Luận văn thạc sĩ tính chính quy lyapunov trong không gian hilbert

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tran Th% Huyen Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2012 Tran Th% Huyen Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Lê Huy Tien Hà N®i - 2012 Mnc lnc Lài cam ơn i Lài nói đau iv Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Toán tu liên hop 1.3 Toán tu unita 1.4 Nguyên lý điem bat đ®ng 1.5 Phương pháp trnc giao hóa Schmidt 1.6 Bő đe Gronwall-Bellman Tính őn đ%nh cna h¾ vi phân tuyen tính 1.7 Tính quy Lyapunov không gian hEu han chieu 2.1 So mũ Lyapunov 2.2 Tính quy 2.3 Cách đưa tốn ve trưịng hop tam giác 2.4 Đ¾c trưng cna tính quy 11 Tính quy Lyapunov khơng gian Hilbert 17 3.1 So mũ Lyapunov 17 3.2 Tính quy 18 3.3 Cách đưa tốn ve trưịng hop tam giác 19 3.4 H¾ so quy h¾ so Perron 22 3.5 Đ¾c trưng cna tính quy 26 3.6 M®t so đánh giá cho h¾ so quy h¾ so Perron 32 ii Tính on đ%nh cua phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 35 4.1 Mđt so ieu kiắn cna phng trình vi phân khơng ơtơnơm 35 4.2 Các ket qua ve tính őn đ%nh nghi¾m 39 Ket lu¾n 47 Tài li¾u tham khao 49 Lài nói đau Lý thuyet n %nh l mđt bđ phắn quan TRQNG cna lý thuyet đ%nh tính phương trình vi phân Nó đưoc úng dung ngày nhieu lĩnh vnc kinh te, khoa HQc ky thu¾t, sinh thái HQc mơi trưịng HQc Vì v¾y, lý thuyet őn đ%nh cna phương trình vi phân đưoc phát trien manh me Có hai phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân phương pháp su dung so mũ đ¾c trưng Lyapunov (hay cịn GQI phương pháp thú nhat Lyapunov), phương pháp hàm Lyapunov (hay GQI phương pháp thú hai Lyapunov) Lu¾n văn t¾p trung vào phương pháp thú nhat Cơ so cna phương pháp khái ni¾m so mũ Lyapunov Vói trưịng hop phương trình vi phân ơtơnơm v J = Av khơng gian huu han chieu, giá tr% riêng đưoc dùng đe nghiên cúu tính őn đ%nh M®t ket qua biet cho trưòng hop là: Đ%nh lý 0.0.1 Phương trình vi phân ơtơnơm thuan nhat v J = Av, v ∈ Rn őn đ%nh neu chs neu tat ca giá tr% riêng cua ma tr¾n A đeu có phan thnc khơng dương, giá tr% riêng có phan thnc bang đeu có ưác ban đơn Nó őn đ%nh ti¾m c¾n chs tat ca giá tr% riêng cua ma tr¾n A đeu có phan thnc âm Cịn trưịng hop phương trình vi phân khơng ơtơnơm thuan nhat v J = A(t)v, so mũ Lyapunov đưoc dùng đe nghiên cúu tính őn đ%nh Chúng ta biet đieu ki¾n đn cna tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình sau: Đ%nh lý 0.0.2 Phương trình v J = A(t)v őn đ%nh ti¾m c¾n so mũ Lyapunov lán nhat cua âm Trong trưịng hop phương trình ơtơnơm huu han chieu, vói gia thiet thích hop, m®t nguyên lý ban tù sn őn