Luận văn thạc sĩ toán tử không giãn trung bình và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC Kieu Th% Thùy Linh TỐN TÚ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ Chun ngành: Tốn Giãi tích Hà N®i - 2017 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC Kieu Th% Thùy Linh TỐN TÚ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ Chun ngành: Tốn Giãi tích Mã so: 60460102 Cán b® hưáng dan: GS.TSKH Pham Kỳ Anh LèI CÁM ƠN Vái lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac, xin bày tõ lài cãm ơn chân thành tái GS.TSKH Pham Kỳ Anh, giãng viên khoa Toán - Cơ - Tin HQC, trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên, Đai HQC Quoc gia Hà N®i Thày trnc tiep giao đe tài cho bõ công súc đe hưáng dan tơi rat t¾n tình Thày cho tơi nhung kien thúc kinh nghi¾m q báu, tao đieu ki¾n thu¾n lai cho tơi q trình thnc hi¾n hồn thành lu¾n văn hồn thành chương trình HQC Thac sĩ Tơi xin gui lài cãm ơn tái thay giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên, Đai HQC HQC, trưàng Quoc Gia Hà N®i Nhung ngưài Thày ln tràn đay nhi¾t huyet vái nghe đe truyen thn cho nhung sinh viên, HQC VIÊN nhung kien thúc suot q trình HQC t¾p tai khoa trưàng Và tơi xin bày tõ lịng biet ơn vơ han tái gia đình ban bè ln chő dna tinh than vung chac nguon đ®ng viên đoi vái tơi cu®c song quỏ trỡnh HQC H nđi, ngy 25 thỏng năm 2017 HQC VIÊN Kieu Th% Thùy Linh Danh mnc kí hi¾u Ln(X, t¾p hapcác cáctốn tốn tutuyen tuyen tính liên tnctù tù X vào Y, B X) Y)t¾p t¾p hap tính tnc E mahap tr¾n v%tu kích thưác nliên n, FixT cácđơn điem bat đ®ng cua tốn tu T,X vào X, ∗ K toán tu liên hap cua tốn tu tuyen tính K, −1 ngh%ch đão cua m®t so hoắcìmđt ma trắn, ~ sn hđi tn yeu, sn hđi tn manh, N R R+ hap so tn nhiên, t¾p hap so thnc, t¾p hap so thnc khơng âm, R++ t¾p hap so thnc dương, Rn không gian thnc n - chieu, inf f infimum cua hàm f , sup f supermum cua hàm f , iTI Ui giao cua t¾p hap Ui, i ∈ I, gradient cua hàm f, Q ∈ f tích vơ hưáng cua u v, (u, v )ǁ chuan khơng gian Hilbert cua véctơ ho¾c ma tr¾n, argmin dưáif viđiem phâncnc cuatieu hàmcua f , hàm f , ǁ∂ f N C(x ) bdC Q nón chuan cua t¾p loi C tai x, biên cua t¾p C, ket thúc chúng minh Mnc lnc Lài má đau Tốn tú khơng giãn 1.1 Tốn tu không giãn 1.2 Tốn tu khơng giãn vung 13 Tốn tú khơng giãn trung bình 19 2.1 Tốn tu khơng giãn trung bình 19 2.2 Toán tu chieu mêtric 28 2.3 Phương pháp lai ghép 32 2.4 Phương pháp xap xi gan ket 35 Úng dnng cúa toán tú khơng giãn trung bình 43 3.1 Bài tốn toi ưu có ràng bu®c 43 3.2 Bài tốn chap nh¾n loi .44 3.3 Kĩ thu¾t khơi phnc đai so xu lý ãnh 45 3.4 Phương pháp ngoai suy tín hi¾u vái dãi