Sự mâu thuẫn của hệ tiên đề: Từ các tiên đề của hệ ta không bao giờ có thể suy ra các kết quả trái với các tiên đề hoặc 2 kết quả trái ngược nhau. Sự độc lập của các tiên đề: Một tiên đề được gọi là độc lập nếu không có bất cứ tiên đề nào của hệ là hệ quả của những tiên đề khác. Do sự độc lập của các tiên đề tạo nên một hệ tiên đề gồm có một số tối thiểu các tiên đề, nghĩa là trong hệ tiên đề đó không có tiên đề nào là thừa cả. Sự đầy đủ của hệ tiên đề: Số tiên đề của hệ phải đảm bảo đầy đủ để xây dựng nên môn học bằng suy luận chặt chẽ.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIÊN GIANG KHOA SƯ PHẠM VÀ XÃ HỘI NHÂN VĂN CƠ SỞ HÌNH HỌC HỆ TIÊN ĐỀ CỦA HÌNH HỌC EDCLIDE NỘI DUNG CHÍNH 2.1 Nhóm 1: Các tiên đề liên thuộc 2.2 Nhóm 2: Các tiên đề thứ tự Khi nghiên cứu hệ tiên đề cần ý vấn đề sau đây: a) Sự mâu thuẫn hệ tiên đề: Từ tiên đề hệ ta không suy kết trái với tiên đề kết trái ngược b) Sự độc lập tiên đề: Một tiên đề gọi độc lập khơng có tiên đề hệ hệ tiên đề khác Do độc lập tiên đề tạo nên hệ tiên đề gồm có số tối thiểu tiên đề, nghĩa hệ tiên đề khơng có tiên đề thừa c) Sự đầy đủ hệ tiên đề: Số tiên đề hệ phải đảm bảo đầy đủ để xây dựng nên môn học suy luận chặt chẽ 2.1 Nhóm 1: Các tiên đề liên thuộc Tương quan xét nhóm tương quan “thuộc”, tương quan thường phát biểu dạng thông thường “nằm trên”, “đi qua”, “chứa” VD: Điểm nằm đường thẳng Đường thẳng qua điểm Mặt phẳng chứa điểm 2.1.1 Các tiên đề (1.1) Cho điểm A, B có đường thẳng qua hai điểm (1.2) Cho điểm A, B phân biệt không đường thẳng qua hai điểm (1.3) Mỗi đường thẳng có hai điểm thuộc Có điểm không thuộc đường thẳng (1.4) Cho điểm A, B, C có mặt phẳng (P) qua điểm Mỗi mặt phẳng có điểm (1.5) Cho điểm A, B, C không thuộc đường thẳng khơng có q mặt phẳng qua điểm (1.6) Nếu điểm A, B phân biệt thuộc đường thẳng a đồng thời thuộc mặt phẳng (P) Định nghĩa 2.1.1 Nếu điểm đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a Chú ý: Chỉ có tương quan thuộc điểm với đường thẳng điểm với mặt phẳng tương quan (1.7) Nếu mặt phẳng chứa điểm A chứa điểm thứ hai B khác A (1.8) Có bốn điểm không thuộc mặt phẳng Với tiên đề liên thuộc nêu ta chứng minh số định lí đơn giản sau 2.1.2 Các định lí Định lí 2.1.1 Hai đường thẳng phân biệt có nhiều điểm chung a) b) c) Định lí 2.1.2 Một mặt phẳng đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng có nhiều điểm chung A B D C F E E F a) Mặt phẳng đường b) Đường thẳng cắt thẳng song song mặt phẳng Định lí 2.1.3 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Ta thấy hai mặt phẳng có điểm A chung A chúng có đường thẳng Δ chứa điểm chung lại hai mặt phẳng Định nghĩa 2.2.3 - Một điểm O đường thẳng a chia tập điểm đường thẳng làm hai lớp (theo định lí 2.2.9) -Mỗi lớp nửa đường thẳng hay tia gọi bù chúng có chung gốc tạo nên đường thẳng Định nghĩa 2.2.4 Trên tia gốc O điểm A gọi trước điểm B A thuộc OB Định nghĩa 2.2.5 Cho A,B,C khơng thuộc đường thẳng Khi AB, BC, CA tạo nên hình gọi tam giác Các điểm A,B,C gọi đỉnh đoạn AB, AC, BC gọi cạnh Trong tam giác đỉnh cạnh khơng qua đỉnh gọi đỉnh cạnh đối diện Định lí 2.2.10 Mỗi đường thẳng a MP (P) chia tất điểm không thuộc a MP (P) hai lớp không rỗng cho hai điểm A, B thuộc hai lớp khác đoạn AB chứa điểm đường thẳng a, hai điểm A,A1 thuộc lớp đoạn AA1 không chứa điểm a Trong (P) ta lấy C Chứng