Luận văn thạc sĩ phương trình tích phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình tích phân tất định: 1.1.1 Giới thiệu: .5 1.1.2 Phương trình Fredholm loại với hạch suy biến: 1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: 11 1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên 12 1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính .25 1.3.1 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục .25 1.3.2 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: .29 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 33 2.1 Phương trình Fredholm Volterra với hàm vế phải ngẫu nhiên 33 2.1.1 Giới thiệu: 33 2.1.2 2.1.3 Nghiệm phương trình tích phân: 34 Nghiệm hàm hiệp phương sai: 37 2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình nghiệm: 40 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 41 2.2 Hạch K(x, y, ω) ngẫu nhiên suy biến 42 2.3 Hạch K(x, y, ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian hàm gián đoạn vừa phải 44 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 49 3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 49 3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân số phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 49 3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên không gian hàm liên tục: 57 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên 58 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên 62 3.3.1 Giới thiệu: 62 3.3.2 Tồn nhất: 64 Tài liệu tham khảo 67 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình GS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiênĐHQGHN Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ hoàn thành luận văn Hà Nội, Tháng năm 2015 MỞ ĐẦU Từ cuối kỉ 17, Newton Leibniz xây dựng phép tính vi phân tích phân cổ điển Tới nửa đầu kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu xây dựng Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên phép tính tích phân ngẫu nhiên trở thành cơng cụ quan trọng ứng dụng nhiều toán học, vật lý, sinh học kinh tế Trong phương trình tốn tử tuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứu toán học đại mang lại nhiều kết Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, xét hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm Volterra Ngoài ra, xét số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến Chúng quan tâm lớn có tầm quan trọng nhiều nhánh khoa học, kinh tế cơng nghệ Đặc biệt, phương trình tích phân phi tuyến xuất tượng vật lý cụ thể việc xây dựng phương trình tích phân phương trình vi phân phi tuyến Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Phương trình tích phân tất định: Giới thiệu: Xét phương trình tích phân: ∫b K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.1) a ∫ b a K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.2) phương trình Fredholm khơng loại thứ thứ hai tương ứng phương trình tích phân tuyến tính: ∫x K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.3) a ∫ a x K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.4) phương trình Volterra khơng loại thứ thứ hai tương ứng Từ phân loại phương trình tuyến tính trên, ta thấy phương trình Volterra trường hợp đặc biệt phương trình Fredholm với hạch: K˜ (x, y) K(x, y) x > = y x < y (1.5) Phương trình tích phân tuyến tính chiếm phần quan trọng phương trình tốn tử tuyến tính ứng dụng tốn học Chúng ta xét ví dụ mối quan hệ phương trình tích phân phương trình khác Bài tốn giá trị ban đầu: Xét phương trình vi phân cấp 2: dx d x2 dt + a + bx = f (t) với điều kiện ban đầu dt (1.6) x(0) = x0, x′(0) = v0 (1.7) Trong (1.6) a b hàm t Nếu viết lại phương trình (1.6) là: d 2x dx = −a − bx + f (t) dt dt tích phân khoảng (0, t) có được, sử dụng (1.7) ∫ ∫ t ∫ fdr dx dx t a dr t + bxdr dt − =− ∫t dt ∫ t0 (b + a′)xdr − = −ax − fdr + a(0)x0 + v0 0 ∫ t∫ Tích phân có được: ∫t a(r)x(r)dr − ∫0t ∫ x(t) = x0 − t t [b(r) a(r)]x(r)drdr − 0 + f (r)drdr + [a(0)x0 + v0]t 0 mà viết với hình thức là: ∫t x(t) = − a(r) + (t − r)[b(r) − a′(r)]x(r)dr ∫0t Có thể viết lại là: − + (t r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 ∫ x(t) − t K(t, r)x(r)dr = g(t) (1.8) (I − F˜ )−1λx = (I + G˜)λx Chứng minh định lý (3.10) Trước hết viết lại phương trình (3.24) có dạng: x(t, ω) = y(t, ω) + Ax(t, ω) (3.25) Nếu định nghĩa W toán tử: W [x(t, ω)] = ψ(x(t, ω), t) ∫ (3.26) ∞ V [x(t, ω)] = − ω)dr, r)x(r, K(t x(r, ω) M2 (3.27) −∞ Do chắn toán tử A phương trình (3.25) có dạng A = V W tồn tính nghiệm phương trình (3.25) thiết lập cách tìm điểm cố định toán tử A = V W Dưới từ (3.29) V ánh xạ M2 vào Để A định nghĩa W ánh xạ x(t, ω) vào miền V Từ (i) ψ hàm liên tục x(t, ω): |ψ(x(t, ω), t)| ™ max{|α||β|}|x(t, ω)| chắn Vì thế, ψ(x(t, ω), t) ∈ làtửảnh Bây giờ, ta tử biểu diễn AM là2toán co M vào Từđịnh ψ(t), K(t) là hàm định, W VM là22xác Do đó, A tốn xácxác định định lý ánh xạ co lớp Banach sử dụng thiết lập tồn điểm cố định A Sử dụng định nghĩa tốn tử V, phương trình (3.24) viết là: (I − (α + β)V )x(t, ω) = y(t, ω) Σ ∫ ∞ − Σω), r) − (α +1 + ψ(x(r, β)x(r, ω) dr (3.28) K(t −∞ r) 60 1 ˜ (µ) Từ (3.29) K(t)tốn ∈ Ltử (3.30) (αphép + ƒ= Cho 1, ∀µ Với đề (3.2) và(3.28): (3.3) I −từthức (αdấu + 2β)V bị β)F chặn ngược M biểu diễn đồng trừ nhân chập nên 2/M bổ viết lại x(t, ω) = (I − (α + β)V )−1y(t, ω) Σ ∫ Σ + H(t − r) ψ(x(r, ω), ω) − (α + β)x(r, ω) dr −∞ = y1(t, ω) + Sx(t, ω) (3.29) ∞ H(t) hàm L1 với: H˜ (µ) = F{H(t)} = K˜ (µ) 12 − (α + β)K˜ (µ) đẳng thức thứ hai định nghĩa hàm y1(t, ω) toán tử S theo cách thức rõ ràng Từ (i) ta có: 1 |ψ(x1, t) − ψ(x2, t) − (α + β)(x1 − 2 (β − α)(x1 − x2) x2)| ™ hầu hết với ∀ω ∈ Ω với (x1, t) ∈ M2, (x2, t) ∈ M2 K˜ (µ) ˜ (β − α)||x1 − x2|| (3.30) ||S(x1 − x2)|| ™ sup µ − 2(α + β)K(µ) hầu hết với ∀ω ∈ Ω Từ (3.30) số vế phải (3.30) nhỏ Do đó, viết lại phương trình (3.29) là: (I − S)x(t, ω) = y(t, ω) quan sát : ||(I − S)(x1 − x2)|| = ||S(x1 − x2)|| 61 01 kéo theo đầy đủ M2 thực tế M2/M0 không gian metric, định lý ánh xạ co Banach ứng dụng thiết lập tồn tại, tính nghiệm ngẫu nhiên phương trình (3.24) 61 02 3.3 3.3.1 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên Giới thiệu: Trong chủ đề nghiên cứu lớp tổng quát phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên Phương trình xét có dạng: ∫ t K(t, r, ω)f (r, x(r, ω))dr = y(t, ω) (3.31) x(t, ω) − + + giả sử hàm x(t, ω) hàm + U, ω ∈Llàx(t, Ω, t ω)) ∈ R ngẫu Chúng ta biết y(t, ω) hàm t điều ∈nhiên R với giá trị Llà (Ω) = (Ω, µ) Hàm f (t, kiện thích hợp hàm tL ∈2bị R với giá trị (Ω) Hạch K(t, τ, ω) giả sử hàm chặn µ với tích số K(t, τ, ω)f (t, x(t, ω)) nằm L (Ω) Chúng ta giả sử t, τ, (0 ™ τ ™ t < ∞) với giá trị L (Ω) với τmọi Vì ∞ vậy,vào ánh xạ: (t, τ ) → K(t, τ, ω) từ∞ tập (t, ) : t, 0τ ™cố τ định ™t< L∞(Ω) liên tục, là: µ − ess sup |K(tn, rn, ω) − K(t, r, ω)| → ∞ Phần định nghĩa tồn nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω) phương trình (3.31) Trong chủ đề này, khái niệm cặp khơng gian Banach chấp nhận với việc ý đến tốn tử ứng dụng Để giới thiệu khái niệm này, cần định nghĩa vài không gian: + +, L (Ω)) định ngĩa không