Toán tử squaring trong nghiên cứu đối đồng điều của đại số steenrod và đồng cấu lannes zarati

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  VÕ THỊ NHƯ QUỲNH TOÁN TỬ SQUARING TRONG NGHIÊN CỨU ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ STEENROD VÀ ĐỒNG CẤU LANNES – ZARATI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -  - VÕ THỊ NHƯ QUỲNH TOÁN TỬ SQUARING TRONG NGHIÊN CỨU ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU CỦA ĐẠI SỐ STEENROD VÀ ĐỒNG CẤU LANNES – ZARATI Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 62 46 05 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH Nguyễn Hữu Việt Hưng HÀ NỘI – 2010 Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu I Kiến thức chuẩn bị 16 I.1 Đại số Steenrod môđulô 16 I.1.1 Xây dựng toán tử Steenrod 16 I.1.2 Đại số Steenrod đại số Hopf 19 I.2 Lý thuyết bất biến đối bất biến 20 I.3 Các toán tử squaring 22 I.3.1 Toán tử squaring cổ điển 22 I.3.2 Toán tử squaring Kameko 23 I.3.3 Toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson 24 II Nghiên cứu bước đầu đồng cấu chuyển Singer hạng 27 II.1 Đồng cấu chuyển đại số 29 II.2 Một hệ sinh A-môđun P5 bậc 11 30 II.3 Các GL5 -bất biến 36 II.4 Chứng minh Định lý II.2 45 II.5 Kết luận Chương II 46 III Toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson Đồng cấu Lannes Zarati 47 III.1 Chuẩn bị 49 III.2 Biểu diễn mức độ dây chuyền toán tử squaring đối ngẫu theo bất biến Dickson III.3 Toán tử squaring đẳng cấu ảnh 49 51 III.4 Bậc triệt tiêu toán tử squaring 57 III.5 Bậc triệt tiêu toán tử squaring hạng nhỏ ´ III.6 Ưng dụng để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati 63 65 III.7 Kết luận Chương III 74 Kiến nghị nghiên cứu 74 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án 75 Tài liệu tham khảo 76 MỞ ĐẦU Phân loại đồng luân ánh xạ liên tục hai mặt cầu (có thể có số chiều khác nhau) tốn trung tâm Tơpơ đại số kể từ năm 1930, H Hopf tìm ánh xạ không tầm thường, ngày mang tên ông: S3 → S2 , S7 → S4 , S15 → S8 Các ánh xạ Hopf quan hệ mật thiết với cấu trúc đại số thực có phép chia trường số phức, thể quaternion, đại số Cayley Một cơng cụ để nghiên cứu tốn phân loại đồng luân toán tử Steenrod, ký hiệu Sq i : H ∗ (X; F2) → H ∗+i (X; F2), với i ≥ 0, tác động tự nhiên đối đồng điều không gian tơpơ X với hệ số F2 Các tốn tử Sq i Steenrod xây dựng năm 1947 Đến năm 1952, ông mở rộng kết cho đối đồng điều hệ số Fp với p số nguyên tố lẻ Các toán tử Steenrod cho phép nhận biết khác không gian mà cấu trúc vành đối đồng điều khơng thể nhìn thấy Lược sử việc phát tốn tử tóm tắt sau Bằng cách dùng đồng điều, người ta phân loại đa tạp chiều, compact, liên thông, định hướng Cụ thể, đa tạp đồng phôi với xuyến với g "lỗ" M g , hay mặt cầu gắn g "quai", với g ≥ Trong thập niên 1940, Pontrjagin viết số báo đưa khẳng định tương tự cho đa tạp chiều, compact, liên thơng, định hướng Nhưng sau đó, người ta tìm thấy phản ví dụ cho điều này: tồn đa tạp ba chiều có vành đối đồng điều không đồng phôi với Steenrod phát nguyên nhân kiện có tốn tử Sq i thực việc kết nối phần tử đối đồng điều đa tạp cho theo cách khác Đại số sinh Sq i (i ≥ 0) với phép cộng phép hợp thành toán tử thông thường gọi đại số Steenrod (môđulô 2), ký hiệu A Cấu trúc đại số này, sau đó, làm sáng tỏ Adem, Cartan, Serre, Milnor Cụ thể, đại số Steerod (môđulô 2) đại số tenxơ Sq i môđulô quan hệ Adem: [ a2 ] b−1−k Sq a+b−k Sq k , (0 < a < 2b) a − 2k Sq a Sq b = k=0 Tác động tốn tử Steenrod lên tích đối đồng điều thỏa mãn công thức Cartan: k k Sq i (x)Sq k−i (y) Sq (xy) = i=0 Trên sở nghiên cứu tốn xác định đối đồng điều mơđulơ không gian Eilenberg-Mac