ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐỖ THÙY NINH TOÁN TỬ OWA TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU Chuyên ngành : Toán Ứng Dụng Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS VŨ MẠNH XUÂN Thái Nguyên – Năm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▼ë ➤➬✉ ✷ ❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❚♦➳♥ tö ❖❲❆ ✹ ✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tö ❖❲❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷✳ ❈➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè ✇ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✶✳✸✳ ▼ét sè ❜✐Õ♥ t❤Ĩ ❝đ❛ ❖❲❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❚è✐ ➢✉ ❝➳❝ trä♥❣ sè ✷✵ ✷✳✶✳ ➜é ♣❤➞♥ t➳♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✷✳ ➜é ♣❤➞♥ t➳♥ ❝ù❝ t✐Ó✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ▼ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ✸✻ ✸✳✶✳ ❘❛ q✉②Õt ➤Þ♥❤ ❞ù❛ tr➟♥ ➤é q✉❛♥ trä♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻ ✸✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ ❝ô♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✸✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➳♣ ❞ô♥❣ ✹✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ▼ë ➤➬✉ ❚♦➳♥ tư tr✉♥❣ ❜×♥❤ trä♥❣ sè ❝ã s➽♣ ①Õ♣ ✭❖r❞❡r❡❞ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❆✈❡r❛❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t❡r✲ ❖❲❆✮ ➤➢ỵ❝ ❨❛❣❡r ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♥➝♠ ✶✾✽✽ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ ❤÷✉ Ý❝❤ ♥❤➺♠ tÝ❝❤ ❤ỵ♣ ❝➳❝ t❤✉é❝ tÝ♥❤ ❝đ❛ ➤è✐ t➢ỵ♥❣ t❤❡♦ ❝➳❝ t✐➟✉ ❝❤Ý ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚♦➳♥ tư ♥➭② ➤➲ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❞➵♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈➭ ➤➲ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ tèt ❬✼❪ ❬✽❪✳ ❚✐Õ♣ s❛✉ ❨❛❣❡r✱ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝ ❝ị♥❣ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ✈➭ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ t❤➭♥❤ ❝➠♥❣ ♥❤➢✿ ❖✬❍❛❣❛♥ ❬✻❪✱ P❡rt❡r ▼❛❥❧❡♥❞❡r ❬✸❪✱ ❘♦❜❡rt ❋✉❧❧❡r ❬✹❪✱ ✳✳✳✳ ▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ➤Ị t➭✐ ♥➭② ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ị t♦➳♥ tư ❖❲❆✱ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t q✉❛♥ trä♥❣ ❝đ❛ ♥ã ✈➭ ❜➢í❝ ➤➬✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ơ t❤Ó✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ❝ã ♣❤➬♥ ♠ë ➤➬✉✱ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✱ ♣❤➬♥ ❦Õt ❧✉❐♥ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị t♦➳♥ tư ❖❲❆ ❝ï♥❣ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ♥ã ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❞➱♥ ❣✐➯✐ ❜ë✐ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ❝ơ t❤Ĩ✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝ị♥❣ ♥➟✉ ♠ét sè ❞➵♥❣ ❦❤➳❝ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ♥❤➺♠ tè✐ ➢✉ ➤é ♣❤➞♥ t➳♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ trä♥❣ sè ❦❤✐ ①➞② ❞ù♥❣ ✈Ð❝ t➡ trä♥❣ sè ❈❤➢➡♥❣ ✸ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ✈➭✐ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t♦➳♥ tư ❖❲❆ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ơ t❤Ĩ✳ ❊♠ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬② ❣✐➳♦ ❚✐Õ♥ sÜ ❱ị ▼➵♥❤ ❳✉➞♥✱ t❤➬② ➤➲ r✃t t❐♥ t×♥❤ ❤➢í♥❣ ❞➱♥✱ ❝❤Ø ❜➯♦ ❡♠ r✃t ♥❤✐Ò✉ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❡♠ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❦❤ã❛ ❧✉❐♥ ✈➭ trù❝ t✐Õ♣ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❡♠ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤ã❛ ❧✉❐♥ ♥➭②✳ ❊♠ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ tí✐ ❝➳❝ t❤➬② ❣✐➳♦✱ ❝➠ ❣✐➳♦ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ ✈➭ ❝➳❝ ❣✐➳♦ s➢ ➤➲ ❤Õt ❧ß♥❣ ❣✐➯♥❣ ❞➵②✱ tr✉②Ị♥ ➤➵t ❝❤♦ ❡♠ ♥❤✐Ò✉ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❦❤♦❛ ❤ä❝ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❡♠ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ➤➞②✳ ✷ ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➠✐ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ❜➵♥ ❝đ❛ t➠✐ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❝ỉ ✈ị t➠✐ r✃t ♥❤✐Ị✉ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈õ❛ q✉❛✳ ❉♦ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✈Ị t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ tr×♥❤ ➤é ❝ã ❤➵♥ ♥➟♥ ❜➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❊♠ r✃t ợ ữ ý ế ó ó qý ❝đ❛ ❝➳❝ q✉ý t❤➬② ❝➠ ✈➭ t♦➭♥ t❤Ĩ ❝➳❝ ❜➵♥✳ t ỗ ỳ tử trì tí ợ t t✐♥ ①✉✃t ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ r✃t ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư tr✐ t❤ø❝ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ♥❤➢ tr♦♥❣ ♠➵♥❣ ♥➡r♦♥✱ ➤✐Ị✉ ❦❤✐Ĩ♥ ♠ê✱ ❤Ư ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ ✈➭ ❤Ư trỵ ❣✐ó♣ q✉②Õt ➤Þ♥❤✱ ➤➷❝ ❜✐Ưt tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤➯✐ ①ư ❧ý ữ t t t ị r ị ĩ t tử tr ì trọ số ó s➽♣ ①Õ♣ ✭❖r❞❡r❡❞ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❆✈❡r❛❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦r✮ ✈✐Õt t➽t ❧➭ ❖❲❆ ♥❤➺♠ ❝✉♥❣ ❝✃♣ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦Õt ❤ỵ♣ ❝➳❝ t❤✉é❝ tÝ♥❤ ❣➽♥ ✈í✐ sù t❤♦➯ ♠➲♥ ♥❤÷♥❣ t✐➟✉ ❝❤Ý ♥➭♦ ➤ã✳ ❈❤➢➡♥❣ ♥➭② tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị t♦➳♥ tư ❖❲❆✱ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ♠ét sè ❞➵♥❣ ❦❤➳❝ ❝ñ❛ t♦➳♥ tư ♥➭②✳ ✶✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ❖❲❆ ✶✳✶✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ▼ét ✈❡❝t➡ W = (w1 , w2 , , wn )T ❧➭ ♠ét ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè n n ❝❤✐Ò✉ ♥Õ✉ wi ỗ i = 1, , n ✈➭ wj = j=1 W ❧➭ ♠ét ➳♥❤ F : Rn R ợ ị s ỗ t a = (a1 , a2 , , an ) ∈ Rn ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ❚♦➳♥ tư ❖❲❆ ✈í✐ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè n F (a) = wj bj , j=1 tr♦♥❣ ➤ã bj ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❧í♥ t❤ø ❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✶✳ j ❝đ❛ ✈❡❝t➡ a ●✐➯ sö ❝❤♦ ✈❡❝t➡ W = (0, 4; 0, 3; 0, 2; 0, 1)T ✈➭ a = (0, 7; 1; 0, 3; 0, 6) ❑❤✐ ➤ã✱ t❛ ❝ã ✈❡❝t➡ b = (1; 0, 7; 0, 6; 0, 3), ✹ ✈➭ t♦➳♥ tö ❖❲❆✿ F (a) = wj bj = 0, 4.1 + 0, 3.0, + 0, 2.0, + 0, 1.0, = 0, 76 j=1 ý ♥❣❤Ü❛ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ♥➭② ❧➭ s➽♣ ①Õ♣ ❧➵✐ ✈❡❝t➡ ❝➬♥ tÝ❝❤ ❤ỵ♣✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝➬♥ tÝ❝❤ ❤ỵ♣ ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ trä♥❣ sè wi ♠➭ trä♥❣ sè wi sÏ ❦Õt ❤ỵ♣ ✈í✐ ♠ét ♣❤➬♥ tư ë ✈Þ trÝ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư tÝ❝❤ ❤ỵ♣ s❛✉ ❦❤✐ ➤➲ ➤➢ỵ❝ s➽♣ ①Õ♣✳ ❙ù ữ t tử ợ ệt ❜ë✐ ❝➳❝ trä♥❣ sè ♥➭②✳ ❚Ý♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛ t♦➳♥ tử ỗ ệ ự ọ ữ trä♥❣ sè✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❝➳❝ ❞➵♥❣ t♦➳♥ tư ❦Õt ❤ỵ♣ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❧ù❛ ❝❤ä♥ t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ ❝➳❝ trä♥❣ sè tr♦♥❣ ✈❡❝t➡ W ✱ t❛ ❝ã t❤Ó ♥❤✃♥ ♠➵♥❤ ❝➳❝ t❤❛♠ sè ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ tr➟♥ ❝➡ së ✈Þ trÝ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ t❤ø tù s❛✉ ❦❤✐ ①Õ♣✳ ◆Õ✉ t❛ ➤➷t ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ trä♥❣ sè ❣➬♥ ➤➬✉ ❝đ❛ W ✱ t❛ ❝ã t❤Ĩ ♥❤✃♥ ♠➵♥❤ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝❛♦ ❤➡♥✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉ ➤➷t ❝➳❝ trä♥❣ sè ❣➬♥ ❝✉è✐ ❝đ❛ W sÏ ♥❤✃♥ ♠➵♥❤ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ t ột số trờ ợ ệt ã ◆Õ✉ trä♥❣ sè w1 = ✈➭ wj = ✈í✐ ♠ä✐ j = 1✱ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè ❦ý ❤✐Ư✉ W ∗ = (1, 0, , 0)T ✱ ❦ý ❤✐Ư✉ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ø♥❣ ✈í✐ trä♥❣ sè W ∗ ❧➭ F ∗ ❚❛ ❝ã F ∗ (a) = F ∗ (a1 , , an ) = maxj (aj )✳ ◆❤➢ ✈❐② t♦➳♥ tư ❝❤ä♥ sè ❧í♥ ♥❤✃t (max) ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆✳ ❧➭ • ◆Õ✉ trä♥❣ sè wn = ✈➭ wj = ✈í✐ ♠ä✐ j = n✱ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ W∗ = (0, 0, , 1)T ✱ ❦ý ❤✐Ư✉ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ø♥❣ ✈í✐ trä♥❣ sè W∗ ❧➭ F∗ ❚❛ ❝ã F∗ (a) = F∗ (a1 , , an ) = minj (aj )✳ ◆❤➢ ✈❐② t♦➳♥ tö ❝❤ä♥ sè ❜Ð ♥❤✃t (min) ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆✳ • ◆Õ✉ ❝➳❝ trä♥❣ sè wj = ✈í✐ ♠ä✐ j ✱ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ Wave , ❦ý n n aj ❤✐Ư✉ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ø♥❣ ✈í✐ trä♥❣ sè Wave ❧➭ Fave ❚❛ ❝ã Fave (a) = n j=1 ❚õ ➤ã t♦➳♥ tư tr✉♥❣ ❜×♥❤ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét ❞➵♥❣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆✳ ✺ • ◆Õ✉ wk = ✈➭ wj = ✈í✐ ♠ä✐ j = k ✱ t♦➳♥ tö ❖❲❆ F (a1 , , an ) = bk ✭ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ t❤ø k ❝đ❛ ✈❡❝t➡ a✮✳ ◆❤➢ ✈❐② ✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ♠ét t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❝đ❛ ✈❡❝t➡ ❝ị♥❣ ❧➭ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❝đ❛ ❤ä t♦➳♥ tư ❖❲❆✳ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ r✐➟♥❣ t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝ ♣❤➬♥ tư ë ❣✐÷❛ ✈❡❝t➡ a ❜➺♥❣ ❝➳❝❤✿ n ❧➭ ❧❰ ❧✃② w n+1 = ✈➭ ➤➷t wj = 0, j = n+1 ◆Õ✉ n ❧➭ ❝❤➼♥ ❧✃② w n2 = w n2 +1 = ✈➭ ➤➷t wj = ❝❤♦ t✃t ❝➯ ❝➳❝ sè ❤➵♥❣ ◆Õ✉ ❦❤➳❝✳ ✶✳✶✳✸✳ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❙❛✉ ➤➞② t❛ ➤Ò✉ ❣✐➯ t❤✐Õt ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳✶✳ W = (w1 , , wn )T ❧➭ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè✳ ➜è✐ ✈í✐ ỗ t tử t ó F (a1 , , an ) ⇔ min(ai ) F (a1 , , an ) F (a1 , , an ) F ∗ (a1 , , an ), max(ai ) ✭❍❛② ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ❜Þ ❝❤➷♥ ❜ë✐ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t ✈➭ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ ✈❡❝t➡ a✮✳ W = (w1 , , wn )T ➤➲ ❝❤♦ ♥❤➢ tr➟♥ ✈➭ b = (b1 , , bn ) ❧➭ ✈❡❝t➡ s➽♣ ①Õ♣ ❧➵✐ ❝ñ❛ ✈❡❝t➡ a ✭◆❣❤Ü❛ ❧➭ b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn ✮ ❚❛ ❝ã ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐➯ sư t♦➳♥ tư ❖❲❆ ✈í✐ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè F∗ (a1 , , an ) = b1 + b2 + + bn = bn = min(ai ), n F (a1 , , an ) = b1 w1 + b2 w2 + + bn wn = wi bi , i=1 ∗ F (a1 , , an ) = b1 + b2 + + bn = b1 = max(ai ) ❘â r➭♥❣ n n wi bi ≥ i=1 n wi bn = bn i=1 n wi bi ≤ i=1 n wi = bn = min(ai ), i=1 n wi b1 = b1 i=1 wi = b1 = max(ai ) i=1 ✻ ❚õ ➤ã n min(ai ) wi bi max(ai ) ❤❛② F∗ F F ∗ i=1 ✷ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳✷✳ ✭❚Ý♥❤ ❤♦➳♥ ✈Þ✮ ❚❛ ❝ã F (a1 , , an ) = F (d1 , , dn ), ✈í✐ ♠ä✐ ❤♦➳♥ ✈Þ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✈Þ d = (d1 , , dn ) ❝đ❛ a = (a1 , , an ) ❱× sù s➽♣ ①Õ♣ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ♥➟♥ ✈❡❝t➡ ❝➬♥ tÝ❝❤ ❤ỵ♣ a ✈➭ ❤♦➳♥ d ➤Ò✉ ❝ã ❝❤✉♥❣ ✈❡❝t➡ s❛✉ ❦❤✐ s➽♣ ①Õ♣ ❧➭ b = (b1 , , bn )✳ ❱❐② F (a1 , , an ) = F (d1 , , dn ) ✷ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳✸✳ ✭❚Ý♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉✮ ●✐➯ sö a = (a1 , a2 , , an ) ✈➭ c = (c1 , c2 , , cn ) ❧➭ ❤❛✐ ✈❡❝t➡ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö ❖❲❆ t❤♦➯ ♠➲♥ ≥ ci (i = 1, , n) ❚❤Õ t❤× F (a1 , , an ) ≥ F (c1 , , cn ) a ❧➭ b = (b1 , , bn )✱ ✈❡❝t➡ s❛✉ ❦❤✐ s➽♣ ①Õ♣ ❝ñ❛ ✈❡❝t➡ c ❧➭ d = (d1 , , dn ) ❱× ❤❛✐ ✈❡❝t➡ a, c t❤♦➯ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ♠➲♥ ●✐➯ sö ✈❡❝t➡ s❛✉ ❦❤✐ s➽♣ ①Õ♣ ❝đ❛ ✈❡❝t➡ ≥ ci , ♥➟♥ bi ≥ di ✈í✐ ♠ä✐ ✐✳ ❚❛ ❝ã F (a1 , a2 , , an ) = b1 w1 + b2 w2 + + bn wn , F (c1 , c2 , , cn ) = d1 w1 + d2 w2 + + dn wn ❘â r➭♥❣ F (a1 , , an ) ≥ F (c1 , , cn ) ✷ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳✹✳ ✭❚Ý♥❤ ❧✉ü ➤➻♥❣✮ ◆Õ✉ ✈❡❝t➡ c = (c1 , , cn ) ✈í✐ c1 = c2 = = cn = a t❤× t❛ ❝ã F (c1 , , cn ) = a ✼ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã F (c1 , , cn ) = a.w1 + + a.wn = a.(w1 + + wn ) = a.1 = a ✷ ✶✳✶✳✹✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö ❖❲❆ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ ➤♦ q✉❛♥ trä♥❣✱ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè✱ ❤÷✉ Ý❝❤ ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❤♦➳ ❝➳❝ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ❬✶❪✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ ➜é ➤♦ t❤ø ♥❤✃t ❧➭ ➤é ➤♦ ♣❤➞♥ t➳♥ n ➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ Disp(W ) = − ❝đ❛ ✈❡❝t➡ W ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ❝đ❛ ✈❡❝t➡ W ợ wi ln wi i=1 ị ĩ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ ❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷✳ ➜é ➤♦ t❤ø ❤❛✐ ❧➭ Orness(W ) = ➤é ➤♦ tÝ♥❤ t✉②Ó♥ n−1 n (n − i)wi i=1 ❚❛ ①Ðt ♠ét ✈Ý ❞ô s❛✉ ❱❡❝t➡ trä♥❣ sè ❲ ❉✐s♣✭❲✮ ❖r♥❡ss✭❲✮ ❲❂✭✵✳✹✱✵✳✸✱✵✳✷✱✵✳✶✮ ✶✳✷✼✾✽ ✵✳✻✻✻✻ ❲❂✭✵✳✶✱✵✳✷✱✵✳✸✱✵✳✹✮ ✶✳✷✼✾✽ ✵✳✸✸✸✸ ❲❂✭✵✳✾✱✵✳✵✼✱✵✳✵✷✱✵✳✵✶✮ ✵✳✹✵✺✸ ✵✳✾✺✸✸ ❲❂✭✵✳✵✹✱✵✳✵✻✱✵✳✶✱✵✳✽✮ ✵✳✼✵✻✸ ✵✳✶✶✸✸ ❲❂✭✵✳✷✹✱✵✳✷✺✱✵✳✷✺✱✵✳✷✻✮ ✶✳✸✽✺✾ ✵✳✹✾ ❇➯♥❣ ✶✳✶ ◆❤❐♥ ①Ðt✿ ❚❛ t❤✃② ❝➳❝ trä♥❣ sè ♥➭② ❝➭♥❣ ❣➬♥ ♥❤❛✉ t❤× ❉✐s♣ ❝➭♥❣ ❧í♥✱ ❝➭♥❣ ①❛ ♥❤❛✉ t❤× ❉✐s♣ ❝➭♥❣ ♥❤á✳ ➜✐Ị✉ ➤ã ❝❤ø♥❣ tá ♥Õ✉ t❛ ①Ðt ❝➳❝ t❤✉é❝ tÝ♥❤ ♠ét ❝➳❝❤ ➤å♥❣ ề tì s ợ ó ❦❤➳❝✱ ➤é ➤♦ ❉✐s♣ ❝❤Ø ♠ø❝ ➤é sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ t❤✉é❝ tÝ♥❤✳ ❱í✐ ➤é ➤♦ ❖r♥❡ss✱ ♥Õ✉ trä♥❣ sè ❝❛♦ ë ➤➬✉ t❤× ❖r♥❡ss ❧í♥✱ trä♥❣ sè ❝❛♦ ë ❝✉è✐ t❤× ❖r♥❡ss ♥❤á✳ ◆Õ✉ ❝➳❝ trä♥❣ sè ➤Ị✉ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ t❤× ❖r♥❡ss t✐Õ♥ tí✐ ✵✳✺✳ ◆❣❤Ü❛ ❧➭ ➤é ➤♦ ❖r♥❡ss ①➳❝ ➤Þ♥❤ ➤✐Ĩ♠ ♥❤✃♥ ♠➵♥❤✳ ✽ ◆❣♦➭✐ ❤❛✐ ➤é ➤♦ ❝➡ ❜➯♥ tr➟♥✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝ß♥ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ t❤➟♠ ♠ét sè ➤é ➤♦ ❦❤➳❝ ❬✸❪✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ❛✱ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✺✳ ➜é ♣❤➞♥ t➳♥ ❙❤❛♥♥♦♥ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ n Hs (W ) = − wi log2 wi i=1 ❜✱ ➜é ♣❤➞♥ t➳♥ ❘Ð♥②✐✬s ❱í✐ ♠ä✐ sè t❤ù❝ Hα ✭❝ị♥❣ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤é ♣❤➞♥ t➳♥ ❝đ❛ α✳✮ α = t❤×✿ n Hα (W ) = log2 1−α ❝✱ β = t❤×✿ Hβ (W ) = ❞✱ ➜é ♣❤➞♥ t➳♥ ❘✲ ❝❤✉➮♥ ❱í✐ ♠ä✐ n 21−β −1 wiβ − i=1 HR (W ) R = ✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ R HR (W ) = 1− R−1 ◆❤❐♥ ①Ðt✿ i=1 β ➤➢ỵ❝ s➽♣ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ Hβ ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜ë✐ ❉❛r♦❝③②✳ ➜é ♣❤➞♥ t➳♥ ❝đ❛ ❱í✐ ♠ä✐ wiα n wiR R i=1 ❙ư ❞ơ♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ ❣✐í✐ ❤➵♥ t❛ ❝ã✿ Hs (W ) = lim Hα (W ) = lim Hβ (W ) = lim HR (W ) α→1 ✶✳✷✳ β→1 R→1 ❈➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè ✇ ❚❛ ➤➲ t❤✃② ý ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❤✐Ö✉ q✉➯ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè W ❚✉ú t❤❡♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ơ t❤Ĩ ♠➭ ❝ã ♥❤÷♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ❧ù❛ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② t❛ sÏ ①Ðt ♠ét ✈➭✐ ❝➳❝❤ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈❡❝t➡ ✾ W ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ ❧➭✿ W ∗ (0.2) = (0, 0.04, 0.18, 0.32, 0.46)T , W ∗ (0.8) = (0.46, 0.32, 0.18, 0.04, 0)T , D2 (W ∗ (0.2)) = 0.0296 ã ế = 0.3 tì J1,5 = , ✈í✐ ❧è✐ tÝ♥❤ tr➟♥ t❛ ❝ã✿ , 12 12 W ∗ (0.3) = (0.04, 0.12, 0.2, 0.28, 0.36)T , W ∗ (0.7) = (0.36, 0.28, 0.2, 0.12, 0.04)T , D2 (W ∗ (0.3)) = 0.0128 • ◆Õ✉ α = 0.4 t❤× α ∈ J1,5 = , t➢➡♥❣ tù tr➟♥ t❛ ❝ã✿ , 12 12 W ∗ (0.4) = (0.12, 0.16, 0.2, 0.24, 0.28)T , W ∗ (0.6) = (0.28, 0.24, 0.2, 0.16, 0.12)T , D2 (W ∗ (0.4)) = 0.0032 • ◆Õ✉ α = 0.5 t❤× W ∗ (0.5) = (0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)T ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ s❛✐ D2 (W ∗ (0.5)) = ✸✺ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ▼ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ t♦➳♥ tö ❖❲❆ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t❛ ➤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆ tr♦♥❣ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ơ t❤Ĩ ❣å♠ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❞ù❛ tr➟♥ ➤é q✉❛♥ trä♥❣✱ ❝➳❝ t❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ ❝ô♠ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ♠ét ❞➵♥❣ t♦➳♥ tè✐ ➢✉✳ ✸✳✶✳ ❘❛ q✉②Õt ➤Þ♥❤ ❞ù❛ tr➟♥ ➤é q✉❛♥ trä♥❣ ▼ét ❧í♣ q✉❛♥ trä♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦Õt ❤ỵ♣ ❧➭ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦Õt ❤ỵ♣ ➤❛ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➯② s✐♥❤ tr♦♥❣ ❝➳❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ♥❤➢ r❛ q✉②Õt ➤Þ♥❤✱ ♥❤❐♥ ❞➵♥❣ ♠➱✉✱ t❤✉ t❤❐♣ t❤➠♥❣ t✐♥✳ ❱í✐ ❞➵♥❣ t❤✉ t❤❐♣ t❤➠♥❣ t✐♥✱ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❣➽♥ ❧✐Ị♥ ✈í✐ ❝➳❝ t❤✉é❝ tÝ♥❤ ❝đ❛ t ệ tì ế ể ủ ữ t♦➳♥ ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ t❤✉ t❤❐♣ Ai ✈í✐ i = 1, , n ✈➭ ♠ét t❐♣ X ❝➳❝ ❣✐➯✐ ♣❤➳♣✳ ❱í✐ ♠ét ❧ù❛ ❝❤ä♥ x t❛ ❝ã ♠ét ❣✐➳ trÞ ∈ [0, 1] ❝❤Ø r❛ ♠ø❝ ➤é ♠➭ x t❤♦➯ ♠➲♥ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ Ai sử ụ ữ trị ể ❦Õt ❤ỵ♣ ❝❤ó♥❣ t❤➭♥❤ ♠ét ➤✐Ĩ♠ tỉ♥❣ t❤Ĩ ❝❤♦ ❧ù❛ ❝❤ä♥ x, ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ a∗ = Agg(a1 , a2 , , an ) ë ➤➞② ❆❣❣ ❧➭ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ❝➡ ❜➯♥ ➤Ĩ ❦Õt ❤ỵ♣ ❝➳❝ ể tr ì ự ự tể ữ ự ọ r✐➟♥❣ rÏ sÏ ➤➢ỵ❝ s♦ s➳♥❤ ✈í✐ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ tỉ♥❣ t❤Ĩ ♥➭②✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤Ĩ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ t♦➳♥ tư ❆❣❣ ❧➭ sư ❞ơ♥❣ t♦➳♥ tư ❖❲❆ a∗ = Fw (a1 , a2 , , an ), Fw ë tr➟♥ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❖❲❆ ➤➷❝ ❜✐Ưt✳ ❱✐Ư❝ ❝❤ä♥ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ✈í✐ ✈Ð❝ t➡ trä♥❣ sè W ♥❤➺♠ ♣❤➯♥ ➳♥❤ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ♥❤÷♥❣ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤❛♥❣ ➤➢ỵ❝ ❦Õt ❤ỵ♣✳ ◆Õ✉ t❛ ②➟✉ ❝➬✉ t✃t ❝➯ t ợ t tì t sử ❞ô♥❣ : W = W∗ ◆Õ✉ ❝➬♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ✈í✐ ♠ét ❜✃t ❦ú t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ♥➭♦ t❤× ✸✻ max : W = W ∗ ◆Õ✉ ②➟✉ ❝➬✉ ❝❤ä♥ ♠ét ❝♦♥ sè tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ r✐➟♥❣ rÏ t❤× ❝ã t❤Ĩ sư ❞ơ♥❣ W = Wave ◆ã✐ ❝➳❝❤ t❛ sư ❞ơ♥❣ ❦❤➳❝ ❝➳❝ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ❝❤♦ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ t❤Þ ♠è✐ q✉❛♥ ❤Ư ❣✐÷❛ ❝➳❝ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥✳ ❚❛ tÝ♥❤ a∗ = Fw ((u1 , a1 ), (u2 , a2 ), , (un , an )), tr♦♥❣ ➤ã ∈ [0, 1] ❧➭ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ t❤ø i ✈➭ ui ∈ [0, 1] ❧➭ sù q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ t❤ø i ❚❛ sÏ ①❡♠ ①Ðt ♠ét sè t✐Õ♣ ❝❐♥ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ sư ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ♠ét sè t♦➳♥ tư ❖❲❆ r trờ ợ t tử tr ì q trọ ợ ì t sử ❞ơ♥❣ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ã trä♥❣ sè n ∗ a = j=1 uj aj = T n n j=1 n u j aj , T n tr♦♥❣ ➤ã uj ❧➭ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❝➳❝ trä♥❣ sè q✉❛♥ trä♥❣✳ T = j=1 ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ t♦➳♥ tư ♠✐♥✱ ♠ét t✐Õ♣ ❝❐♥ ❝❤✉♥❣ ❧➭ sư ❞ơ♥❣ a∗ = min[S(uj , aj )], j tr♦♥❣ ➤ã uj = − uj ✈➭ S ❧➭ t ì t ố r trờ ợ t tư ♠❛①✱ ♠ét t✐Õ♣ ❝❐♥ ❝❤✉♥❣ ❧➭ sư ❞ơ♥❣ a∗ = max[T (uj , aj )], j tr♦♥❣ ➤ã T t t ì trờ ợ ♠✐♥✱ ❛✈❡r❛❣❡ ➤Ị✉ sư ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❧✉❐♥ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ♥❤➢♥❣ ➤Ị✉ ❝ã tÝ♥❤ q✉② ❧✉❐t✳ ❚♦➳♥ tư ❆❣❣ ♥❤❐♥ n ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ➤➡♥ ✈Þ ✈➭ tr➯ ✈Ị ♠ét ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ➤➡♥ ✈Þ Agg : I n −→ I ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤✐ t❛ ❝ã q✉❛♥ trä♥❣ ❣➽♥ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✱ t❤❛② ❝❤♦ ✈✐Ư❝ ❝ã ❝➳❝ ❣✐➳ trÞ ➤➡♥✱ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❞➵♥❣ (uj , aj ) ✈➭ ❞♦ ➤ã t❛ ❦❤➠♥❣ trù❝ t✐Õ♣ sư ❞ơ♥❣ ỗ (uj , aj ) ✈➭ ➳♣ ❞ơ♥❣ ♠ét ♣❤Ð♣ ❝❤✉②Ĩ♥ ➤ỉ✐ ✸✼ sù q✉❛♥ trọ ể t ợ ột trị ệ q bj = G(uj , aj ) ❙❛✉ ➤ã ➳♣ ❞ô♥❣ ♣❤Ð♣ t trị ợ ❝❤✉②Ĩ♥ ➤ỉ✐ ♥➭②✳ a∗ = Agg(b1 , b2 , , bn ) ❇➯♥❣ s❛✉ sÏ tã♠ t➽t ❜❛ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② ❚➟♥ ❚♦➳♥ tư ❆✈❡r❛❣❡ ▼❛① Maxj [bj ] bj = T (uj , aj ) ▼✐♥ Minj [bj ] n bj n j=1 bj = S(u, aj ) n b j = u j aj T ❆✈❡r❛❣❡ ❙ù ❝❤✉②Ĩ♥ ➤ỉ✐ ❝đ❛ (uj , aj ) ❇➯♥❣ ✸✳✶ ❱Ý ❞ô ✸✳✶✳✶✳ ❳Ðt ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ tÝ♥❤ ➤✐Ĩ♠ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝❤♦ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ➤➵✐ ❤ä❝ t❤❡♦ ❝❤Õ ➤é ❤ä❝ tr×♥❤✳ ❚❤❡♦ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ ➤✐Ĩ♠ ❤✐Ư♥ ♥❛② ❝đ❛ s✐♥❤ ✈✐➟♥ t❤× trì t ợ r ề ọ ỗ ọ ề ọ trì ết q ➤➢ỵ❝ tÝ♥❤ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ D tb = tr♦♥❣ ➤ã d(i)ht(i) , ht(i) d(i) ❧➭ ➤✐Ó♠ ♠➠♥ t❤ø ✐ ✈➭ ht(i) ❧➭ sè ❤ä❝ tr×♥❤ ❝đ❛ ♠➠♥ t❤ø ✐ t➢➡♥❣ ø♥❣✳ ❈➳❝❤ tÝ♥❤ ➤✐Ĩ♠ ♥➭② t✐Ư♥ ❧ỵ✐✱ ❞Ơ tÝ♥❤ ✈➭ ❦Õt q✉➯ tØ ❧Ư ✈í✐ t❤ê✐ ❧➢ỵ♥❣ ❤ä❝✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥ ó ũ ộ ộ ữ ể ế ã ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ❤ä❝ t❐♣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ø♥❣✱ ✈Ý ❞ơ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ①Õ♣ ❧♦➵✐ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♥Õ✉ ≤ kq < ✈➭ ①Õ♣ ❧♦➵✐ ❦❤➳ ♥Õ✉ ≤ kq < ◆❤➢ ✈❐② ❝➳❝ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❝ã ❦Õt q✉➯ ❧➭ ✺✳✵ ✈➭ ✻✳✾ ➤Ò✉ ❝ï♥❣ ♠ét ❧♦➵✐ tr♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã ✻✳✾ ✈í✐ ✼✳✵ ❧➵✐ t❤✉é❝ ✷ ❧♦➵✐ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✳ • ◆❤➢ ➤➲ ♥➟✉ ë tr➟♥✱ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ ➤✐Ó♠ ❦Õt q ủ ế ự tr tờ ỗ ♠➠♥ ❤ä❝ ❝❤ø ❦❤➠♥❣ ❝❤ó ý ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ♠➠♥ ❤ä❝ ❝ã ❦Õt q✉➯ tèt ❤❛② ❦Ð♠✳ ◆❤➢ ✈❐② ♥Õ✉ s♦ s➳♥❤ ✷ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❝ã ❦Õt q✉➯ ➤✐Ó♠ ❜➺♥❣ ♥❤❛✉ tì ó ó tể ó s ợ t✐➟♥ ❤➡♥ ♥Õ✉ t✉②Ĩ♥ ❞ơ♥❣ ✭✈Ị ♥➝♥❣ ❧ù❝ ❝❤✉②➟♥ ♠➠♥✮ t❤❡♦ ♥❤✉ ❝➬✉ ❝➠♥❣ ✈✐Ö❝ ♥➭♦ ➤ã✳ ✸✽ ◆Õ✉ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr➟♥ ✈Ị t♦➳♥ tư ❖❲❆ t❤× ❝ã t❤Ĩ ➤Ị ①✉✃t ❝➳❝❤ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ự tr ộ q trọ ủ ỗ ọ ộ q✉❛♥ trä♥❣ ♥➭② ❝ã t❤Ó t❤✉ ♥❤❐♥ tõ ý ❦✐Õ♥ ❝đ❛ ❝➳❝ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛✳ ▼➠ ❤×♥❤ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➢ s❛✉✳ ❳Ðt ❜➯♥❣ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ❜❛ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ①✐♥ ✈✐Ư❝✳ ể tr ì ọ t ủ ọ ợ tí t ❝➠♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✳ ❙♦♥❣ ♥Õ✉ ❝➬♥ t✉②Ó♥ ♥❣➢ê✐ t❤❡♦ ♠ét t í ó t ỗ trị ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ♠ét ❤ä❝ ♣❤➬♥ ✈í✐ ♠ét ❣✐➳ trÞ ❧➭ ➤é q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ❤ä❝ ♣❤➬♥ ➤ã✳ ◆❣❤Ü❛ ❧➭ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ t❤❛② ❣✐➳ trÞ ❤t✭✐✮ ❜ë✐ ➤é q✉❛♥ trä♥❣ ❞qt✭✐✮ t❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ d(i)dqt(i) , dqt(i) tr♦♥❣ ➤ã d(i) ❧➭ ➤✐Ó♠ ♠➠♥ t❤ø ✐ ✈➭ dqt(i) ❧➭ ➤é q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ♠➠♥ t❤ø D qt = ✐ t➢➡♥❣ ø♥❣✳ ❱í✐ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ ➤✐Ĩ♠ ♥➭② râ r➭♥❣ sù ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ➤➲ t❤❡♦ ❝❤✐Ị✉ ❤➢í♥❣ ❦❤➳❝✿ ❝➳❝ ♠➠♥ ❤ä❝ ♣❤ï ❤ỵ♣ ✈í✐ t✐➟✉ ❝❤Ý ➤➳♥❤ ❣✐➳ sÏ ❝ã trä♥❣ sè ❝❛♦ ❤➡♥ ♥➟♥ sÏ ➤➢ỵ❝ ➢✉ t✐➟♥ ❤➡♥✳ ❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ♠ét ❝➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥ ❦❤➳❝✿ ❈➳❝❤ tÝ♥❤ ➤✐Ĩ♠ t❤❡♦ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆✳ ●✐➯ sư ❝➬♥ ①Ðt ➢✉ t✐➟♥ ♥❤÷♥❣ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❝ã ♥❤✐➟✉ ➤✐Ĩ♠ ❝❛♦ ❤➡♥ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ❝ã ➤✐Ĩ♠ sè ❝➳❝ ♠➠♥ ề ột sở ữ ệ tì ✈✐Ư❝ ①Ðt ❝❤ä♥ ❜➺♥❣ t❛② ❧➭ ➤✐Ị✉ r✃t ❦❤ã✳ ❙♦♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❣✐➯✐ q✉②Õt ➤✐Ị✉ ♥➭② ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ sư ❞ơ♥❣ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ✈í✐ ❝➳❝ trä♥❣ sè ➤➢ỵ❝ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ❣✐➯♠ ❞➬♥✳ ◆❣❤Ü❛ ❧➭ t❛ sư ❞ơ♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝✿ D OW A = tr♦♥❣ ➤ã d(i)w(i), W = (w1 , , wn ) ✈➭ ❝➳❝ wi ➤➢ỵ❝ ①Õ♣ t❤❡♦ t❤ø tù ❣✐➯♠ ❞➬♥✳ ●✐➯ sư ❝➳❝ ♠➠♥ ❤ä❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ m1 −→ m2 ố ị ọ trì t ứ (6, 6, 6, 6, 3, 6, 5, 7, 5, 6, 4, 6, 4, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3) ➜é q✉❛♥ trä♥❣ ❧➭ V =(0.07, 0.03, 0.03, 0.02, 0.03, 0.07, 0.03, 0.03, 0.02, 0.1, 0.03, 0.05, 0.02, 0.05, 0.06, 0.03, 0.1, 0.1, 0.1, 0.03) ✸✾ ❱❡❝t➡ trä♥❣ sè W =(0.103, 0.1, 0.098, 0.087, 0.083, 0.08, 0.075, 0.063, 0.06, 0.05, 0.047, 0.03, 0.025, 0.02, 0.019, 0.014, 0.013, 0.012, 0.011, 0.01) ➜✐Ĩ♠ ❝đ❛ s ị ọ trì ợ ❜ë✐✿ ❚r➬♥ ❚❤Þ ❈ó❝ (6, 8, 8, 6, 8, 6, 7, 9, 7, 5, 5, 8, 5, 9, 6, 8, 5, 6, 6, 9) ▲➟ ❚❤❛♥❤ ▼❛✐ (7, 7, 6, 8, 7, 5, 7, 6, 5, 7, 8, 7, 5, 7, 8, 7, 9, 8, 7, 7) ❈❛♦ ❚❤✉ ❚ró❝ (6, 8, 5, 8, 6, 7, 6, 7, 8, 8, 6, 5, 6, 8, 5, 7, 6, 6, 5, 5) ❉➢í✐ ➤➞② ➤➢❛ r❛ ❦Õt q✉➯ tÝ♥❤ ➤✐Ĩ♠ ❝đ❛ ✸ s✐♥❤ ✈✐➟♥ t❤❡♦ ✸ ❝➳❝❤✳ ❚➟♥ ➜✐Ĩ♠ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ➜✐Ĩ♠ q✉❛♥ trä♥❣ ➜✐Ĩ♠ ❖❲❆ ❈ó❝ ✻✳✾ ✻✳✹✼ ✻✳✾ ▼❛✐ ✻✳✽ ✼✳✶✸ ✻✳✼ ❚ró❝ ✻✳✺ ✻✳✸ ✻✳✻ ❇➯♥❣ ✸✳✷ ❑Õt q✉➯ t❤✃② râ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ ✈➭ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ♥➭② ➤➲ ❝ã sù ♣❤➞♥ ❜✐Ưt ➤➳♥❣ ❦Ĩ ❣✐÷❛ ❝➳❝ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❝ã ❝ï♥❣ ➤✐Ĩ♠ tr✉♥❣ ❜×♥❤✳ ❘â r➭♥❣ ♥Õ✉ ①Ðt t❤❡♦ ➤é q✉❛♥ trä♥❣✱ t❤➠♥❣ t✐♥ ♥➭② ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ➤➳♥❣ ❦Ó ❝❤♦ ♥❣➢ê✐ t✉②Ĩ♥ ❞ơ♥❣ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥✳ ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✈❐② ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ï♥❣ ❧♦➵✐✳ ✸✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ ❝ơ♠ ❚r➢í❝ t✐➟♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝➳❝ ❞ù ➳♥✱ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ s❛✉✳ ▼➠ ❤×♥❤✿ • ❈❤♦ A = {A1 , A2 , , An } ❧➭ n ❞ù ➳♥ ❝➬♥ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✈➭ ♣❤➞♥ ❧í♣✳ • ❈❤♦ E = {e1 , e2 , , em } ❧➭ m ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛✲ ❝è ✈✃♥ t❤❛♠ ❣✐❛ ❤é✐ ➤å♥❣ ➤➳♥❤ ❣✐➳✳ • ❈❤♦ W = {w(1), w(2), , w(k), , w(m)}✱ w(k) ❧➭ trä♥❣ sè ❝ñ❛ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ ek ✱ ≤ w(k) ≤ 1✳ ❈❤ä♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ♠ét t❐♣ ♥❤➲♥ S ❜➺♥❣ tõ ➤Ó ❝➳❝ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ ❧ù❛ ❝❤ä♥ ✈➭ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝➳❝ ❞ù ➳♥✳ ✹✵ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥ ❝❤♦ S = (s1 , s2 , , s9 ) ❚❤Õ t❤× ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ tõ t✐Õ♥❣ ✈✐Ưt t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭✿ S =✭❦❤➠♥❣ t❤Ó ①➯② r❛✱ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣✱ r✃t Ýt ❦❤➯ ♥➝♥❣✱ Ýt ❦❤➯ ♥➝♥❣✱ ❝ã t❤Ó✱ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ❦❤➯ ♥➝♥❣✱ r✃t ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣✱ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣✱ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✮ ❬✶❪ ✳ ✸✳✷✳✶✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ ❝ô♠ ✶ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ù❛ ✈➭♦ ➤➳♥❤ ❣✐➳ trù❝ tế ủ ỗ ek ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❝➳❝ ❞ù ➳♥ ▼ä✐ t❤➠♥❣ t✐♥ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❧➭ Ai ❜➺♥❣ ♠ét ♣❤Ð♣ ➤➳♥❤ ❣✐➳ Pk : A −→ S ✳ {Pk : k = 1, , m} ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✶✿ ❇➢í❝ ✶✿ ❚❤✉ t❤❐♣ ❝➳❝ ✈❡❝t➡ {Pk }✳ ❇➢í❝ ✷✿ ❉ù❛ ✈➭♦ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè W = {w(1), w(2), , w(k), , w(m)}, w(k) ❧➭ trä♥❣ sè ❝ñ❛ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ ek , ≤ w(k) ≤ 1, ❝❤✉➮♥ ❤♦➳ ✈❡❝t➡ trä♥❣ w(k) sè w (k) = , ë ➤➞② w0 = k w(k) w0 ❇➢í❝ ✸✿ ❚Ý♥❤ trä♥❣ số ộ t từ st ố ỗ ➳♥ Ai ✲ ➤ã ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤é ♥❤✃t trÝ ❝❤ä♥ st ❝ñ❛ ❝➯ ❤é✐ ➤å♥❣ ❦❤✐ ➤➳♥❤ ❣✐➳ Ai {w (k) : Pk (Ai ) = st } IC(i)[st ] = k í ộ trộ ủ ỗ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ Ai ❜➺♥❣ t♦➳♥ tö ▲❖❲❆ E(i) = Low(S, U (i)), ë ➤➞② U (i) = [u1 , , ut , , uT ], ut = IC(i)[st ], ỗ t {E(i) : Ai ∈ A} ➤Ĩ ♣❤➞♥ ❝ơ♠ t❐♣ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ A t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❧í♣ Y1 , Y2 , , YT = {Ai E(i) = st }, ✈í✐ ỗ st S õ r A = t Yt ỗ t Yt ó tể t rỗ ➤è✐ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ t❐♣ Yt ❦❤➳❝ ❇➢í❝ ✺✿ P❤➞♥ ❝ơ♠✳ ù rỗ t ó tể s ế ủ t S ♥❤➢ s❛✉✿ Yt < Yt ♥Õ✉ t < t ✹✶ ✸✳✷✳✷✳ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ♣❤➞♥ ❝ô♠ ✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❞ï♥❣ t❤➠♥❣ t✐♥ ❞➵♥❣ ➤➳♥❤ ❣✐➳ s♦ s➳♥❤ tõ♥❣ ❝➷♣ ủ ỗ ek ❣✐➳ ❞➵♥❣ s♦ s➳♥❤ ❞ù ➳♥ Ai ✈í✐ ❞ù ➳♥ Aj ❜➺♥❣ ♠ét ♣❤Ð♣ ➤➳♥❤ ❣✐➳ Pk : A ∗ A −→ S ▼ä✐ t❤➠♥❣ t✐♥ ➤Ĩ ♣❤➞♥ ❝ơ♠ ❧➭ t❤➠♥❣ t✐♥ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❧➭ {Pk : k = 1, , m} ➜Ĩ ❣ä♥ t❛ ❦Ý ❤✐Ư✉ Pk (i, j) = Pk (Ai , Aj ) ❈❤ó♥❣ t❛ sÏ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ Pk (i, i) = s T +1 , ỗ i ế Pk (i, j) ≥ s T +1 t❤× Pk (j, i) ≤ s T +1 2 ❚❤✉❐t t♦➳♥ ✷✿ ❇➢í❝ ✶✿ ❚❤✉ ♥❤❐♣ ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ư ♠ê ❇➢í❝ ✷✿ ❉ù❛ ✈➭♦ ✈❡❝t➡ trä♥❣ sè {Pk } W = {w(1), w(2), , w(k), , w(m)}, w(k) ❧➭ trä♥❣ sè ❝ñ❛ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ ek , ≤ w(k) ≤ 1, ❝❤✉➮♥ ❤♦➳ ✈❡❝t➡ trä♥❣ w(k) , ë ➤➞② w0 = k w(k) sè w (k) = w0 ❇➢í❝ ✸✿ ❚Ý♥❤ trä♥❣ sè ❣é♣ t❤❡♦ tõ♥❣ st ố ỗ (Ai , Aj ) ✲ ➤ã ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤é ♥❤✃t trÝ ❝❤ä♥ st tr♦♥❣ s♦ s➳♥❤ ❝ñ❛ ❝➯ ❤é✐ ➤å♥❣ {w (k) : Pk (Ai , Aj ) = st } IC(i, j)[st ] = k í ộ trộ ủ ỗ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ ❇➢í❝ ✹✿ (Ai , Aj ) ❜➺♥❣ t♦➳♥ tö ▲❖❲❆ E(i, j) = Low(S, U (i, j)), ë ➤➞② U (i, j) = [u1 , , ut , , uT ], ✈í✐ ut = IC(i, j)[st ], ỗ t ể ý ỗ E(i, j) ột tr ó ❧➭ ♠ét q✉❛♥ ❤Ö ♠ê ❝✃♣ ✷✲ q✉❛♥ ❤Ö ♠ê ♥➭② ➤♦ ➤é tré✐ t➢➡♥❣ ➤è✐ t❤❡♦ ý ❦✐Õ♥ ➤➲ tí ợ ủ ộ ì ệ t❐♣ t❤Ó ♠ê ❋❈❙✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ê ❧♦➵✐ ị tr F CS = (àF CS (A1 )/A1 , , µF CS (An )/An ) ✹✷ ❱í✐ µF CS (Ai ) = Low(S, V (i)), ✈➭ V (i) = [v1 , , vt , , vT ], ỗ t, vt = #{j : E(i, j) = st , j = i}/m − µF CS (Ai ) : Ai ∈ A} ➤Ĩ ♣❤➞♥ ❝ơ♠ t❐♣ ♣❤➢➡♥❣ ➳♥ A t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❧í♣ Y1 , Y2 , , YT , s❛♦ ❝❤♦ Yt = {Ai àF CS (Ai ) = st } ỗ st ∈ S ❘â r➭♥❣ A = t Yt ỗ t Yt ó tể t rỗ ố ✈í✐ ❇➢í❝ ✻✿ P❤➞♥ ❝ơ♠✳ ❉ï♥❣ ♥❤÷♥❣ t❐♣ Yt ❦❤➳❝ rỗ t ó tể s ế t tứ tự s ①Õ♣ ❝ñ❛ t❐♣ ♥❤➲♥ S ♥❤➢ s❛✉✿ Yt < Yt ♥Õ✉ t < t ✸✳✸✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➳♣ ❞ô♥❣ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❬✷❪✿ f (x) = (x1 + 2x2 − c3 x3 − 1.2x4 ) −→ min, t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ 2x1 + x2 + a13 x3 + x4 ≤ 12, 2x1 + 2x2 + a24 x4 ≤ b2 , 3x1 + x2 + 2x3 ≤ 25, xj ≥ 0, j = 1, 2, tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ c3 , a13 , a24 , b2 ❧➭ ❝➳❝ t❤❛♠ sè✳ ❙ư ❞ơ♥❣ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ➤Ĩ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥➭② t❤❡♦ ❝➳❝ ❜➢í❝ s❛✉✿ ❇➢í❝ ✶✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ t❐♣ t❤❛♠ sè UP = {c3 , a13 , a24 , b2 } ❇➢í❝ ✷✿ ❳➳❝ ➤Þ♥❤ ❝➳❝ ❦❤♦➯♥❣ ❣✐➳ trÞ ✈í✐ ỗ t số (c3 ) = [3, 5], ∆(a13 ) = [6, 7], ∆(a24 ) = [3, 5], (b2 ) = [20, 24], ỗ t sè t❛ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ tÝ♥❤ ♥❤➢ s❛✉✿ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ t❛ ①Ðt ∆(a13 ) = [6, 7] • ❈❤✐❛ ➤♦➵♥ ❬✻✱✼❪ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❦❤♦➯♥❣ D = {d1 , d2 , d3 , d4 , d5 } tr♦♥❣ ➤ã d1 = [6, 6.2], d2 = [6.2, 6.4], d3 = [6.4, 6.6], d4 = [6.6, 6.8], d4 = [6.8, 7] ✹✸ • ●✐➯ sö ❝❤♦ t❐♣ ❝➳❝ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } ✈í✐ trä♥❣ sè e1 e2 e3 e4 e5 e6 ✵✳✷✸ ✵✳✷✶ ✵✳✶✷ ✵✳✷✺ ✵✳✶✺ ✵✳✸✷ ❇➯♥❣ ✸✳✸ • ❑Ý ❤✐Ư✉ t❐♣ S = {st , t = 1, , T } ❧➭ t❐♣ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ♥❤➲♥✳ ❚❐♣ S ❝ã t❤Ĩ ❤✐Ĩ✉ ♥❤➢ ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ư ✈Ị ữ ể tị ý ế ủ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ ❈ ❈❡rt❛✐♥ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ ✭✶✱ ✶✱ ✶✱ ✶✮ ❊▲ ❊①tr❡♠❡❧②✲ ❧✐❦❡❧② ❍♦➭♥ t♦➭♥ ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣ ✭✵✳✾✸✱ ✵✳✾✽✱ ✵✳✾✾✱ ✶✮ ▼▲ ▼♦st✲ ❧✐❦❡❧② ❘✃t ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣ ✭✵✳✼✷✱ ✵✳✼✽✱ ✵✳✾✷✱ ✵✳✾✼✮ ▼❈ ▼❡❛♥✐♥❣❢✉❧✲❝❤❛♥❝❡ ❈ã ❦❤➯ ♥➝♥❣ ✭✵✳✺✽✱ ✵✳✻✸✱ ✵✳✽✱ ✵✳✽✻✮ ■▼ ■t✲ ♠❛② ❈ã t❤Ó ✭✵✳✸✷✱ ✵✳✹✶✱ ✵✳✺✽✱ ✵✳✻✺✮ ❙❈ ❙♠❛❧❧✲ ❝❤❛♥❝❡ ❈ã Ýt ❦❤➯ ♥➝♥❣ ✭✵✳✶✼✱ ✵✳✷✷✱ ✵✳✸✻✱ ✵✳✹✷✮ ❱▲❈ ❱❡r②✲ s❧♦✇✲ ❝❤❛♥❝❡ ❘✃t Ýt ❦❤➯ ♥➝♥❣ ✭✵✳✵✹✱ ✵✳✶✱ ✵✳✶✽✱ ✵✳✷✸✮ ❊❯ ❊①tr❡♠❡❧②✲ ✉♥❧✐❦❡❧② ❑❤➠♥❣ ❝ã ❦❤➯ ♥➝♥❣ ✭✵✱ ✵✳✵✶✱ ✵✳✵✷✱ ✵✳✵✼✮ ■ ■♠♣♦ss✐❜❧❡ ❑❤➠♥❣ t❤Ó ①➯② r❛ ✭✵✱ ✵✱ ✵✱ ✵✮ ❇➯♥❣ ✸✳✹ • ●✐➯ sư ý ❦✐Õ♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❝❤✉②➟♥ ❣✐❛ ❧➭✿ P1 IM V LC M C IM = EL EU EL EL M C EU ✹✹ SC EU V LC MC MC MC IM SC M L EL IM EL I EU IM P2 P3 P4 P5 P6 IM M C = M L EL MC IM M C = EU EL EU IM M C = C EL EU IM MC = V LC EL EU IM MC = V LC EL C EU IM I MC I IM EL EL EU V LC V LC M L IM EU EL I MC IM C ML V LC I IM EU EL EU MC IM EL SC SC EL IM V LC EL EU MC IM EL MC EU ML IM M C SC IM EL EL SC V LC ✹✺ SC EU M C M C V LC EL IM EL SC IM I ML M C M C I SC IM EL EU IM V LC M C M C M C EU EL IM EL SC IM I ML M C M C I SC IM EL V LC IM I I M C M C SC M L IM EL V LC IM • ❚Ý♥❤ ♠❛ tr❐♥ E E IM V LC M C IM = M C EU EL EL M C EU IM V LC SC M C M C M C IM EU M C EL IM EL IM V LC IM • ❇➞② ❣✐ê t❛ tÝ♥❤ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ✭❢✉③③② ❝♦❧❧❡❝t✐✈❡ s♦❧✉t✐♦♥✲ ❋❈❙✮ tr➟♥ D ❝ñ❛ t❤❛♠ sè a13 FCS = {SC/d1 , M C/d2 , SC/d3 , EL/d4 , SC/d5 } ❚❛ ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ ❦❤♦➯♥❣ d4 ✈í✐ ➤é tré✐ ❊▲ ✈➭ ❝❤ä♥ ❦❤♦➯♥❣ d2 ✈í✐ ➤é tré✐ ▼❈ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❝❤ ä♥ ✭❊▲✱ ❬✻✳✻✱ ✻✳✽❪✮ ✈➭ ✭▼❈✱ ❬✻✳✷✱ ✻✳✹❪✮ ❝❤♦ a13 ✳ ❚➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✈❐② t❛ tÝ♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ t❤❛♠ sè ❦❤➳❝✳ ❇➢í❝ ✹✿ ●✐➯ sư ❝❤ó♥❣ t❛ ❝❤ä♥ t❐♣ t❤❛♠ sè UP = {c3 , a13 , a24 , b2 } tr♦♥❣ ➤ã✿ • c3 ✭❊▲✱ ❬✲✹✳✻✱✲✹✳✷❪✮✱ ✭▼❈✱ ❬✲✸✳✽✱✲✸✳✹❪✮✳ • a13 ✭❊▲✱ ❬✻✳✻✱✻✳✽❪✮✱ ✭▼❈✱ ❬✻✳✷✱✻✳✹❪✮✳ • a24 ✭▼▲✱ ❬✹✳✷✱✹✳✻❪✮✱ ✭▼❈✱ ❬✸✳✹✱✸✳✽❪✮✳ • b2 ✭❊▲✱ ❬✷✷✳✹✱✷✸✳✷❪✮✱ ✭▼❈✱ ❬✷✵✳✽✱✷✶✳✻❪✮✳ ❇➢í❝ ✺✿ ❑Õt ❤ỵ♣ ♠ét sè ✈❡❝t➡ t❤❛♠ sè ❝đ❛ ❯P✳ ❱Ý ❞ơ ❝❤ä♥ ✈❡❝t➡ t❤❛♠ sè ✭✲✸✳✻✱ ✻✳✸✱ ✸✳✻✱ ✷✶✳✷✮ ❝❤♦ ❯P t❤× t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❦Õt q✉➯ f (x) = (x1 + 2x2 − 3.6x3 − 1.2x4 ) −→ min, t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ 2x1 + x2 + 6.3x3 + x4 ≤ 12, 2x1 + 2x2 + 3.6x4 ≤ 21.2, 3x1 + x2 + 2x3 ≤ 25, xj ≥ 0, j = 1, 2, ✹✻ ▲ê✐ ❣✐➯✐ tè✐ ➢✉ ❧➭ x∗ = (0, 0, 0.970018, 5.888889) ✈➭ fmin = −10.55873015 ❚❛ ❝ã t❤Ó ♥ã✐ r➺♥❣ t❐♣ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❧➭ M C = min(M C, M C, M C, M C) ❚❛ ❝ị♥❣ ❝ã t❤Ĩ ❝❤ä♥ ✈❡❝t➡ t❤❛♠ sè ✭✲✹✳✹✱ ✻✳✼✱ ✹✳✹✱ ✷✷✳✽✮✳ ❚➢➡♥❣ tù tr➟♥ t❛ ❝ã✿ f (x) = (x1 + 2x2 − 4.4x3 − 1.2x4 ) −→ min, t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ 2x1 + x2 + 6.7x3 + x4 ≤ 12, 2x1 + 2x2 + 4.4x4 ≤ 22.8, 3x1 + x2 + 2x3 ≤ 25, xj ≥ 0, j = 1, 2, ▲ê✐ ❣✐➯✐ tè✐ ➢✉ ❧➭ x∗ = (0, 0, 1.017639, 5.181818) ✈➭ fmin = −10.695793788 ❚❛ ❝ã t❤Ó ♥ã✐ r➺♥❣ t❐♣ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❧➭ M L = min(EL, EL, M L, EL) ✹✼ ❦Õt ❧✉❐♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ị t♦➳♥ tư ❖❲❆ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ♥ã✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❜✐Õ♥ t❤Ĩ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ❖❲❆✳ ❱✐Ư❝ ❝❤ä♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝➳❝ trä♥❣ sè ❝đ❛ ✈Ð❝ t➡ trä♥❣ sè ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ q✉②Õt ➤Þ♥❤ ➤Õ♥ ❤✐Ư✉ q✉➯ ❝đ❛ t♦➳♥ tư ✈× ✈❐② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝ị♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ❤❛✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ♥❤➺♠ tè✐ ➢✉ ✈Ð❝ t➡ trä♥❣ sè t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ❝ù❝ ➤➵✐ ❤❛② ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✈Ị ➤é ♣❤➞♥ t➳♥ ❦❤✐ ❝❤♦ ❣✐➳ trÞ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈Ị ➤✐Ĩ♠ ♥❤✃♥✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ø♥❣ ❞ô♥❣✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ❦❤➯♦ s➳t ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ✈➭✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ t❤ù❝ t✐Ơ♥ ❣å♠ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ị ①➳❝ ➤Þ♥❤ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❦Õt q✉➯ ❤ä❝ t❐♣✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤➞♥ ❝ô♠ ữ ệ ị t số tr t tè✐ ➢✉ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣✳ ❈➝♥ ❝ø ♠ô❝ ➤Ý❝❤ ②➟✉ ❝➬✉ ➤Ị r❛ ♥❤➢ tr♦♥❣ t➟♥ ❣ä✐ ❝đ❛ ➤Ị t➭✐✱ ❧Ï r❛ ❝ß♥ ❝➬♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t❤➟♠ ✈Ị ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ♥❤✃t ❧➭ ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ tỉ ❤ỵ♣ ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t♦➳♥ tư ❖❲❆ ➤Ĩ ❣✐➯✐✳ ❙♦♥❣ ❞♦ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝ã ❤➵♥ ✈➭ ♥➝♥❣ ❧ù❝ ❝ß♥ ❤➵♥ ❝❤Õ✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♠í✐ ❝❤Ø ❜➢í❝ ➤➬✉ ❦❤➯♦ s➳t ➤➢ỵ❝ ✈➭✐ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝ơ t❤Ĩ ♥❤➢ ➤➲ ♥➟✉✳ ◆Õ✉ ❝ã ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ t✐Õ♣ tơ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ ♣❤➳t tr✐Ĩ♥ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ♥➭②✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ❝❤➽❝ ❝❤➽♥ ❝ß♥ ♥❤✐Ị✉ t❤✐Õ✉ sãt ❦Ý♥❤ ♠♦♥❣ sù ➤ã♥❣ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ❝ñ❛ t✃t ❝➯ ♠ä✐ ♥❣➢ê✐✳ ❳✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➳♠ ➡♥✳ ✹✽ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❇ï✐ ❈➠♥❣ ❈➢ê♥❣✱ ✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❑❤♦❛ ❍Ö ♠ê✱ ♠➵♥❣ ♥➡t♦♥ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❍ä❝ ❑Ü ❚❤✉❐t✱ ✷✵✵✶✳ ❬✷❪ ❇✉✐ ❈♦♥❣ ❈✉♦♥❣✱ ◆❣✉②❡♥ ❱❛♥ ❉✐❡♣✱ ❉✉♦♥❣ ❚❤❛♥❤ ▲♦♥❣✱ ❇✉✐ ❉✉♦♥❣ ❍❛✐✱ ❆ ♥❡✇ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ❢✉③③② ♣❛r❛♠❡t❡r ♣r♦❣r❛♠♠✐♥❣✱ ✉s✐♥❣ ❡①♣❡rt✬s ♦♣✐♥✲ ✐♦♥ ❛♥❞ ▲❖❲❆ ♦♣❡r❛t♦r ❬✸❪ P❡t❡r ▼❛❥❧❡♥❞❡r✱ ✱ ✱ ❖❲❆ ♦♣❡r❛t♦rs ✇✐t❤ ♠❛①✐♠❛❧ ❡♥tr♦♣② ❬✹❪ ❏♦s❡✬ ▼✳ ▼❡r✐❣♦✬ ❛♥❞ ❆♥♥❛ ▼✳ ●✐❧✲ ▲❛❢✉❡♥t❡✱ ❚❤❡ ✐♥❞✉❝❡❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ✱ ❖❲❆ ♦♣❡r❛t♦r ❬✺❪ ❘♦❜❡rt ❋✉❧❧❡r✱ ❖♥ ♦❜t❛♥✐♥❣ ❖❲❆ ♦♣❡r❛t♦r ✇❡✐❣❤ts✿ ❛ s❤♦rt s✉r✈❡② ♦❢ ✱ ✷✵✵✼ r❡❝❡♥t ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥ts ❬✻❪ ❘♦❜❡rt ❋✉❧❧❡r ❛♥❞ P❡t❡r ▼❛❥❧❡♥❞❡r✱ ❖❲❆ ♦♣❡r❛t♦r ✇❡✐❣❤ts ❖♥ ♦❜t❛♥✐♥❣ ♠✐♥✐♠❛❧ ✈❛r✐❛❜✐❧✐t② ✱ ✷✵✵✶ ❬✼❪ ▼✳❖✬❍❛❣❛♥✱ ❆❣❣r❡❣❛t✐♥❣ t❡♠♣❧❛t❡ ♦r r✉❧❡ ❛♥t❡❝❡❞❡♥ts ✐♥ r❡❛❧✲ t✐♠❡ ❡①✲ ♣❡rt s②st❡♠s ✇✐t❤ ❢✉③③② s❡t ❧♦❣✐❝ ✐♥✿ ❈♦♥❢✳❙✐❣♥❛❧s✱ ❙②st❡♠s✱ ❈♦♠♣✉t❡r Pr♦❝✳ ✷✷♥❞ ❆♥♥✉❛❧ ■❊❊❊ ❆s✐❧♦♠❛r ✱ P❛❝✐❢✐❝ ●r♦✈❡✱ ❈❆✱✶✾✽✽✳ ❬✽❪ ❘✳❘✳❨❛❣❡r✱ ❖r❞❡r❡❞ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❛✈❡r❛❣✐♥❣ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦rs ✐♥ ♠✐❧t✐✲ ❝r✐t❡r✐❛ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♠❛❦✐♥❣✱ ■❊❊❊ ❚r❛♥s✱ ♦♥ ❙②st❡♠s✱ ▼❛♥ ❛♥❞ ❈②❜❡r♥❡t✐❝s ✱ ✶✾✽✽✳ ❬✾❪ ❘✳❘✳❨❛❣❡r✱ ❋❛♠✐❧✐❡s ♦❢ ❖❲❆ ♦♣❡r❛t♦rs✱ ✹✾ ✱ ✶✾✾✸✳ ❋✉③③② ❙❡ts ❛♥❞ ❙②st❡♠s ... sè wi ♠➭ trä♥❣ sè wi sÏ ết ợ ột tử ị trí t ø♥❣ ❝đ❛ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư tÝ❝❤ ❤ỵ♣ s❛✉ ❦❤✐ ợ s ế ự ữ t tư ❖❲❆ ➤➢ỵ❝ ♣❤➞♥ ❜✐Ưt ❜ë✐ ❝➳❝ trä♥❣ sè ♥➭②✳ í tổ qt ủ t tử ỗ ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ ❧ù❛ ❝❤ä♥ ♥❤÷♥❣ trä♥❣... ✶✳✶✳✸✳ ▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❙❛✉ ➤➞② t❛ ➤Ò✉ ❣✐➯ t❤✐Õt ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳✶✳ W = (w1 , , wn )T ❧➭ t trọ số ố ỗ t tử t ❝ã✿ F∗ (a1 , , an ) ⇔ min(ai ) F (a1 , , an ) F (a1 , , an ) F ∗ (a1 , , an ), max(ai... t♦➳♥ ✭✷✳✾✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ n = ❱× Orness(w1 , w2 ) = α trọ số tố ợ ị ĩ t w1∗ = α, w2∗ = − α ◆❣♦➭✐ r❛ ♥Õ✉ α = ❤♦➷❝ α = t❤× ✈❡❝t➡ trọ số ết ợ ị ĩ (0, , 0, 1)T ✈➭ (1, 0, , 0)T ✈í✐ ❝➳❝❤ tÝ♥❤✿