Luận văn thạc sĩ về ước lượng metric kobayashi

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN VĂN QUANG VE ƯéC LƯeNG METRIC KOBAYASHI LUắN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - Năm 2017 NGUYEN VĂN QUANG VE ƯéC LƯeNG METRIC KOBAYASHI Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS Ninh Văn Thu Hà N®i - Năm 2017 Mnc lnc Lài cam ơn Danh mnc ký hi¾u Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm chinh hình 1.2 Hàm đieu hòa, đa đieu hòa dưói 1.3 Mien gia loi, gia loi ch¾t 11 1.4 Hàm Green, Green đa cnc 12 1.5 Kieu huu han, vô han 13 1.6 Mien C-loi, C-loi hóa .14 1.7 Metric Kobayashi, khoang cách Kobayashi 14 Chương So sánh hàm Green thEc vái hàm Green phÉc ưác lưang ch¾t cua khoang cách Kobayashi 19 2.1 Ký hi¾u đai lưong bő tro 19 2.2 Ti so cna hàm Green .20 2.3 C¾n cna hàm Lempert 21 2.4 Ưóc lưong dưói cna khoang cách Kobayashi .24 2.5 Chúng minh cna Đ%nh lý 2.2.1, 2.2.2 2.2.3 .27 Ket lu¾n 34 Tài li¾u tham khao 35 Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưịng Đai hQc Khoa hQc Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Ninh Văn Thu Nhân d%p này, xin bày to lịng biet ơn sâu sac chân thành nhat tói thay Thay dành nhieu thịi gian, cơng súc đe hưóng dan, kiem tra giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn đen lãnh đao thay khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQ c Khoa HQc Tn nhiên ve nhung kien thúc, nhung đieu tot đep mà tơi nh¾n đưoc suot q trình HQc t¾p tai khoa Tơi xin gui lịi cam ơn đen Phòng Sau Đai HQ c cna nhà trưòng tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành thn tuc HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi muon bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân ban bè Nhung ngưịi ln bên canh đng viờn nng hđ tụi ca ve vắt chat v tinh than cuđc song v HQ c M¾c dù ban thân tơi có nhieu co gang ban lu¾n văn van khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay, ban Tơi xin chân thành cam ơn Hà n®i, tháng 11 năm 2017 Tác gia lu¾n văn Nguyên Văn Quang Danh mnc ký hi¾u GD(z, w) Hàm Green tai cnc w ∈ D gD(z, w) Hàm Green đa cnc tai cnc w ∈ D SH−(D) T¾p hàm đieu hịa dưói D PSH − (D) T¾p hàm đa đieu hịa dưói D δD(z) Khoang cách tù z tói biên D lD(z, w) Hàm Lempert κD(z; X) Metric Kobayashi-Royden kD(z, w) Khoang cách Kobayashi O(E, G) T¾p ánh xa song chinh hình tù E vào G Lài nói đau Trong tốn HQ c đ¾c bi¾t hình HQ c phúc, metric Kobayashi m®t gia metric liên quan tói đa tap phúc Nó đưoc giói thi¾u boi Shoshichi Kobayashi vào năm 1967 Đa tap hyperbolíc m®t lóp quan TRQNG cna đa tap phúc, xác đ%nh boi tính chat rang gia metric Kobayashi m®t metric Các khái ni¾m ban đau cna metric Kobayashi nam bő đe Schwarz giai tích phúc Cu the, neu f m®t hàm chinh hình đĩa đơn v% mo D t¾p so phúc C cho f (0) = |f (z)| < vói MQI z thu®c D đao hàm f J (0) có giá tr% tuy¾t đoi lón