Lane, Serre (1953) đại số Steenrod đại số tất toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao hoán với phép treo") phạm trù không gian tôpô Milnor (1958) thu kết đẹp bất ngờ đại số Steenrod ông khảo sát đại số Hopf Nói riêng, ông chứng minh đối ngẫu đại số Steenrod đại số đa thức với phần tử sinh xác định tường minh Adams (1958) xây dựng dãy phổ, sau mang tên ông, với trang E2 đối đồng điều đại số Steenrod Ext∗A (F2, F2 ) hội tụ đến thành phần 2-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu π∗S (S0 ) Kể từ sau cơng trình đó, việc xác định Ext∗A (F2, F2) trở thành toán quan trọng hàng đầu lý thuyết đồng luân ổn định Ext∗A (F2, F2 ) nghiên cứu tập trung sâu sắc từ năm 1960 (bởi Adams, Wang, May, Tangora, Lin, Lin-Mahowald nhiều tác giả khác) Tuy nhiên, nay, cịn đối tượng khó hiểu Bài tốn xác định ExtsA (F2, F2 ) mở s ≥ Nhằm nghiên cứu ExtsA (F2, F2) thông qua lý thuyết bất biến, Singer (1989) xây dựng đồng cấu chuyển (F2, F2 ), T rs : F2 ⊗ P H∗ (BVs ) −→ Exts,s+∗ A GLs BVs khơng gian phân loại nhóm 2-abel sơ cấp hạng s, P H∗ (BVs ) không gian H∗ (BVs ) gồm phần tử bị triệt tiêu tốn tử Steenrod bậc dương Ơng T rs đồng cấu thực chất (khơng tầm thường) Nói riêng, T rs đẳng cấu với s = 1, T r := ⊕s T rs đồng cấu đại số Năm 1991, Boardman khẳng định thêm giá trị đồng cấu chuyển chứng minh T r3 đẳng cấu Từ đó, đồng cấu chuyển đại số T r kỳ vọng công cụ hữu hiệu để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod Đặc biệt, Singer đưa giả thuyết sau Giả thuyết (W M Singer) Đồng cấu chuyển T rs đơn cấu với s Singer xây dựng đồng cấu chuyển T rs hoàn toàn cơng cụ đại số Sau đó, ơng T rs ánh xạ cảm sinh đồng cấu chuyển hình học trs : π∗ ((BVs )+ ) → π∗ (S0 ) trang E2 dãy phổ Adams Nhận xét không gian đối ngẫu thành phần P H∗ (BVs ) F2 ⊗Ps , Ps đại số đa thức s biến, biến có bậc A Bài tốn xác định sở cho không gian véctơ phân bậc F2 ⊗Ps (hay A xác định hệ sinh tối thiểu Ps xem A-mơđun) nội dung toán "hit" thu hút nhiều nhà nghiên cứu Tôpô đại số (như Peterson, Singer, Wood, Priddy, Kameko, Alghamdi-Crabb-Hubbuck, N H V Hưng, T N Nam, L M Hà, N Sum ) Liulevicius (1962) có lẽ người phát tồn s+i,2(s+d) toán tử Sq i : Exts,s+d (F2, F2 ) → ExtA A (F2 , F2) tác động đối đồng điều đại số Steenrod có hầu hết tính chất tốn tử Steenrod tác động đối đồng điều không gian tôpô Tuy nhiên, s,2(s+d) (F2, F2 ) −→ ExtA điểm khác biệt Sq : Exts,s+d A (F2, F2 ) không ánh xạ đồng Ngày nay, gọi tốn tử squaring cổ điển Trong giải toán "hit" với s ≤ 3, Kameko (1990) xây dựng dạng tương tự toán tử squaring cổ điển miền xác định đồng cấu chuyển: Sq : (F2 ⊗ P H∗ (BVs ))d −→ (F2 ⊗ P H∗ (BVs ))2d+s GLs GLs Thật ra, cơng trình kể trên, Kameko khơng ký hiệu tốn tử Sq , không nhận mối liên hệ với tốn tử squaring cổ điển Sau đó, Boardman (1993) Minami (1999) rằng, toán tử nói trên, sau gọi tốn tử squaring Kameko, giao hoán với toán tử Sq Exts,s+∗ (F2, F2 ) qua đồng cấu chuyển T rs : Exts,s+∗ (F2, F2 ) → A A F2 ⊗ P H∗ (BVs ) GLs Nhóm tuyến tính tổng qt GLs tác động qui Vs , đó, H ∗ (BVs ) H∗ (BVs ) Hơn nữa, tác động A GLs H∗ (BVs ) giao hoán với Do đó, tác động qui A H∗ (BVs ) cảm sinh tác động A F2 ⊗ H∗ (BVs ) GLs Nhận xét F2 ⊗ H∗ (BVs ) đối ngẫu đại số Dickson gồm tất GLs ∗ phần tử H (BVs ) bất biến tác động GLs N H V Hưng (1997) phát tồn toán tử, gọi squaring, Sq : P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))d −→ P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))2d+s , GLs GLs dạng tương tự toán tử squaring cổ điển, tương thích với tốn tử squaring Kameko Ơng chứng minh toán tử Sq (F2, F2 ) P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) giao