Toán tử không giãn trung bình và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Kiều Thị Thùy Linh TỐN TỬ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Kiều Thị Thùy Linh TỐN TỬ KHƠNG GIÃN TRUNG BÌNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 Cán hướng dẫn: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Với lịng kính trọng biết ơn sâu sắc, xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, giảng viên khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Thày trực tiếp giao đề tài cho bỏ công sức để hướng dẫn tận tình Thày cho tơi kiến thức kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho q trình thực hồn thành luận văn hồn thành chương trình học Thạc sĩ Tơi xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội Những người Thày tràn đầy nhiệt huyết với nghề để truyền thụ cho sinh viên, học viên chúng tơi kiến thức suốt q trình học tập khoa trường Và xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới gia đình bạn bè chỗ dựa tinh thần vững nguồn động viên sống trình học tập Hà nội, ngày 25 tháng năm 2017 Học viên Kiều Thị Thùy Linh Danh mục kí hiệu L( X, Y ) B( X ) En FixT K∗ −1 → N R R+ R++ Rn inf f sup f Ui i∈ I f u, v argmin f ∂f NC ( x ) bdC tập hợp tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y, tập hợp toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X, ma trận đơn vị kích thước n × n, tập hợp điểm bất động toán tử T, toán tử liên hợp tốn tử tuyến tính K, nghịch đảo số ma trận, hội tụ yếu, sụ hội tụ mạnh, tập hợp số tự nhiên, tập hợp số thực, tập hợp số thực không âm, tập hợp số thực dương, không gian thực n - chiều, infimum hàm f , supermum hàm f , giao tập hợp Ui , i ∈ I, gradient hàm f, tích vơ hướng u v, chuẩn không gian Hilbert véctơ ma trận, điểm cực tiểu hàm f , vi phân hàm f , nón chuẩn tập lồi C x, biên tập C, kết thúc chứng minh Mục lục Lời mở đầu Tốn tử khơng giãn 1.1 Tốn tử khơng giãn 1.2 Tốn tử khơng giãn vững 13 Tốn tử khơng giãn trung bình 19 2.1 Tốn tử khơng giãn trung bình 19 2.2 Toán tử chiếu mêtric 28 2.3 Phương pháp lai ghép 32 2.4 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 35 Ứng dụng toán tử khơng giãn trung bình 43 3.1 Bài tốn tối ưu có ràng buộc 43 3.2 Bài toán chấp nhận lồi 44 3.3 Kĩ thuật khôi phục đại số xử lý ảnh 45 3.4 Phương pháp ngoại suy tín hiệu với dải tần hữu hạn 46 3.5 Bài toán chấp nhận tách 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 LỜI MỞ ĐẦU Năm 1920, Stefan Banach chứng minh ánh xạ co T khơng gian mêtric đủ X có điểm bất động nhất, tức tồn x ∗ ∈ X cho Tx ∗ = x ∗ Hơn với x ∈ X, dãy quỹ đạo { T k x } hội tụ đến x ∗ Trên thực tế, nhiều vấn đề lại đưa tốn tìm điểm bất động tốn tử không giãn, hay điểm bất động chung họ tốn tử khơng giãn Một ví dụ đơn giản tốn tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Ax = b, với ma trận chữ nhật A Mỗi nghiệm hệ coi điểm bất động chung toán tử chiếu trực giao siêu phẳng tương ứng với phương trình hệ Tuy