nhat bang Tőng qt hơn, vói ánh xa chinh hình f bat kỳ tù D vào (khơng nhat thiet gui vào 0), ton tai mđt cắn trờn phỳc tap hn cna đao hàm cna f tai điem bat kỳ D Tuy nhiên, c¾n có cơng thúc đơn gian metric Poincare, m®t metric Riemann đay đn D vói đ® cong bang −1 Đieu khoi đau cho sn liên h¾ giua giai tích phúc hình HQc vói đ® cong âm Vói bat kỳ khơng gian phúc X, gia metric Kobayashi kX đưoc đ%nh nghĩa gia metric lón nhat X cho kX (f (x), f (y)) ≤ ρ(x, y), vói MQI ánh xa chinh hình f tù đĩa đơn v% D lên X, ρ(x, y) ký hi¾u khoang cách metric Poincare D Theo m®t nghĩa đó, cơng thúc tőng quát hóa bő đe Schwarz cho tat các khơng gian phúc M®t khơng gian phúc X đưoc GQI hyperbolíc neu gia metric Kobayashi kX m®t metric, có nghĩa kX (x, y) > vói MQI x ƒ= y X Lý thuyet ve khoang cách Kobayashi ngày tro nên thú v% có nhieu ví du ve đa tap hyperbolíc đưoc tìm vói tính chat giai tích, tính chat tơpơ, ưóc lưong đánh giá cna gia khoang cách Kobayashi ánh xa chinh hình Các ket qua nhung trưịng hop ngoai l¾ đa tap Banach giai tích, nhung khoi cau, mien Reinhardt, mien đoi xúng, nhung ánh xa song chinh hình giua m®t vài dang cna nhung mien khơng gia loi vói biên giai tích thnc Trong lu¾n văn chúng tơi trình bày khái ni¾m gia khoang cách Kobayashi trình bày m®t so ket qua ve ưóc lưong ch¾t cna khoang cách Kobayashi dna báo “Comparison of the real and the complex Green functions, and sharp estimates of the Kobayashi distance” cna N Nikolov P.J Thomas đăng arXiv: 1608.06615v1 năm 2016 Cu the, ngồi phan Lịi nói đau, Ket lu¾n Tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom hai chương Chương 1: “Kien thúc chuan b%” Trong chương ta trình bày m®t so kien thúc ve hàm chinh hình, hàm đieu hịa, hàm đa đieu hịa dưói, hàm Green, hàm Green đa cnc, mien C-loi, C-loi hóa đưoc, gia khoang cách Kobayashi, metric Kobayashi Chương 2: “So sánh hàm Green thnc vói hàm Green phúc ưóc lưong ch¾t cna khoang cách Kobayashi” Trong chương chúng tơi trình bày ve ti so so sánh giua hàm Green thnc vói hàm Green phúc, sau chúng tơi trình bày ưóc lưong c¾n cna hàm Lempert ưóc lưong dưói cna khoang cách Kobayashi Vì trình đ® cịn han che nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung sai sót, tơi hy vQNG se nh¾n đưoc nhieu ý kien đóng góp tù thay giáo ban ĐQ c đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Chương Kien thÉc chuan b% Chương trình bày m®t kien thúc chuan b% bao gom đ%nh nghĩa m®t so ví du ve hàm chinh hình, hàm song chinh hình, hàm đieu hịa, hàm đa đieu hịa dưói, hàm Green, hàm Green đa cnc, mien C-loi, C-loi hóa đưoc, gia khoang cách Kobayashi, metric Kobayashi 1.1 Hàm chinh hỡnh Gia su D l mđt mien cna mắt phang phúc C f hàm bien phúc z = x + iy xác đ%nh D Đ%nh 1.1.1 ([1]) Hàm f đưoc GQI C-kha vi tai điem z0 ∈ D neu ton tainghĩa giói han f (z + h ) − f ( z ) limh→0 h hƒ=0 Trong trưịng hop