Tài liệu PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC KHÔNG LƯỚI: CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG NGÀNH DẦU KHÍ ppt

Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 175 PHNG PHÁP TP MC KHÔNG LI: C S TOÁN HC VÀ KH NNG NG DNG TRONG NGÀNH K THUT DU KHÍ MESHLESS LEVEL SET METHOD: MATHEMATICAL FUNDAMENTALS AND POTENTIAL APPLICATIONS IN PETROLEUM ENGINEERING Mai Cao Lân*, Trn Công Thành** * Khoa K thut a cht & Du khí, i hc Bách khoa Tp. H Chí Minh, Vit Nam ** University of Southern Queensland, Australia TÓM TT  tin cy và tính thit thc ca vic mô phng mt quá trình vt lý không nhng ph thuc vào mô hình toán hc mô t quá trình, thng  dng nhng phng trình vi phân, mà còn ph thuc vào đ chính xác và tính hiu qu ca phng pháp s dùng đ gii các phng trình vi phân đó. Bài báo này trình bày c s lý thuy t mt phng pháp s mi mang tên phng pháp Tp mc Không li (Meshless Level set method) trong đó nhng tính nng u vit ca 2 nhóm phng pháp không li (meshless) và tp mc (level set) đc tích hp đ gii các bài toán biên di đng. Mt s bài toán mu gii bng phng pháp này đc trình bày trong bài báo đ minh ha cho đ chính xác và tính hiu qu ca nó cng nh kh nng ng dng ca phng pháp trong ngành k thut du khí. ABSTRACT The reliability and usefulness of the numerical simulations of a physical process depend not only on the mathematical model representing the process, normally in forms of differential equations, but also on the accuracy and efficiency of the numerical methods for solving such equations. This paper presents the theoretical basics of a new numerical method, namely Meshless Level Set method, in which the advantageous features of meshless methods and level set methods are integrated to solve moving boundary problems. Some benchmark problems solved by the method are presented to demonstrate the accuracy and efficiency of the method as well as its potential applications in petroleum engineering. 1. GII THIU a s mô hình toán mô t mt quá trình vt lý thng  dng các phng trình vi phân. i vi bài toán đa bin, ta có các phng trình vi phân riêng phn. Vic tìm nghim ca nhng phng trình này nói chung là phc tp nên thông thng không th dùng phng pháp gii tích đc. Thay vào đó, ngi ta s dng các phng pháp s đ tìm nghim gn đúng c a chúng. Hin nay các phng pháp s đc s dng ph bin gm có phng pháp sai phân hu hn (finite difference method - FDM), phn t hu hn (finite element method - FEM), khi Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 176 hu hn (finite volume method - FVM), v.v…. Xin xem [Tannehill et al. (1997), Chung (2002)] đ bit thêm chi tit. Các phng pháp này đc gi chung là phng pháp ri rc hóa theo không gian. i vi các bài toán ph thuc thi gian, ta cn thêm công c s đ ri rc hóa phng trình vi phân theo bin thi gian. Xin xem [Quarteroni and Valli (1994), Quarteroni et al. (2000)] đ bit thêm chi tit v các phng pháp này. Nu nh các phng pháp FDM, FEM, FVM, v.v… ri rc hóa phng trình vi phân trên c s chia nh min tính toán thành mt li (mesh) gm nhng phn t ràng buc ln nhau trên lói theo nhng nguyên tc xác đnh (ta gi chung các phng pháp này là nhóm phng pháp da vào li) thì đi vi các phng pháp Không li, min tính toán đc chia thành mt tp hu hn các đim ri rc, có th b trí tùy ý (unstructured) và không có bt k mi ràng buc nào v v trí tng đi gia chúng trong quá trình tính toán. Kt qu là các phng pháp không li rt thích hp cho các bài toán có bin dng l n (nh trong c hc rn nt) hoc các bài toán có biên di đng (nh d đoán quá trình đin khuôn