hoán với qua đồng cấu Exts,s+∗ A GLs Lannes-Zarati ϕs : Exts,s+∗ (F2, F2) −→ P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) A GLs Để hiểu ý nghĩa cơng trình N H V Hưng, chúng tơi nói qua vài nét Giả thuyết cổ điển lớp cầu Đồng cấu Lannes-Zarati Đồng cấu ϕs xây dựng Lannes Zarati năm 1983 Sau đó, họ chứng minh đồng cấu phân bậc liên kết đồng cấu Hurewicz H : π S (S0 ) ∼ = π∗ (Q0 S0 ) → H∗ (Q0 S0 ) trang E2 dãy phổ ∗ Adams hội tụ đến π∗S (S0 ) Muộn chút, Goerss chứng minh được điều Bài toán tìm ảnh đồng cấu Hurewicz H : π S (S0 ) ∼ = ∗ 0 π∗ (Q0 S ) → H∗ (Q0 S ; F2 ) đặt khoảng 40 năm trước, chưa giải Giả thuyết cổ điển lớp cầu phán đốn khó liên quan đến tốn này: đồng cấu Hurewicz phát phần tử π∗S (S0) có bất biến Hopf bất biến Kervaire Trong dãy phổ Adams hội tụ π∗S (S0), phần tử với bất biến Hopf bất biến Kervaire đại diện chu trình 2,∗ vĩnh cửu Ext1,∗ A (F2, F2) ExtA (F2 , F2) Lannes-Zarati (1983) ϕ1 ϕ2 không tầm thường số lớp bao hàm lớp sinh bất biến Hopf bất biến Kervaire Từ đó, N H V Hưng (1997) đưa dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu sau Giả thuyết (N H V Hưng) Đồng cấu Lannes-Zarati (F2, F2) −→ P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))d ϕs : Exts,s+d A GLs phần tử có gốc d dương với s > Giả thuyết N H V Hưng (1997, 2003) chứng minh cho s = 3, Đồng thời, ông với Peterson (1998) chứng minh ϕ := ⊕s ϕs đồng cấu đại số, sở đồng cấu phần tử phân tích có chiều đồng điều lớn Ơ’ đây, phần tử Exts,s+d (F , F ) gọi phân tích A 2 tổng tích phần tử bậc đồng điều nhỏ s Vì vậy, để chứng minh phần cịn lại Giả thuyết 2, ta cần xét ϕs phần tử khơng phân tích Trong cơng trình năm 1997, N H V Hưng hợp thành js∗ = ϕs ◦ T rs : F2 ⊗ P H∗ (BVs ) → P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) đồng cấu cảm sinh GLs GLs từ phép đồng Vs , toán tử Sq F2 ⊗ P H∗ (BVs ) GLs P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) giao hoán với qua GLs js∗ Sau đó, ơng với T N Nam (2001) chứng minh js∗ = với s > Đây câu trả lời khẳng định cho dạng yếu giả thuyết cổ điển lớp cầu Trong luận án này, nghiên cứu hai vấn đề sau Thứ nhất, bước đầu khảo sát đồng cấu chuyển đại số hạng mối liên hệ với Giả thuyết Singer Như nói trên, T rs đẳng cấu với s = 1, 2, T r4 khảo sát hoàn toàn đầy đủ Bruner-Hà-Hưng (2005), N H V Hưng (2006), L M Hà (2007), T N Nam (2008), Hưng - Quỳnh (2009) Với số chiều đồng điều s ≥ 5, N H V Hưng (2005) tồn vô số bậc mà T rs khơng đẳng cấu Điều khác lạ chứng minh khẳng định N H V Hưng chỗ: ta chưa biết bậc T rs khơng tồn cấu hay khơng đơn cấu Do vậy, giả thuyết Singer đồng cấu chuyển đại số để ngỏ Đặc biệt, định lý N H V Hưng (Trans Amer Math Soc 357 (2006), pp 4065–4089) nói T rs phát phần tử tới hạn, T rs không đơn cấu, nữa, T r không đơn cấu vô hạn bậc với k > s Ơ’ đây, k phần tử gọi tới hạn bị triệt tiêu tốn tử squaring gốc thỏa mãn điều kiện số học Chẳng hạn, P (h2) phần tử tới hạn có bậc đồng điều nhỏ Hơn nữa, tích P (h2) với phần tử Adams hn sinh phần tử tới hạn bậc đồng điều lớn Câu hỏi đặt liệu phần tử P (h2) có nằm ảnh đồng cấu chuyển hay không? Nếu P (h2) ∈ Im(T r5 ), theo định lý nêu T r5 không đơn cấu, Giả thuyết Singer bị bác bỏ Tuy nhiên, theo quan điểm định lý N H V Hưng nói trên, kết chúng tơi Chương II phần tử P (h2 ) phần "ủng hộ" Giả thuyết Singer (Xem Định lý II.2.) Thứ hai, chúng tơi khảo sát tốn tử squaring Sq đối ngẫu hệ sinh tối thiểu đại số Dickson (xem môđun đại số Steenrod) P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) với s ≥ Tác động Sq mơđun nói GLs mô tả tường minh với s ≤ (bởi N H V Hưng (1997)) Một mặt, chúng tơi nghiên cứu tính "đẳng cấu