nhiên trường hợp T toán tử khơng giãn ta phải bổ sung thêm số điều kiện cho không gian X Điều Browder, Gohde Kirk chứng minh vào năm 1965 Và theo định lý Banach trường hợp này, dãy lặp { T k x } nói chung không hội tụ nên người ta quan tâm đến việc xây dựng phương pháp lặp tìm điểm bất động tốn tử khơng giãn Đầu tiên phương pháp lặp tìm nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính Kaczmarz đề xuất năm 1937 với phép chiếu xoay vòng Cimmino đưa năm 1938 với phép chiếu đồng thời lên siêu phẳng ứng với phương trình hệ Cả hai phương pháp hữu ích việc giải hệ phương trình cỡ lớn Vì chúng có vai trị ứng dụng quan trọng kĩ thuật chụp X quang cắt lớp máy tính Cả hai kết trở thành phép lặp tìm điểm bất động tốn tử không giãn Một kết đưa năm 1950 John von Neumann phương pháp chiếu hai không gian không gian Hilbert Phương pháp cho hội tụ tới giao hai không gian Các kết Kaczmarz, Cimmino, Neumann tổng quát hóa nhiều thập kỉ Ngày nay, hội tụ phương pháp thiết lập mở rộng khơng cho tốn tử chiếu trực giao siêu phẳng mà cịn cho tốn tử khơng giãn, tốn tử tựa khơng giãn, tốn tử khơng giãn vững, tốn tử khơng giãn trung bình,vv Trong luận văn này, tác giả trình bày cách tổng quan tốn tử khơng giãn, tốn tử khơng giãn trung bình, tốn tử chiếu mêtric số ứng dụng qua tốn thực tế Các kiến thức tìm hiểu xét không gian Hibert thực H Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương luận văn trình bày khái niệm, tính chất tốn tử khơng giãn, tốn tử tựa khơng giãn, tốn tử khơng giãn vững, toán tử đơn điệu mạnh ngược mối quan hệ loại tốn tử Một số tính chất tập điểm bất động tốn tử khơng giãn họ tốn tử khơng giãn đưa • Chương luận văn trình bày tốn tử khơng giãn trung bình, tốn tử chiếu mêtric mối liên hệ toán tử với tốn tử trình bày Chương Ngồi tính ổn định phép tốn hợp thành, tổ hợp lồi tốn tử khơng giãn trung bình thể rõ Cuối chương, tác giả giới thiệu hai phương pháp kết hợp để phép lặp hội tụ mạnh phương pháp lai ghép phương pháp xấp xỉ gắn kết Kĩ thuật lai ghép kết hợp với phép lặp KrasnoselskiMann cho phép bước xây dựng hai nửa không gian tách tập điểm bất động xấp xỉ ban đầu cho hình chiếu điểm ban đầu lên giao hai nửa không gian hội tụ mạnh tập điểm bất động toán tử Phương pháp xấp xỉ gắn kết mở rộng phương pháp lặp Halpern để tìm điểm bất động tốn tử khơng giãn Phương pháp sử dụng tổ hợp lồi tốn tử khơng giãn ánh xạ co với cách chọn trọng số thích hợp thu dãy lặp hội tụ mạnh đến điểm bất động tốn tử khơng giãn • Chương luận văn trình bày số ứng dụng thực tế vấn đề trình bày Chương Chương Thứ tốn tối ưu có ràng buộc sử dụng nhiều việc nhận tín hiệu xử lý ảnh; toán dùng hàm lồi, khả vi tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực Tiếp theo toán chấp nhận lồi, tốn chấp nhận tách có nhiều ứng dụng khoa học cơng nghệ mà điển hình phương pháp xạ trị với cường độ thay đổi IRMT (Intensively Modulated Radiation Therapy) Đây phương pháp xạ trị tiên tiến Ngồi tác giả