28 bài tập PARABOL Toán

CHUYÊN ĐỀ PARABOL  P : y  x  d : y   m  x  m  P  d m a) Xác định tọa độ giao điểm  d : y  3x  Khi m ta có  P  d là: Phương trình hồnh độ giao điểm Câu Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol � x 1 x2  3x  � x2  3x   � � x � Với x  y  3.1   Với x  y  3.2    d cắt điểm: M  1;1 N  2;4   P cắt  d hai điểm phân biệt A  x ;y  ; B x ;y  b) Tìm mđể Vậy  P 1 2 nằm hai phía trụ tung cho OH  2OK (với H , K hình chiếu A , B Ox ) Xét phương trình hoành độ giao điểm  P  d : x2   m  x  m � x2   m   x  m   (1)    m    m 1  m2 �0,m�� � m  m x 1 � � (1) � � m  m � x   m � �      1 nghiệm     P d A x1;y1 B x2 ;y2 Suy m�0 cắt điểm phân biệt ; Khi x1 ,x2 Vì A  x1;y1  B  x2 ;y2  ; nằm hai phía trục tung cho OH  2OK (với H , K hình chiếu A , B Ox ) nên: � m  1 � m  � m  3 � � �� m  3 � � m  2.1 � �� �� � m   �� � � �  2(m  1) m  �� � �� So sánh với điều kiện m�0 ta có m  3;m   thảo mãn toán     d : y  3x  m P : y  x2 Oxy Câu Trong mặt phẳng , cho đường thẳng parabol     d P a) Với m 4 Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng parabol CHUYÊN ĐỀ PARABOL b) Tìm giá trị m để đường thẳng hoành độ x1;x2 thỏa mãn:  d parabol  P cắt hai điểm phân biệt có x1 x2   x2 x1 Lời giải Hoành độ giao điểm đường thẳng  d parabol  P nghiệm phương trình: x2  3x  m x2  3x  m   *  * : x a) Thay m 4 ta có: � x  1 � y1   3x   � �1 x2  � y2  16 � Vậy tọa độ giao điểm đường thẳng  d cắt parabol  P b) Đường thẳng � phương trình  *  d parabol  P là:  1;1  4;16  điểm phân biệt �   � m có nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Viet ta có: � �x1  x2  � �x1.x2  m x1 x2   x2 x1 � x1.x2  � m  Để Mà x1  x2  Ta có nên x1  0,x2  x1 x2 x x   5�  5�  � m x2 x1 x1.x m (TMĐK) thỏa mãn yêu cầu toán Vậy  d : y  2mx  2m ( với mlà tham số) Câu Cho parabol (P) : y  x đường thẳng  d  P m a) Chứng minh     ln có điểm chung d P x2  x2  x ,x b) Tìm mđể cắt hai điểm có hồnh độ thoả mãn Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d  P : x2  2mx  2m � x2  2mx  2m    * CHUYÊN ĐỀ PARABOL Δ '    m  1. 2m 1  m2  2m   m 1 Pt có  m 1 Vì �0 với m nên  ' �0 với m, suy pt (*) ln có nghiệm với  P hay  d  P ln có điểm chung với m  d cắt  P hay b) Theo phần a) ta có: pt (*) ln có hai nghiệm với m, tức m, tức  d cắt  d  P cắt hai điểm có hồnh độ x ,x Áp dụng định lý Vi-ét cho pt (*) ta có �2m  x1  x2 � x1  x2  2m  1 �x1  x2  2m � � � � � � x1 x2  2m � x1.x2  x1  x2  x1  x2  x1.x2     � � x12  x2  � x12   x2  3 Theo đề  thay vào pt (2) ta có:  x1  x   x1 x    � x3  x2  3x   1   �  x1  1 x12   � x  1 Với x1  thay vào (3) ta có x2  ( x12   với x1 ) thay vào (1) ta m ( t/m) Vậy m � x1 � � x  2mx  2m   * x  2m  � Cách 2: +Trường hợp 1: Có x1  1, x2  2m x12  x2  �  2m � m  + Trường hợp 2: x1  2m  1, x2  x12  x2  �  2m 1  3 Có (sai) Qua trường hợp có m 2 Câu Cho parabol (p) : y  x đường thẳng (d); y  (m 1)x  m  a) Chứng minh (p) cắt (d) hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung b) Gọi x1 ,x2 hồnh độ giao điểm (p) cắt (d).Tìm giá trị m để Lời giải 2 Cho parabol (p) : y  x đường thẳng (d); y  (m 1)x  m  a) Phương trình hồnh độ gia điểm (p) (d): x2  (m 1)x  m2  x1  x2  2 CHUYÊN ĐỀ PARABOL � x2  (m 1)x  m2   Ta có � � � � 24 � 24 �   5m  m   � m � ��  � � � 25 � � � � � � � x1.x2  m  �1  � suy (d) ln cắt (p) hai phía trục tung �x1  x2  m � x x  m2  b) Ta có �1 x1  x2  2  � x1  x2  8 � x12  x2  x1 x2  �  x1  x2   x1 x2  2x1x2      �  m 1  m2    m2   � 5m2  2m  � 5m2  2m  �m  � � 3 � m � �m  � 3 � m x1  x2  2 Vậy �   d :y  6x  m  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng với m tham số  P :y  x parabol 2   P a) Chứng minh d cắt hai điểm phân biệt với m b) Gọi x1;x2 hoành độ giao điểm  d  P Tìm m để x Lời giải   P a) Chứng minh d cắt hai điểm phân biệt với m Phương trình hoành độ giao điểm  d  P 6x  m   x � x  6x  m   2    '   3   m2   m2  10  m Có : (1)  6x2  x1x2  48 CHUYÊN ĐỀ PARABOL   P Do phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m nên d cắt hai điểm phân biệt với m b) Gọi Vì x1;x2  d hoành độ giao điểm x1 nghiệm phương trình (1) nên (2) x12  6x2  x1x2  48 Thay (2) vào  P Tìm m để x  6x2  x1x2  48 x  6x1  m   � x  6x1  m  2 2 ta 6x1  m   6x2  x1x2  48 �  x1  x2   x1x2  m2  49  (3) � x1  x2  � � x x   m2 Theo định lý Vi-et cho phương trình (1) ta có : �1 x1  x2 Giả sử (5) ta có x x  x1  x2  Thay (4) (5) (3) ta có : 2 x x    2    4x1x2 (4)  36   m2   m2  m2  49  � 32  4m2  48 � 32  4m2  64 � m2  � m  �2  d Câu Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng b) Gọi  d x1 x2 ;  P parabol hoành độ giao điểm thỏa mãn x1  2x2   d  P m  P Tìm m để hoành độ giao điểm Lời giải     d d : y  2x  a) Thay m vào đường thẳng ta được: Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d : x2  2x  � x2  2x   � x1  1 Thay x1  1 Thay x2  x2  vào vào  d : 2x  , ta có: y  d : 2x  , ta có: y Vậy tọa độ giao điểm  2   1  P  d  639 là: b) Phương trình hoành độ giao điểm  1;1 ;  3;9   P  d : CHUYÊN ĐỀ PARABOL x2  2mx  m2  � x2  2mx  m2   ( a ; b  2m; c  m  ) Ta có:   b  4ac     2m  m2   16 2 0 Suy phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m: x1  2m 2m  m x2   m x  m x2  m  2 ; ; Trường hợp 1: x1  m x2  m ; Khi thay vào phương trình x1  2x2  ta được: m   m   � 3m � m Trường hợp 2: x1  m x2  m ; Khi thay vào phương trình x1  2x2  ta được: m   m   � 3m � m Vậy giá trị m thỏa yêu cầu đề  P : y  x Câu Cho parabol m đường thẳng a Chứng minh đường thẳng b Tìm m để m  d : y  (m 1)x  d parabol  P cắt hai điểm phân biệt  d cắt  P điểm phân biệt M(x ;y ) ; N(x ;y ) cho: 1 y1  y2  3(x1  x2 )  12 Lời giải a Xét phương trình hồnh độ giao điểm x2   (m 1)x � x2  (m 1)x   * Ta có: a  ; b  m  ; c  4  P  d , ta có: CHUYÊN ĐỀ PARABOL   b2  4ac    m 1  4.1. 4     m 1  16   m Mà a �0 � Phương trình  * ln có nghiệm phân biệt với m  d  P Do đường thẳng b Vì phương trình có:  * parabol ln cắt hai điểm phân biệt ln có nghiệm phân biệt với m Áp dụng hệ thức Viet, ta � x1  x2   m � � x1.x2  4 �  P : y  x � y  x Điểm Thay vào N(x ;y ) x x  P : y  x � y  x Điểm Thay vào x  x1 M(x1 ;y1 ) 2 2 Ta có: 2 y1  y2  3(x1  x2 )  12 x12  x2  3(x1  x2 )  12 �  x1  x2   2x1x2  3(x1  x2 )  12 �   m  2. 