Luận văn thạc sĩ quá trình phân nhánh và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THU QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I - 2017 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THU QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Chuyên ngành: Lí thuyet xác suat thong kê toán HQC Mã so: 60 46 01 06 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS TA NGOC ÁNH Mnc lnc Ma đau Quá trình Galton-Watson 1.1 Đ%nh nghĩa 1.2 Mômen 1.3 Tính chat ban cna hàm sinh 1.4 Xác suat tuy¾t chnng 1.5 Các đ%nh lý giói han 1.5.1 Các đ%nh lý ve ti l¾ 1.5.2 Trưịng hop dưói tói han 1.5.3 Trưịng hop tói han 1.5.4 Trưịng hop siêu tói han 1.5.5 Tính chat cap cna Zn/mn 1.6 Quá trình Q Quá trình phân nhánh Markov thài gian liên tnc 2.1 Đ%nh nghĩa 2.2 Phương trình hàm 2.3 Hàm sinh 2.4 Xác suat tuy¾t chnng mômen 2.5 Ví du 2.6 Nhúng vào trình Galton - Watson 2.7 Đ%nh lý giói han 3 10 13 14 16 19 21 23 26 26 27 29 30 32 33 35 35 36 2.7.1 Trưịng hop tói han λ > 2.7.2 Trưịng hop tói han λ = 2.7.3 Trưịng hop dưói tói1 han 38 Quá trình phn thuđc tuoi 39 3.1 Giúi thiắu 39 3.2 Xác suat tuy¾t chnng 41 3.3 Mômen 43 3.4 Ti¾m c¾n cna F (s, t) 44 3.4.1 Trưịng hop tói han 44 3.4.2 Khơng tói han : trưòng hop Malthusian 45 3.4.3 Khơng tói han: trưịng hop sub-exponential 46 3.5 Các đ%nh lý giói han 46 3.5.1 Trưịng hop tói han 46 3.5.2 Trưịng hop dưói tói han 47 3.5.3 Trưịng hop tói han 48 Úng dnng 4.1 Chuoi phan úng PCR trình phân nhánh 4.1.1 Cơ che hoat đ®ng cna PCR 4.1.2 Mơ hình tốn HQc 4.1.3 úc long thong kờ cna ti lắ đt bien 4.2 Khuech đai gen 4.2.1 Khuech đai gen kháng thuoc 4.2.2 Quá trình Galton - Watson cho mơ hình khuech đai suy giam gen 4.2.3 Mô hình tốn HQc cna mat súc đe kháng 50 50 50 51 Ket lu¾n 56 Tài li¾u tham khao 57 52 53 53 54 55 Ma đau Q trình phân nhánh m®t q trình ngau nhiên mơ ta sn phát trien cna m®t quan the Các cá the sinh san chet i đc lắp vúi theo mđt so phõn bo xác suat Q trình phân nhánh có nhieu úng dung sinh HQc quan the, sinh HQc phân tu, sinh y, dân so HQ c, Có nhieu kieu q trình phân nhánh: thịi gian khơng liên tuc (q trình Galton - Watson), thịi gian liên tuc (q trình Markov, q trình phu thu®c tuői, q trình Bellman - Harris) Nhưng khn khő lu¾n văn em trình bày ba trình phân nhánh ban là: trình Galton - Watson, trình Markov, trình phu thu®c tuői m®t so úng dung đơn gian cna q trình phân nhánh Lu¾n văn “Q trình phân nhánh úng dung” gom: Mo đau, bon chương n®i dung, ket lu¾n tài li¾u tham khao Em xin cam ơn đen thay giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Phòng Sau đai HQc trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay, giáo trnc tiep giang day lóp cao hQc chuyên ngành Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQc, khóa