tan huu han 46 3.5 Bài toán chap nh¾n tách .48 Ket lu¾n 51 Tài li¾u tham kháo 52 LèI Mé ĐAU ∗ mêtric đu X cóStefan điem Banach bat đ®ngđãduy nhat,minh ton MQI tai xánh X chotrong Tx ∗ không = van x∗ k túc ∗ ∈ xa Hơn Năm 1920, chúng rang co T gian nua vái mői x ∈ X, dãy quy đao { T x } h®i tn đen x Trên thnc te, nhieu đe lai đưac đưa ve tốn tìm điem bat đ®ng cua tốn tu khơng giãn, hay iem bat đng cua hắ phng trỡnh tuyen tớnhtubat Ax = b,gión vỏi Mđt macua trắn chu nhắt A Mői nghi¾m cua h¾ HQcoi CÁC khơng vícác dn n gión bi toỏntrờn tỡm nghiắm the mđt ac l tốn điem đ®ng chung tốn tu chieu trnc giao m®tchung siêucócua phang tương úng vái tùng phương trình cua h¾ Tuy nhiên trưàng hap T tốn tu khơng giãn ta phãi bő sung thêm m®t so đieu ki¾n cho khơng gian X Đieu đưac Browder, Gohde Kirk chúng minh vào năm 1965 Và theo đ%nh lý Banach trưàng hap này, dãy l¾p { T k x } nói chung khơng h®i tn nên ngưài ta quan tâm đen vi¾c xây dnng cỏc phng phỏp lắp tỡm iem bat đng cua toỏn tu khơng giãn Đau tiên phương pháp l¾p tìm nghi¾m cua h¾ phương trình đai so tuyen tính đưac Kaczmarz đe xuat năm 1937 vái phép chieu xoay vòng cua Cimmino đưa năm 1938 vái phép chieu đong thài lên siêu phang úng vái phương trình cua h¾ Cã hai phương pháp đeu huu ích vi¾c giãi h¾ phương trình cã lán Vì v¾y chúng có vai trị úng dnng quan TRQNG kĩ thu¾t chnp X quang cat láp máy tính Cã hai ket quã trã thành phép lắp tỡm iem bat đng cua toỏn tu khụng gión M®t ket quã tiep theo đưac đưa năm 1950 bãi John von Neumann ve phương pháp chieu hai không gian cua không gian Hilbert Phương pháp cho sn h®i tn tái giao cua hai khơng gian Các ket quã cua Kaczmarz, Cimmino, Neumann đưac tőng quỏt húa nhieu thắp ki Ngy nay, sn hđi tn ó mi phng phỏp ac thiet lắp mó rđng khơng chi cho tốn tu chieu trnc giao siêu phang mà cịn cho tốn tu khơng giãn, tốn tu tna khơng giãn, tốn tu khơng giãn vung, tốn tu khơng giãn trung bình,vv Trong lu¾n văn này, tác giã trình bày m®t cách tőng quan ve tốn tu khơng giãn, tốn tu khơng giãn trung bình, tốn tu chieu mêtric m®t so úng dnng cua qua toán thnc te Các kien thúc đưac tìm hieu đeu đưac xét khơng gian Hibert thnc H Bo cnc lu¾n văn bao gom chương: • Chương cua lu¾n văn trình bày ve khái ni¾m, tính chat cua tốn tu khơng giãn, tốn tu tna khơng giãn, tốn tu khơng giãn vung, tốn tu đơn đi¾u manh ngưac moi quan h¾ giua cỏc loai toỏn tu Mđt so tớnh chat ve điem bat đ®ng cua tốn tu khơng giãn cua HQ CÁC tốn tu khơng giãn đưac đưa • Chương cua lu¾n văn trình bày ve tốn tu khơng giãn trung bình, tốn tu chieu mêtric moi liên h¾ giua tốn tu vái tốn tu đưac trình bày Chương Ngồi tính őn đ%nh ve phép