cịn giới thiệu toán ngoại suy giải tần hữu hạn xử dụng kĩ thuật xử lý tín hiệu, tốn có sử dụng đến phép biến đổi Fourier Cuối kĩ thuật khôi phục đại số xử lý ảnh giúp khôi phục lại ảnh gốc từ hình chiếu theo nhiều phương pháp khác Các kiến thức tìm hiểu, tham khảo trình bày luận văn chủ yếu qua tài liệu số [1-4] [10-11] Do thời gian kiến thức có hạn, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý q thầy bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng năm 2017 Học viên Kiều Thị Thùy Linh Chương Tốn tử khơng giãn Cho H không gian Hilbert thực với tích , chuẩn tương ứng X tập khác rỗng H 1.1 Toán tử khơng giãn Định nghĩa 1.1 Tốn tử T : X → H gọi (i) không giãn Tx − Ty ≤ x − y với x, y ∈ X (ii) không giãn chặt Tx − Ty < x − y x − y = Tx − Ty với x, y ∈ X (iii) co với hệ số α ∈ (0, 1) Tx − Ty ≤ α x − y với x, y ∈ X Mệnh đề 1.1 Cho X tập lồi, đóng khác rỗng H Khi tập điểm bất động tốn tử khơng giãn T : X → H tập đóng lồi Chứng minh (i) Tính đóng Lấy dãy { xk } ⊂ Fix T ⊂ X xk → x Do X tập đóng nên x ∈ X Hơn nữa, T tốn tử khơng giãn nên T liên tục X, ta có x = lim xk = lim Txk = Tx, tức Fix T tập đóng (ii) Tính lồi Lấy x, y ∈ Fix T, x = y z = (1 − λ) x + λy, λ ∈ (0, 1) Do tính khơng giãn T tính dương chuẩn, ta thu hai đẳng thức sau x − Tz = Tx − Tz ≤ x − z = λ x − y , Tz − y = Tz − Ty ≤ z − y = (1 − λ) x − y Theo bất đẳng thức tam giác, ta có x−y ≤ x − Tz + Tz − y ≤ λ x − y + (1 − λ ) x − y = x−y Do ( x − Tz) + ( Tz − y) = x − y = x − Tz + Tz − y Mặt khác, tính lồi chặt chuẩn, véc tơ x − Tz, Tz − y phải đồng tuyến phương, tức tồn số α > cho Tz − y = α( x − Tz) Suy Tz = α x+ y 1+α 1+α Hơn nữa, tính khơng giãn T, ta có x − y = x − Tz = Tx − Tz ≤ x − z = λ x − y , 1+α α x − y = Tz − y = Tz − Ty ≤ z − y = (1 − λ) x − y 1+α α = λ = − λ Từ hai bất đẳng thức suy 1+α 1+α Vì Tz = (1 − λ) x + λy = z hay z ∈ Fix T Do { xt } dãy bị chặn Từ suy { Txt }, { f ( xt )} dãy bị chặn Hơn ta có xt − Txt = t Txt − f ( xt ) → 0, t → Tiếp theo ta chứng minh { xt } dãy compact tương đối t → Thật vậy, giả sử {tn } ⊂ (0, 1) cho tn → n → ∞ Đặt xn := xtn Ta chứng minh dãy { xn } chứa dãy hội tụ mạnh tới x˜ ∈ Fix T nghiệm toán bất đẳng thức biến phân ˜ x − x˜ ≥ 0, x ∈ Fix T ( Id − f ) x, Thật vậy, dãy { xn } bị chặn nên ta giả sử dãy { xn } hội tụ yếu tới điểm x˜ ∈ Fix T Kết hợp với xn − Txn → 0, theo Bổ đề 2.5 ta suy x˜ ∈ Fix T Mặt khác xt − x˜ = (1 − t)( Txt − x˜ ) + t( f ( xt ) − x˜ ) nên ta có xt − x˜ ˜ xt − x˜ + t f ( xt ) − x, ˜ xt − x˜ =(1 − t) Txt − x, ≤(1 − t) xt − x˜ ˜ xt − x˜ + t f ( xt ) − x, Vì xt − x˜ ˜ xt − x˜ = f ( xt ) − f ( x˜ ), xt − x˜ + f ( x˜ ) − x, ˜ xt − x˜ ≤ f ( xt ) − x, ≤α xt − x˜ ˜ xt − x˜ + f ( x˜ ) − x, Suy xt − x˜ ≤ ˜ f ( x˜ ) − x˜ xt − x, 1−α | xn − x˜ ≤ ˜ f ( x˜ ) − x˜ xn − x, 1−α Nói riêng Do xn (2.6) ˜ x˜ từ (2.6) ta suy xn → x Tiếp theo ta chứng minh x˜ ∈ Fix T nghiệm toán bất đẳng thức biến phân xt nghiệm toán điểm bất động x = (1 − t) Tx + t f ( x ) Ta