này, dfta nói rang f có đao hàm theo bien phúc tai điem z0 ký hi¾u ) hay (z0): dz f J(z0 f J (z ) = df f (z0 + h) − f (z0) 0) = lim (z Xét vi phân dz df = h→0 ∂f ∂f h dx dy + ∂y ∂x Đoi vói hàm z = x + iy z = x − iy, ta có dz = dx + idy, dz = dx − idy (1.1) đó, thu đưoc dx = (dz + dz),dy = (dz − dz) 2i The (1.2) vào (1.1), ta thu đưoc h¾ thúc ∂f Σ df = ∂f +i Σdz −i dz + ∂f ∂ x ∂f ∂ ∂ ∂ y x y Bang cách đ¾t ∂f ∂f 1 Σ ∂f + i Σ = = −i , ∂f ∂f ∂f ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ta thu đưoc ∂f ∂f ∂f = − Σ ∂f ∂f = ∂f ∂ ∂ +∂ , ∂ i ∂ ∂ x z z y z z ta có the viet bieu thúc vi phân (1.1) dưói dang df = ∂f ∂f dz dz + ∂z (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) ∂z Đ%nh lý 1.1.2 ([1]) Hàm f C-kha vi tai m®t điem chs R2-kha vi tai điem ∂f = ∂z Đ%nh nghĩa 1.1.3 ([1]) Gia su D m®t mien cna m¾t phang phúc C (i) Hàm f : Dlân →c¾n C đưoc hàm chsnh vi tai m®t GQI cna điem z0 hình tai điem z0 neu C-kha (ii) Hàm f : D → C đưoc GQI hàm chsnh hình mien D neu chinh hình tai MQI điem cna mien ay T¾p hop MQI hàm chinh hình mien D đưoc ký hi¾u O(D) (iii) Hàm f (z) chsnh hình tai điem vô neu hàm ϕ(z) = f Σ chinh hình tai điem z = z Đ%nh nghĩa 1.1.4 Gia su D, E mien cna m¾t phang phúc Hàm f : E → D đưoc GQI song chinh hình neu m®t song ánh chinh hình tù E vào D T¾p hop hàm song chinh hình tù E vào D đưoc ký hi¾u O(E, D) Ví dn 1.1.5 M®t so hàm chinh hình sơ cap • hàm đa thúc P (z) √ = a0zn + a1zn−1 + · · · + an, n n • hàm w = z z w, n ∈ N, = • hàm ez, • hàm lơgarit, • hàm lũy thùa zα, α ∈ R, • hàm lưong giác sin z, cos z, tan z, cot z Đ%nh lý 1.1.6 ([1]) Neu f g chsnh hình D thì: (i) f + g chsnh hình D (f + g)J = f J + gJ (ii) fg chsnh hình D (fg) J = f J g + fg J (iii) Neu g(z0) f/g chsnh hình tai z0 f ΣJ (z f J (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g J (z0 ) )= g2(z0) Đ%nh lý 1.1.7 ([1]) Neu g f (w) hàm chsnh hình mien E ⊂ C neu g : D → E hàm chsnh hình mien D ⊂ C hàm hap f [g(z)] chsnh hình D Chúng minh Th¾t v¾y, de thay rang ∂[f (g)] ∂z Theo gia thiet D 1.2 ∂f = 0, ∂w ∂f = ∂g ∂w ∂f · ∂z + ∂w ∂g · ∂z ∂g = 0, ta suy f [g(z)] hàm chinh hình ∂z Hàm đieu hịa, đa đieu hịa dưái Lóp hàm thnc liên quan m®t cách ch¾t che vói hàm chinh hình lóp hàm đieu hịa gD(w, z) Khi đó, a có kieu nhieu nhat 2m chs ton tai lân c¾n U cua a C > cho D δD (z)1/2 h˜ (z, w) ≥ C log + C |z − w| Σ , z ∈ D ∩ U, w ∈ D (2.6) M®t câu hoi tn nhiên có the tìm c¾n cna hàm gD kD khơng, th¾t ra, nhieu ket qua cho kD đưoc đưa theo hưóng này, xem [10] Ví du, đe thu đưoc ưóc lưong trên, su dung (2.5), ta chi can tìm c¾n cna ˜l (z, w) D M¾nh ⊂ cho Cn b% ch¾n, C2-trơn, C-loi hóa đưac đ%a phương Khi đó, đe ton2.3.3 tai C Cho > 0Dsao D δD (z)1/2m D (w)1/2 ˜l (z, w) ≤ log + C |z − w| Σ , z, w ∈ D (2.7) Chúng minh Theo (2.9) minh bên vói ε0 su >ε chotatrưóc, đưoc vóitính |z−w| ≥ cna Neu min(δ (w), δ D (z)) suy (2.7) đoia(chúng xúng so,Ddưói), ta có the gia rang D (z) δ(2.7) ≤ 2ε Vói bat kỳ ∈2ε0∂D, tahàm có the cHQN mđt lõncắn b% U0 0Theo D (w) cna a δch¾n cho D ∩ U Cloi hóa đưoc C -trơn (xem [13, M¾nh đe 3.3]), phép chieu π lên ∂D hoàn toàn xác đ%nh U C HQN cỏc lõn cắn cna a, U ô U ,, cho D ∩0δUsao Dvói ∩=Uδ > cho ∈ D≤HQ ∩δhuu U1(w) (z)Uvà ≤ « 0D, (z) w ε kéo theo (z) Ta có0∈the phn ∂D bang han 1− D∩U cδ εw| > cho bat kỳUε z, thoa mãn δz (z) ≤δ2D 2ε 0δ |zHQN ≤ ε Khi đó, z ∈ , w U (vói a D ∈ ∂D) D δ (z) = D∩U (z), (w) = δ (w) D D∩U D Cho z, w trên, ˜lD (z, w) ≤ ˜lD∩U0 (z, w) Khi đó, theo đ%nh lý Lempert, ˜lD∩U = k˜D∩U , theo [10, H¾ qua 8], ta có 0 |z − w| k˜ (z, w) ≤ log + C Σ D∩U0 δD∩U0 (z) 1/2 D∩U0 (w)1/2 = log Σ1 + C |z −δw| δD(z)1/2δD(w)1/2 M¾nh đe kéo theo rang thùa so m Đ%nh lý 2.2.2-2.4.2 tot nhat M¾t khác, đ%nh lý chi rang so mũ 1/2 M¾nh đe 2.3.3 tot nhat Theo (2.1), ta có: H¾ qua 2.3.4 Cho D ⊂ Cn b% ch¾n, C2-trơn, C-loi hóa đưac đ%a phương Khi đó, ton tai C > cho gD(z, w) GD(z, w) ≥ C|z − w|2n−2, z, w ∈ D, z ƒ= w (2.8) Chúng minh Tù (2.1), ta suy (2.8) tương đương vói δD(z)δD(w) Σ− g (z, w) “.min 1, D |z − w|2 Su dung M¾nh đe 2.3.3 Bő đe 2.1.1, ta suy lD ≥ gD biet tù [12, Đ%nh 2] rang neu D mien b% ch¾n, C1+ε Cn Ta ưócđãlưong yeu (2.7)lýđúng: ˜l (z, w) ≤ log C (2.9) D D δ D (w)1/2 (z)1/2δ Ta ý tói vi¾c (2.7) (2.8) có cịn trưịng hop tőng quát không hay không 2.4 Ưác lưang dưái cua khoang cỏch Kobayashi 2m n %nh lý 2.4.1 C mđt chắn, -trơn, hóaD,đưac đ%a phương kieuCho 2m.DKhi đó,là ton tai mien C > b% cho C vái bat kỳ C-loi z, w ∈ Σ |z ˜ (z, w) ≥ m log + C |z − Σ kD (2.10) 1+C δ (z)1/2 δ (w)1/2 w| − w| Đieu đưoc suy tù ket qua ch¾t đ%a phương tương úng Đ%nh 2.4.2 D ∂D ⊂ Ccón m®t mien -trơn C-loi hóa đưac đ%a phươnglý gan điemCho a∈ kieu 2m Khimà đó,Cton tai m®t lân c¾n U cua a C > cho vái bat kỳ z ∈ D ∩ U, w ∈ D, D k˜ (z, w) ≥ m log + C δD (z)1/2 |z − w| Σ (2.11) Chúng minh cua Đ%nh lý 2.4.1 Dưói gia thiet cna Đ%nh lý 2.4.1, %nh lý 2.4.2 vcỏch mđtba lắp luắn ve tínhz,compact cho 0> đong nhat vói w ∈ D chi neuraδton < δ2δ tính đoi(2.11) xúng,xay ta Do D(z)tai chim®t can xét trưịng sau Trưàng hap δD(z) ≥ δ0, δD(w) ≥ δ0 mien b% ch¾n Khibat đó,kỳ(2.10) đưoc rút tù bat thúc k˜D (z, w) “ |z − w|, Trưàng hap δD(z) < δ0, δD(w) ≥ 2δ0 |z − w | |z − w | Khi đó, “ 1“ theo (2.11), ta suy (2.10) (vói C 1/2 δD(z)1/2 δD(w) lón hơn) m m Trưàng hap δD(z) < δ0, δD(w) < 2δ0 Vói bat kỳ ε > 0, cHQN đưòng cong γ cho chieu dài Kobayashi-Royden ˜D (z, cna ≥ b% 2ch¾n boi (1 + đó, ε)ktheo w).nghĩa CHQNcna điem u ∈ cách γ saoKobayashi cho |z − u| u − w| |z Khi khoang và=áp| dung (2.11) cho−w| (z, u) (w, u)đ%nh ta đưoc (1 + ε)k≥˜ (z, w) k˜ (z, u) + k˜ (u, w) D D D z−w z−w ≥ m log + C Σ + m log + C Σ 1/2 1/2 2δD (z) 2δD (w) thay C boi C/2, ta có đieu phai chúng minh Chúng minh Đ%nh Ton U0∩C-loi cna phép nhúng chinh Φ cua :U → cho Cnlýsao cho ∩ Cho Ulân mien QI U hai lânhình c¾n cna a U2.4.2 U2Φ(D « Utai zc¾n ∈ D U1 aGvà ) U2 « 2m Trưàng hap |z − w| ≤ δD(z) Do log(1 + x) ≤ x, ta chi can chúng minh rang |z − w| k˜ (z, w) “ D D δ (z)1/2m < Ck1˜ DKhi noi 0.w Ta có có đ®the dàigia Kobayashi-Royden < Đ¾t (D đó, ∩bên Uđưịng D\Ucong C2 z> su rang k˜D (z, w) ,trong )2.