tốn hap thành, tő hap loi cua tốn tu khơng giãn trung bình đưac the hi¾n rõ Cuoi chương, tác giã giái thi¾u hai phương phỏp ket hap e phộp lắp hđi tn manh l phương pháp lai ghép phương pháp xap xi gan ket Kĩ thu¾t lai ghép ket hap vái phép l¾p Krasnoselski- Mann cho phép mői bưác xây dnng hai nua khụng gian tỏch iem bat đng v xap xi ban đau cho hình chieu cua điem ban đau lên giao cua hai nua khơng gian h®i tn manh ve iem bat đng cua toỏn tu Phương pháp xap xi gan ket sn mã r®ng cua phng phỏp lắp Halpern e tỡm iem bat đng cua tốn tu khơng giãn Phương pháp su dnng tő hap loi cua tốn tu khơng giãn ánh xa co vái cách CHQN TRQNG so thích hap cú the thu ac mđt dóy lắp hđi tn manh en iem bat đng cua toỏn tu khụng gión ã Chng cua luắn trỡnh by mđt so ỳng dnng thnc te cua van đe trình bày Chương Chương Thú nhat tốn toi ưu có ràng bu®c đưac su dnng nhieu vi¾c nh¾n tín hi¾u xu lý ãnh; toỏn dựng mđt hm loi, khó vi trờn mđt loi đóng khác rőng khơng gian Hilbert thnc Tiep theo tốn chap nh¾n loi, tốn chap nh¾n tách có nhieu úng dnng khoa HQC Và cơng ngh¾ mà đien hình phương pháp xa tr% vái cưàng đ® thay đői IRMT (Intensively Modulated Radiation Therapy) Đây m®t phương pháp xa tr% rat tiên tien Ngồi tác giã cịn giái thi¾u ve toán ngoai suy giãi tan huu han đưac xu dnng kĩ thu¾t xu lý tín hi¾u, tốn có su dnng đen phép bien đői Fourier Cuoi kĩ thu¾t khơi phnc đai so xu lý ãnh giúp khôi phnc lai ãnh goc tù hình chieu cua theo nhieu phương pháp khác Các kien thúc đưac tìm hieu, tham khão trình bày lu¾n văn chu yeu qua tài li¾u so [1-4] [10-11] Do thài gian kien thúc có han, bãn lu¾n văn khơng tránh khõi nhung han che sai sót Tác giã rat mong nh¾n đưac sn góp ý cua q thay ban ĐQC Tác giã xin chân thành cãm ơn! Hà N®i, ngày 25 tháng năm 2017 HQC VIÊN Kieu Th% Thùy Linh Chương Tốn tú khơng giãn Cho H m®t khơng gian Hilbert thnc vái tích (., ) v chuan . tng ỳng X l mđt khác rőng cua H 1.1 Tốn tú khơng giãn Đ%nh nghĩa 1.1 Toán tu T : X → H đưac GQI (i) không giãn neu ǁTx − Tyǁ ≤ ǁx − yǁ vái MQI x, y ∈ X (ii) khơng giãn ch¾t neu ǁTx − Tyǁ < ǁx − yǁ ho¾c x − y = Tx − Ty vái MQI x, y ∈ X (iii) co vái h¾ so α ∈ (0, 1) neu vái MQI x, y ∈ X + ˜)) + 2αn(1 − αn) ( Tx n − x˜, − f (x˜) − x˜) x α n( ≤(1 − 2αn + α2 − + 2ααn (1 − + αn Σ2(1 − αn ) ( Txn − x˜, n) ( T x f ( x˜ ) − x˜ ) + → 0, ∑ ∞ Theo Bő đe 2.4 suy xn → x˜ x˜ ǁ2 Σ =(1 − α˜n )ǁ xn − x˜ ǁ2 + α˜n β˜n , f ( x n) − f ( x α˜n = αn (2 − αn − 2α(1 − αn)) , ( β˜n = − α n ) ( T x n α = ∞ ˜ lim sup n β˜n ≤ n→∞ n = α n ǁ f ( xn ) − n x ˜, Ta có the chúng minh đưac rang α˜n αn ))ǁ xn − x˜ ǁ2 α − n ˜, f ( x˜ ) − x˜ ) + αn ǁ f ( xn ) − x˜ ǁ2 − αn − 