có ( Id − f ) xt = − 1−t ( Id − T ) xt t 39 Do với z ∈ Fix T 1−t ( Id − T ) xt , xt − z t 1−t ( Id − T ) xt − ( Id − T )z, xt − z , =− t ( Id − f ) xt , xt − z = − hay ( Id − f ) xt , xt − z ≤ Id − T toán tử đơn điệu Thay t tn cho n → ∞ ta x˜ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân ˜ ta giả sử xsn → x, ˆ sn → Do xˆ ∈ Fix T, ta có Để chứng minh { xt } hội tụ tới điểm x, ˜ x˜ − xˆ ≤ ( Id − f ) x, Thay đổi vai trò x˜ xˆ ta ˆ xˆ − x˜ ≤ ( Id − f ) x, Cộng vế với vế hai bất đẳng thức ta ˆ ( Id − f ) x˜ − ( Id − f ) xˆ ≤ x˜ − x, ˜ Theo Bổ đề 2.6 ta suy xˆ = x Tiếp theo ta xét dãy lặp x0 ∈ C xn+1 = (1 − αn ) Txn + αn f ( xn ), với n ≥ {αn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện: (i) αn → 0, ∞ (ii) ∑ αn = ∞, n =0 ∞ α n +1 = n→∞ αn (iii) ∑ |αn+1 − αn | < ∞ lim n =0 40 (2.7) Định lý 2.8 Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng H Giả sử T : C → C tốn tử khơng giãn với Fix T = ∅ f : C → C toán tử co Xét dãy { xn } ˜ với x˜ nghiệm toán bất đẳng thức biến sinh (2.7) Khi xn → x, phân ˜ x − x˜ ≥ 0, x ∈ Fix T ( Id − f ) x, Chứng minh Trước hết ta chứng minh dãy { xn } dãy bị chặn Lấy p ∈ Fix T, ta có xn+1 − p ≤(1 − αn ) Txn − p + αn f ( xn ) − p ≤(1 − αn ) xn − p + αn ( f ( xn ) − f ( p) + f ( p) − p ) ≤(1 − αn ) xn − p + αn (α xn − p + f ( p) − p ) ≤ (1 − (1 − α ) α n ) x n − p + α n f ( p ) − p f ( p) − p ≤ max xn − p , 1−α Từ xn − p ≤ max x0 − p , f ( p) − p 1−α , ∀n ≥ Suy dãy { xn } bị chặn hai dãy { Txn }, { f ( xn )} bị chặn Tiếp theo ta chứng minh xn+1 − xn → Thật với số M > thích hợp ta có xn+1 − xn = (1 − αn )( Txn − Txn−1 ) + (αn − αn−1 ) ( f ( xn−1 ) − Txn−1 ) + α n ( f ( x n ) − f ( x n −1 ) ≤(1 − αn ) xn − xn−1 + M αn − αn−1 + ααn xn − xn−1 =(1 − (1 − α)αn ) xn − xn−1 + M|αn − αn−1 | Theo Bổ đề 2.4, ta có xn+1 − xn → Tiếp theo ta chứng minh xn − Txn → Ta có xn − Txn ≤ xn − xn+1 + xn+1 − Txn = xn − xn+1 + αn Txn − f ( xn ) → 41 Tiếp theo ta chứng minh lim x˜ − xn , x˜ − f ( x˜ ) ≤ n→∞ Thật vậy, lấy dãy { xnk } ⊂ { xn } cho lim sup x˜ − xn , x˜ − f ( x˜ ) = lim sup x˜ − xnk , x˜ − f ( x˜ ) n→∞ Ta giả sử xnk k→∞ ¯ Kết hợp Bổ đề 2.5 ta suy x¯ ∈ Fix T Vì x ¯ x˜ − f ( x˜ ) ≤ lim sup x˜ − xn , x˜ − f ( x˜ ) = x˜ − x, n→∞ ˜ Thật ta có Cuối chứng minh xn → x xn+1 − x˜ = (1 − αn )( Txn − x˜ ) + αn ( f ( xn ) − x˜ ) =(1 − αn )2 Txn − x˜ 2 + α2n f ( xn ) − x˜ ˜ f ( xn ) − x˜ + 2αn (1 − αn ) Txn − x, ≤(1 − 2αn + α2n ) xn − x˜ + α2n f ( xn ) − x˜ ˜ f ( xn ) − f ( x˜ ) + 2αn (1 − αn ) Txn − x, ˜ f ( x˜ ) − x˜ + 2αn (1 − αn ) Txn − x, ≤(1 − 2αn + α2n + 2ααn (1 − αn )) xn − x˜ ˜ f ( x˜ ) − x˜ + αn f ( xn ) − x˜ + αn 2(1 − αn ) Txn − x, =(1 − α˜n ) xn − x˜ 2 + α˜n β˜n , với α˜n = αn (2 − αn − 2α(1 − αn )) , ˜ f ( x˜ ) − x˜ + αn f ( xn ) − x˜ 2(1 − αn ) Txn − x, β˜n = − αn − 2α(1 − αn ) ∞ Ta chứng minh α˜n → 0, ∑ α˜n = ∞ lim sup β˜n ≤ n =1 ˜ Theo Bổ đề 2.4 suy xn → x 42 n→∞ Chương Ứng dụng toán tử khơng giãn trung bình 3.1 Bài tốn tối ưu có ràng