đ%nh nghi¾m cna phương trình thuan nhat Lài nói đau v v J = Av se kéo theo sn őn đ%nh nghi¾m cna phương trình nua tuyen tính vói nhieu nho v J = Av +f (v) Còn trưòng hop khơng ơtơnơm, đieu khơng nua V¾y tốn đ¾t vói đieu ki¾n phương trình vi phân nua tuyen tính v J = A(t)v + f (t, v) őn đ%nh ti¾m c¾n Đe giai quyet tốn này, ngồi dùng so mũ Lyapunov, cũn can mđt cụng cu khỏc l hắ so chớnh quy Lu¾n văn h¾ thong lai ket qua ve tính quy Lyapunov khơng gian huu han chieu sau suy r®ng cho trưịng hop khơng gian Hilbert Ngồi phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom chương: Chương 1: "Kien thẫc chuan b% " trỡnh by mđt so khỏi niắm ban ve khơng gian Hilbert, tốn tu liên hop, tốn tu unita, khái ni¾m ve őn đ%nh nghi¾m, bő đe Gronwall-Bellman, phương pháp trnc giao hóa Schmidt, nguyên lý điem bat đ®ng Chương 2: "Tính quy Lyapunov khơng gian hEu han chieu" trình bày khái ni¾m so mũ Lyapunov, tính quy đ¾c trưng cna tính quy Lyapunov khơng gian huu han chieu Chương 3: "Tính quy Lyapunov khơng gian Hilbert" trỡnh by nđi dung chớnh cna luắn Cú ba ket qua chương Thú nhat, khái ni¾m so mũ Lyapunov tính quy Lyapunov cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert đưoc thiet l¾p Thú hai, hai đ¾c trưng cna tính quy Lyapunov (su dung h¾ so quy h¾ so Perron) đưoc trình bày n®i dung đ%nh lý 3.4.1 đ%nh lý 3.4.2 Thú ba, ưóc lưong cho h¾ so quy h¾ so Perron đưoc trình bày muc 3.5 Chương 4: "Tính on đ%nh cua phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert" trình bày úng dung cna h¾ so quy đe nghiên cúu tính őn đ%nh ti¾m c¾n cna phương trình vi phân nua tuyen tính v J = A(t)v + f (t, v) khơng gian Hilbert Hà n®i, ngày 22 tháng 05 năm 2012 Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Hilbert Không gian đn: Không gian metric X MQI dãy ban đeu h®i tu tói m®t phan tu cna X đưoc GQI m®t khơng gian metric đn (Dãy {xn } ⊂ X dãy ban neu lim ||xn − xm|| = 0) n,m→+∞ Không gian tien Hilbert: Không gian vectơ thnc X đưoc GQI không gian tien Hilbert, neu xác đ%nh m®t hàm hai bien (x, y) GQI tích vơ hưóng cna hai vectơ x y thoa mãn tính chat sau: (i) tính đoi xúng: (x, y) = (y, x); (ii) song tuyen tính: (αx + βy, z) = α (x, z) + β (y, z) vói MQI α, β ∈ R; (iii) thuan nhat dương: (x, x) > neu x ƒ= (x, x) = neu x = Không gian Hilbert H không gian tien Hilbert, đay đn, khoang √ cách giua phan tu x, y ∈ H đưoc xác đ%nh boi ||x − y|| = (x − y, x − y) 1.2 Toán tE liên hap Cho A tốn tu tuyen tính liên tuc không gian Hilbert H Do (Ax, y) phiem hàm song tuyen tính liên tuc nên ton tai nhat m®t tốn tu tuyen tính liên tuc A∗ thoa mãn (Ax, y) = (x, A∗ y) Toán tu A∗ xác đ%nh v¾y đưoc gQI tốn tu liên hop cna A Toán tu liên hop A∗ cna tốn tu A có tính chat sau: Chương Kien thúc chuan b% (i) ||A∗ || = ||A||; (ii) (A∗ )∗ = A; (iii) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (αA)∗ = αA∗ ; (iv) (AB)∗ = B ∗ A∗ 1.3 Toán tE unita Cho H khơng gian Hilbert Tốn tu unita tốn tu tuyen tính b% ch¾n U : H → H thoa mãn U ∗ U = UU ∗ = I, U ∗ tốn tu liên hop cna U I : H → H tốn tu đong nhat Tốn tu unita U có tính chat sau: (i) U bao tồn tích vơ hưóng cna khơng gian Hilbert H; (ii) U tồn ánh; (iii) Mien giá tr% cna U trù m¾t ngh%ch đao U −1 cna b% ch¾n, U −1 = U ∗ 1.4 Nguyên lý điem bat đ®ng Cho X khơng gian đ%nh chuan đay đn Ánh xa f : X → X đưoc GQI ánh xa co neu ton tai so θ thoa mãn < θ < 1, cho vói MQI x1 , x2 ∈ X ||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ θ||x1 − x2 || x đưoc GQi điem bat đ®ng cna ánh xa f neu f (x) = x Nguyên lý ánh xa co: MQI ánh xa co f : X → X đeu có nhat m®t điem bat đ®ng 1.5 Phương pháp trEc giao hóa Schmidt a) Xét khơng gian Rn: Phương pháp trnc giao húa Schmidt l phng phỏp chuyen mđt hắ n vect đc lắp tuyen tớnh {u1, , un} sang h¾ n vectơ {v1, , vn} khơng chúa vectơ θ, trnc giao vói tùng ụi mđt v moi vect cna hắ {v1, , vn} bieu dien tuyen tính qua h¾ {u1, , un} b) Xét không gian Hilbert H: H¾ {un } phan tu cna khơng gian Hilbert H đưoc GQI h¾ trnc giao neu (ui , uj ) = vói MQI i ƒ= j Cho h¾ {un } phan tu cna khơng gian Hilbert H cho vói MQI n h¾ {u1 , , un } đc lắp tuyen tớnh Khi ú ton tai mđt hắ trnc giao {vn } lnc lưong vói {un } cho vói MQI n, hai h¾ vectơ u1 , , un v1 , , có bao tuyen tính MQI khơng gian Hilbert tách đưoc cú mđt hắ trnc chuan ay n em oc hoắc huu han 1.6 Bo đe Gronwall-Bellman Cho λ(t) hàm thnc liên tuc µ(t) hàm liên tuc khơng âm khoang [a, b] Neu hàm liên tuc y(t) thoa mãn tính chat ∫ y(t) ≤ λ(t) +t µ(s)y(s)ds a vói MQI t ∈ [a, b], khoang ú ta cú (s)à(s)esá à( )d y(t) (t) + ∫t ds t a Neu λ(t) = λ mđt hang so thỡ át y(t) ea 1.7 à(s)ds Tính on đ%nh cua h¾ vi phân tuyen tính Xét phương trình vi phân tuyen tính sau v J = A(t)v + f (t, v), f (t, 0) = (1.1) Nghi¾m u = u(t), a < t < ∞ cna phương trình (1.1) đưoc gQI őn đ%nh theo Lyapunov (hay ngan GQN őn đ%nh) neu vói MQI s > t0 ∈ (a, ∞), ton tai so δ = δ(s, t0) > cho: (i) Tat ca nghi¾m v = v(t) cna phương trình (1.1) thoa mãn đieu ki¾n ||v(t0) − u(t0)|| < δ xác đ%nh khoang t0 < t < ∞; (ii) Đoi vói nghi¾m bat thúc sau đưoc thoa mãn ||v(t) − u(t)|| < s t0 ≤ t < ∞ Trưịng hop đ¾c bi¾t, nghi¾m khơng (nghi¾m tam thưịng) u(t) = 0, (a < t < ∞) őn đ%nh neu vói MQI s > t0 ∈ (a, ∞) ton