tận cùng" toán tử Sq (xem Định lý III.2.1) Hiện tượng tương tự với thuộc tính tốn tử squaring Kameko N H V Hưng phát hiện: Xuất phát từ bậc F2 ⊗ P H∗ (BVs ) tác động toán tử Sq liên tiếp GLs (s − 2) lần, ta rơi vào miền mà Sq trở thành đẳng cấu Kết cho số thông tin P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) GLs (xem Hệ III.2.2) Lưu ý P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) xác định hoàn GLs toàn với s ≤ 5, chưa biết với s > Mặt khác, xác định số điều kiện bậc P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) Sq triệt GLs tiêu (xem Định lý III.3.1) Các kết theo hướng ứng dụng hiệu vào việc nghiên cứu dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu (xem Hệ III.5.1, Mệnh đề III.5.2, Mệnh đề III.5.3) Luận án chia làm chương Trong Chương I, chúng tơi trình bày tóm lược kiến thức dùng phần luận án, bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến đối bất biến, toán tử squaring Các kết luận án trình bày Chương II Chương III Trong Chương II, chứng minh "phần tử tới hạn P (h2) đối đồng điều bậc đại số Steenrod không nằm ảnh đồng cấu chuyển hạng 5" (xem Định lý II.2) Nhận xét không gian véctơ (F2 ⊗ P H∗ (BV5 ))11 đối ngẫu (F2 ⊗P5 )GL 11 , A GL5 P5 đại số đa thức biến, biến có bậc Khẳng định (F2 ⊗P5 )GL 11 = Mệnh đề II.4 mấu chốt A chứng minh Định lý II.2 Lưu ý rằng, việc sử dụng máy tính, R R Bruner khơng gian véctơ (F2 ⊗P5 )11 có 315 chiều, khơng gian GL5 A bất biến có chiều Để chứng minh (F2 ⊗P5 )GL 11 = 0, thay A tìm sở gồm 315 phần tử (F2 ⊗P5)11 (khá lớn, tương đối khó), A chúng tơi dùng số lập luận thay hệ sinh không gian Trong Chương III, chúng tơi trình bày kết thu nghiên cứu toán tử squaring Sq P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) ứng dụng GLs chúng khảo sát dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu Thứ nhất, chúng tơi tốn tử squaring Sq : P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))d → P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))2d+s GLs GLs đẳng cấu ảnh (xem Định lý III.2.1) Một hệ khẳng định họ Sq P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) vơ hạn GLs có độ dài (xem Hệ III.2.2) Ơ’ đây, dãy {a | i ≥ 0} gồm i phần tử P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) gọi họ Sq = Sq (ai−1 ) GLs với i > Một họ Sq gọi có độ dài s có xác s phần tử khác Kết dạng tương tự định lý N H V Hưng tốn tử squaring Kameko, nói với d bất kỳ, (Sq )i−s+2 : (F2 ⊗ P H∗ (BVs ))2s−2d+(2s−2−1)s → (F2 ⊗ P H∗ (BVs ))2id+(2i −1)s GLs GLs đẳng cấu với i ≥ s−2 Do đó, họ Sq F2 ⊗ P H∗ (BVs ) GLs vơ hạn có độ dài khơng vượt q s − Thứ hai, đưa công thức tường minh mơ tả tác động tốn tử squaring Sq phần tử sở biết P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) GLs với s = (xem Mệnh đề III.2.4) Thứ ba, đưa số bậc P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) GLs Sq triệt tiêu (xem Định lý III.3.1) Sử dụng kết tốn tử squaring Sq , chúng tơi chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati triệt tiêu (1) tất phần tử họ Sq hữu hạn ngoại trừ phần tử họ đó, (2) hầu hết phần tử biết nhóm đối đồng điều bậc lớn đại số Steenrod Kết khẳng định phần dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu (Xem Hệ III.5.1, Mệnh đề III.5.2, Mệnh đề III.5.3.) Chương I Kiến thức chuẩn bị Trong tồn luận án này, chúng tơi xét vành hệ số trường F2 gồm hai phần tử Nếu khơng giải thích thêm ký hiệu ⊗ dùng để tích tenxơ hai mơđun trường F2 Trong Mục I.1, nhắc lại cách xây dựng toán tử Steenrod; cấu trúc đại số Hopf đại số Steenrod Trong Mục I.2, chúng tơi trình bày sơ lược lý thuyết bất biến lý thuyết đối bất biến Trong Mục I.3, chúng tơi nhắc