buộc Trong thực tế, tốn tối ưu có ràng buộc sử dụng nhiều việc nhận tín hiệu xử lý ảnh Xét toán: Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H Tìm điểm cực tiểu địa phương hàm lồi khả vi f : H → R tập C Ở C := { x ∈ H : ci ( x ) ≤ 0, i ∈ I } tập lồi đóng, hàm ci : H → R, i ∈ I := {1, 2, , m} hàm lồi khả vi Năm 1977, Baillon Haddad đưa kết sau Định lý 3.1 Cho f : H → R hàm lồi, khả vi Fréchet λ > Khi đó, ∇ f λ−liên tục Lipschitz, tức với x, y ∈ H ∇ f ( x ) − ∇ f (y) ≤ λ x − y , tốn tử ∇ f λ1 -đơn điệu mạnh ngược Nói riêng, ∇ f tốn tử khơng giãn ∇ f tốn tử khơng giãn vững Nếu γ ∈ 0, λ2 tốn tử G = γ∇ f 2λ -đơn điệu mạnh ngược Khi đó, toán tử A = Id − γ∇ f toán tử PC A tốn tử khơng giãn trung bình Từ định lý, ta có hệ sau 43 Hệ 3.1 Cho f hàm lồi khả vi tập mở D ⊆ H chứa tập lồi đóng C Giả sử f đạt cực tiểu C Nếu ∇ f toán tử λ−liên tục Lipschitz D γ ∈ 0, λ2 dãy lặp sinh x k+1 = PC x k − γ∇ f ( x k ) hội tụ yếu đến điểm cực tiểu hàm f tập C, với véctơ ban đầu x0 Chứng minh Trước hết, ta chứng minh x ∗ = argmin f ( x ) ⇔ x ∗ ∈ Fix ( PC ( Id − λ∇ f )) Thật ta có x ∗ = argmin f ( x ) = argmin f ( x ) + δC ( x ) ⇔ θ ∈ ∂( f + δC ( x ∗ )) Mặt khác θ ∈ ∇ f ( x ∗ ) + NC ( x ∗ ) ⇔ −∇ f ( x ∗ ) ∈ NC ( x ∗ ), hay −∇ f ( x ∗ ), x − x ∗ ≤ 0, ∀ x ∈ C Suy x ∗ ∈ Fix ( PC ( Id − λ∇ f )) Với λ ∈ 0, λ2 Id − λ∇ f tốn tử khơng giãn trung bình Do PC ( Id − λ∇ f ) toán tử khơng giãn trung bình Hơn ∇ f toán tử λ−Lipschitz nên λ1 ∇ f toán tử khơng giãn Theo định lý Baillon-Haddat λ1 ∇ f tốn tử 1−đơn điệu mạnh ngược Ta có γ∇ f = γλ γλ −đơn điệu mạnh ngược x ∗ ∈ Fix PC ( Id − γ∇ f ) toán tử yếu đến với γλ λ∇f > 21 Khi ta có dãy quỹ đạo { x k } hội tụ 3.2 Bài toán chấp nhận lồi Bài toán thực tế lấy lại cấu trúc liệu ảnh đưa giải toán chấp nhận lồi không gian Hilbert thực H với véctơ ảnh tương ứng phần tử không gian tập lồi biểu thị giá trị bắt buộc đặt lên cấu trúc ảnh Xét toán: Cho C1 , , C M tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Tìm điểm x ∈ C := M i =1 Ci Một phương pháp giải toán ta sử dụng đến toán tử chiếu mêtric Ta xét hàm gần kề f : H → R liên kết với tập C1 , , C M f (x) = M PCm x − x 2M m∑ =1 Gradient f ∇ f (x) = x − M PCm x; M m∑ =1 44 Một điểm cực tiểu f không điểm ∇ f điểm bất động tốn tử khơng giãn trung bình A cho A= M PCm M m∑ =1 Nếu tập C = ∅ Fix A = C dãy quỹ đạo { Ak x } hội tụ yếu tới phần tử C Nếu tập C = ∅ dãy hội tụ yếu tới điểm cực tiểu f Trong trường hợp giới hạn dãy không thiết phần tử tập Cm Nếu muốn điểm cực tiểu f gần với véctơ x tập K lồi đóng khác rỗng ta sử dụng dãy lặp định nghĩa x k+1 = PK ( Ax k ) Toán tử PK A tốn tử khơng giãn trung bình nên với véctơ ban đầu x0 dãy lặp hội tụ tới điểm cực tiểu gần K Phương pháp thường gọi phương pháp đồng ta tính tốn đồng thời tốn tử mêtric tập Cm bước dãy lặp Mặt khác toán tử PCm toán tử khơng giãn trung bình nên tích chúng Do ta có dãy lặp sau x k+1 = PCm (k) x k , k = 0, 1, m(k ) = k (modM) + Nếu C = ∅ dãy { x k } hội tụ tới điểm thuộc C Cịn C = ∅ dãy { x k } khơng hội tụ Vì tích tốn tử PCm tốn tử khơng giãn trung bình nên dãy { x jM+m j = 1, 2, } hội tụ yếu với m cố định tới điểm giới hạn với điều kiện tốn tử tích có điểm bất động 3.3 Kĩ thuật khôi phục đại số xử lý ảnh Trong kỹ thuật chụp cắt lớp máy tính (computerized tomography), người ta cần khôi phục lại ảnh gốc từ hình chiếu theo số phương khác Ở dạng rời rạc, toán đặt sau: 45 Giả sử ảnh gốc biểu diễn dạng véctơ x R N ta biết hình chiếu theo hướng am ∈ R N , m = 1, , M, cho trước, tức biết am , x = bm Cần khơi phục lại ảnh gốc x Khi đó, ta có tốn tìm nghiệm phương trình tuyến tính Ax = b, A ma trận thực cấp M × N b T = (b1 , , b M ) Với m = 1, , M ta đặt am cột thứ m ma trận A T Khi bm = am , x Đặt Cm = {w am , w = bm } Ta có PCm x = x + (bm − am , x ) am Thuật toán song song hay cịn gọi phương pháp Cimmino có dạng x k +1 = x k + M bm − a m , x k ∑ M m =1 am x k +1 = x k + T A (b − Ax k ) M Thuật toán có dạng sau x k + = x k + bm ( k ) − a m ( k ) , x k am(k) , với m(k) = k mod ( M) + Phương pháp Kaczmarz đề xuất sau phát minh lại tên gọi kĩ thuật khôi phục đại số (ART) Khi phương trình Ax = b có nhiều nghiệm hai phương pháp hội tụ đến nghiệm gần với vectơ ban đầu x0 3.4 Phương pháp ngoại suy tín hiệu với dải tần hữu hạn Trong kỹ thuật xử lý tín hiệu, người ta nói tín hiệu f ∈ L2 (R) có giải tần bị chặn biến đổi Fourier khác khơng đoạn hữu hạn miền tần số Nếu biết f (t) đoạn hữu hạn đó, ta xác định biến đổi Fourier F (ω ) xác định f (t) ngồi đoạn đó, nói cách khác ta ngoại suy hàm f (t) "cửa sổ" Tuy nhiên thực tế, người ta biết giá trị f (t) số điểm "lấy mẫu" rời rạc tn = a + n∆ 46 Cho f (t) F (ω ) cặp biến đổi Fourier, với t ω biến thực, +∞ f (t)eitw dt, F (ω ) = −∞ f (t) = 2π +∞ F (ω )e−itω dω −∞ Giả sử F (ω ) = 0, với |ω | > Ω, Ω số dương Hàm f (t) gọi Ω−giải tần hữu hạn Tiếp theo, giả sử F (ω ) hàm có giá đoạn [−Ω, Ω], với Ω < π Dãy hệ số Fourier F kí hiệu f (n), n ∈ { M, M + 1, , N } Xét hàm G (Ω) hàm ΩG (ω ) = |ω | ≤ Ω, ngược lại G (ω ) Xét dãy hệ số Fourier g = g(n) đặt Dg có thứ tự hạng tử g(n) n ∈ { M, M + 1, , N } nhận giá trị trường hợp lại Đặt F g = G toán tử cho +∞ G (ω ) = ∑ g(n)einω , n=−∞ với ω ∈ (−π, π ) Xét không gian Hilbert H = L2 (−π, π ), C1 = L2 (Ω, Ω) C2 tập tất phần tử G (ω ) H, với hệ số Fourier thỏa mãn g(n) = f (n), n ∈ { M, M + 1, , N } Khi đó, tốn tử chiếu mêtric hàm G (ω ) ∈ H lên C1 ΩG (ω ) toán tử chiếu G (ω ) lên C2 F ( D f + ( I − D )F − 1G ) Xét dãy lặp F0 (ω ) = 0, F k+1 = ΩF ( D f + ( I − D )F −1 F k ), với ω ∈ (−π, π ) vớik = 0, 1, Để thực thuật tốn, ta cần tính tốn phần tử dãy ( I − D )F −1 F k với số nguyên dương n ∈ / { M, M + 1, , N } Hơn ta có F k +1 − F k = Ω F D ( f − f k ) = Ω F a k , với D ( f − f k ) = ak = 0, n ∈ {0, 1, , M − 1} Do F0 = nên ta có F k = ΩF bk , với bk thỏa mãn bk (n) = 0, n ∈ / { M, M + 1, , N } Từ đó, ta suy giới hạn F ∞ có dạng N F ∞ (ω ) = Ω ∑ n= M 47 cn einω , với hệ số cn thích hợp Hệ số cn xác định cách giải hệ phương trình tuyến tính N f (m) = ∑ n= M cn sin Ω(m − n) , π (m − n) với m = M, , N 3.5 Bài toán chấp nhận tách Bài tốn chấp nhận tách có nhiều ứng dụng khoa học cơng nghệ, mà điển hình phương pháp xạ trị với cường độ thay đổi IRMT (Intensively Modulated Radiation Therapy) Đây phương pháp xạ trị tiên tiến với độ xác cao Theo phương pháp IRMT, tia xạ với cường độ khác chiếu vào thể người bệnh, nhằm cung cấp đủ liều xạ tới vùng cần chữa trị (planned target volumes = PTV) hạn chế lượng xạ tới vùng khác (organs at risk = OAR) Giả sử toàn vùng xạ trị bệnh nhân với cấu trúc giải phẫu T gồm PTV OAR, chia thành I đơn vị thể tích, viết tắt voxels (volume elements) Kí hiệu {St } tập hợp voxels cấu trúc t ∈ T Bức xạ phát cách độc lập từ J-tia Gọi R J không gian cường độ chiếu xạ (intensity space) cịn R I khơng gian liều lượng phóng xạ hấp thụ (dose space) Kí hiệu x = ( x j ) jJ=1 véctơ cường độ chiếu xạ, D = (dij ), dij lượng chiếu xạ hấp thụ voxel i đơn vị cường độ từ tia thứ j Gọi h = (hi )iI=1 véctơ liều lượng, thành phần hi tổng lượng chiếu xạ hấp thụ voxel i, tức hi = ∑ jJ=1 dij x j , hay h = Dx Đặt Hm , m = 1, , M, tập ràng buộc thứ m liều lượng, ví dụ lượng chiếu xạ không vượt mức tối đa khơng thấp mức tối thiểu, cịn Xn , n = 1, , N, tập ràng buộc thứ n cường độ Ngoài ra, đặt X+ := { x ∈ R J : x j ≥ ∀ j ∈ J } Bài tốn đặt tìm véctơ cường độ chiếu xạ x ∗ thỏa mãn điều kiện sau M x ∗ ∈ X+ ∩ (∩nN=1 xn ); h∗ := Dx ∗ ∈ ∩m =1 Hm Đây ví dụ thực tế toán chấp nhận tách đa tập Xét tốn chấp nhận tách tổng qt: Tìm điểm c ∈ C với Ac ∈ Q tồn tại, A ma trận thực cấp M × N, C Q tập lồi đóng, khác rỗng RN 48 RM tương ứng Để giải toán, ta xét thuật toán CQ với bước lặp x k+1 = PC ( x k − γA T (( I − PQ ) Ax k ), với γ ∈ 0, ρ( A2T A) Thuật toán CQ hội tụ tới nghiệm toán chấp nhận tách với phần tử đầu vào x0 , tốn có nghiệm Cịn trường hợp tốn khơng có nghiệm thuật tốn hội tụ đến điểm cực tiểu hàm f (x) = PQ Ax − Ax Do thuật toán CQ giống với phương pháp chiếu gradient giải toán tối ưu có ràng buộc Hàm f ( x ) hàm lồi, khả vi R N đạo hàm ∇ f ( x ) = A T ( I − PQ ) Ax Mệnh đề 3.1 Toán tử đạo hàm ∇ f λ−liên tục Lipschitz với λ = ρ( A T A) Do ∇ f ν−đơn điệu mạnh ngược với ν = λ1 Chứng minh Ta có ∇ f ( x ) − ∇ f (y) = A T ( I − PQ ) Ax − A T ( I − PQ ) Ay ≤λ ( I − PQ ) Ax − ( I − PQ ) Ay =λ Ax − Ay 2 + λ PQ Ax − PQ Ay − 2λ PQ Ax − PQ Ay, Ax − Ay Do PQ tốn tử khơng giãn vững nên PQ Ax − PQ Ay, Ax − Ay ≥ PQ Ax − PQ Ay Từ suy ∇ f ( x ) − ∇ f (y) ≤λ Ax − Ay ≤λ Ax − Ay ≤ λ2 x − y 49 2 − PQ Ax − PQ Ay Nếu γ ∈ 0, λ2 tốn tử B := PC ( I − γA T ( I − PQ )) tốn tử khơng giãn trung bình Khi B có điểm bất động quỹ đạo dãy { Bk x } hội tụ yếu đến điểm bất động B Giả sử z = PC (z − γA T ( I − PQ ) Az) Do đó, với điểm c ∈ C c − z, z − (z − γA T ( I − PQ ) Az ≥ hay c − z, A T ( I − PQ ) Az ≥ Suy z điểm cực tiểu f ( x ) C Thuật toán CQ sử dụng