Luận văn thạc sĩ thặng dư và thặng dư bình phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội – 2016 MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Hà Nội - Năm 2016 iii Mnc lnc Me ĐAU Mđt so kien thẫc c ban 1.1 Thắng dư 1.1.1 Th¾ng dư 1.1.2 Lóp th¾ng dư 1.2 H¾ th¾ng dư 1.2.1 H¾ th¾ng dư đay đn 1.2.2 H¾ th¾ng dư thư GQN 1.3 Các đ%nh lý ban ve th¾ng dư 1.3.1 Đ%nh lý Euler đ%nh lý Fermat 1.3.2 Đ%nh lý th¾ng dư Trung Hoa 1.4 Th¾ng dư bình phương 1.4.1 Tiêu chuan th¾ng dư bình phương 1.4.2 Kí hi¾u Legendre 1.4.3 Lu¾t tương ho b¾c hai 1.4.4 Th¾ng dư bình phương vói modulo hop so 1.4.5 Nh¾n xét ve th¾ng dư b¾c cao 5 9 11 14 15 17 18 18 20 26 30 33 Phương trình th¾ng dư 34 2.1 Phng trỡnh thắng d mđt an 34 2.1.1 Phng trỡnh thắng d mđt an 34 2.1.2 Phương trình th¾ng dư tuyen tính 35 2.1.3 Phương trình th¾ng dư modulo nguyên to 38 2.1.4 Hắ phng trỡnh thắng d bắc nhat mđt an 40 iv 2.2 Phương trình b¾c nhat nhieu an 46 2.2.1 Phương trình b¾c nhat hai an 46 2.2.2 Phương trình Diophant b¾c nhat tőng quát 48 2.3 Phương trình Diophant phi tuyen 51 2.3.1 Phương trình Pythagore 51 2.3.2 Bieu dien m®t so dưói dang tőng hai bình phương 54 M®t so dang tốn liên quan đen thắng d v thắng d bỡnh phng 58 3.1 Mđt so dang tốn liên quan đen th¾ng dư 58 3.2 Mđt so dang toỏn cna thắng d bình phương 62 3.2.1 Úng dung toán chúng minh chia het 62 3.2.2 Úng dung t¾p hop so nguyên to .65 3.2.3 Úng dung toán dãy so nguyên đa thúc68 3.2.4 Phương trình nghi¾m ngun .72 Mđt so dang toỏn ve thắng d tÈ đe thi Olympic 77 4.1 Su dung h¾ th¾ng dư đay đn tốn đem 77 4.2 Bài tốn tính tőng chúng minh thúc so 81 4.3 M®t so tốn liên quan so HQc 83 4.3.1 Quan h¾ th¾ng dư 83 4.3.2 Đ%nh lý Fermat nho đ%nh lý Euler 85 4.3.3 M®t so tốn so Fermat 90 Ket lu¾n 94 Tài li¾u tham khao 95 Ma đau Lý cHQN đe tài Lý thuyet th¾ng dư - lý thuyet đ¾c bi¾t quan TRQNG so HQc đưoc nhieu nhà Tốn HQc nghiên cúu, v¾n dung vi¾c giai nhieu tốn hay, khó có úng dung thnc te Trong kì thi Olympic Tốn HQc o Vi¾t Nam nưóc the giói lý thuyet th¾ng dư phan đưoc quan tâm đáng ke, the vi¾c có nhung hieu biet ban đau ve th¾ng dư se giúp ta giai nhieu tốn khó so HQc m®t cách nhe nhàng, ngan GQN đep Tuy nhiên, nhà trưịng phő thơng thịi lưong giang day cho phan lý thuyet th¾ng dư chưa nhieu nên HQc sinh thưòng thay phan kien thúc rat khó, vưot hieu biet cna em Vì v¾y đe giúp ban thân có nhung hieu biet sâu sac ve lý thuyet th¾ng dư, phuc vu tot cho công tác boi dưõng HQc sinh gioi, cHQN đe tài "Th¾ng dư th¾ng dư bình phương" đe nghiên cúu Mnc tiêu nghiên cÉu H¾ thong lý thuyet, tőng hop m®t so dang tốn quan TRQNG ve th¾ng dư th¾ng dư bình phương Nhi¾m nghiên cÉu Chương h¾ thong lai lý thuyet ve th¾ng dư, th¾ng dư bình phương e chương hồn thi¾n ve phương trình th¾ng dư cách giai, cịn chng trung trỡnh by mđt vi ỳng dung cna th¾ng dư th¾ng dư bình phương Cuoi cùng, chng tng hop mđt so bi toỏn thắng d, th¾ng dư bình phương kì thi Olympic Tốn nưóc Khách the đoi tưang nghiên cÉu Đoi tưong nhiên cúu lý thuyet th¾ng dư, th¾ng dư bình phương úng dung cna chúng Pham vi nghiên cÉu Nghiên cúu lý thuyet úng dung cna th¾ng dư, th¾ng dư bình phương - Phương pháp nghiên cÉu Đe thnc hi¾n lu¾n văn tác gia chn yeu thu th¾p nghiên cúu tài li¾u tù nhieu nguon khác nhau, roi phân tích lý thuyet ve th¾ng dư, th¾ng dư bình phương, tù xây dnng mđt so ỳng dung cna nú v biờn theo h¾ thong tù cách hieu cna ban thân Gia thuyet khoa HQC Neu lu¾n văn đưoc thnc hi¾n thnh cụng, nú se l mđt ti liắu tham khao bő ích cho giáo viên HQc sinh muon tìm hieu ve th¾ng dư, th¾ng dư bình phương Trong phan lý thuyet đưoc chúng minh ch¾t che, tốn úng dung đưoc h¾ thong theo dang tương oi ay n v cắp nhắt theo mỳc đ tự de đen khó Đóng góp mái cua đe tài Luắn ó chi oc mđt so dang toỏn úng dung lý thuyet th¾ng dư, th¾ng dư bình phương, tự ú e xuat oc mđt so bi mang tính c¾p nh¾t Cau trúc cua lu¾n văn Cau trúc cna lu¾n văn gom ba phan: phan mo đau, phan nđi dung v phan ket luắn Nđi dung luắn văn gom bon chương: Chương M®t so kien thúc ban Chương Phương trình th¾ng dư Chương Mđt so dang toỏn liờn quan en thắng d v thắng d bỡnh phng Chng Mđt so dang toỏn ve th¾ng dư tù đe thi Olympic Đe hồn thành lu¾n văn, em nh¾n đưoc sn giúp đõ cna thay cơ, ban bè, đ¾c bi¾t sn chi bao hưóng dan t¾n tình cna GS.TSKH Nguyen Văn M¾u, thay Seminar b® mơn Tốn cna trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i Em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói GS.TSKH Nguyen Văn M¾u thay giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai hQc Quoc gia Hà N®i hưóng dan em hồn thành khóa HQc Cao HQc 2014-2016 Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Em mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna quý thay cô ban ĐQc Em xin chân thành cam ơn! Chng Mđt so kien thẫc c ban Thắng d l mđt khỏi niắm c ban v quan TRQNG cna lý thuyet so Khái ni¾m th¾ng dư Kaclơ Friđơrich Gauss (1777-1855) trình bày tác pham "Disquistiones Arthmeticcae" năm 1801 Trong chương trình bày lai m®t so kien thúc quan TRQNG ve th¾ng dư th¾ng dư bình phương 1.1 Th¾ng dư 1.1.1 Th¾ng dư Đ%nh nghĩa 1.1 Cho m so nguyên dương, a, b so nguyên cho (a−b) m, ta nói a b đong dư hay th¾ng dư modulo m, viet a = b (mod m) Ví dn 1.1 De thay −12 = 43 (mod 5) −12 = 43 (mod 11), −12 khơng th¾ng dư vói 43 (mod 7); Moi so ngun chan th¾ng dư vói