đúc hoc mô phng mt tin du-nc/khí-du trong quá trình bm ép/thu hi tng cng du) trong khi đi vi các phng pháp da vào li, vic gii các bài toán này s rt phc tp (đôi khi làm gim đ chính xác ca li gii) do phi thng xuyên điu ch nh li b bin dng trm trng. Có nhiu phng pháp không li [Kansa (1990a,b), Aluri (2002)], trong đó có phng pháp Indirect Radial Basis Function Networks (IRBFN) [Mai- Duy and Tran-Cong (2001,2003)] dùng đ gii các phng trình vi phân không l thuc thi gian. Phng pháp này gn đây đã đc m rng đ gii các bài toán ph thuc thi gian [Mai-Cao and Tran-Cong (2003,2004,2005)]. Các phng pháp s đ gii bài toán biên di đng đã và đang đc các nhà nghiên cu quan tâm vì tính phc tp ca bn thân các biên di đng (moving boundaries). Có hai nhóm phng pháp s đc s dng cho các bài toán dng này: Nhóm phng pháp da trên li di đng và nhóm phng pháp s dng li c đnh. Phng pháp Tp mc (level set method) thuc nhóm phng pháp th hai, do Osher and Sethian (1988) đ xut. Phng pháp này ban đu đc thit lp đ s dng vi nhóm các phng pháp da vào li nh FDM, FEM, FVM [Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)]. Trong bài báo này, phng pháp tp mc đc trin khai trên nn tng ca phng pháp không li IRBFN. 2. C S TOÁN HC 2.1. Phng pháp Tp mc Trong phng pháp Tp mc, biên di đng (t) ca min  ⊂ ℜ 2 đc xem là tp mc không (zero) ca mt hàm φ(x,t), gi là hàm tp mc, trong không gian ℜ 3 }0),(|{)( 2 =ℜ∈=Γ txxt φ (1) Hàm φ(x,t) có th chn tùy ý vi điu kin phi là hàm trn. Trong [Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)] , φ(x,t) đc chn là hàm khong cách sao cho − + Ω∈ Γ∈ Ω∈ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = x x x txd txd tx ),,( 0 ),,( ),( φ (2) Trong đó d(x,t) là khong cách t đim x đn biên di đng;  + và  - là min bên ngoài và bên trong biên tng ng. Nh vy, trong phng pháp tp mc, đi tng nghiên cu là hàm tp mc φ(x,t) chuyn đng vi vn tc “m rng” (extended velocity) V thay vì là biên (t) di chuyn vi tc đ F [Osher and Sethian (1988)]. Phng trình chuyn đng ca hàm tp mc tng ng vi dch chuyn ca biên trong trng vn tc V c a môi trng xung quanh nh sau: Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 177 0=∇⋅+ ∂ ∂ φ φ V t (3)  mt thi đim bt k, thông tin v biên di đng (v trí, hình dáng, đ cong, v.v…) có th đc tái to t hàm tp mc φ(x,t) bng cách xác đnh tp hp các đon trên (t) sao cho φ(x,t) trit tiêu. Do phng trình (3) đc gii bng phng pháp s nên ch sau mt bc thi gian φ(x,t) s không còn là hàm khong cách. Vì vy vic tái thit lp hàm tp mc tha điu kin (2) là mt bc cn thit và đc thc hin bng cách tìm li gii dng (steady) cho bài toán sau [Sussman et al. (1994)] )()0,( |)|1)(( xtx S t φφ φφ φ ε == ∇−= ∂ ∂ (4a)  đó S ε là mt hàm trn sao cho 22 )( εφ φ φ ε + =S (4b) vi ε là khong cách ngn nht gia mt đim bt k vi các đim khác trong min tính toán. C s lý thuyt cng nh các ng dng tiêu biu ca phng pháp này đc trình bày chi tit trong [Sethian (1999), Osher and Fedkiw (2003)]. 2.2. Phng pháp Không li IRBFN Xp x ),( ˆ txu ca hàm u(x,t) có th đc vit  dng t hp tuyn tính ca N hàm c s )()()()(),( ˆ ),( 1 twxgxgtwtxutxu T N i ii ==≈ ∑ = (5) Trong đó g(x)=[g 1 (x),g 2 (x),…,g N (x)] T là tp các hàm c s cho trc; w(t)=[w 1 (t),…,w N (t)] T là tp N trng s cn tìm. Vi mt tp hp M đim trong min tính toán và giá tr hàm tng ng ti các đim đó ti thi đim t, U(t)=[U 1 (t), U 2 (t),…,U M (t)], bng cách thay )()( 1 tUGtw − = vào phng trình (4), ta có công thc xp x hàm )()(),( ˆ 1 tUGxgtxu T − = (6) Trong đó G là ma trn đc xác đnh bng cách áp dng (5) ti M đim trong min tính toán vi