tai δ = δ(s, t0 ) cho bat thúc ||v(t0 )|| < δ kéo theo bat thúc ||v(t)|| < s t0 < t < ∞ Trong đ%nh nghĩa trên, neu so δ > có the cHQN khơng phu thuđc vo ieu kiắn ban au t0 G (G = (a, ∞)), túc δ = δ(s) őn đ%nh đưoc GQI őn đ%nh đeu Nghi¾m u = u(t) (a < t < ∞) đưoc GQI őn đ%nh ti¾m c¾n t → +∞, neu: (i) Nghi¾m u = u(t) őn đ%nh theo Lyapunov; (ii) Vói MQI t0 ∈ (a, ∞) ton tai ∆ = ∆(t0) > cho MQI nghi¾m v(t) (t0 ≤ t < ∞) thoa mãn đieu ki¾n ||v(t0) − u(t0)|| < ∆ se có tính chat lim ||v(t) − u(t)|| = t→ ∞ Trưịng hop đ¾c bi¾t, nghi¾m khơng u(t) = őn đ%nh ti¾m c¾n, neu őn đ %nh lim v(t) = ||v(t0)|| < ∆ t→ ∞ Nghi¾m u(t) = đưoc gQI őn đ%nh mũ neu ton tai so γ > cho vói t0, ton tai so N = N (t0) mà ||v(t)|| ≤ Ne −γ(t−t0), v(t) nghi¾m vói đieu ki¾n ban đau ||v(t0)|| đn bé MQI λ(u) ≥ −ω + a + re−π = −ω + a + [(2 + λ)a cos s − ωλ]e−π > Vì v¾y, nghi¾m u(t) khơng őn đ%nh ti¾m c¾n Nói cách khác, gia thiet tat ca giá tr% cna so mũ Lyapunov âm không đn đam bao cho tính őn đ%nh ti¾m c¾n cna nghi¾m khơng cna phương trình (3.1) dưói tác đ®ng cna nhieu đn nho f , túc tính őn đ%nh ti¾m c¾n cna (4.1) Do đó, phan sau, se thay có nhung đieu ki¾n khác thoa mãn u cau 4.2 Các ket qua ve tính on đ%nh nghi¾m Vói moi so n ∈ N co đ%nh, xét so đoi ngau v1, , w1, , wn cna Hn cho max{λ(vi) + µ(wi) : i = 1, , n} = γn(λ,µ) (4.11) (chúng ta có đieu giá tr% nho nhat cna (3.13) lay m®t so huu han giá tr%) Tù đ%nh nghĩa so mũ Lyapunov, suy rang vói n ∈ N so s > ln ton tai m®t hang so DG,N > cho ||vi (t)|| ≤ DG,N e(λ(vi )+G)t ||wi (t)|| ≤ DG,N e (µ(w )+G)t , i (4.12) vói MQI t ≥ i = 1, , n, vi (t) nghi¾m cna (3.1) vói v0 = vi wi (t) nghi¾m cna (3.7) vói w0 = wi vói MQI i Chúng ta gia su, dãy (an )n dương tăng đn nhanh tói ∞ cho Σ + k2 DG, d := ∞ thoa mãn r (sup{λJi : i ∈ N} + s) + γ(λ, µ) + 2s < (4.14) Đieu ki¾n đưoc suy tù (4.4) s > đn nho Đe chúng minh ket qua őn đ%nh đoi vói phương trình (4.1), can m®t đánh giá ve chuan cna tốn tu tien hóa X(t)X(s)−1 han che khơng gian huu han chieu Hn Nhac lai rang, Đ%nh lý 3.3.1, đ%nh nghĩa toán tu V (t) : H → H cho V (t)ui = vi (t) vói MQI i ≥ 1, tù xác đ%nh tốn tu X(t) = U (t)−1V (t) (vói U (t) thoa mãn (3.14)) Túc có X J (t) = B(t)X(t) vói MQI t ≥ (4.15) Đ%nh lý 4.2.1 Vái MQI so tn nhiên n, s > t ≥ s ≥ 0, có X(t)X(s)−1|Hn ≤ n2D2 G, N e(λ J n,n +G)(t−s)+(γn (λ,µ)+2G)s Chúng minh Đ¾t Y (t) = [X(t)−1 ]∗ vói MQI t Lay đao hàm vói thúc X(t)X(t)−1 = X(t)Y (t)∗ = Id X J (t)X(t)−1 + X(t)Y J (t)∗ = có Tù (4.15), suy X(t)Y J (t)∗ = −B(t)X(t)X(t)−1 = −B(t) Vì v¾y, Y J (t)∗ = −X(t)−1 B(t) = −Y (t)∗ B(t), Y J (t) = −B(t)∗ Y (t) (4.16) Theo (4.15), hàm xi (t) = X(t)vi nghi¾m cna phương trình xJ = B(t)x vói MQI i = 1, , n Tương tn, theo (4.16), hàm yi (t) = Y (t)wi nghi¾m cna phương trình y J = −B(t)∗ y vói MQI i = 1, , n Chúng ta có xi (t) = U (t)−1 vi (t) yi (t) = U (t)−1 wi (t), wi (t) = [V (t)−1 ]∗ wi vói MQI i Su dung (3.14), có wiJ (t) = U J (t)yi (t) + U (t)yiJ (t) = [U J (t)U (t)−1 − U (t)B(t)∗ U (t)−1 ]wi (t) = [−A(t)∗ + U J (t)U (t)−1 + U (t)U J (t)∗ ]wi (t) d = Σ−A(t)∗ + (U (t)U (t)∗ )Σ iw (t) = −A(t)i∗ w (t) d t (4.17) Vì v¾y, wi (t) nghi¾m cna (3.7) vói w0 = wi vói MQI i Vì U (t) tốn tu unita nên tù (4.12) (4.17), suy ||xi (t)|| ≤ DG,N e(λ(vi )+G)t ||yi (t)|| ≤ DG,N e(µ(wi )+G)t vói mQI t ≥ i = 1, , n Vói i j cho trưóc thoa mãn ≤ i ≤ n ≤ j ≤ n, ta xét so aij = X(t)X(s)−1ui, uj Σ MQI t ≥ 0, nên có a = vói i < Do X(t) có dang tam giác vói ij j Bây giò, xét trưòng hop i ≥ j Ta có X(t)X(s)−1 = X(t)Y (s)∗ vói MQI t ≥ s ≥ Vì v1 , , , w1 , , wn so đoi ngau, nên ta có n Σ aij = (Y (s) ui , X(t) uj ) = (Y (s)∗ ui , wk ) (vk , X(t)∗ uj ) ∗ ∗ k= 1n = Σ (ui, Y (s)wk) (X(t)vk, uj) k= 1n = Σ (ui, yk(s)) (xk(t), uj) k=1 Tiep tuc su dung (4.11), có n Σ |aij | ≤ ||yk (s)||.||xk (t)|| k= Σ1 n ≤ G, N k= D n e(λ(v )+G)t+(µ(w )+G)s k k e(λ(v )+G)(t−s)+(λ(v )+µ(w )+2G)s k Σ= k k G, N D k=1 ≤ e(λ nDG,N J n,n +G)(t−s)+(γn (λ,µ)+2G)s Σ Tương tn trình chúng minh Đ%nh lý 3.3.1, vói v = ||v|| = 1, có n ||X(t)X(s)−1v|| =Σ i=1 Σj =1 α i n i= αiui ∈ Hn mà X(t)X(s) −1 n u i , uj Σ j u Σ2 Σ n = Σ αiaij j=1 n i= Σ j n Σ 22 a Σ α i ≤ Σj=1 n Σ aij i=j Σj j ||X(t)X(s)−1v|| ≤ n2D2 ≤ i=j i= Vì v¾y, ij =1 e(λ J G, N n,n +G)(t−s)+(γn (λ,µ)+2G)s □ Bây giò, se su dung đánh giá đe chúng minh ket qua őn đ%nh cna nghi¾m khơng cna phương trình (4.1) Lưu ý rang, tù Đ%nh lý 3.3.1, ln có the gia su A(t) có dang tam giác vói MQI t Vì v¾y, ta có the cHQN U (t) = Id, xét tốn tu X(t) = V (t) Đ%nh lý 4.2.2 Neu đieu ki¾n H1 - H3 (4.4) đúng, vái MQI dãy (an )n dương tăng đu nhanh tái ∞, MQI s > đu nhó cho trưác, ln ton tai m®t hang so a > cho MQI nghi¾m cua phương trình (4.1) vái ||v0 || đu nhó tồn cnc thóa mãn ||v(t)|| ≤ ae(sup{λji :i∈N}+G)t ||v0 || vái MQI t ≥ (4.18) Chúng minh Ký hi¾u v(t) nghi¾m cna phương trình (4.1) Phương trình tương đương vói phương trình tích phân ∫ v(t) = X(t)v0 +t X(t)X(s)−1 f (s, v(s))ds (4.19) Xét tốn tu ∫t (Tv)(t) = X(t)v0 + khơng gian X(t)X(s)−1 f (s, v(s))ds Bδ = {v : [0, ∞) → H liên tuc : ||v(t)|| ≤ δeαt vói MQI t ≥ 0}, δ > (đưoc cHQN sau), α = sup{λJi : i ∈ N} + s vói s > cho α < Trên Bδ, xác đ%nh m®t chuan sau ||v|| = sup{||v(t)||e−αt : t ≥ 0} Nh¾n thay rang Bδ xác đ%nh vói