tham số γ ∈ (0, L2 ), với L giá trị riêng lớn ma trận A T A Việc lựa chọn giá trị tham số tốt nói chung khơng dễ dàng Vì người ta đề xuất phương pháp lặp thích nghi khơng sử dụng giá trị L 50 Kết luận Trong luận văn tác giả tìm hiểu trình bày số lớp tốn tử khơng giãn với thủ tục, dãy lặp không gian Hilbert thực giải nhiều toán ứng dụng thực tế chụp cắt lớp ảnh thuộc ngành y học hay kỹ thuật khôi phục tín hiệu có giải tần bị chặn Như vậy, đóng góp luận văn gồm: Trình bày tổng quan tốn tử khơng giãn, tốn tử khơng giãn vững, tốn tử đơn điệu mạnh ngược Tìm hiểu tốn tử khơng giãn trung bình, tốn tử chiếu mêtric hai phương pháp kết hợp cho hội tụ mạnh phép lặp phương pháp lai ghép phương pháp xấp xỉ gắn kết Một số ứng dụng thực tế lớp toán tử: toán tối ưu có ràng buộc, tốn chấp nhận lồi, toán chấp nhận tách phương pháp xạ trị tiên tiến với độ xác cao, kĩ thuật khơi phục đại số xử lý ảnh, tốn khơi phục tín hiệu có giải tần bị chặn kĩ thuật xử lý tín hiệu 51 Tài liệu tham khảo [1] Charles Byrne, A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction, Institute of Physics Publishing, 20 (2003), pp 103-120 [2] Kazuhide Nakajo and Wataru Takahashi, Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups, J Math Anal Appl., 279 (2001), pp 372 - 379 [3] Hong-Kun Xu, Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings, J Math Anal Appl., 298 (2004), pp 279-291 [4] Patrick L Combettes, Isao Yamadab, Compositions and convex combinations of averaged nonexpansive operators, J Math Anal Appl., 425 (2015), pp 55-70 [5] J B Baillon and G Haddad, Quelques propriétés des opératerus angle-bornés et ncycliquement monotones, Isarel J Math., 26 (1977), pp 137-150 [6] B Halpern, Fixed points of nonexpanding maps, Bull Amer Math Soc., 73 (1967), pp 957-961 [7] P L Lions, Approximation de points fixes de contractions, C R Acad Sci Sèr A-B Paris, 284 (1977), pp 1357-1359 [8] A Moudafi, Viscosity approximation methods for fixed-points problem, J Math Anal Appl., 241 (2000), pp 46-55 [9] Z Opial, Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings, Bull Amer Math Soc., 73 (1967), pp 591-597 52 [10] Andrzej Cegeielski, Iterative Methods for Fixed Pointed Problems in Hilbert Spaces, Springer (2014) [11] Heinz H Bauschke, Patrick L Combettes, Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer (2010) 53 ... khơng giãn trung bình tốn tử Mệnh đề 2.2 Cho tốn tử T : X → H, số α ∈ (0, 1) λ ∈ 0, α1 Khi T tốn tử α−khơng giãn trung bình (1 − λ) Id + λT toán tử λα−khơng giãn trung bình Chứng minh Do T tốn tử. .. trình bày tốn tử khơng giãn trung bình, tốn tử chiếu mêtric mối liên hệ toán tử với toán tử trình bày Chương Ngồi tính ổn định phép toán hợp thành, tổ hợp lồi toán tử khơng giãn trung bình thể rõ... khơng giãn T tốn tử khơng giãn trung bình Mệnh đề 2.9 Cho T : X → H tốn tử khơng giãn trung bình Giả sử T = (1 − α) A + αN với α ∈ (0, 1) Khi A tốn tử khơng giãn trung bình N tốn tử khơng giãn