HQc 2013 - 2015 giúp đõ em suot q trình HQc t¾p Đ¾c bi¾t, em xin chân thành cam ơn TS Ta NGQc Ánh ngưịi trnc tiep hưóng dan em hồn thành luắn thac s ny H Nđi, ngy 29 thỏng 11 năm 2016 HQc viên Nguyen Th% Thu Chương Quá trình Galton-Watson 1.1 Đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.1.1 Quá trình Galton - Watson (G - W) m®t xích Markov {Zn; n = 0, 1, 2, } t¾p so ngun khơng âm Hàm chuyen đưoc đ%nh nghĩa thơng qua phân bo xác suat cho trưóc {pk; k = 0, 1, Σ 2, }, pk ≥ 0, pk = sau (1.1) P (i, j) = P{Zn+1 = j | Zn = i} =  δ0j neu i = 0, j ≥0 đó:  i  p∗j neu i ≥ 1, j ≥ - {p∗k i ; k = 0, 1, 2, } tích l¾p i lan cna {pk ; k = 0, 12, } - δij ký hi¾u delta Kronecker - Phân bo xác suat {pk } l ton bđ du liắu cna bi tốn the.có Batthe đau tai thịi điem vói cá the Z0quan , moithe cá the Quácátrình đưoc miêu ta so sn lưong phát trien thành cna (sau m®t đơn v% thịi gian) se phân tách đc lắp thnh cỏc cỏ the khỏc, vắy, cỏc mđt cá the o the h¾nhiên thú nhat tőng cna Z0 bien ngau so taolưong đưoc lưong ngau Z theo quy lu¾t xác suat {pk } Như nhiờn(bnn) đc lắp cú phõn bo xỏc suat {pk} Cng v¾y, the h¾ thú 2, 3, đưoc sinh Tat ca cỏc cỏ the l đc lắp vúi So lưong cá the the h¾ thú n bnn Zn Tù (1.1) ta thay neu n = Zn+k = ∀k ≥ Do trang thái őn đ%nh Z q trình tro thành tuy¾t chnng Chú ý 1.1.2 Khi muon ý đen so lưong cá the khoi đau, se đ¾t (i) {Zn , n = 0, 1, 2, } trình phân nhánh vói i cá the khoi đau Đe cho thu¾n loi, ta thưịng n = 1, neu khơng có đ¾c bi¾t ta viet Z(1) = Zn gia su Z0 Hàm sinh: M®t cơng cu giai tích quan TRQNG đe nghiên cúu trình phân nhánh hàm sinh: ∞ f (s) =Σ pks , |s| ≤ (1.2) k k=0 hàm l¾p cna nó: f0(s) = s; f1(s) = f (s); fn+1(s) = f [fn(s)] s so thnc Ta thay Σ j P (1, j)s = f (s); j Σ P (i, j)sj = [f (s)]i vói i ≥ j (1.3) Gia su Pn(i, j) xác suat chuyen đe o the h¾ thú n có j cá the tù i cá the ban đau, su dung phương trình Chapman - Kolmogorov, ta có Σ j Σ Σ Pn+1(1, j)s = Pn(1, k)P (k, j)sj j j k Σ Σ = Pn(1, k) P (k, j)sj k j =Σ Pn(1, k)[f (s)]k k Neu ta gia su Σ Pn(1, j)sj = f(n)(s), chi rang f(n+1)(s) = f(n)[f (s)] Suy f(n)(s) = fn(s), (1.4) Tù (1.3) (1.4) ta có ∞ Σ Pn(i, j)s j = [fn(s)] (1.5) i j=0 (i) ã Tớnh cđng tớnh: Quỏ trỡnh {Zn ; n = 0, 1, 2, } l tng cna i ban đc lắp cna quỏ trình phân nhánh {Zn; n = 0, 1, 2, } Nói cách khác, neu Pi đưoc đ%nh nghĩa đ® đo F tương đương vói đ® đo ban đau P{Z0 = i} = Pi tích l¾p i lan cna P1 V¾y sn phân bo cna (Z(i), , Z(i)) vói ≤ n1 ≤ ≤ nk tích l¾p i lan cna phân bo n1 nk (Zn1, , Znk) • Gia su rang p0 + p1 < pj ƒ= ∀j pj ƒ= ∀j 1.2 Mơmen Mơment cna q trình (neu ton tai) đưoc bieu dien qua đao hàm cna f (s) tai s = 1, tù ta có Σ E(Z1) = P (1, j)j = f J (1) = m m so trung bình cna mđt cỏ the Tự quy luắt cna chuoi ta có Σ Pn (1, j)j = fnJ (1) = fnJ −1(1)f J (1) = · · · = [f J (1)]n = mn Tương tn tù công thúc EZn = có fnJJ+1(1) = f JJ (1)[fnJ (1)]2 + f J (1)fnJJ (1) Σ Σ fnJJ (1) = f JJ (1) m2n−2 + m2n−3 + + mn−1 , đó, đ¾t σ2 = Var(Z1) ta có Var(Zn) =  n n−1 − 1(m  σmm − 1) neu m ƒ= (1.6) n→∞ n[1 − fn(0)] (su dung h®i tu đeu) ta có: 1 −α ΣΣ σ + lim Σ lim Σ − αn 1− e n − n→∞ n→∞ = = n n fn e σ2+1 2 Q H¾ qua 1.5.12 Neu m = σ2 < ∞ (s) − lim n→ fn ∞ n+ (s)] = , s < n [ Chú ý rang σ f Pn(1, j)pj P{Zn = j | Z0 = 1, Zn > 0, Zn+1 = fn+1(0) − fn(0) 0} = 2πjtrên ta có Neu p1 > tù Đ%nh lý 1.5.11 h¾ qua (1, j) = lim n→ ∞ n2P Áp dung đ%nh lý ti l¾ ta có: σ2P(p0) n H¾ qua 1.5.13 Neu p1 > 0, m = σ2 < ∞ vái j ≥ lim n→ ∞ n2Pn(i, j) = ciπj c = σ2P(p0 ) 1.5.4 Trưàng hap siêu tái han Phan se nghiên cúu kĩ trang thái cna Zn phát trien tính chat giói han tot hơn, su dung gia thiet yeu phan đau Chúng ta bat đau vói chuoi Wn = Zn mn h®i tu hau khap nơi (h.k.n) Chúng ta biet rang P{W = 0} = m ≤ Khi m > σ2 < ∞ đieu ki¾n đn đe P{W = 0} < Levinson (1959) đưa nh¾n xét đau tiên rang neu σ = ∞ P{W = 0} có the bang khơng manh σ < ∞ Các đieu ki¾n can đn cho boi đ%nh lý sau chi manh sn ton tai cna giá tr% trung bình Đoi vói sn phân bo cna W, hồn tồn liên tuc t¾p so thnc dương có hm mắt đ dng, liờn tuc Trong ton bđ phan ta se gia su rang Z0 = 1, m > pj ƒ= ∀j Đ%nh lý 1.5.14 • Neu EZ1 log Z1 < ∞ EW = • Neu EZ1 log Z1 = ∞ EW = ho¾c P{W = 0} = Nh¾n xét 1.5.15 Đ%nh lý nói rang neu EZ1 log Z1 = ∞ P { lim Zn = 0} = mn Tù dan đen kha ton tai chuoi tiêu chuan khác {cn} cho n can rang cn m®t ∼ mgiói khihan EZkhơng log Z1 < ∞ Ngoài phương phápchúng {Zn/cminh } h®i tu tói suy bien Tuy nhiên chúng n ta van chúng minh trnc tiep đ%nh lý đưoc áp dung cho trình tőng quát o Chương Vì v¾y nghiên cúu đ%nh lý 1.5.15 đc lắp v sau ú se tng quỏt nú o Đ%nh lý 1.5.16 Chú ý rang Wn h®i tu h.k.n tói W ϕn(u) ≡ Ee−uWn → Ee−uW ≡ ϕ(u), u ≥ ϕ(u) đưoc chi thoa mãn phương trình ban u ϕ(u) = f (ϕ( )) m (1.32) Đây chìa khóa đe chúng minh đ%nh lý 1.5.15[K.B.Athreya, P.E.Ney (1972)] Đ%nh lý 1.5.16 Gia su {Zn; n = 0, 1, 2, } m®t q trình GW vái − khiThì n → ∞, bnn chuői Wn =hang c−n so Z{c n →W n c1n+1 h.c.cc vái 0) = − q Hơn nua neu ϕ(z) = E(e−zW ) vái Rz ≥ ϕ(z) thóa mãn phương trình (1.32): z ϕ(z) = f (ϕ( )) m Σ Nh¾n xét 1.5.17 Neu j pjj log j < ∞ tù đ%nh lý 1.5.14 chỳng ta biet rang Znmn hđi tu theo quy luắt túi mđt giúi han khụng suy bien Luắt Khinchine chi rang cn ∼ const × mn Ngưoc lai, neu cn const ì mn thỡ Znmn hđi tu theo quy luắt túi mđt giúi han khụng suy bien (%nh lý 1.5.16) Hơn nua, thay rang EW < ∞ neu chi Σ neu pjj log j < ∞ Do có: pjj log j < ∞ chi cn ∼ const · mn [ Seneta (1969)] Σ Phương trình hàm (1.32) thưịng khó có the giai xác ϕ(z) th¾m chí neu có giai đưoc hiem có