chuan khơng gian metric đay đn Vì v¾y, se chúng minh rang T ánh xa co khơng gian Bδ Th¾t v¾y, theo Đ%nh lý 4.2.1, vói MQI so tn nhiên n ∈ N, s > t ≥ s ≥ 0, có ||X(t)X(s)−1|Hn|| ≤ n2D2 ≤n D e(λ J G, N,N G n,n +G)(t−s)+(γn (λ,µ)+2G)s eα(t−s)+βs, (4.20) β = γ(λ, µ) + 2s Lay v1 , v2 ∈ Bδ Do X(t) có dang tam giác vói MQI t, ket hop vói (4.20) đieu ki¾n H3 có ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ∞ Σ −1 = ||X(t)X(s) (f (s, v1(s)) − f (s, v2(s)), uk) uk|| k=1 ∞ Σ ≤ | (f (s, v1(s)) − f (s, v2(s)), uk) uk|.||X(t)X(s)−1|Hk|| k=1 ∞ Σ ≤ a ||v k=1 k ∞ Σ ≤ k k= 1∞ ≤ 2δ (s) − v2 Σ k=1 (s)||(||v1 (s)||r + || (s)||r)k2D2G, eα(t−s)+βs K v2 − v ||(|| 1||r + || v v D2G, || K v r (4.21) αt+(rα+β)s ak r 2 k DG,K va1 || − v2 || ) e ||eαt+(rα+β)s (4.22) k Vói d hang so đưoc xác đ%nh theo cơng thúc (4.13), tù đánh giá có ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ≤ 2dδ r ||v1 − v2 ||eαt+(rα+β)s (4.23) Tù đieu ki¾n (4.4) gia thiet, có đánh giá (4.14) Đieu ki¾n H3, dãy (an)n phân kỳ đn nhanh kéo theo gia thiet d < ∞ Vì v¾y, ||T (v1)(t) − (Tv2)(t)|| ≤ 2dδ ∫ r ||v1 − v2||eαt t ≤ 2dκδ ||v1 − v2||eαt, r e(rα+β)sds ∫ κ = ∞e(rα+β)sds Do đó, ||T v1 − Tv || ≤ θ||v1 − v2||, (4.24) vói θ = 2dκδ r Bây giò, chQn δ ∈ (0, 1) cho θ < Vói v0 ∈H thoa mãn đieu ki¾n H3, ta áp dung (4.20) vói s = 0, ta có ||X(t)v0|| ≤ lim ≤ n Σ n→∞ k=1 Σ∞ k | (v0, uk) |.||X(t)|Hk|| D2G,K αt e ||v 0|| = deαt || 0|| a v (4.25) k M¾t khác, ta lai có X(t)v0 = (T 0)(t) Vì v¾y, vói v ∈ Bδ , cHQN v1 = v ∈ Bδ v2 = (4.24), có ||(T v)(t)||e−αt ≤ ||(T 0)t||e−αt + ||(T v)(t) − (T 0)(t)||e−αt ≤ ||X(t)v0|| + ||T v − T 0|| ≤ d||v0|| + θδ < δ vói v0 đưoc cHQN đn nho Vì v¾y, T (Bδ ) ⊂ Bδ , nên T ánh xa co khơng gian metric đay đn Bδ Do đó, (4.1) có nghi¾m nhat v ∈ Bδ Bây giị, ta tiep tuc chúng minh tính őn đ%nh cna nghi¾m khơng, túc chúng minh đánh giá (4.18) Th¾t v¾y, đ¾t u(t) = (T 0)(t) = X(t)v0 Chúng ta có +∞ Σ [(T k+10)(t) − (Tk0)(t)] v(t) = lim (T 0)(t) = n n→+ ∞ k=0 Tù (4.24) (4.25), suy ||v|| ≤ ||u|| + Σ ∞ ≤ d||v0|| θk||u|| = 1− θ 1− θ Vì v¾y, theo cách đ%nh nghĩa chuan Bδ, có ||v(t)|| ≤ d||v0 || αt e vói MQI t ≥ 1− θ (4.26) Chúng ta ket thúc chúng minh đ%nh lý □ Đ%nh lý sau đưoc suy tù ket qua cna Đ%nh lý 4.2.2 Tuy nhiên, han che cna đ%nh lý so vói Đ%nh lý 4.2.2 xét tính őn đ%nh cna nghi¾m khơng (3.1) can thoa mãn đieu ki¾n quy, túc γ(λ,µ) = Gia thiet khơng can thiet neu su dung Đ%nh lý 4.2.2 Đ%nh lý 4.2.3 Neu đieu ki¾n H1-H3 (4.5) đưac thóa mãn phương trình (3.1) quy Lyapunov vái MQI dãy (an )n dương tăng đu nhanh tái ∞, MQI s > đu nhó cho trưác, ln ton tai m®t hang so a > cho MQi nghi¾m cua phương trình (4.1) vái ||v0 || đu nhó tồn cnc thóa mãn (4.18) Mđt hắ qua khỏc cna %nh lý 4.2.2 xột tính őn đ%nh cna nghi¾m khơng đưoc trình bày n®i dung đ%nh lý sau Đ%nh lý 4.2.4 Gia su rang đieu ki¾n H1-H3 đưac thóa mãn, ton tai hang so α < β > thóa mãn rα + β < 0, ton tai m®t dãy dương (cn)n vái Σ ∞k c a < ∞ cho vái MQI n ∈ N t ≥ s ≥ 0, k=1 k ||X(t)X(s)−1|Hn|| ≤ cneα(t−s)+βs (4.27) Khi đó, ton tai m®t hang so a > cho MQI nghi¾m cua phương trình (4.1) vái ||v0|| đu nhó tồn cnc thóa mãn ||v(t)|| ≤ aeαt ||v0 || vái MQI t ≥ (4.28) Chúng minh L¾p lai bưóc chúng minh Đ%nh lý 4.2.2, thay the đánh giá (4.20) bang đánh giá (4.27), đánh giá (4.23) (4.25) lan lưot boi ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ≤ 2ηδ r ||v1 − v2 ||eαt+(rα+β)s , η = ∞ Σ k= ck/ak < ∞, ||X(t)v0 || ≤ ηeα ||v0 || vói MQI v0 ∈ H thoa mãn đieu ki¾n H3 t Túc là, đat đưoc bat thúc tương tn (4.23) (4.25), vói η thay the cho d Khi đó, cHQN δ ∈ (0, 1) cho ds < 1, r ∫∞ θ := 2ηδ e(rα +β) s nên suy tù chúng minh cna Đ%nh lý 4.2.2 MQI nghi¾m v(t) cna phương trình (4.1) vói ||v0 || đn nho thoa mãn đánh giá (4.28) vói α = η/(1 − θ) □ Đ%nh lý 4.2.5 Gia su rang đieu ki¾n H1-H2 đưac thóa mãn,và ton tai so α < β > 0, vái rα + β < 0, C > cho ||X(t)X(s)−1 || ≤ Ceα(t−s)+βs vái MQI t ≥ s ≥ Khi đó, ton tai m®t hang so a > cho MQI nghi¾m cua phương trình (4.1) vái ||v0|| đu nhó tồn cnc thóa mãn (4.28) Chúng minh Tương tn chúng minh Đ%nh lý 4.2.4, l¾p lai bưóc chúng minh Đ%nh lý 4.2.2, bang cách thay the (4.23) (4.25) lan lưot bang đánh giá ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ≤ ||X(t)X(s)−1 ||.||f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s))|| ≤ Ceα(t−s)+βsc||v1(s) − v2(s)||(||v1(s)||r + ||v2(s)||r) ≤ Cc||v1 − v2||(|| v1|| r + ||v2|| r )e αt+(rα+β)s ≤ 2Ccδ r ||v − v || αt+(rα+β)s , e ||X(t)v0|| ≤ ||X(t)||.||v0|| ≤ Ceα ||v0|| t Tiep tuc theo cách chúng minh cna Đ%nh lý 4.2.2, có ket qua cna Đ%nh lý 4.2.5 □ Trong trưòng hop huu han chieu Rn, có ket qua manh đưoc trình bày đ%nh lý sau Đ%nh lý 4.2.6 Gia su rang: (i) A : R0+ → M (Rn) hàm liên tnc thóa mãn (3.14); (ii) f : R0+ × Rn → Rn hàm liên tnc thóa mãn f (t, 0) = vái MQI t ≥ 0, ton tai hang so c, r > cho vái MQI t ≥ u, v ∈ Rn, ta có ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ c||u − v||(||u||r + ||v||r ); (iii) r sup{λJi : i = 1, , n} + γn (λ,µ) < Khi đó, nghi¾m v(t) = cua phương trình (4.1) őn đ%nh mũ Chúng minh Thay the chuoi chúng minh cna Đ%nh lý 4.2.2 bang tőng huu han, se không can đieu ki¾n (4.2) đieu ki¾n H3 Hơn nua, tù (iii) đ%nh lý suy (4.4) Vì v¾y, đ%nh lý