tp các hàm c s đã cho g(x). Trong phng trình (6), giá tr hàm ti các đim nút U(t) là bin cn tìm. o hàm bc nht và bc hai ca hàm u(x,t) đc xp x bng cách ly đo hàm phng trình (6) tng ng: )()(),( ˆ 1 ,, tUGxgtxu T jj − = (7a) )()(),( ˆ 1 , , tUGxgtxu T ljlj − = ) (7b) Nu nh trong phng pháp Kansa (1990a), hàm c s g(x) trong phng trình (5) đc chn là hàm multiquadrics (MQ) thì trong IRBFN, g(x) là đo hàm bc k ca hàm multiquadrics hoc thin plate splines (TPS). a s các bài toán trong lnh vc C hc Cht lng Tính toán (Computational Fluid Dynamics - CFD) đc gii vi k=2. Chi tit v c s lý thuyt ca phng pháp IRBFN cng nh ng dng ca nó đ gii các toán ph thuc thi gian đ ã đc trình bày trong [Mai-Cao and Tran- Cong (2005)]. 3. PHNG PHÁP TP-MC KHÔNG- LI VÀ CÁC BÀI TOÁN MINH HA Quy trình gii mt bài toán biên di chuyn b đng di tác dng ca trng vn tc không đi bng phng pháp Tp mc không li bao gm các bc sau: Bc 1: Xây dng hàm tp mc ban đu là hàm khong cách tha phng trình (2); Bc 2: Thc hin dch chuyn hàm tp mc trong mt bc thi gian bng cách gii phng trình (3); Bc 3: Tái thit lp hàm tp mc tha phng trình (2) bng cách tìm li gii dng cho phng trình (4a,b). Thông tin v biên di đng  Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 178 thi đim đang xét có th tái to bng gii thut ly đng đng mc zero ca hàm φ(x,t); Bc 4: Quay li bc 2 cho bc thi gian k tip hoc kt thúc quá trình khi thi gian mô phng đt đn giá tr gii hn cho trc. Trong bài báo này, các phng trình vi phân  bc 2 và 3 đc gii bng các lc đ s da trên phng pháp IRBFN mô t trong [Mai-Cao and Tran-Cong (2005)]. 3.1. Bài toán bt xoay tròn Xét mt bt hình tròn bán kính r=0.15 ban đu đc đt ti v trí (0.5,0.7) trong min ch nht [0,1] x [0,1] có trng vn tc xoáy (u,v) đc xác đnh nh sau: u=-sin(πx) cos(πy) v=-cos(πx) sin(πy) Kt qu mô phng  nhiu thi đim khác nhau đc trình bày trong hình 1.  mi thi đim, gii thut trích đng đng mc zero ca hàm tp mc cho ta biên dng bt có dng đa giác khép kín. Din tích ca hình đa giác này chính là din tích ca bt  thi đim tng ng. Kt qu tính toán cho thy t l phn trm thay đi v din tích ca hình tròn trong sut quá trình mô phng không vt quá 2% vi mt đ đim trong min tính toán là 32 x 32. Hình 1: Bài toán bt xoay tròn Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 179 Hình 2: Bài toán bt xoay tròn (tip theo) 3.2. Bài toán 4 bt di đng trong dòng chy xoáy Các bt ban đu đc b trí ngu nhiên nh  hình 2 trong mt trng vn tc xoáy gii hn trong min [-1,1] x [-1,1]. Các hình bên trái ca hình 2 th hin biên di đng là đng đng mc zero (màu xanh dng, trong cùng)  các thi đim ban đu và t=4.1333. Bên phi là hàm tp mc  các thi đim tng ng trên đó biên dng ca 4 bt di đng đc gn vào. Nh vy thay vì theo dõi s chuyn đng và bin dng ca bn thân 4 bt di đng, ta quan sát hàm tp mc di chuyn theo quy lut (3) và trích đng đng mc zero ca nó đ có biên dng ca các bt  thi đim cn quan tâm. Vi phng pháp Tp mc Không li, s kt dính và tách ri gia các bt đc mô phng hoàn toàn theo quy trình 4-bc tng quát mô t  trên mà không cn phi x lý cho t ng trng hp riêng bit nh trong các phng pháp truyn thng khác. 4. KT LUN & HNG PHÁT TRIN CA  TÀI Phng pháp Tp mc Không li đc xây dng trên c s trin khai phng pháp Tp mc trên nn không li ca phng pháp IRBFN. Qua các bài toán mu trình bày trong bài báo, phng pháp mi cho thy đ chính xác và tính hiu qu cao ca nó khi gii các bài toán ph thuc thi gian, trong đó mô hình các bt di đng có th đc m rng đ mô phng ch đ dòng chy ca hn hp dung dch trong ng khai thác. Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 180 Hình 3: Bài toán 4 bt di đng trong dòng chy xoáy ây chính là hng phát trin ca đ tài trong đó có xét ti s phân chia thành nhng bt th cp cng nh s kt hp gia các bt khí trong quá trình đi t đáy ging lên b mt. Ngoài ra, các mô hình cht lng phi Newton (non- Newtonian fluid) cng s đc xem xét đ mô t ng x phc tp ca hn hp dung dch khai thác. TÀI LIU THAM KHO 1. Atluri, S.N. and Shen, S. The Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method, Tech Science Press, Encino, USA (2002). 2. Chung, T.J. Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press, UK (2002). 3. Kansa, E.J. Multiquadrics - A Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid- Dynamics I. Surface Approximations and Partial Derivative Estimates, Computers and Mathematics with Applications 19 (1990a), pp. 27-145. 4. Kansa, E.JMultiquadrics - A Scattered Data Approximation Scheme with Applications to Computational Fluid-Dynamics II. Solutions to Parabolic, Hyperbolic and Elliptic Partial Differential Equations, Computers and Mathematics with Applications 19 (1990b), pp. 147-161 Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 181 5. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Solving Time-Dependent PDEs with a Meshless IRBFN-based Method. In: Alves, C.J.S. and Chen, C.S. and Leitao, V. (eds): International Workshop on MeshFree Methods, July 21-23, Lisbon, Portugal (2003) 6. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Element- Free Simulation for non-Newtonian Flows. In: Atluri, S.N. and Beskos, D.E. and Polyzos, D. (eds): International Conference on Computational & Experimental Engineering & Sciences, ICCES, July 26- 29, Madeira, Portugal (2004). 7. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Meshless IRBFN-Based Method for Transient Problems, Computer Modeling in Engineering & Sciences 7 (2005), pp. 149- 171. 8. Mai-Duy, N. and Tran-Cong, T. Numerical Solution of Differential Equations Using Multiquadric Radial Basis Function Networks, Neural Networks 14 (2001), pp.185-199. 9. Mai-Duy, N. and Tran-Cong, T. Approximation of Function and its Derivatives Using Radial Basis Function Networks, Applied Mathematical Modelling 27 (2003), pp. 197-220. 10. Osher, S. and Fedkiw, R.: Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces, Springer, New York (2003). 11. Osher, S. and Sethian, J.A. Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton- Jacobi Formulations, Journal of Computational Physics 79 (1988), pp. 12- 49. 12. Quarteroni, A. and Valli, A.: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York Quarteroni, A. and Sacco, R. and Saleri, F.: Numerical Mathematics, Vol. 37 of Texts in Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York (2000). 13. Sethian, J.A. Level Set Methods and Fast Marching Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science, Cambridge University Press, New York (1999). 14. Sussman, M. and Smereka, P. and Osher, S.J. A Level Set Approach for Computing Solutions to Incompressible Two-Phase Flow, Journal of Computational Physics 114 (1994), pp.146-159. 15. Tannehill, J.C. and Anderson, D.A. and Pletcher, R.H. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Taylor & Francis,USA (1997). . và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005 175 PHNG PHÁP TP MC KHÔNG LI: C S TOÁN HC VÀ KH NNG NG DNG TRONG NGÀNH. phng pháp Tp mc trên nn không li ca phng pháp IRBFN. Qua các bài toán mu trình bày trong bài báo, phng pháp mi cho thy đ chính xác và tính