=:Do C nam U phai κD(u, X) “ κD∩U0 (u, X), u ∈ U , X ∈ Cn (xem [8, M¾nh đe 7.2.9]), nên k˜D (z, w) “ k˜D∩U0 (z, w) J bây giò, ta đánh J Tù k˜D∩U (z, GQI L∂Ωlà đưòng phúc J:= Φ(z) w := giá qua z Φ(w) Lay z0w) ∈ chothang |z J −vói z0siêu | = δ (z ) Cho P phép chieu tuyen tính tù LCn∩ vào L, song song L∩Ω tiep xúc phúc phang cna ∂Ω tai z0 Khi đó, P (Ω) mien lien đơn liên (xem [1, Đ%nh lý 2.3.6]), z0 ∈ ∂P (Ω) Do đó, k˜D∩U0 (z, w) = k˜Ω (z J , wJ ) ≥ k˜ ≥ P log + (z J , wJ ) |z (Ω) − w| δP (Ω) j j Σ= log + |z − w | j j Σ, δL∩Ω (z J J Jbat 1/2mđang thúc thú J [14], δ J chinh (vói hai xem [15]) Theo (z|z ) “ )∩ L∩Ω δ ) ; Φ song hình lân c¾n cna D U , ta có − 2m wΩJ |(z ≈ |z − w| δ (z ) ≈ δ (z) ≤ δ (z), nên cuoi ta thu đưoc (i) Ω D∩U D Trưàng hap |z − w| ≥ δD0 (z) Taxác có the giatrên su rang toàn đ%nh U0 D ∩ U0 C2-trơn, phép chieu π lên ∂D hoàn Ta can chắn dúi đ di Kobayashi-Royden cna bat k ũng γ cho γ(0) = z γ(1) = w Neu γ([0, 1]) ƒ⊂ U1 (cu the neu w ∈/ U1 ), đ¾t t∗ := ∗ min{t ∈ [0, : γ(t) ∈/ U1 } ta có the rút 1] GQN ve trưịng hopTa w chi ∈ Ucan ch¾n dưói đ® dài cna γ([0, t ]), nên Cho Ψ phép nhúng chinh hình cho Ψ(D ∩ U0) =: Ω C-loi Áp dung m®t ket qua cna K Diederich J.E Fornaess ve hàm tna cna Ω, n a, U1 «J U2 « U0 thuaJnho ta tai có the cáchình lân c¾n C cna saoneu chocan vóithiet bat kỳ ∈ UU , ,Jton Sa tìm chinh , C, C > cho 11 J − C |ξ − Φ(a )| ≤ Re SΦ(aJ ) (ξ) ≤ −C|ξ − Φ(aJ )|2m , (2.12) ξ ∈ Φ(U2 ), SΦ(a ) (Φ(a )) = Ta đ%nh nghĩa hàm Pz chinh hình U0 boi J J J Pz (ζ) := eSΦ(π(z))(Φ(ζ)) (2.13) Vì Φ m®t vi đong phơi song lipschitz đeu U2 nên vói ζ ∈ U2, ta có |1 − Pz(ζ)| “ |ζ − π(z)| − |Pz(ζ)| “ |ζ − π(z)|2m.(2.14) ta suy racóton tai rang C1 > cho vói [6, z Bő ∈ đe D2.2] ∩ U Đ%nh X ∈lý Cn, [6, Đieu nghĩa ta có the áp dung Tù 2.1], κD∩U0 (z; X) ≥ κD(z; X) ≥ (1 − C1δD(z))κD∩U0 (z; X) Do đó, ta có κD(γ(t), γ (t))dt j ∫01(1 − C1δD(γ(t)))κD∩U0 (γ(t),j γ (t))dt (2.15) ≥ Đ¾t λ := Pz ◦ γ Khi đó, ∫ 01 κD∩U0 |λ (t)| J (λ(t), λ (t)) j ≥ (γ(t), γ (t)) ≥ 2(1 − |λ(t)|) κD J M¾t khác, theo (2.14), ta có − C1δD(γ(t)) ≥ − C1|γ(t) − π(z)| 1/2m 1/2m ≥ giá −này, C1J (1 |Pzve (γ(t))|) = − có C1Jthe (1 − Ket hop đánh hai−lan phai (2.15) b%|λ(t)|) ch¾n dưói boi ∫ ∫ 1 − C1J (1 − |λ(t)|)1/2m d |λ (t)|dt J − |λ(1)| |λ(t)|dt + = log 1− |λ(0)| + − |λ(t)| − |P |λ(t)| dt 0 O(1) − 11 z(w)| ≥ O(1) = log + O(1) − |Pz(z)| Theo (2.14), ta có − |Pz(z)| “ |z − π(z)| = δD(z), − |Pz(w)| “ |w − π(z)|2m ≥ (|w − z| − |z − π(z)|)2m Do δD (z) ≤ (C0−1 |w − z|)2m 2< |w − z| vói