4     m  12 �  2m m2    3m 12 � m2  m  �  m   m  3  � m  (TM) � m  �� �� m  m  3 (TM) � � Vậy m m 3 thỏa mãn yêu cầu toán  P : y  x2  d : y  mx  Parabol  P  d cắt hai điểm phân biệt A, B Chứng minh Câu Cho đường thẳng Gọi giao điểm đường thẳng d trục tung G Gọi H K hình chiếu A B trục hồnh Tìm m để diện tích tam giác GHK Lời giải 1) Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d : x2  mx  2 � x2  2mx   (1) ac  1. 4   4  Vì Vậy  P  d nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt cắt hai điểm phân biệt A, B CHUYÊN ĐỀ PARABOL 2) � x1  x2  2m � � x x  4  2 x ,x Gọi hai nghiệm (1), theo hệ thức Vi – ét ta có �1 � x1 , x2 Từ (2) Đặt trái dấu x1  xA ,x2  xB � A, B hai phía Oy HK  x1  x2 G giao điểm đường thẳng d trục tung nên tọa độ G thỏa hệ phương trình � �x  x �� � y  mx  � �y  � OG  1 SGHK  GO.HK  x1  x2  x1  x2  2 x1  x2  �  x1  x2   16 �  x1  x2   4x1.x2  16 2 � 4m2  16  16 � m  Vậy với m diện tích tam giác GHK Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d: y  2(m 1)x  2m parabol P : y  x a) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) x ,x b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm có hồnh độ cho m x1  x2  Lời giải 1) Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d  P ta có x   m 1 x  2m � x   m  1 x  2m  2 vào phương trình (1) ta a) Thay �3 � x2  �  1� x   x2  x   2 �4 � m (1) CHUYÊN ĐỀ PARABOL � x3�y � � 2x  x   � 1 � x �y �  P đường thẳng  d m điểm Vậy giao điểm parabol �1 � A� ; � �2 �và B  3;9  b) Để  d cắt  P hai điểm phân biệt phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt, tức  '  m   Ta thấy  '  với mnên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Suy Theo giả thiết  d cắt  P x1  x2  hai điểm có hồnh độ , suy x1 ,x2 �0 x1 ,x2 phân biệt Điều kéo theo x1  x2 �0,x1x2 �0 � x1  x2   m 1 � � x x  2m Mà theo hệ thức Vi-ét, ta có �1 Do m�0 x1  x2  Từ suy x1  x2  x1x2  �  m  1  2m  � 2m  2m  � 2m   2m  2m �0, 2m  �0 Suy Với m�0 , ta có 2m   2m   � m  � x x2  2x  � x x    � � x  Suy � Thử lại thấy m (1) trở thành x1  x2    (thỏa mãn u cầu tốn) x ,x Vậy m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm có hoành độ cho x1  x2  Câu 10.Cho parabol (P): y x y  mx  m đường thẳng (d): 2 x  mx  m a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: � x2  2mx  2m   '  m2  2m   m 1 �0 m CHUYÊN ĐỀ PARABOL Vậy  P b) Để m để  P  d cắt ln có điểm chung với giá trị m  d điểm đối xứng qua trục tung phương trình hồnh � ' � x1  x2  � độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt tổng hai nghiệm � m �1 � � � 2m � m   tm   � �  P  d Cách 2: Để m để cắt điểm đối xứng qua trục tung phương trình x  2mx  2m   có hai nghiệm trái dấu tổng hai nghiệm � � x1.x2  m � � �� � � � m x1  x2  � � 2m  � Câu 11  P : y  12 x Câu 12.Cho Parabol a) Chứng minh đường thẳng b) Gọi x1 x2 ; đường thẳng  d hoành độ giao điểm  