the đao ngưoc ϕ(z) đe có đưoc hàm phân phoi cna W Tuy nhiên có the su dung (1.32) đe xác đ%nh tat ca mômen cna W có cap ≥ (khi chúng ton tai) Gia su {Z(m) ; n nhánh = 0, 1,vói2,chi so },trung m =bình 2, 3,m .và m®t đ%nh chuoi cna3 q trình phân đưoc n nghĩa khơng gian (m) Z1 h®i tu tói m®t bnn Z m → ∞ xác suat Gia su σm σ = Var Z (m) /Z Σ ≡ 1) Đ¾t W m n → ∞ thì: E mW (m) giói han h.c.c cna Z (m) /mn n Σ2 −Z (m) σm mW (m) σm Σ − σm Z ≤ 2E (m) Z1(m) + 2E σm Σ −Z → h.c.c m → ∞ Do (m) mW (m) Z1 E = σm − σm (m) Z (m) m σm Z; → 1Z (m) mW Do neuđó Σ σm m m2 − m → Z vói m lón, giói han cna W 1.5.5 Tính chat cap cua Zn/mn (m) Trong phan 1.5.4 thay rang khơng có giói han cna chuoi {Zn/mn; n = 0, 1, } m®t mac-tin-gan khơng âm, h®i tu h.c.c tói m®t b.n.n W Do ta xap xi Zn boi mn W vói n đn lón Đieu đ¾t câu hoi ve tam quan TRQNG cna hi¾u Zn − mn W Trong phan se xây dnng m®t bieu dien đơn gian cho Zn − mnW su dung đe tra lịi câu hoi trình phân {Z(Ω, n, n = 0, 1, 2, } Gia su P{Z0 = 1} = Không gian nhánh xác suat F, P ) van ký hi¾u khơng gian ban cna Σ∞ (j) ton tai lý a t¾p An ∈ F vái Đ%nh 1.5.18 Gia su P{A p0 =n0 và j=1 j) W 0, q > lim P{Z n = j | n + k < T < ∞} = bj(k) ≥ n→ Σ ∞ j bj (k) = neu m =ƒ bj (k) = neu m = Neu m = lim P{Zn = j | T = n + k} = θj(k) ≥ n→ ∞ Σ , j θj(k) = Đ%nh nghĩa 1.6.2 Q trình Q (liên ket vói {Zn}) m®t xích Markov {Zˆn ; n = 0, 1, } vói hàm chuyen ˆ ˆ jq j−i Qn(i, j) = P{Zn+k = j | Zk = i} = Pn(i, j) n iγ Đ%nh lý 1.6.3 vói i, j ≥ (i) Neu m > trình Q l¾p dương (positive recurrent) (ii) Neu m = trình Q tam thài (transient) Σ(k log k)pk < (iii) Neu m < q trình Q l¾p dương neu chs neu ∞ Cũng q trình G-W, trưịng hop m = đóng vai trị đ¾c bi¾t q trình Q Trong suot trang thái chuyen cna nó, Zˆn → ∞ vói xác suat Nhưng Zˆn /n se h®i tu tói quy lu¾t giói han khơng suy bien 2) Zˆ /n h®i tn Đ%nh lý 1.6.4 Neu m = σ < ∞ (2σ n theo phõn bo tỏi mđt bnn cú hm mắt đ® Σ h(x) = x · e−x  neu x < neu x ≥ Bo đe 1.6.5 Neu Fn phân bo [0, ∞) vái kỳ VQNG µn , h®i tn yeu tái m®t phân bo F vái kỳ VQNG µ > µn → µ tdFn(t) Gn(x) = xn hđi tn tái phân bo: G(x) = ∫ dF (t) x Chỳng minh %nh lý 1.6.4 thỡ Fn(t Zn ≤x| = 1, Zn > 0} Z0 µn = σ E Σ Z n n , Zn > = → P{Z n > 0} σ np(Zn > 0)1 lai {Z[nt]Ta| muon Zn > n 0}vàtrong t ≤ Đe cho đơn ta bo dau ngoắc n +ú k0 cúđ lún1 tng ỳng egian thuắn loi q trình đưoc viet vng nhưg nt van phai hieu [nt] Đ%nh lý 1.6.6 Neu m = f JJ (1) < ∞ vái mői t < co đ %nh {Znt/n | Zn > 0} h®i tn theo phân bo tái m®t bien ngau nhiên U + V so úng Ulàvà V 2/tσ 2/(t(1 − đ® mũ t)σ2) tương n → Trong l cỏc bnn v đc lắp cú hm m¾t vái tham Chúng minh Ta thay rang P{Znt − k | Zn > 0, Z0 = 1} P{Znt = k, Zn > | Z0 = 1} P{Zn > | Z0 = 1} P{Znt = k | Z0 = 1}P{Zn(1−t) > | Z0 = k} = P{Zn > | Z0 = 1} P{Znt = k | Znt > 0, Z0 = 1}P{Znt > | Z0 = 1}P{Zn(1−t) > | = = Z0 = k} 25 P{Zn > | Z0 = 1} Do E exp −α Znt n = 1Σ Σ| Zn > 0, Z0 = P {Znt > | Z0 = 1} E Σexp −αt Znt ΣΣ [1 − f Znt P{Z n > | Z0 = nt Σ1} Znt Σ = + (t)Σ E exp − αt Σ o t n − exp − Znt Σ n ]| Z nt n(1−t) n αt − nt log f Σ (0) | n(1−t Znt > 0, ) Z0 Nhưng = 1Σ (0)] = αt + lim [αt − nt log f t Σ n→∞ tù cơng thúc (1.30) ta có − t σ2 n(1−t ) lim n→ ∞ Znt E[exp{−α }| Z Σ n 1 = t + αt σ2 − > 0, = 1] n 26 Z0 + Σ t > 0, Z = 1Σ 1−t Σ−1 σ = (1 + ) σ2 αt + αt(1 − t)là phép bien đői Laplace cna Hai thành phan bieu thúc cuoi hàm mắt đ U v V Q Ket qua trờn dan đen {(Znt/n) | Zn > 0} vói n co đ%nh t ∈ [0; 1] m®t q trình ngau nhiên vói tham so t, ký hi¾u X(t) Sau ta có the σ αt+ 2 nghiên cúu chuoi trình X1(t), X2(t), 27 Tài li¾u tham khao [1] Athreya, K B and P.E Ney, P.E (1972), Branching Processes, Springer, Berlin [2] Doob, J.L (1953), stochastic processes, Wiley, Newyork [3] Haccou, P Jagers, V.A (2005), Branching Processes: Variation, Growth and Extinction of Populations, Cambridge University Press, Cambridge [4] Harris, T.E (1963), The Theory of Branching Processes, Springer, Berlin [5] Kesten, H., Ney,P , Spitzer, F (1966), "The Galton - Watson process with mean one and finite varience", TPA11 [6] Kimmel, M and Axelrod, D.E (1990), "Mathematical models of gene amplification with applications to cellular drug resistance and tumori- genicity", Genetics 125 [7] Kimmel, M and Axelrod, D.E (2002), Branching Processes in Biology, Springer, New York [8] Levinson, N (1959), "Limiting theorems for Galton - Watson branch- ing processes, IJM [9] Mode, C.J (1971), Multitype Branching Processes, Elsevier, New York [10] Seneta, E (1969), "Functional equations and the Galton - Watson process", Adv 58 [11] Saiki, R K , Gelfand, D.H.,toffel, S.S, Scharf, S.J.,Higuchi, R ,Horn,G.T , Mullis, K.B and Erlich , H.A (1988), "Primer-directed enzymatic amplification of DNA with a thermostable DNA polymerase", Science 239 [12] Weiss, G and Haeseler , A (1997), "A coalescent approach to the polymerase chain reaction", Nucleic Acids Research 25 ... lu¾n văn em trình bày ba q trình phân nhánh ban là: trình Galton - Watson, q trình Markov, q trình phu thu®c tuői m®t so úng dung đơn gian cna q trình phân nhánh Lu¾n văn “Q trình phân nhánh. .. THU QUÁ TRÌNH PHÂN NHÁNH VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Chuyên ngành: Lí thuyet xác suat thong kê tốn HQC Mã so: 60 46 01 06 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS TA NGOC ÁNH Mnc lnc Ma đau Quá trình. .. sinh HQc phân tu, sinh y, dân so HQ c, Có nhieu kieu q trình phân nhánh: thịi gian khơng liên tuc (q trình Galton - Watson), thịi gian liên tuc (q trình Markov, q trình phu thu®c tuői, q trình