C0 đn lón nên ta có − |Pz (w)| “ |w − z|2m đieu phai chúng minh 2.5 ChÉng minh cua Đ%nh lý 2.2.1, 2.2.2 2.2.3 Chúng minh công thúc (2.3) cua Đ%nh lý 2.2.3 CHQN lân c¾n U0 cna a cho D ∩Trưàng U0 C-loi hóa hap |zđưoc − w|và CD-trn (w)1/2m Ta cú the cHQN mđt lõn cắn U « U0 cho vói bat kỳ w ∈ D∩U , z ∈ D∩U0 δD∩U0 (w) = δD(w) Theo Bő đe 2.1.1(ii), ta phai chúng minh |z − + O(1) g (z, w) ≥ log w| D Đau tiên ta rút GQN ve gD∩U0 δD(w)1/2m Bo đe 2.5.1 Thu nhó U neu can, ton tai C > cho gD(z, w) ≥tagáp (z, đ%nh w) − C, z ∈ D ∩cho U0,Dw∩˜∈UD ∩ U (2.16) D∩U Chapgnh¾n bő đe này, dung lý Lempert thu w)đưoc xác nh¾n (2.3) D (z, w) ≥ kD∩U0 (z, w) − Ca Theo Đ%nh lý 2.4.2, k D∩U0 (z, (neu can thiet thu nho U m®t lan nua), |z − + O(1), k (z, w) ≥ w| D∩U0 δD(w)1/2m ta hoàn thành Chúng minh cua Bő đe 2.5.1 Chúng minh tương tn vói chúng minh cna [4, |z v ô %nh lý 1] (z) = log ầ D l mđt lõn cắn cna a thoa a| diam D U1 U0 mãn ∫ ψ > c := + supD ∩∂U1 ψ Co đ%nh w ∈ D ∩ U1 đ¾t d(w) = inf gD∩U (z, w), u(z, w) = (c − ψ(z))d(w), z ∈ D D\U0 z∈D∩∂U1 Vì u(z, w) ≤ gD∩U0 (z, w) vói z ∈ D ∩ ∂U1, u(z, w) > > gD∩U0 (z, w) vói z ∈ N ∩ (D ∩ U0), N m®t lân c¾n cna ∂U0, nên hàm  v(z, w) gD∩U0 (z, w), w∈D∩ max{gD∩U0 (z, w), u(z, w)}, D ∩ U0\U1 =  u(z, w), w ∈ D\U0 hàm đa đieu hịa dưói U theo z vói cnc điem logarit tai w Ngoài ra, v(z, w) < lay U g (z,« w) ≥Uv(z, C Bây := infw∈D∩U cd(w) nên w)và− cd(w) giò, (2.16) đưoc suyd(w) D bang cách Trưàng hap |z − w| ≥ δD(w)1/2m Theo Bő đe 2.1.1(i), ta phai chúng minh rang δD (w) g (z, w) “ − D (2.17) 2m |z − w| Theo Đ%nh lý 2.4.2 đ%nh lý Lempert, δD(w) gD∩U0 (z, w) “ , w ∈ D ∩ U (2.18) − |z − w| , z ∈ D ∩ 2m U0 Ta se dna theo m®t phan cna chúng minh cna [3, Bő đe 3] Bat thúc tương tn vói [3, trang 29, bat thúc (5)] Ký hi¾u B(w, r) hình cau tâm w vói bán kính r Đ¾t r0 := dist(U, D\U0) λ := min{r0, |z − w|} Khi đó, ta có D ∩ B(w, λ) ⊂ D ∩ B(w, 2r0) ⊂ D ∪ U0 r0 dia λ m D λ ≤ |z − w| ≤ Chú ý rang đ¾t (2.19) b := − inf{gD∩U0 (ζ, w) : |ζ − w| = λ, ζ ∈ D} Khi đó, tù (2.18) (2.19), ta có δD(w) b“ δD(w) λ2m Đ¾t “ (2.20) |z − w|2m 2r v(ζ) := b |ζ−0w| log log 2rλ Theo cách xây dnng, v(ζ) = > gD∩U0 (ζ, w) ζ ∈ D ∩ ∂B(w, 2r0) v(ζ) = −b ≤ gD∩U0 (ζ, w) ζ ∈ D ∩ ∂B(w, λ) Do đó, ta xây dnng hàm đa đieu hịa dưói u vói điem kỳ d% logarit tai w bang cách đ¾t  max{v(ζ), g (ζ, gD∩U (ζ,w)}, w), z ζ∈ ∈ B(w, B(w, λ) 2r0)\B(w, λ) D∩U  u(ζ) :  v(ζ), ζ ∈ D\B(w, 2r0) = Theo đ%nh nghĩa cna gD, ta có gD ≥ u − supD u Theo (2.20), ta thu đưoc δ (w) log diam D log diam sup u ≤ sup v ≤ b D D log 2r0 ≤b λ D 2r0 log D “ |z − w|2m 2r0 M¾t khác, theo (2.18) neu λ = |z − w| δD(w) D∩U0 (z, w) “ , u(z) = g − |z − w|2m neu λ = r0 < |z − w| log |z−w| 2r ≥ b u(z) ≥ v(z) = b log − Ket hop đánh giá, ta ket lu¾n gD (z, w) “ δD(w) − |z − w|2m Chúng minh công thúc (2.4) cua Đ%nh lý 2.2.3 Ta cHQN U1 đn nho cho π(z) hoàn toàn xác đ%nh mien