P  d  d : y   m 1 x  m cắt hai điểm phân biệt  P Tìm m để Parabol  P  : y  12 x x1  x2  Lời giải a) Hoành độ giao  d : y   m 1 x  m điểm đường thẳng x   m 1 x  m nghiệm phương trình: � x   m 1 x  m   1    m 1  .m Có  m2  �1  Do phương trình đường thẳng  1  P : y  12 x có nghiệm phân biệt, hay nói cách khác, Parabol  d : y   m 1 x  m cắt điểm phân biệt 10 CHUYÊN ĐỀ PARABOL b) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt A B nằm khác phía so với trục tung � Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, ta có: � m  1 a.c  � m2   � m2   � m2  � � m �   A  x1;y1  ; B  x2 ;y2  Gọi hai giao điểm với x1   x2 Lấy H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh AB2  HK   BK  AH    x2  x1    y2  y1  Ta có: Thay y1  4x1  m2  1; y2  4x2  m2  1, AB  17,  x  x    4x  m   4x  m  1 �  x  x    4x  4x   17 �  x  x   16  x  x   17 2 2 2 2 2 ta có:  17 2 2 2 � 17  x2  x1   17 2 �  x2  x1   17 � x2  x12  2x1x2  17 �  x2  x1   4x1x2  17  2 Áp dụng hệt thức vi – ét vào phương trình (1), ta có: � b x2  x1  � � x2  x1  � a �� � � c x1x2   m2  � � x1x2  � a Thay vào phương trình (2) ta có: � m � 2    m2   17 � 16  4m2   17 � 4m2  � m2  54 � � � m  � �   � m  1 � m Kết hợp điều kiện: � � m �  TM  � � m  �  TM  Suy ra: � Vậy để A B khác phía trục tung AB = 17 12 m � CHUYÊN ĐỀ PARABOL     d : y  (2m 5)x  2m P :y x Câu 14 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho  d cắt parabol  P hai điểm phân biệt với a) Chứng minh đường thẳng m b) Gọi thức x1;x2 M hoành độ giao điểm x1  x2  d  P Tìm giá trị nhỏ biểu Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm  d  P : x2  (2m 5)x  2m  � x2  (2m 5)x  m   1 Ta có �   2m   � � �  m 1  m  12m 21   m   12  m 2 � phương trình  1 ln có hai nghiệm phân biệt với m  d  P Vậy đường thẳng hai điểm phân biệt với m cắt parabol � x1  x2  2m � � x x  2m  b) Theo định lý Viet ta có: �1 Để tồn x1 ���۳ 0; x2 0 x1 ; x2 � x1  x2  2m �0 � � x1 x2  2m �0 � m ta cần ta M Thay có có x1  x2 � M  � x1  x2  2m � � x1.x2  2m � vào M ta M � 2 m 2m Dấu xảy x1  x2    2m 1  x1  x2  3 M  x1  x2  x1.x2 2m   � m  ( thỏa mãn ) Vậy MinM  � m  2 Câu 15 Cho parabol (P) : y  x đường thẳng d: y   4x  m  (với tham số) mặt phẳng tọa độ a) Chứng minh d cắt (P) hai điểm phân biệt A B với giá trị m b) Tìm giá trị m để A B khác phía trục tung AB = 17 Lời giải: a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P), ta có: 13 CHUYÊN ĐỀ PARABOL x2  4x  m2  1 1 � x2  4x  m2        4    m2   16  4m2   4m2  12 � 4m� m 4m 12 m m Ta có: m �0۳m Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Vậy d cắt (P) hai điểm phân biệt A B với giá trị m 2 b) Để d cắt (P) hai điểm phân biệt A B nằm khác phía so với trục tung � Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, ta có: � m  1 a.c  � m2   � m2   � m2  � � m �   A  x1;y1  ; B  x2 ;y2  Gọi hai giao điểm với x1   x2 Lấy H, K hình chiếu vng góc A, B trục hồnh AB2  HK   BK  AH    x2  x1    y2  y1  Ta có: Thay y1  4x1  m2  1; y2  4x2  m2  1, AB  17,  x  x    4x  