gian tất (1) Không Ctục =từKhông CR c c(R vào L2(Ω) tôp hội khoảng [0, hàm b],gian bliên > gian Cc làvới không giantụlồiđều địatrên phương mà tơp định nghĩa họ chuẩn: (3.32) Σ12 ∫ x(t, ω) n = sup || || |x(t, ω)|2 dµ n = 1, 2, t∈[0,n] Ω (2) Không gian Cg = Cg(R+, L2(Ω)) định nghĩa không gian tất hàm liên tục từ R+ → L2(Ω) ∫ Σ1 |x(t, ω)| dµ ™ Mg(t) t ∈ R+ (3.33) M số dương g(t), t ∈ R+ hàm liên tục dương Cg định nghĩa bởi: Σ (3.34) ||x(t, ω)|| L2 ||x(t, ω)|| g = g(t sup ) t∈R+ + + +, chặn + (3) gian CX= C(R (Ω)) nghĩa không gian tất cáccùng hàm tục bị từ R L 2(Ω) (4) Không Cuối đểliên = X(R ,L L22(Ω)) Y→=định Y(R , L2(Ω)) cặp không + gian tử Banach tục từ R → L2(Ω) , X, Y ∈ Cc để L tốn tuyến tínhhàm từ Cliên c vào + + với ýYtới3.1 tốnCặp tử Lkhơng : Cc(Rgian , (LBanach Cc(R L2(Ω)) thừa chỉnhận 2(Ω)) →(X, Định nghĩa Y) ,gọi L[X] ⊂ + Bổ L toán liên tụcvớitừ tô Cc(R , (L2(Ω)) Nếu X, Giả Y làsử không gian tử Banach pô mạnh vào tô pơchính Cc đề(i)3.4 (ii) cặp (X, Y) thừa nhận với lưu ý tới L, L tốn tử liên tục từ X vào Y) Chúng ta tham khảo Corduneanu cho chứng minh bổ đề mà liên quan đến việc cho thấy L tốn tử đóng vầ dùng định lý đồ thị đóng Chúng ta ý L tốn tử liên tục, bị chặn tìm số M > cho: ||Lx(t, ω)||Y ™ M ||x(t, ω)||X (3.35) Chúng ta xét phương trình vi phân khơng tuyến tính ngẫu nhiên có dạng: dx(t, ω)/dt = A(ω)x(t, ω) + f (t, x(t, ω)) t ∈ R+ (3.36) cho thấy xây dựng phương trình tích phân ngẫu nhiên dạng (3.31) Tsokos nghiên cứu phương trình tích phân Volterra phi tuyến ngẫu nhiên loại xoắn lại: ∫t K(t r, ω)Φ(x(r, ω))dr = y(t, ω) (3.37) − x(t, ω) − mà xuất xây dựng phương trình tích phân hệ thống vi phân ngẫu nhiên không tuyến tính 3.3.2 Tồn nhất: Bây xét tồn nghiệm ngẫu nhiên + nhiên củatrình (3.31) với t cốnhiên định tx(t, ∈ Rω) , x(t, thỏa 2(Ω) ngẫu phương (3.31) Hàm ngẫu đượcω) gọi∈làLnghiệm mãn phương trình (3.31) với xác suất Định lý 3.11 Giả sử rằng: +là không gian Banach từ R+ → L (Ω) với tô pô mạnh tô pô (i) X, Yphân C , (Lngẫu cặp (X, Y) thừa nhận với lưu ý đến toán tử c(R 2(Ω))nhiên: tích ∫t K(t, r, ω)x(r, ω)dr (3.38) L(ω)x(t, ω) = hạch ngẫu nhiên K(t, τ, ω) liên tục phương sớm (ii) Ánh xạ: x(t, ω) → f (t, (x(t, ω)) toán tử tập hợp: S = {x(t, ω) : x(t, ω) ∈ Y, ||x(t, ω)||{Y} ™ p} cho p “ với giá trị X thỏa mãn điều kiện: ||f (t, x1(t, ω)) − f (t, x2(t, ω))||{X} ™ k||x1(t, ω) − x2(t, ω)||{Y} (3.39) với x1, x2 ∈ S k số dương (iii) y(t, ω) ∈ Y Khi tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình (3.31) (a) k < N −1 (b) ||y(t, ω)||Y+N ||f ((t, 0)||X ™ p(1 − kN ) N chuẩn L(ω) Chứng minh: Chúng ta định nghĩa toán tử ngẫu nhiên W (ω) từ S vào Y đây: ∫t K(t, r, ω)f (r, x(r, ω))dr (3.40) W (ω)[x(t, ω)] = y(t, ω) + co Đặthết x1chúng (ω) vàtaxthấy phần tử S Khi đó, từ (3.40) có: 2(ω)rằng Trước ∫dưới giả thuyết định lý W (ω) toán tử t W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, K(t, r, ω)[f (t, x1(r, ω)) − f (t, x2(r, ω))]dr ω)] = Từ W (ω)[S] ⊂ Y Y không gian Banach, có: (3.41) W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, ω)] ∈ Y Dưới từ điều giả sử (i) (ii) có [f (t, x1(t, ω))−f (t, x2(t, ω))] ∈ X Từ đây, qua bổ đề (3.4) L(ω) toán tử liên tục từ X vào Y có tồn số N>0 cho: ||L(ω)x(t, ω)||Y ™ N ||x(t, ω)||X Từ (3.41) có: ||W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, ω)]||Y ™ N ||f (t, x1(r, ω)) − f (t, x2(r, ω))||X Áp dụng điều kiện Lipschitz f (t, x) đưa (ii) có: ||W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, ω)]||Y ™ kN ||x1(t, ω) − x2(t, ω)||X Sử dụng điều kiện (a) (có kN