z ∈ U1 Trưàng hap Gia su rang z ∈ U |z − w| ≥ δD(z)1/2m Thu nho U1, ta có the gia su rang |z − w| ≥ 8δD(z) Ta su dung Diederich-Fornaess [5]Um®t lanbat nua Ta layUU1∩«∂D, U2 J « trưóchàm đây.tna Neu canvàthiet , vói aJ ∈ Sa chinh 1cho tonUtai hinh Ω, C, Cthu >nho (2.12)kỳ Đ¾t ϕ˜z (ζ) := Re SΦ(π(z)) (Φ(ζ)) ∈ P SH− (D ∩ U0 ) Do Φ vi đong phôi song lipschitz đeu U2 nên ta có vói ζ ∈ U2, J −C J |ζ − aJ | ≤ ϕ˜z (ζ) ≤ −C|ζ − aJ |2m ϕ˜z (π(z)) = (2.21) Ta can mo r®ng ϕ˜z thành hàm đa đieu hịa dưói tồn cuc D Ta tien hành [3, trang 31] Đ¾t η := supζ∈∂U2 ϕ˜z (ζ) < Đ¾t ϕz := max(ϕ˜z , η/2) mo r®ng bang η/2 tồn D Khi đó, ϕz ∈ P SH− (D) xác thnc sn tương tn (verifies the analogue) cna (2.21) Bang l¾p lu¾n tương tn đau Trưòng hop cna chúng minh cna (2.3), bat thúc ta can phai chúng minh dang tương tn sau cna (2.17): δD(z) g (z, w) “ − D |z − w|2m w−z Bo đe 2.5.2 Đ¾t wJ := w + w−z| , B1 := B(wJ , + |w − z|/2), B2 := B(wJ , + | 3|w−z|/4) Ton tai c0 > cho vái bat kỳ w, ton tai ρw ∈ C ∞ (C2\{w}, R−) có điem kỳ d% logarit tai w, có giá B2 cho c0 ∂∂¯ρw (ζ) B2\B1 χ ≥ (ζ)∂∂¯(|ζ|2 ) − |w − z|2 Nói riêng, ρw ∈ PSH(B1 ∪ (Cn\B2)) Bő đe đưoc chúng minh [3, trang 31] Ta xây dnng hàm Φ vói cnc điem logarit tai w bang cách đ¾t c1 (ζ) Φ(ζ) := (ϕ |ζ − π(z)| z m )+ ρ w |z − w|2m (ζ) + c2 Theo (2.21) boi v% D b% ch¾n, ta có the cHQN c2 > cho Φ < D Ta muon cHQN cho 2> trưịng hop ζ ∈cB \B10 Khi đó, Φ ∈ P SH(D) Ta chi1 can kiem tra |ζ − π(z)| ≥ |ζ − z| − δD(z) ≥ |z − w| − δD(z) ≥ |z − w| Theo đánh giá ∂∂¯ρw , tù Bő đe 2.5.2, tù ket qua ϕz ∈ P SH(D), boi tính tốn thơng thưịng, ta có c1 ≥ ∂∂¯Φ(ζ) 2m−2 − 2c3 |ζ − π(z)| | | |z − w|2m Σ c 1c c ∂∂¯ ζ , ≥ c | 82m−2 |w − z|2 − c c0 Σ ∂∂¯|ζ| c3 > hang so Nên ta có the cHQN c1 > đe dang dương Vói cách cHQN này, ta có Φ(ζ) ≤ gD (ζ, w) Do ρw(z) = nên su dung (2.12) m®t lan nua, ta thu đưoc c1 δD (z) (z)2m) ≥ Φ(z) = (ϕ −c1 CJ z |z − w|2m |z − w|2m (z) + c2δD 1/2m 1/2m hap Gia su+r rang z =: ∈r B(a, r1sao )can cho |z −Drút w| ≤ δlàrD(z) B(a, Khi đó,đó |w ≤ r Neu thiet GQN , ta có r2và )« U0,Trưàng U−a| lân c¾n b% ch¾n cna a ∩ D C-loi hóa đưoc 0 C2-trơn Theo đ%nh lý Lempert (2.3), đieu kéo theo |z − w| g˜ (z, w) = g˜ (w, z) ≥ m log + C Σ |z−w| Do log δD U 0∩ D U 0∩ D δD (z)1/2 ≤ nên theo Bő đe 2.1.1(ii) đieu tương đương vói gU0∩D(z, w) ≥ +O(1) Theo Bő đe 2.5.1, đánh giá tương tn vói GD(z, w), (z)1/2m |z−w| δD 1/2m (z)hồn ta thành vi¾c chúng minh Chúng minh cua Đ%nh lý 2.2.1 Đ¾t ∆D(z, w) := δD |z − w|2 (z)1/2mδD(w)1/2m Su dung (2.1), ta chi can chi gD(z, w) “ −∆D(z, w)−2m Đ%nh lý 2.2.2 kéo theo g˜D (z, w) ≥ log(1 + C J ∆D (z, w))m Neu ∆D(z, w) ≥ theo Bő đe 2.1.1(i), ta có gD(z, w) “ −∆D(z, w) Neu ∆D(z, w) ≥ theo Bő đe 2.1.1(ii), ta có gD(z, w) ≥ log ∆D(z, w) + O(1) “ −∆D(z, w)−2m Chúng minh cua Đ%nh lý 2.2.2 Ta dna theo l¾p lu¾n [3] Gia thiet cna Đ%nh lý 2.2.3 thoa mãn vói bat kỳ a ∈ ∂D