m   4x  m  1 �  x  x    4x  4x   17 �  x  x   16  x  x   17 2 2 2 2 2 ta có:  17 2 2 2 � 17  x2  x1   17 2 �  x2  x1   17 � x2  x12  2x1x2  17 �  x2  x1   4x1x2  17  2 Áp dụng hệt thức vi – ét vào phương trình (1), ta có: � b x2  x1  � � x2  x1  � a �� � � c x1x2   m2  � � xx  �1 a Thay vào phương trình (2) ta có: � m � 2    m2   17 � 16  4m2   17 � 4m2  � m2  54 � � � m  � �   � m  1 � m Kết hợp điều kiện: � 14 CHUYÊN ĐỀ PARABOL � m �  TM  � � m  �  TM  � Suy ra: Vậy để A B khác phía trục tung AB = 17 Câu 16 Cho parabol  P : y  P  d cắt parabol  P  b) Tìm m để đường thẳng cho  x2 đường thẳng (d): y  mx  2m  a) Xác định tọa độ giao điểm parabol x12  x2 m �  d và đường thẳng m  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 có giá trị nhỏ Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm  d  P x2  mx  2m  � x2  mx  2m   (1) Ta có:  d   m2   m   m2  8m 16   m   P �  m۹ 4 điểm phân biệt � phương trình (1) có nghiệm phân biệt �   cắt m Theo định lý Viets, ta có: � x1  x2  m � x1.x2  2m � x12  x2   x1  x2   2x1.x2  m2   2m    m   �4 Ta có Vậy GTNN x12  x2 2 với m m      d  P cắt hai điểm phân biệt a) Chứng minh với m P : y  x2 d : y  3mx  Oxy Câu 17 Trên mặt phẳng tọa độ cho parabol đường thẳng b) Gọi x1 x2 , hoành độ giao điểm Tìm m để Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm 15  P x1 4 x2  d ta được: x  3mx    * CHUYÊN ĐỀ PARABOL Ta có   9m  16  với m nên pt (*) ln có hai nghiệm với m � với     d P m cắt hai điểm phân biệt b) Ta thấy pt (*) có x1.x2  � ac  1. 4   � x1 x1  � x1  4x2 x2 x2 pt (1) có nghiệm trái dấu, tức  1 � x1  x2  3m   � � �x1 x2  4  3 Áp dụng định lý Vi-ét vào pt (*) ta có 4x2 x2  4 � x2  � x2  �1 Thay (1) vào (3) ta Với x2  � x1  4 thay x2  1;x1  4 x  1 � x1  thay x2  1;x1  Với Vậy m � vào (2): 4   3m � m  1 ( thỏa mãn) vào (2): Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng b) Gọi giao điểm đường thẳng AOB ( O gốc tọa độ)   1  3m � m   d : y  12 x  parabol  d parabol  P  d parabol  P a) Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng x  x1 2 � x  x � x2  x   �  x  1  x    � x  1 �� x � Với x  1 Với x  y  P  : y  12 x A B Tính độ dài đường cao OH Lời giải y ( thỏa mãn) 1 1    2  2   2 � 1� 1; � ; 2;   P cắt  d điểm có tọa độ � � 2� 16  d parabol  P CHUYÊN ĐỀ PARABOL � 1� A� 1; � ;B  2;  2� � 2) Theo câu a ta có Gọi  d : y  ax  blà đường thẳng qua điểm A B Ta có �1 � a �  a  b � �� �2 � �b   2a  b � � Từ ta có  d : y  12 x    d Gọi M,N giao điểm với trục Ox trục Oy Ta có M  Ox � d � yM  � xM  2 � M  2;0  � OM  N  Oy � d � xN  � yN  � N  0;1 � ON  Đường cao OAB đường cao OMN Xét OMN vng O ta có: OH đường cao 1   � OH  OH2 OM ON2  P : y  x Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol  d : y   m  x  m  P hai điểm phân biệt  d cắt  P hai điểm phân biệt có hồnh độ x ,x b) Tìm giá trị m để a) Chứng minh  d đường thẳng cắt mãn : x1  x2  3x1x2  Lời giải Xét pt hoành độ giao điểm  d x   m  x  m  P là: � x2   m  x  m  a) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt �  '  � � 23 �  m   m  � m  5m 12  � � m � 0 � 2� ( đúng) 2 b) Áp dụng định lý Viet ta có: 17 thỏa CHUYÊN ĐỀ PARABOL � x1  x2   m  � � x1x2  m  � Ta có: Thay  1  2 x1  x2  3x1x2   1 vào  2 ta có:  m    m   � 2m  3m 24  � m  Vậy m  26 26 giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu tốn Câu 20 Cho phương trình x  mx  m  (1) ( mlà tham số).Tìm giá trị mđể phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có hai nghiệm x1 x2 , thỏa mãn x1  x2 �3 Lời giải  a) Phương trình x  mx  m  có hai nghiệm phân biệt �     m   m  1  � m2  4m 4 �  m   ۹ m 2 Vậy m �2 phương trình b) Vì x1  x2 �3 Phương trình  1 nên  1 có hai nghiệm phân biệt x1 �x2  có a  b  c   m m  nên phương trình có hai nghiệm x  1;x  m Vì vai trị x1 x2 , bất phương trình x1  x2 �3 � m  �3 � m �3 � � m  m �� �� m  < 3 m < 5 � � Kết hợp điều kiện m �2 Kết luận: m m < 5 18 x1  x2 �3 nên ta có: CHUYÊN ĐỀ PARABOL Câu   d y  mx  m Câu 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : parabol  P : y  x      d cắt  P b) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng P d a) Với m tìm tọa độ giao điểm phía với trục tung thỏa mãn y1  y2  50 hai điểm phân biệt A , B nằm Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d : x  mx  m � x2  mx  m  Với m ta có phương trình x2  3x    � x2  3x   Ta có  a  1;b  3;c  4  , suy a b  c     Phương trình có hai nghiệm x1  1 x2  ; Với x  1 y  Với x  y  16       B 4;16   P  d x  mx  m   * b) Xét Phương trình hồnh độ giao điểm P d A 1;1 Vậy m giao điểm Có a  b  c   m m  � Phương trình cho có hai nghiệm x1  1 x2  m + Đường thẳng  d cắt  P hai điểm phân biệt phía với trục tung thỏa mãn y1  y2  50 A  x1 ;y1  B  x2 ;y2  , nằm � Phương trình  * có hai nghiệm phân biệt dấu thỏa mãn y1  y2  50 �x1 �x2 � �x1.x2  �mx  m  mx  m  50 �� � � � m �2 � � m  1 � �� m �� m  8 � m 8 �� �� 19 �m �1 � � m  �m.m 2m  50 � � � m �2 � m  1 � � m2  2m 48  � CHUYÊN ĐỀ PARABOL     d P Vậy với m 8 đường thẳng cắt hai điểm phân biệt A , B nằm y1  y2  50 phía với trục tung thỏa mãn  P :y  12 x Câu 22 Cho Parabol đường thẳng a) Xác định tọa độ giao điểm b) Tìm giá trị m x12  x2  d  d cắt  d :y  mx   P m 3  P hai điểm phân biệt có hồnh độ x có giá trị nhỏ Lời giải a) Thay m 3 3 y  x   d vào công thức hàm số y  mx  ta có  d  P Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình: 3 x  x 2 2 � x  3x   �  x 1  x    � x �� x  � x1 ta có Khi x  ta có y Khi y Vậy m 3 tọa độ giao điểm  d  P   d  P b) Hoành độ giao điểm �1� 1; � � � �và  4;8  nghiệm phương trình: x  mx  2 � x2  2mx    1 Phương trình  1 phương trình bậc hai có ac    � m phương trình  1 ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 � m,  d  P  cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 Khi áp dụng hệ thức Vi-et ta có: � x1  x2  2m � � x1 x2   � x12  x2   x1  x2   2x1x2 � x12  x2  4m2  Có 20 x2 CHUYÊN ĐỀ PARABOL 2 Có 4m �0,m � 4m  �8,m � x12  x2 �8 ,m � m Dấu “=” xảy Vậy x12  x2 có giá trị nhỏ � m Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d: y  x  m parabol (P): y  x Tìm tham số m cho d cắt (P) hai điểm A, B phân biệt có hồnh độ x1 ,x2 cho x1  x2  Tìm tham số m: Phương trình Lời giải: hồnh độ giao x2  x  m � x2  x   m   * điểm d (P):   * - Ta có: d cắt (P) điểm phân biệt � Phương trình có nghiệm phân biệt �    4(1  m)  � m  � �x1  x2  � x1x2   m � - Theo hệ thức Vi-ét có -Theo giả thiết có (x1  x2 )2  � (x1  x2 )2  4x1x2  �  4(1  m)  � m  (TMĐK) m Vậy  d : y   2m 1 x  2m  d  P  m a) Xác định tọa độ giao điểm  d  P cắt hai điểm phân biệt M  x ;y  , N  x ;y  b) Tìm m để Câu 24 Cho parabol  P : y  x đường thẳng y1  y2  x1x2  1 Lời giải   d : y  3x  a) Khi m , ta có Phương trình hồnh độ giao điểm  d  P là: x2  3x  � x2  3x   Ta có a  b  c     nên phương trình có hai nghiệm x  , x  Với x  � y  21 cho CHUYÊN ĐỀ PARABOL Với x  � y           d  P b) Phương trình hồnh độ giao điểm x   2m 1 x  2m � x   2m 1 x  2m   *  d cắt  P hai điểm phân biệt � pt * có hai nghiệm phân biệt d P 1;1 2; Vậy m tọa độ giao điểm ; 2 2 ۹ m � m   m  � m     �0  � 2m �0 � x1  x2  2m  � � x x  2m Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: �1 Vì M  x1;y1  � P  � y1  x1 N  x2 ;y2  � P  � y2  x2 y1  y2  x1x2  � x12  x2  x1x2  �  x1  x2   3x1x2  Ta có �  2m 1  3.2m  � m   TM  � �� m   KTM  � � � 4m2  2m  � 2m 2m 1  m Vậy giá trị cần tìm y  f  x   x2 Câu 25 Cho hàm số a) Cho hai điểm A B thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ 6 Tìm tọa độ hai điểm A B b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B Gọi x1 ,x2   T  x1  x2  hai nghiệm phương trình x  2x   Tính Lời giải  a) Cho hai điểm A B thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ 6 Tìm tọa độ hai điểm A B 1 � yA   xA   42  8 � A (4; 8) 2 Vì A �đồ thị hàm số 1 � yB   xB2    6   18 � B(6; 18) 2 Vì B�đồ thị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A B Gọi phương trình đường thẳng qua hai điểm A B là: y  ax  b �8  4a  b � � 10a  10 a1 �� �� �� �18  6a  b �8  4a  b �b  12 � Phương trình đường thẳng qua hai điểm A B là: y  x  12 22 CHUYÊN ĐỀ PARABOL Gọi x1 ,x2   T  x1  x2  hai nghiệm phương trình x  2x   Tính  x ,x Vì ac  1.(1)  � phương trình có nghiệm phân biệt � x1  x2  � � x x  1 Theo định lí Vi-ét ta có �1      T  x1  x2   x1x2  x1  x2  25  1  10  25  14 Ta có Câu 26 Trong mặt phẳng tọa độ , cho đường thẳng (d): y  mx  parabol  P : y  12 x a) Chứng minh : với giá trị m,đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt nằm khác phía so với trục tung b) Gọi x1 ,x2 hoành độ giao điểm đường thẳng (d) (P) Tìm giá trị m để : x1 x2   3 x2 x1 Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) ta có : x  mx  � x2  2mx  � x2  2mx   2  m2  Vì m �0 m� m   0,m Ta có � �   0,m � Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với m � x1  x2  2m � � x x  4 Theo định lý Vi – ét ta có: �1 x1 x2  4  Vì nên hai giao điểm nằm khác phía so với trục tung Vậy với giá trị m, đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt nằm khác phía so với trục tung b) x1 x2   3 x2 x1 Do x1.x2 �� 