tro thành h¾ qua □ cna Đ%nh lý 4.2.2 Ket lu¾n Lu¾n văn suy rđng tớnh chớnh quy Lyapunov (so m Lyapunov, hắ so quy, h¾ so Perron) tù khơng gian huu han chieu sang khơng gian Hilbert, tù đưa đ¾c trưng cna tính quy cna phương trình vi phân không ôtônôm thuan nhat v J = A(t)v, úng dung nghiên cúu tính őn đ%nh ti¾m c¾n cna phương trình v J = A(t)v + f (t, v) Lu¾n văn đe c¾p đen van đe sau: Trình bày đ%nh nghĩa so mũ Lyapunov tính quy cna phương trình vi phân vJ = A(t)v không gian huu han chieu Rn khơng gian Hilbert; Đ%nh nghĩa h¾ so quy, h¾ so Perron moi quan h¾ giua hai h¾ so này; Trình bày hai đ¾c trưng cna tính chớnh quy khụng gian Hilbert, mđt ắc trng dna vào tốn liên hop cna phương trình vJ = A(t)v v mđt ắc trng dna vo hỡnh hđp m canh đưoc tao boi h¾ vectơ v1, , vm cna khơng gian Hilbert H; Trình bày mđt so úc long cho hắ so chớnh quy v h¾ so Perron khơng gian Hilbert; Trình bày úng dung cna h¾ so quy nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương trình khơng ơtơnơm vói nhieu nho khơng gian Hilbert; Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen The Hồn, Pham Phu (2004), Cơ sá phương trình vi phân lý thuyet őn đ%nh, Nhà xuat ban Giỏo duc, H Nđi [2] Tran TRQNG Huắ (2005), Giáo trình Đai so tuyen tính Hình HQc giai tích, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [3] Nguyen Văn Minh (2002), Phương trình vi phân thưàng, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [4] Hồng Tuy (2006), Hàm thnc giai tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i, Hà N®i Tieng Anh [5] A.Lyapunov (1992), The general problem of the stability of motion, Taylor and Francis [6] Luis Barreira and Ya Pesin (2002), Lyapunov Exponents and Smooth Er- godic Theory, University Lecture Series 23, Amer Math Soc [7] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Stability of Nonautonomous Differential Equations, Springer, Berlin-Heidelberg [8] Ju L Duleckll and M G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island ... 2: "Tính quy Lyapunov khơng gian hEu han chieu" trình bày khái ni¾m so mũ Lyapunov, tính quy đ¾c trưng cna tính quy Lyapunov khơng gian huu han chieu Chương 3: "Tính quy Lyapunov khơng gian Hilbert" ... γ(λ,µ) = □ Chương Tính quy Lyapunov không gian Hilbert Trong phan này, se suy rđng khỏi niắm tớnh chớnh quy Lyapunov khụng gian Hilbert 3.1 So mũ Lyapunov Gia su H khơng gian Hilbert thnc tách... lu¾n văn Có ba ket qua chương Thú nhat, khái ni¾m so mũ Lyapunov tính quy Lyapunov cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert đưoc thiet l¾p Thú hai, hai đ¾c trưng cna tính quy Lyapunov