộc (C) với y0 = f (x0 ) Nếu ∃ f (x0 ) thì: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị điểm M(x0 , y0 ) f (x0 ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) M(x0 ; y0 ) là: y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 6/64 (1.1) Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống Các dạng viết phương trình tiếp tuyến a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0 Tính x0 (hoặc y0 ) từ giả thiết Tính f (x0 ) Viết phương trình tiếp tuyến y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 b) Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc hay song song với đường thẳng cho trước Hệ số góc đồ thị hàm số điểm M0 f (x0 ) Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên ta có f (x0 ) = k, giải ta tìm x0 Viết phương trình tiếp tuyến y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0 có hệ số góc k = f (x0 ) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b nên ta có a f (x0 ) = −1, giải ta tìm x0 Viết phương trình tiếp tuyến y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 d) Viết phương trình tiếp tuyến qua A(x, y) Gọi tiếp điểm M(x0 ; y0 ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M y = f (x0 )(x − x0 ) + y0 (∗) Vì A(x; y) nằm tiếp tuyến nên toạ độ A thoả mãn ∗, thay toạ độ A vào ta tìm x0 Viết phuong trình tiếp tuyến với x0 tìm Ą Ví dụ Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2(C) Viết phương trình tiếp tuyến (C): a) Tại giao điểm đồ thị hàm số với trục Oy b) Tại điểm có tung độ c) Tại điểm M mà tiếp tuyến M song song với đường thẳng y = 6x + d) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = −1 x+3 ɓ Lời giải 7/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 50 Đạo hàm cấp hai Kết nối tri thức với sống Ą Ví dụ 11 Với n ∈ N, n ≥ 2, tính tổng S = 12 C1n + 22 C2n + · · · + n2 Cnn ɓ Lời giải BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ą Bài 20 Tính tổng S = 12 C12017 + 22 C22017 + · · · + 20172 C2017 2017 ɓ Lời giải Ą Bài 21 Với n ∈ N, n ≥ 2, chứng minh 1.2C2n − 2.3C3n + · · · + (−1)n (n − 1)nCnn = ɓ Lời giải 50/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 51 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống Ą Bài 22 Với n ∈ N, n ≥ 2, tính tổng S = (n − 1)nC0n + (n − 2)(n − 1)C1n + · · · + (n − k − 1)(n − k)Ckn + · · · + 2.3Cn−3 + 1.2Cn−2 n n ɓ Lời giải Ą Bài 23 Với n ∈ N, n ≥ 1, tính tổng S = 12 C0n + 22 C1n + · · · + (n + 1)2 Cnn ɓ Lời giải Ą Bài 24 Với n ∈ N, n ≥ 2, chứng minh 2.3C0n + 3.4C1n + · · · + (n + 2)(n + 3)Cnn = (n2 + 11n + 24)2n−2 ɓ Lời giải 51/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 52 Đạo hàm cấp hai Kết nối tri thức với sống Ą Bài 25 Với n ∈ N, n ≥ 1, tính tổng S = (2n − 1)2nC02n + (2n − 3)(2n − 2)C22n + · · · + 1.2C2n−2 2n ɓ Lời giải BÀI TẬP TỔNG HỢP Ą Bài 26 Cho n ∈ N, n ≥ thỏa mãn A3n + C3n = 42 Tính tổng (n − 1)(n − 2) S = 22 C2n − 32 C3n + 42 C4n − · · · + (−1)n n2 Cnn ɓ Lời giải 52/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 53 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống Ą Bài 27 Giải phương trình 2n+1 2n C12n+1 − 1.2.2C22n+1 + 2.22 3C32n+1 − · · · − (2n − 1)22n−1 2nC2n 2n+1 + 2n2 (2n + 1)C2n+1 = 4005 ɓ Lời giải 53/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 54 Đạo hàm cấp hai 54/64 Kết nối tri thức với sống Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 55 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống BÀI ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG A – ĐỀ SỐ 1A Ą Câu Tính đạo hàm hàm số sau a) y = (x√− 1)4 b) y = x x + x2 + x − c) y = …x − x+1 d) y = x−1 ɓ Lời giải  x − 2x + x < Ą Câu Cho hàm số f (x) = Tính f (0)  x ≥ x+1 ɓ Lời giải Ą Câu a) Cho hàm số f (x) = sin x − cos x − x2 Giải phương trình f (x) = b) Một vật ném lên trời theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 4, m/s Biết gia tốc trọng trường g = 9, m/s2 , hỏi sau giây (kể từ lúc bắn), vật đạt độ cao lớn nhất? ɓ Lời giải 55/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 56 Đề Kiểm tra Chương Kết nối tri thức với sống Ą Câu Cho hàm số y = 2x − x2 − 2x − Tính y(n) với số nguyên dương n ɓ Lời giải B – ĐỀ SỐ 1B Ą Câu Tính đạo hàm hàm số sau a) y = (x√ + 5)5 b) y = x x − x2 + 4x + c) y = … x+2 x−2 d) y = x+2 ɓ Lời giải 56/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 57 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống  x − 4x + x < Ą Câu Cho hàm số f (x) = Tính f (0)  x ≥ x+1 ɓ Lời giải Ą Câu a) Cho hàm số f (x) = sin x − cos x − x2 Giải phương trình f (x) = b) Ném bóng lên trời theo phương thẳng đứng từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 7, 35 m/s Biết gia tốc trọng trường g = 9, m/s2 , hỏi sau giây (kể từ lúc ném), bóng đạt độ cao lớn nhất? ɓ Lời giải 57/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 58 Đề Kiểm tra Chương Kết nối tri thức với sống Ą Câu Cho hàm số y = 3x − x2 + 2x − 15 Tính y(n) với số nguyên dương n ɓ Lời giải C – ĐỀ SỐ 2A Ą Câu (4,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau a) y = x3 − 3(1 − x)2 1−x 1+x √ c) y = x2 − 2x b) y = ɓ Lời giải Ą Câu (1,0 điểm) Cho hàm số f (x) = √ x + Bằng định nghĩa, tính f (0) ɓ Lời giải 58/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 59 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống Ą Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y = 16 cos x + 17 sin x Chứng minh y + y = b) Cho hàm số y = x3 − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M biết điểm M cách trục tung khoảng ɓ Lời giải Ą Câu (1,0 điểm) Tính tổng S = C12017 + 3C32017 + 5C52017 + + 2017C2017 2017 ɓ Lời giải 59/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 60 Đề Kiểm tra Chương Kết nối tri thức với sống D – ĐỀ SỐ 2B Ą Câu (4,0 điểm) Tính đạo hàm hàm số sau a) y = (1 − x)3 − x2 x+1 1−x √ c) y = x − 2x2 b) y = ɓ Lời giải Ą Câu (4,0 điểm) √ a) Cho hàm số y = f (x) = sin x + cos x Giải phương trình f (x) = b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 + 3x + giao điểm đồ thị hàm số với trục tung ɓ Lời giải Ą Câu (1,0 điểm) Cho hàm số f (x) = x3 − 2x2 + (3 − m)x − Tìm m để f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ɓ Lời giải 60/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 61 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống t2 Ą Câu (1,0 điểm) Một vật chuyển động theo quy luật s = − (t − 2)3 + + 4t − với t (giây) 3 khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian từ giây thứ nhất, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, đến giây thứ 5, vận tốc lớn nhỏ vật bao nhiêu? ɓ Lời giải E – ĐỀ SỐ 3A Ą Câu (4,0 điểm) Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = x3 − 3x2 + 4x − 2017; b) y = x2 − x + ; x+1 c) y = sin2 2x; … π d) y = tan 2017x − ɓ Lời giải 61/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 62 Đề Kiểm tra Chương Kết nối tri thức với sống Ą Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2x2 + có đồ thị (C) a) Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ 2; b) Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc −1 ɓ Lời giải Ą Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x−2 · x−1 a) Tính đạo hàm y hàm số cho; b) Chứng minh đẳng thức 2y + (x − 1) · y = ɓ Lời giải 62/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 63 Chương CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM Kết nối tri thức với sống Ą Câu (1,0 điểm) Chứng minh đẳng thức 2017 − C12018 + 2C22018 + 3C32018 + · · · + 2017C2017 2018 = 2018 ɓ Lời giải F – ĐỀ SỐ 3B Ą Câu (4,0 điểm) Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = x2018 − x2017 + 2016; b) y = − 2x ; x+3 c) y = x2 sin x; d) y = tan (x2 + 1) ɓ Lời giải 1 Ą Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − x2 + có đồ thị (C) a) Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ −2; b) Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) : y = 63/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 64 Đề Kiểm tra Chương Kết nối tri thức với sống 6x + 2017 ɓ Lời giải Ą Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + mx + 2017, với m tham số Tìm m để y > với giá trị tham số m ɓ Lời giải Ą Câu (1,0 điểm) Một vật chuyển động với phương trình S = t − 25t − tính mét (m), t khoảng thời gian tính giây (s) Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t = 20s ɓ Lời giải Vậy vận tốc tức thời thời điểm 20s 15 m/s 64/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 ... Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chươ ng CHƯƠNG V ĐẠO ĐẠO HÀM HÀM CHƯƠNG V CHƯƠNG V - ĐẠO HÀM BÀI ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A – TÓM TẮT LÍ THUYẾT Đạo hàm điểm Ą Định nghĩa 1.1 Cho hàm. .. (a; b) Khi ta có hàm số y xác định khoảng (a; b) Nếu hàm số y có đạo hàm x ta nói đạo hàm y đạo hàm cấp hai hàm số y = f (x) Hàm số đạo hàm hàm y kí hiệu y Đạo hàm cấp 3, 4, hàm số định nghĩa... u B – CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính đạo hàm hàm số lượng giác Áp dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác quy tắc tính đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương, bậc hai, 23/64 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688