2α(1 − αn) Chương Úng dnng cúa toán tú khơng giãn trung bình 3.1 Bài tốn toi ưu có ràng bu®c Trong thnc te, tốn toi ưu cú rng buđc ac su dnng nhieu viắc nhắn tín hi¾u xu lý ãnh Xét tốn: Cho C l mđt khỏc rng cua khụng gian Hilbert thnc H Tìm nhat m®t điem cnc tieu đ%a phương cua m®t hàm loi khã vi f : H → R t¾p C e C := {x ∈ H : c i (x ) ≤ 0, i ∈ I } t¾p loi đóng, hàm ci : H → R, i ∈ I := {1, 2, , m} hàm loi khã vi Năm 1977, Baillon Haddad đưa ket quã sau Đ%nh lý 3.1 Cho f : H → R m®t hàm loi, khã vi Fréchet λ > Khi đó, neu ∇f λ−liên tnc Lipschitz, tnc vái MQI x, y ∈ H ǁ∇f (x) − ∇f (y)ǁ ≤ λǁx − yǁ, tốn tu ∇f 1λ-đơn đi¾u manh ngưac Nói riêng, ∇f tốn tu khơng giãn neu chi neu ∇f tốn tu khơng giãn vđng Neu γ ∈ tu 0,λ Σ tốn tu G = γ∇ f 2là -đơn đi¾u manh ngưac Khi đó, tốn A = Id − γ∇f tốn tu PC A tốn tu khơng giãn trung bình Tù đ%nh lý, ta có h¾ q sau H¾ q 3.1 Cho f m®t hàm loi khã vi m®t t¾p mã D ⊆ H chna t¾p loi đóng C Giã su Σ f đat cnc tieu C Neu ∇ f m®t tốn tu λ−liên tnc Lipschitz D γ ∈ 0, λ dãy l¾p đưac sinh bãi xk+1 = PC x k − γ∇ f ( xk )Σ h®i tn yeu đen m®t điem cnc tieu cua hàm f t¾p C, vái bat kì véctơ ban đau x0 ∗ λ∇f )) ∗ tu ∗ argmin ∗không Chnng minh Trưác het, ta chúng minh x∗−∇ = fargmin f∈δ (CN x()xC()tu ⇔ x,θ∗hay Fix (+ P (xId − C( Th¾t v¾y tado có xSuy = argmin f− (xLipschitz = (fλ(x∇x∇ )f∗f+ ⇔ ( fId δ ()x )).− Hơn nua ∇ f∗∇ toán λFix nên làVái toán giãn Theo đ%nh lý ∗ C∗ 2∈ ∂ M¾t khác θ ∈ f ( x ) + N ( x ) ⇔ f ) x ) (−∇ f , x ∗) C() ≤ 0, ∀ x ∈ C x ∈ P ( Id − λ ∇ )) λ ∈ 0, − λ ∇ fx làtrung tốn tu khơng giãn trung bình Do P ( Id − ) tốn tu khơng giãn C C bình λ λ Baillon-Haddat λ ∇f tốn tu 1−đơn đi¾u manh ngưac Ta có γ∇f = γλ 1λ ∇f Σ tốn tu 1γ −đơn đi¾u manh ngưac vái > Khi ta có dãy quy đao { xk Σ } h®i tn λ γλ yeu đen x∗ ∈ Fix PC(Id − γ ∇ f ) 3.2 Bài tốn chap nh¾n loi Bài tốn thnc te lay lai cau trúc du li¾u ãnh đưac đưa ve giãi tốn chap nh¾n loi khơng gian Hilbert thnc H vái véctơ ãnh tương úng phan tu khơng gian t¾p loi bieu th% giỏ tr% bat buđc lờn cau trỳc ónh Xột toán: Cho C1, , CM t¾p loi đóng khác rőng cua khơng gian Hilbert thnc T Tìm điem x C := H ∈ i1 M Ci = M®t phương pháp giãi quyet toán ta su dnng đen toán tu chieu mêtric Ta xét hàm gan ke f : H → R liên ket vái t¾p C1, , CM f (x ) = Gradient cua f 2M M ∑ m=1 ∇ f ( x) = x − ǁPCm x − xǁ2 M ∑ PC x; m m= M M®t điem cnc tieu cua f không điem cua ∇f điem bat đ®ng cua tốn tu khơng giãn trung bình A đưac cho bãi A= M M ∑ PCm m= Neu t¾p C ƒ= ∅ Fix A = C dãy quy đao {Akx} h®i tn yeu tái m®t phan tu cua C Neu =dãy ∅ dãy nhat se h®i tn yeu tái điem cua ft¾p Trong trưàng hap giáit¾p han C cua khơng thiet