4 0 Ta có : x1 ,x2 x1 x2   3 � x12  x22  3x1.x2 �  x1  x2   2x1x2  3x1x2  x2 x1 �  x1  x2   x1x2  � 4m2   � m  �1 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy m � 23 CHUYÊN ĐỀ PARABOL Câu 27 Cho parabol  P : y  x đường thẳng    d Tìm m để đường thẳng  d : y  mx    P cắt parabol  d M ; a) Tìm m để đường thẳng qua điểm b) x2 thỏa mãn điều kiện x13x2  x1x23  2022 hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , Lời giải a) Vì đường thẳng  d qua điểm M  ; 1 y  mx  ta 1  m.2  � 2m  4 � m  2 Vậy m 2 giá trị cần tìm b) Phương trình hoành độ giao điểm x  mx  � x  mx   2  d Đường thẳng cắt parabol có hai nghiệm phân biệt Ta có :  P  1  d nên ta thay x  y  1 vào hàm số  P : hai điểm phân biệt phương trình  1   m2  4.1. 3  m2  12 2 �   với m Vì m �0 � m  12  với m nên phương trình  1 ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 , Do đường thẳng  d cắt   P parabol hai điểm phân biệt với m Áp dụng định lý Vi–ét ta có : � x1  x2  m � � x1.x2  3 � Ta có x13x2  x1x2  2022   � x1x2 x12  x2  2022 � x1x2 �  2022 �x1  x2   2x1x2 � �   � 3 m2   2022 � m2   674 � m2  668 � m  668  167 �� � m   668  2 167 � Vậy m 167 , m 2 167 giá trị cần tìm Câu 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y  (m 3)x  m parabol (P) : y  2x2 (với m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm  d  P 24 m  2,5 CHUYÊN ĐỀ PARABOL  d b) Tìm tất giá trị m để cho biểu thức A  x1  x2 cắt  P hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 , đạt giá trị nhỏ Lời giải Đường thẳng (d): y  (m  3)x  m parabol (P) : y  2x (với m tham số) Hoành độ giao điểm  d  P nghiệm phương trình: 2x   m 3 x  m � 2x2   m  3 x  m   1  a) Với m  2,5 phương trình trở thành 2x  0,5x  2,5  a  b  c    0,5    2,5   � Vì Phương trình có nghiệm x1  1 ; 2,5  x1  1 � y1  x2  Với Với x2  25 � y2  �5 25 � �; � �4 �        d cắt  P hai điểm phân biệt có hồnh độ x , x b) Đường thẳng  1 có hai nghiệm phân biệt phương trình �   �  m 3  8m  � m  2m  �  m 1   � nghiệm d P 1; Vậy m  2,5 cắt hai điểm phân biệt 2 2 với giá trị m �  d cắt  P  hai điểm phân biệt với giá trị m � m x1  x2  � � � m � x1x2  Theo định lí Vi-et, ta có: � Mặt khác: � A2  A  x1  x2 � A   x1  x2       x1  x2  m  6m  8m  m2  2m 4 1  �� � m 1 8�  � � 4 A 2 �m � m  4x1x2  � � � � �   m 1  � m  � m  Dấu "  " xảy  d cắt  P hai điểm phân biệt có hồnh độ x , x Vậy với m thức A  x1  x2 đạt giá trị nhỏ 25 cho biểu CHUYÊN ĐỀ PARABOL Câu 29 Câu 30 26 ...CHUYÊN ĐỀ PARABOL b) Tìm giá trị m để đường thẳng hoành độ x1;x2 thỏa mãn:  d parabol  P cắt hai điểm phân biệt có x1 x2   x2 x1 Lời giải Hoành độ giao điểm đường thẳng  d parabol  P... , cho đường thẳng d: y  2(m 1)x  2m parabol P : y  x a) Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) x ,x b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm có hoành độ cho m... hợp điều kiện: � 14 CHUYÊN ĐỀ PARABOL � m �  TM  � � m  �  TM  � Suy ra: Vậy để A B khác phía trục tung AB = 17 Câu 16 Cho parabol  P : y  P  d cắt parabol  P  b) Tìm m để đường