modulo 2, moi so ngun le th¾ng dư vói modulo 2; Neu x khơng chia het cho 3, x2 = (mod 3) Đ%nh lý 1.1 Phép th¾ng dư a = b (mod m) có nghĩa chs hi¾u a − b chia het cho m Nói cách khác, so a b có so dư chia cho m, neu chs neu hi¾u a − b chia het cho m ChÚng minh Gia su a = b (mod m) Khi so a b có so dư r chia cho m Boi v¾y a = mq + r, b = mq0 + r, q, q0 so nguyên Trù ve vói ve hai thúc ta đưoc a − b = mq − mq0 = m(q − q0) Do hi¾u a − b chia het cho m Ngưoc lai, gia su hi¾u a − b chia het cho m Khi ton tai so nguyên k, đe a − b = k.m Chia (có dư) so b cho m ta đưoc b = q.m + r, ≤ r < m C®ng ve vói ve thúc trên, ta đưoc a = k.m + q.m + r = (k + q).m + r đong thòi r van thoa mãn bat thúc kép ≤ r < m, nghĩa a có so dư vói b chia cho m, túc a = b (mod m) Tù %nh lý 1.1 ta rỳt oc mđt so nhắn xét sau: Nh¾n xét 1.1 Các phép th¾ng dư có the c®ng ve vái ve, nghĩa là, neu = bi (mod m), a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn (mod m) Nói cách khác, neu bi có so dư chia cho m, tőng a1+a2+· · ·+an b1 + b2 + · · · + bn có so dư chia cho m ChÚng minh Vì = bi (mod m) (0 ≤ i ≤ n), nên theo đ%nh lý 1.1, so − bi(0 ≤ i ≤ n) chia het cho m Boi v¾y ton tai so nguyên ki đe − bi = ki.m Khi (a1 + a2 + · · · + an) − (b1 + b2 + · · · + bn) = (a1 − b1) + (a2 − b2) + · · · + (am − bm) = k1m + k2m + · · · + knm = (k1 + k2 + · · · + kn)m V¾y (a1 + a2 + · · · + an) − (b1 + b2 + · · · + bn) chia het cho m, nên, theo đ%nh lý 1.1, a1 + a2 + · · · + + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bi + · · · + bn (mod m) Nh¾n xét 1.2 Các phép th¾ng dư có the trù ve vái ve, nghĩa tù a = b (mod m) c = d (mod m) suy a − c = b − d (mod m) ChÚng minh Vì a = b (mod m) c = d (mod m), nên theo đ%nh lý 1.1, so a − b, c − d chia het cho m Do ton tai so nguyên k, l, đe a − b = k.m, c − d = l.m Trù ve vói ve hai thúc ta đưoc (a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) = km − lm = (k − l)m Boi v¾y (a − c) − (b − d) chia het cho m Do đó, theo đ%nh lý 1.1, (a − c) = (b − d) (mod m) Nh¾n xét 1.3 Các phép th¾ng dư có the nhân ve vái ve, nghĩa là, neu a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , = bi (mod m), , an = bn (mod m), a1a2 an = b1b2 bi bn (mod m) ChÚng minh Đ%nh lý đưoc chúng minh bang quy nap theo n Cơ so quy nap: Vói n = ta có a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m) nên theo đ %nh lý 1.1, hi¾u a1 − b1, a2 − b2 chia het cho m Khi ton tai so nguyên k1, k2 đe a1 − b1 = k1m, a2 − b2 = k2m Do a1a2 − b1b2 = a1a2 − a1b2 + a1b2 − b1b2 = (a1a2 − a1b2) + (a1b2 − b1b2) = a1(a2 − b2) + b2(a1 − b1) = a k2m + b 2k1 m = (a1k2 + b2k1)m Boi v¾y a1a2 − b1b2 chia het cho m nên, theo đ%nh lý 1.1, a1a2 = b1b2 (mod m) Quy nap, gia su khang đ%nh vói n = t, t > 2, nghĩa tù t phép đong dư tùy ý a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , = bi (mod m), , at = bt (mod m) suy đưoc a1a2 at = b1b2bibt (mod m) Xét t + phép đong dư bat kỳ, a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , at = bt (mod m), at+1 = bt+1 (mod m) Khi đó, theo gia thiet quy nap tù t phép đong dư đau có a1a2 at = b1b2 bt (mod m) Ký hi¾u, At = a1a2 at, Bt = b1b2 bt Khi đó, theo đ%nh lý 1.1, hi¾u At − Bt chia het cho m, nên ton tai so nguyên l, đe At − Bt = l.m Do at+1 = bt+1 (mod m) nên theo đ%nh lý 1.1 at+1 − bt+1 chia het cho m Boi v¾y ton tai so nguyên k đe at+1 − bt+1 = k.m Xét hi¾u Atat+1 − Bt.bt+1 = Atat+1 − Atbt+1 + Atbt+1 − Btbt+1 = At(at+1 − bt+1) + bt+1(At − Bt) = At.k.m + bt+1.l.m = (At.k + bt+1.l)m nên a1a2 atat+1 −b b btbt+1 = Atat+1 −Btbt+1 chia het cho m Do đó, theo đ %nh lý 1.1 a1a2 an = b1b2 bn (mod m) H¾ qua 1.1 Các phép th¾ng dư có the nâng lên lũy thùa, nghĩa là, neu a = b (mod m) vói MQI so ngun khơng âm n đeu có an = bn (mod m) H¾ qua 1.2 Gia su P (x) đa thúc tùy ý vói h¾ so nguyên P (x) = t0 + t1x + t2x2 + · · · + tnxn Khi neu a = b (mod m), P (a) = t0 + t1a + t2a2 + · · · + tnan = t0 + t1b + t2b2 + · · · + tnbn = P (b) m) 1.1.2 (mod Láp th¾ng dư Ta biet vói moi so nguyên a đeu ton tai q, r cho a = mq+r vói ≤ r < m, r a có moi liên quan the theo modulo m? Li¾u rang có the thay the a boi r ho¾c ngưoc lai q trình giai quyet van đe Tù ta can tìm hieu moi tương quan giua a r Đ%nh lý 1.2 Quan h¾ th¾ng dư modulo m mđt quan hắ tng ng, ngha l vỏi MQI so ngun a, b, c ta có (i) Tính phan xa: a = a (mod m), (ii) Tính đoi xúng: Neu a = b (mod m) b = a (mod m), (iii) Tính bac cau: Neu a = b (mod m) b = c (mod m) a = c (mod m) ChÚng minh (i) Vì = a − a chia het cho m nên a = a (mod m) (ii) Tù a = b (mod m) ta đưoc m|(a − b) suy m|(b − a) hay b = a (mod m) (iii) Ta thay neu a = b (mod m) b = c (mod m) ton tai so nguyên x y cho a − b = mx; b − c = my Do a − c = (a − b) + (b − c) = mx + my = m(x + y), V¾y a = c (mod m) th¾ng modulo m, đưoc viet a+m Z, gom tat cađương sođưoc ngun cùngláp th¾ng Moi dư lóp tương đương cna so a trờn quan hắ tng GQI cú l mđt ...MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Hà Nội -... m®t so dư? ?i dang tőng hai bình phương 54 M®t so dang tốn liên quan đen th¾ng dư th¾ng dư bình phương 58 3.1 M®t so dang tốn liên quan en thắng d 58 3.2 Mđt so dang tốn cna th¾ng dư bình phương. .. thuyet th¾ng dư, th¾ng dư bình phương úng dung cna chúng Pham vi nghiên cÉu Nghiên cúu lý thuyet úng dung cna th¾ng dư, th¾ng dư bình phương - Phương pháp nghiên cÉu Đe thnc hi¾n lu¾n văn tác gia