Bang l¾p lu¾n ve tính compact, đieu kéo theo ton tai K « D cho vói z ∈ D\K, w ∈ D, | − | g˜D (z, w) ≥ m log + C (z)1/2m Σ (2.22) δ zD w Nhưng z ∈ K, ve phai cna (2.22) b% ch¾n boi C J mC|z − w|, g˜D (z, w) ≥ C JJ |z − w|, nên ta có the cHQN C cho (2.22) vói bat kỳ z, w ∈ D Theo cách tương tn, lai thay đői C neu can thiet, vói bat kỳ z, w ∈ D, ta có | − | g˜D (z, w) ≥ m log + C (w)1/2m Σ (2.23) δ zD w Neubang |z −cách w| chinh “ max{δ δD(w)} thìngưoc ta suy lai, (2.2) D(z), so (2.23) sua hang C Neu theo tù Bő(2.22) đe 2.1.1(i), (2.2) tương đương vói δD(z)δD(w) g (z, w) “ − D 4m |z − w| Ta có the gia su rang max{δD(z), δD(w)} ≤ |z −w| Neu 2|ζ −π(z)| = |z −w| |z − w| |ζ − w| ≥ |z − w| − |ζ − π(z)| − |z − π(z)| ≥ 2m Do đó, theo (2.23), vói giá tr% cna ζ, δD (w) (ζ, w)“ Vói gD 2m |z−w| ζ, hàm peak đa đieu hòa dưói ϕz chúng minh cna− Đ%nh lý 2.2.3, (2.4), Trưòng hop 1, thoa mãn nên ϕ z(ζ) ≤ −C|ζ − π(z)|2m = −C2−2m|z − w|2m, δD(w) g (ζ, w) “ − |z − w|4m D ϕz(ζ), ζ∈ D∩ ∂B(π( z),|z − w|/2) Bat thúc hien nhiên ∂D, gD(ζ, w) = 0, gD(·, w) hàm đa đieu hịa dưói dưói cnc đai D\{w}, phai D ∩ B(π(z), |z − w|/2), nói riêng tai điem z, nên δD(w) g (z, w) “ δD(w)δD(z) − D ϕ (z) “− z |z − w|4m |z − w|4m Ket lu¾n Lu¾n văn vói đe tài “Ve ưóc lưong metric Kobayashi” giai quyet van đe sau • Chương trình bày m®t kien thúc chuan b% bao gom đ%nh nghĩa m®t so ví du ve hàm chinh hình, hàm song chinh hình, hàm đieu hịa, hàm đa đieu hịa dưói, hàm Green, hàm Green đa cnc, mien Cloi, C-loi hóa đưoc, gia khoang cách Kobayashi, metric Kobayashi • Trong chương chúng tơi trình bày ve ti so so sánh giua hàm Green thnc vói hàm Green phúc, sau chúng tơi trình bày ket qua ve ưóc lưong c¾n cna hàm Lempert vói m®t so ket qua ve ưóc lưong dưói cna khoang cách Kobayashi Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Thny Thanh (2006), Cơ sá lý thuyet hàm bien phúc, NXB Đai HQc quoc gia Hà N®i Tieng Anh [2] Marek Jarnicki and Perter Pflug (1993), Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter [3] Piotr Jakóbczak and Marek Jarnicki (2016), Lecture on holomorphic func- tions of several complex variables, Jagiellonian University [4] N Nikolov and P.J Thomas (2016), “Comparison of the real and the com- plex Green functions, and sharp estimates of the Kobayashi distance”, arXiv: 1608.06615v1 ...NGUYEN VĂN QUANG VE ƯéC LƯeNG METRIC KOBAYASHI Chuyên ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS Ninh Văn Thu Hà N®i - Năm 2017... κD(z; X) Metric Kobayashi- Royden kD(z, w) Khoang cách Kobayashi O(E, G) T¾p ánh xa song chinh hình tù E vào G Lài nói đau Trong tốn HQ c đ¾c bi¾t hình HQ c phúc, metric Kobayashi m®t gia metric. .. Shoshichi Kobayashi vào năm 1967 Đa tap hyperbolíc m®t lóp quan TRQNG cna đa tap phúc, xác đ%nh boi tính chat rang gia metric Kobayashi m®t metric Các khái ni¾m ban đau cna metric Kobayashi nam