minh ∉ a chia điểm (P) thành hai lớp: + lớp I : điểm A (P) ∉ a cho CA không chứa điểm cùa a C thuộc lớp + lớp II : điểm B (P) điểm a ta cần chứng minh: a cho đoạn “cơ bản” chứa ∉ (1) Mỗi lớp điều không rỗng Thật lớp I có C D điểm C A1 a theo TĐ (2.2) CD có E cho D C E E thuộc lớp II (2) Bất kì điểm (P) thuộc lớp chị mà thơi điểm M bất kì, đoạn thẳng CM chứa điểm a a D P A không chứa điểm hết (3) Mỗi cặp điểm A, A1 lớp thứ I xác định đoạn thẳng AA1 đoạn không chứa điểm a Thật vậy, C,A,A không thuộc đường thẳng AA1 chứa điểm a theo TĐ Pasch hai đoạn CA CA phải chứa điểm a ( vơ lí) Cịn C,A,A thuộc đường thẳng ta xét hai trường hợp sau : + C không A A1, ta giả sử A C A1, M điểm a A A1, theo ĐL (2.2.4) M C A1 trái với giả thiết C A M A1 + C A A1, điểm M thuộc AA1 theo ĐL (2.2.6) thuộc CA CA1 Điều trái với giả thiết A C A1 (4) Một cặp B,B1 thuộc lớp II xác định BB1 không chứa điểm a M1 B1 + Nếu C,B,B1 không thẳng hàng CB,CB1 chứa M M đường thẳng a Đường thẳng a cắt BB1 N N nằm MM Thật vậy, N M M 1, theo TĐ Pasch tam giác CMM 1, đường thẳng B1n cắt CM B, B C M ( trái với giả thiết M B C ) Chứng minh tương tự, M nằm NM M nằm ngồi MN Trong M,M 1,N khơng có điểm hai điểm ( mâu thuẫn với ĐL 2.2.2) (5) Mọi cặp A gồm hai điểm A B thuộc hai lớp khác xác định đoạn thẳng AB chứa điểm a Thật vậy, theo giả thiết đoạn “cơ bản” chứa điểm M a Nếu C,A,B không thuộc đoạn thẳng, theo TĐ Pasch CA AB chứa điểm a Theo giả thiết CA không chứa nên AB chứa điểm a C A a M B C A M B Nếu C,A,B thẳng hàng M a phải C B Mặt khác theo ĐL (2.2.9) điểm M a chia tất điểm lại CB thành hai lớp, lớp nằm phía M Do A phải nằm phía điểm C M, AB chứa điểm M a Đinh nghĩa 2.2.6 Mỗi lớp MP (P) định lí 2.2.10 MP có đường biên đường thẳng a Hai điểm M1,N2 thuộc MP gọi phía đường thẳng a Hai điểm M,N thuộc hai MP khác gọi khác phía a Định nghĩa 2.2.7 Một cặp tia h, k có góc O gọi góc kí hiệu (h,k) Điểm O gọi đỉnh tia h,k gọi cạnh góc Nếu A,B hai điểm lấy tia h,k ta dùng kí hiệu góc AOB thay cho (h,k) Gọi h1 , k1 tia bù tia h,k Tập hợp điểm nằm phía với tia h đường thẳng kk1 nằm phía với tia k đường thẳng hh1 gọi miền góc (h,k) h1 k1 O k h Định lí 2.2.11 Nếu A, B hai điểm nằm cạnh h,k góc tia xuất phát từ góc O thuộc miền nằm góc điều cắt đoạn AB Ngược lại, tia nối đỉnh góc với điểm đoạn AB thuộc miền góc Gọi A,B điểm nằm canh h,k góc Chứng minh (h,k) ''xuất phát từ góc O nằm miền góc'' h1 k Gọi I I1 tia bù với tia l, l* chứa l l1 C I* Trên h1 lấy C cho O C A O l1 M B A k1 I h Áp dụng TĐ Pasch tam giác ABC, l* cắt CB AB l* khơng có điểm thuộc miền góc (h1,k) nên l* cắt AB l1 khơng có điểm thuộc góc (h,k) nên l cắt AB=M Ngược lại: M thuộc AB tia OM thuộc miền góc (h,k) tia l nằm phía hh1 kk1 CẢM ƠN CÔ VÀ CÁC BẠN ... tiên đề: Một tiên đề gọi độc lập khơng có tiên đề hệ hệ tiên đề khác Do độc lập tiên đề tạo nên hệ tiên đề gồm có số tối thiểu tiên đề, nghĩa hệ tiên đề khơng có tiên đề thừa c) Sự đầy đủ hệ tiên... 1: Các tiên đề liên thuộc 2.2 Nhóm 2: Các tiên đề thứ tự Khi nghiên cứu hệ tiên đề cần ý vấn đề sau đây: a) Sự mâu thuẫn hệ tiên đề: Từ tiên đề hệ ta khơng suy kết trái với tiên đề kết trái ngược... đề khơng có tiên đề thừa c) Sự đầy đủ hệ tiên đề: Số tiên đề hệ phải đảm bảo đầy đủ để xây dựng nên môn học suy luận chặt chẽ 2.1 Nhóm 1: Các tiên đề liên thuộc Tương quan xét nhóm tương quan