phan tu cuacnc battieu kì m®t Cm Neu muon điem cnc tieu cua f gan vái m®t vộct x mđt K loi úng khỏc rng ta su dnng dãy l¾p đưac đ%nh nghĩa bãi xk+1 = PK (Axk ) Toán tu PK A tốn tu khơng giãn trung bình nên vái bat kỡ mđt vộct ban au x0 no thỡ dóy lắp se h®i tn tái m®t điem cnc tieu gan K Phương pháp thưàng đưac GQI phương pháp đong b® ta tính tốn đong thài tốn tu mêtric mői t¾p Cm tai mői bưác cua dãy l¾p M¾t khác mői tốn tu PCm tốn tu khơng giãn trung bình nên tích cua chúng v¾y Do ta có dãy l¾p tuan tn sau xk+1 = PCm(k) xk, k = 0, 1, m(k) = k(modM) + Neu C ƒ= ∅ dãy { xk } h®i tn tái m®t điem thu®c C Cịn neu C = ∅ dãy {xk} se khơng h®i tn Vì tích cua tốn tu PCm tốn tu khơng giãn trung bình nên dãy xjM+tốn } se tn yeu vái mői m co đ%nh tái điem giái han vỏi ieu{kiắn tu 1, tớch2,cú iem bathđi đng .j = m 3.3 Kĩ thu¾t khơi phnc đai so xú lý ánh Trong ky thu¾t chnp cat láp máy tính (computerized tomography), ngưài ta can khơi phnc lai ãnh goc tù hình chieu cua theo m®t so phương khác e dang rài rac, toán đưac đ¾t sau: m N N biet ( a m , x) cua theo hưáng a ∈goc Rbieu , m = đó, 1, có ,bài M,véctơ cho trưác, túcRlà = bmchieu nóCan Giãcác su ãnhlai goc đưac dien dưái dang x biet hình khơi phnc ãnh x Khi ta tốn tìm nghi¾m cuataphương trình tuyen tính Ax = b, T mac®t cap ma M× NA b =đó (bb1,m = (a , b,M)x.)Vái mői M) A ta đ¾t a Ta thúthnc m cua tr¾n Khi Đ¾t Cmm=={1, w (a ,, w =l bmđt cútrắn m} m T m PCm x = mx + (bm − (am, x)) am Thu¾t tốn song song hay cịn GQI phương pháp Cimmino có dang = xk xk+1 ho¾c xk+1 = xk + Thu¾t tốn tuan tn có dang sau + M M M ∑ m=1 b m − am , xk ΣΣ am AT( b− Axk) ΣΣ xk+1 = xk + bm(k) − am(k) , x k am(k) , vái (k) =laikdưái mod M ) là+kĩ1.thu¾t Phương phátmminh tên (GQI khơipháp phncdo đaiKaczmarz so (ART) đe xuat sau đưac nghiắm thỡ có hai phng phỏp ny eu hđi tn Khi phương trình Ax = b có nhieu đen nghi¾m gan vái vectơ ban đau x nhat 3.4 Phương pháp ngoai suy tín hi¾u vái dái tan huu han Trong thu¾tcua xu lýnótínchi hi¾u, ta nói hi¾uhuu f ∈ L2cua (R) mien có giãitan tanso b%Neu ch¾n neu bien đői ky Fourier khácngưài khơng trêntín đoan han biet ft()ttai )nó m®t đoan huu mau" han có the đ%nh đưac bien (ωf) cua vàf xác "lay đ%nh đưac (rac t) ta ngồi đoan cáchtakhác taFourier có the ngoai hàm (tso )đóngồi "cua ső" Tuy nhiên thnc te,nói ngưài chi đői biet giá tr% F cua (suy m®t điem ràif đó, tntrong = axác +đó, n∆ Cho f (t) F(ω) c¾p bien đői Fourier, vái t ω bien thnc, +∞ ∫ F(ω) = f (t)eitwdt, −∞ +∞ ∫ f ( t) = 2π F(ω)e−itωdω −∞ Giã su F (ω ) = 0, vái |ω | > Ω, Ω m®t so dương Hàm f (t) đưac GQI Ω−giãi tan huu han theo,kígiã su Flà(ω giá G ,Ω, vái hàm Ω