lại cách xây dựng tốn tử squaring (toán tử squaring cổ điển, toán tử squaring Kameko, toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson), định lý mối quan hệ toán tử squaring với đồng cấu chuyển đại số đồng cấu Lannes-Zarati Chương II Nghiên cứu bước đầu đồng cấu chuyển Singer hạng Gọi Vs 2-nhóm abel sơ cấp hạng s, H∗ (BVs ) đồng điều (hệ số F2) không gian phân loại Vs Ký hiệu P H∗ (BVs ) không gian H∗ (BVs ) gồm phần tử bị triệt tiêu toán tử Steenrod bậc dương Đồng cấu chuyển T rs : F2 ⊗ P H∗ (BVs ) → ExtsA (F2, F2) GLs xác định GLs -đối bất biến P H∗ (BVs ) nhận giá trị nhóm đối đồng điều thứ s đại số Steenrod Đồng cấu xây dựng Singer năm 1989 Ông chứng tỏ T r := ⊕s T rs đồng cấu đại số, T rs đẳng cấu với s = 1, Sau đó, Boardman (1993) chứng minh khẳng định cuối cho s = Bằng tính toán F2 ⊗ P H∗ (BVs ) số bậc thấp, Singer GLs T r4 đẳng cấu số bậc T r5 khơng tồn cấu bậc Từ đó, ơng thiết lập giả thuyết sau Giả thuyết II.1 (W M Singer) T rs đơn cấu Cho tới T r4 khảo sát hoàn toàn đầy đủ cơng trình tác giả Bruner-Hà-Hưng, N H V Hưng, L M Hà, T N Nam, Hưng - Quỳnh Với số chiều đối đồng điều s ≥ 5, N H V Hưng (2005) chứng minh tồn vơ hạn bậc mà T rs không đẳng cấu Tuy nhiên, câu hỏi T rs khơng tồn cấu hay khơng đơn cấu bậc chưa có câu trả lời Do đó, Giả thuyết II.1 mở 10 N H V Hưng (2005) đưa kết liên quan đến giả thuyết (F2, F2) gọi Singer sau Phần tử khác không x ∈ Exts,s+d A phần tử tới hạn (a) Sq (x) = 0, (b) 2d + s viết thành tổng (2n1 − 1) + · · · + (2ns − 1), viết thành tổng s số hạng dạng (2n − 1) Định lý II.1 (N H V Hưng) Nếu tồn phần tử tới hạn nằm ảnh T rs , T rs khơng đơn cấu, tồn vô số bậc mà T rk khơng đơn cấu với k > s Phần tử Adams P (h2) ∈ Ext5,5+11 (F2, F2 ) phần tử tới hạn có bậc A đồng điều nhỏ Nếu P (h2) nằm ảnh T r5 , theo Định lý II.1 đồng cấu chuyển T r5 không đơn cấu, đó, Giả thuyết II.1 Singer bị bác bỏ Khẳng định sau kết chương (F2, F2) khơng nằm ảnh Định lý II.2 Phần tử P (h2) ∈ Ext5,5+11 A T r5 Chương trình bày dựa theo báo [1] Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Gọi P5 := H ∗ (BV5 ) = F2[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] đại số đa thức biến x1 , , x5 , biến có bậc Ký hiệu A iđêan sinh toán tử Sq i với i > Nhắc lại miền xác định T r5 , F2 ⊗ P H∗ (BV5 ), GL5 GL5 ’ đối ngẫu (F ⊗P ) Ơ F ⊗P = P /AP A A 5 Một phần tử p ∈ P5 gọi phần tử bị "hit" p ∈ AP5 Theo Singer, đơn thức xp11 xp22 xp33 xp44 xp55 gọi spike tồn số nguyên không âm a1, , a5 cho pj = 2aj − với ≤ j ≤ Các spike không xuất biểu thức dạng Sq i (Y ) với i > Y ∈ P5 Do đó, chúng khơng phần tử bị "hit" Sử dụng phần tử spike P5 bậc 11 số kỹ thuật hệ sinh A-môđun P5 , thu kết sau 11 Ký hiệu A, B, C, D, E, F, G, H tương ứng họ tất hoán vị đơn thức sau (7, 3, 1, 0, 0), (5, 3, 3, 0, 0), (7, 2, 1, 1, 0), (5, 3, 2, 1, 0), (7, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 3, 1, 1), (5, 3, 1, 1, 1), (4, 3, 2, 1, 1) Với X ký hiệu A, B, C, D, E, F, G, H, ta đặt L(X) không gian véctơ (F2 ⊗P5 )11 sinh X Hơn nữa, đặt L(G, H) = A L(G) + L(H) Bổ đề II.3 (F2 ⊗P5)11 = L(A) ⊕ L(B) ⊕ L(C) ⊕ L(D) ⊕ L(E) ⊕ L(F ) ⊕ L(G, H) A Mệnh đề II.4 (F2 ⊗P5)GL 11 = A Từ giả thiết P (h2) phần tử khác Ext5,5+11 (F2 , F2) A Mệnh đề II.4 ta thu Định lý II.2 12 Chương III Toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson Đồng cấu Lannes Zarati Gọi P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) không gian F2 ⊗ H∗ (BVs ) gồm phần tử GLs GLs bị triệt tiêu toán tử Steenrod bậc dương N H V Hưng (1997) phát tồn toán tử Sq : P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))δ → P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))2δ+s , GLs GLs dạng tương tự toán tử squaring cổ điển đối đồng điều đại số Steenrod, Exts,∗ A (F2, F2 ) Một tính chất quan trọng toán tử Sq giao hốn với tốn tử squaring cổ điển qua đồng cấu Lannes-Zarati (F2, F2) → P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))δ ϕs : Exts,s+δ A GLs với s Đồng cấu Lannes-Zarati ϕs , xây dựng quãng 1983, dạng phân bậc liên kết với đồng cấu Hurewicz H : π S (S0 ) ∼ = ∗ 0 π∗ (Q0 S ) → H∗ (Q0 S ) thông qua dãy phổ Adams Giả thuyết sau đây, phát biểu N H V Hưng, dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu Giả thuyết III.1 (N H V Hưng) Đồng cấu Lannes-Zarati (F2, F2) → P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))δ ϕs : Exts,s+δ A GLs phần tử có gốc δ dương với s > 13 Sự kiện ϕs không tầm thường với s ≤ tương ứng với tồn bất biến Hopf bất biến Kervaire Giả thuyết III.1 chứng minh (bởi N H V Hưng (1997, 2003)) s = 3, 4, mở s ≥ Mặt khác, N H V Hưng F P Peterson (1998) chứng minh ϕ := ⊕s ϕs đồng cấu đại số, sở đồng cấu triệt tiêu phần tử phân tích với chiều đồng điều lớn Trong chương này, trước hết chúng tơi khảo sát tốn tử squaring Sq P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) Sau đó, áp dụng kết thu Sq GLs khảo sát dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu Tác động toán tử squaring Sq phần tử sở biết không gian véctơ P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) mô tả (bởi N H V Hưng) GLs s ≤ 4: Sq đẳng cấu với s = 1, 2, không đẳng cấu với s = 3, Chúng với s ≥ toán tử squaring Sq P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) đẳng cấu ảnh (xem Định GLs lý III.2.1) Lưu ý khơng gian véctơ P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) chưa GLs biết với s > Chúng đưa công thức tường minh cho tác động Sq trường hợp s = (xem Mệnh đề III.2.4) Đồng thời, lớp bậc xác định truy hồi theo s P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) mà GLs tốn tử squaring triệt tiêu (xem Định lý III.3.1) Với trường hợp ´ s ≤ 7, bậc liệt kê tường minh (xem Mục III.4) Ưng dụng vào việc khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati, chứng minh Giả thuyết III.1 hầu hết phần tử biết ExtsA (F2, F2) (xem Mệnh đề III.5.1–III.5.3) Chương dựa báo [2], [4] Danh mục cơng trình tác giả liên quan tới luận án 14 III.1 Biểu diễn mức độ dây chuyền toán tử squaring đối ngẫu theo bất biến Dickson Tập hợp tất GLs -bất biến H ∗(BVs ) đại số đa thức (được gọi đại số Dickson): Ds := H ∗ (BVs )GLs = F2[Qs,0 , Qs,1 , , Qs,s−1 ], Qs,i bất biến Dickson có bậc 2s − 2i xác định truy hồi công thức Qs,i = Q2s−1,i−1 + Qs−1,i Vs , đây, theo qui ước, Qs,s = 1, Qs,i = với i < 0, Vs bất biến Mùi Để thuận tiện, với dãy I = (i0, i1 , , is−1 ) số nguyên không i s−1 Qs,s−1 âm, ta ký hiệu Q(I) thay cho đơn thức Qis,0 Mệnh đề III.1.1 Biểu diễn mức độ dây chuyền toán tử squaring đối ngẫu Sq∗0 : F2 ⊗Ds → F2 ⊗Ds xác định A A  i0 +s−2 i1−1 i −1 Q Q · · · Q s−12 , i + s chẵn, i , , i s−1 lẻ, s,0 s,1 s,s−1 Sq∗0 (Q(I)) = 0, trái lại III.2 Toán tử squaring đẳng cấu ảnh i s−1 Ký hiệu d(i0 , , is−1 ) ∈ F2 ⊗ H∗ (BVs ) đối ngẫu đơn thức Qis,0 Qs,s−1 GLs theo sở Ds bao gồm tất đơn thức theo biến Qs,0 Qs,s−1 Định lý III.2.1 Toán tử squaring Sq : P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) → P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) GLs GLs đẳng cấu ảnh Im(Sq ) Hơn nữa, d(i0 , , is−1 ) ∈ P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) GLs  d(s − 2, 2i + 1, , 2i s−1 + 1), Sq d(i0 , , is−1 ) = 0, i0 = s − 2, trái lại Hệ III.2.2 Bất kỳ họ Sq P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) vô GLs hạn hữu hạn với độ dài 15 Với đơn thức Q(I) Ds , [Q(I)] ký hiệu lớp Q(I) F2 ⊗Ds A Định nghĩa III.2.3 Một sở đơn thức {[Q(I)] | I ∈ I} F2 ⊗Ds A gọi sở đóng từ giả thiết (s − 2, j1 , , js−1 ) ∈ I với j1 , , js−1 lẻ, suy (s − 2, j12−1 , , js−12−1 ) ∈ I [Q(s − 2, j12−1 , , js−12 −1 )] = Các sở biết F2 ⊗Ds với s ≤ sở đóng A Gọi d(I) ∈ P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) đối ngẫu [Q(I)] theo sở GLs {[Q(I)] |I ∈ I} F2 ⊗Ds Mệnh đề sau mô tả tác động toán A tử Sq phần tử sở đóng Mệnh đề không hệ Định lý III.2.1, d(I) phần tử bị triệt tiêu tốn tử Steenrod bậc dương, d(I) khơng bị triệt tiêu tốn tử Ta ln có d(I) = d(I) + số hạng khác Mệnh đề III.2.4 Nếu {[Q(I)] | I ∈ I} sở đóng F2 ⊗Ds , A  d(i , 2i + 1, , 2i s−1 + 1), i0 = s − 2, Sq (d(i0, i1 , , is−1 )) = 0, trái lại, với I = (i0 , , is−1 ) ∈ I III.3 Bậc triệt tiêu toán tử squaring Hàm κs xác định số nguyên không âm cho công thức κs (r) = r + 2ν(s−2−r) , ν(s − − r) lũy thừa cao chia hết s − − r, qui ước 2ν(0) = Để thuận tiện, ta qui ước κ0s (r) = r Định nghĩa theo qui nạp κs (r) = κs (κs−1 (r)) với ≥ Định lý III.3.1 Toán tử squaring Sq P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) triệt tiêu GLs bậc δ thỏa mãn (i) ν(δ + s) ≤ [log (s − 2)] + với s ≥ 3, (ii) δ không dạng δs xác định qui nạp theo s sau j j δs = δs−1 − + 2s−1 [κ1s−1 κ2s−2 κjs−1 (s − 2) + 1], 16 với dãy [log (s − 2)] < j1 ≤ j2 ≤ ≤ js−1 , s ≥ 3, δ2 = 2j1 +1 − III.4 Bậc triệt tiêu toán tử squaring hạng nhỏ Định nghĩa III.4.1 (Giambalvo-Peterson) Một đơn thức i s−1 Q(I) = Qis,0 Qis,1 Qs,s−1 Ds gọi rút gọn tồn dãy gồm s số nguyên không âm J = [j0 , j1 , , js−1 ] cho i0 = κjs0 (0), k (i0 + i1 + · · · + ik−1 ) − (i0 + i1 + · · · + ik−1 ), ik = κjs−k với ≤ k ≤ s − Khi đó, J = [j0 , j1 , , js−1 ] gọi dạng rút gọn I Dạng rút gọn J = [j0 , j1 , , js−1 ] gọi có số hạng khơng giảm j ≤ j +1 với Bổ đề III.4.2 Giả sử Q(I) = Q(3, i1 , i2 , i3 , i4 ) đơn thức khơng phân tích có bậc δ D5 với dạng rút gọn có số hạng không giảm [j1 , j2 , j3 , j4 ] Khi đó, j1 ≥    2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3 +4 + 2j4 +5 ,   δ + = 2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j4 +6 ,    2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j4 +6 , j1 ≤ j2 < j3 < j4 , j1 ≤ j2 < j3 = j4 , j1 ≤ j2 = j3 ≤ j4 Bổ đề III.4.3 Giả sử Q(I) = Q(4, i1 , i2 , i3 , i4 , i5 ) đơn thức khơng phân tích có bậc δ D6 với dạng rút gọn có số hạng khơng giảm 17 [j1 , j2 , j3 , j4 , j5 ] Khi đó, j1 ≥    2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3 +4 + 2j4 +5 + 2j5 +6 ,       2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3 +4 + 2j5 +7 ,       2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j4 +6 + 2j5 +7 ,   δ+6 = 2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j5 +7 ,      2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j4 +6 + 2j5 +6 ,       2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j4 +5 + 2j4 +6 + 2j4 +7 ,     2j1 +1 + 2j2 +8 , j1 ≤ j2 < j3 < j4 < j5 , j1 ≤ j2 < j3 < j4 = j5 , j1 ≤ j2 < j3 = j4 ≤ j5 , j1 ≤ j2 = j3 ≤ j4 = j5 − 1, j1 ≤ j2 = j3 ≤ j4 < j5 − 1, j1 ≤ j2 = j3 < j4 = j5 , j1 ≤ j2 = j3 = j4 = j5 Bổ đề III.4.4 Giả sử Q(I) = Q(5, i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ) đơn thức khơng phân tích có bậc δ D7 với dạng rút gọn có số hạng không giảm [j1 , j2 , j3 , j4 , j5 , j6 ] Khi đó, 1 ≥ δ+7 =    2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3+4 + 2j4 +5 + 2j5 +6 + 2j6 +7 ,       2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3+4 + 2j4 +5 + 2j5 +8 ,       2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3+4 + 2j5 +7 + 2j6 +8 ,       2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3+9 ,       2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3+6 + 2j5 +6 + 2j5 +7 + 2j5 +8 ,       2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3+6 + 2j5 +9 ,     2j1 +1 + 2j2 +3 + 2j3+6 + 2j5 +7 + 2j6 +7 ,   2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j5+7 + 2j6 +8 ,       2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j4+6 + 2j5 +8 ,       2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j4+6 + 2j5 +6 + 2j6 +7 ,       2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j4+5 + 2j4 +6 + 2j4 +9 ,       2j1 +1 + 2j3 +5 + 2j4+5 + 2j4 +6 + 2j4 +7 + 2j6 +8 ,       2j1 +1 + 2j2 +7 + 2j2+9 ,     2j1 +1 + 2j2 +8 + 2j6+8 , 18 j2 < j3 < j4 < j5 < j6 , j2 < j3 < j4 < j5 = j6 , j2 < j3 < j4 = j5 ≤ j6 , j2 < j3 = j4 = j5 = j6 , j2 < j3 = j4 < j5 = j6 , j2 < j3 = j4 ≤ j5 = j6 − 1, j2 < j3 = j4 ≤ j5 < j6 − 1, j2 = j3 ≤ j4 = j5 − ≤ j6 − 1, j2 = j3 ≤ j4 < j5 − = j6 − 1, j2 = j3 ≤ j4 < j5 − < j6 − 1, j2 = j3 < j4 = j5 = j6 , j2 = j3 < j4 = j5 ≤ j6 − 1, j2 = j3 = j4 = j5 = j6 , j2 = j3 = j4 = j5 < j6 III.5 ´ Ưng dụng để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati Lấy {ai | i ≥ 0} họ Sq ExtsA (F2, F2 ), tức = (Sq )i (a0) với i, Sq toán tử squaring cổ điển ExtsA (F2, F2 ) Nhắc lại toán tử squaring Sq P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) giao hoán với toán tử squaring cổ điển Sq ExtsA (F2, F2) GLs qua đồng cấu Lannes-Zarati (F2, F2 ) → P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) ϕs : Exts,s+∗ A GLs Do đó, ϕs (ai ) = (Sq )i (ϕs (a0)) với i Nếu ϕs (at) = ϕs (ai ) = với i ≥ t Vì vậy, ta cần khảo sát khả ϕs (at) = với t nhỏ Mệnh đề sau suy từ Hệ III.2.2 Mệnh đề III.5.1 Nếu {ai | i ≥ 0} họ Sq hữu hạn Exts,∗ A (F2, F2 ), ϕs (ai ) = với i > Nếu a0 ∈ Exts,s+d (F2 , F2) d gọi gốc phần tử a0, A ký hiệu Stem(a0 ) Khẳng định sau hệ Định lý III.3.1 Mệnh đề III.5.2 Lấy {ai |i ≥ 0} họ Sq Exts,∗ A (F2, F2 ) Giả sử δ = Stem(a0 ) thỏa mãn điều kiện (i) ν(δ + s) ≤ [log 2(s − 2)] + với s ≥ 3; (ii) δ khơng có dạng δs xác định Định lý III.3.1 Nói riêng, δ + s khơng dạng liệt kê tương ứng Bổ đề III.4.2 – III.4.4 với ≤ s ≤ Khi đó, ϕs (ai ) = với i > Mệnh đề III.5.3 Nếu Stem(a0 ) < 2s−1 ϕs (ai ) = với i ≥ Áp dụng Mệnh đề III.5.2 Mệnh đề III.5.3 cho tất phần tử ExtsA (F2, F2) với s ≤ 39 liệt kê Bruner Tangora, Giả thuyết III.1 hầu hết phần tử biết 19 Kết luận Trong luận án thu kết sau Chứng minh phần tử tới hạn P (h2) ∈ Ext5,16 A (F2, F2) không nằm ảnh đồng cấu chuyển đại số hạng Chứng minh toán tử squaring Sq tác động P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) GLs đẳng cấu ảnh Chỉ lớp bậc xác định truy hồi theo s P (F2 ⊗ H∗ (BVs )) GLs tốn tử squaring Sq triệt tiêu Các lớp bậc liệt kê tường minh với s ≤ Khẳng định dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu số trường hợp riêng Cụ thể đồng cấu Lannes - Zarati ϕs triệt tiêu (1) tất phần tử họ Sq hữu hạn ngoại trừ phần tử họ đó, (2) hầu hết phần tử biết nhóm đối đồng điều bậc lớn đại số Steenrod 20 ... toán tử squaring Kameko, toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson), định lý mối quan hệ toán tử squaring với đồng cấu chuyển đại số đồng cấu Lannes- Zarati Chương II Nghiên cứu bước đầu đồng cấu. .. (1953) đại số Steenrod đại số tất toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao hoán với phép treo") phạm trù không gian tôpô Milnor (1958) thu kết đẹp bất ngờ đại số Steenrod ơng khảo sát đại số. .. Boardman khẳng định thêm giá trị đồng cấu chuyển chứng minh T r3 đẳng cấu Từ đó, đồng cấu chuyển đại số T r kỳ vọng công cụ hữu hiệu để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod Đặc biệt, Singer đưa