Luận văn thạc sĩ phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————– NGUYEN TH± HONG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUAT TRONG TỐN TRUNG HOC PHO THƠNG LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HÀ N®I - 2014 NGUYEN TH± HONG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUAT TRONG TỐN TRUNG HOC PHO THƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS TS LÊ ANH VINH CHU TCH HđI ONG Mnc lnc Danh mnc ký hiắu Lài nói đau Phương pháp đem 1.1 Hoán v%, chinh hop, tő hop 1.1.1 Hoán v% 1.1.2 Chinh hop .6 1.1.3 Tő hop 1.2 Sn phân hoach 11 1.2.1 Sn phân hoach m®t so nguyên dương thành tőng so nguyên không âm .11 1.2.2 Phân hoach t¾p hop 12 1.2.3 Phân hoach so nguyên .14 1.3 Công thúc Sieve 18 Lý thuyet đo th% ban 26 2.1 Khái ni¾m ban ve đo th% 26 2.1.1 Đ%nh nghĩa đo th% phân loai đo th% 26 2.1.2 Đo th% cau .27 2.1.3 Bieu dien đo th% bang ma tr¾n 28 2.1.4 Đo th% con, đo th% thành phan đo th% sinh 29 2.2 Các yeu to đo th% vơ hưóng 30 2.2.1 B¾c cna đinh đo th% 30 2.2.2 Đưòng chu trình 30 2.2.3 Tính liên thơng 31 2.2.4 M®t so loai đơn đo th% vơ hưóng .31 2.3 Bài tốn tơ màu so Ramsey .39 MUC LUC iii 2.3.1 Lý thuyet Ramsey cho đo th% huu han 2.3.2 Lý thuyet Ramsey trưòng hop tőng quát 39 42 Xác suat m®t so Éng dnng 3.1 Phép thu bien co 3.2 Xác suat cna bien co 3.2.1 Đ%nh nghĩa cő đien cna xác suat 3.2.2 Đ%nh nghĩa thong kê ve xác suat 3.2.3 Đ%nh nghĩa hình HQc ve xác suat 3.3 Đ%nh lý c®ng xác suat 3.4 Đ%nh lý nhân xác suat 3.5 M®t so mo r®ng cna đ%nh lý c®ng đ%nh lý nhân xác suat 3.6 Bien ngau nhiên kì vQNG 3.6.1 Đ%nh nghĩa 3.6.2 Tính tuyen tính cna kì vQNG 3.7 Su dung xác suat chúng minh m®t so tính chat cna so Ramsey 3.8 Áp dung xác suat kì vQNG vào m®t so tốn thi HQc sinh gioi 44 44 45 45 48 48 Ket lu¾n 78 Tài li¾u tham khao 79 iv 50 53 57 64 64 66 68 70 Danh mnc ký hi¾u |A| So phan tu cna A p(n) So hoán v% cna n phan tu phân bi¾t Cnk So tő hop ch¾p k cna n phan tu Akn So chinh hop ch¾p k cna n phan tu S(n, k) So cách phân hoach t¾p n phan tu thành k phan B(n) So cỏch phõn hoach n phan tu thnh mđt so phan P (n) So cách phân hoach so n thành k phan D(n) So xỏo trđn cna n phan tu P (A) Xác suat cna bien co A E(X) Kì vQNG cna bien ngau nhiên X Lài nói đau Xác suat m®t phan mói đoi vói tốn trung hQc phő thơng nói chung,Úng dung xác suat giai tốn Trung HQc phő thơng n®i dung cịn mói me, thú v% M¾t khác xác suat khơng chi có úng dung tốn HQc mà cịn có nhieu úng dung m®t so mơn HQc khác, ngành khoa HQc khác HQc tìm hieu ve xác suat HQc sinh thay toán HQc gan gũi, gan lien vói cu®c song thnc te hơn, tao húng thú HQc t¾p cho HQc sinh Boi v¾y tơi lna cHQN tìm hieu “ Phương pháp xác suat tốn trung HQC thơng” Xác suat tốn THPT vói so chn yeu tốn đem, vói đoi tưong HQc sinh gioi, cịn đưoc tiep c¾n vói Lý thuyet đo th% tốn liên quan giua lý thuyet đo th% tő hop xác suat Vói muc đích tìm hieu ve xác suat , cách tính xác suat, m®t so úng dung cna xác suat tốn THPT Nên Lu¾n văn này, ngồi phan mo đau phan ket lu¾n tơi trình bày ba chương Chương 1: Trình bày quy tac đem ban mo r®ng Nham trang b% cho HQc sinh kien thúc so đe su dung toán đem toán xác suat ngưòi HQc muon HQc tot xác suat can phai có kien thúc tot ve tő hop đem Chương 2: Trình bày rat sơ lưoc ve lý thuyet đo th%, nham trang b% kien thúc can thiet cho chương Chương 3: Là chương TRQNG tâm, chương trình bày ve khái ni¾m xác suat,tính chat, quy tac tính xác suat Khái ni¾m ve kỳ vQNG, tính tuyen tính cna kỳ vQNG áp dung vào m®t so ví du.Trong chương bưóc đau tơi trình bày đưoc cách su dung xác suat, kỳ vQNG vào m®t so tốn so HQc, tő hop, hình HQc tő hop Lu¾n văn đưoc hồn thành vói sn hưóng dan t¾n tình cna Thay PGS.TS Lê Anh Vinh – Đai HQc Giáo Duc – Đai HQc Quoc gia Hà N®i Tù đáy lịng em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay Lê Anh Vinh đoi vói sn quan Lèi NĨI đA u tâm, chi bao t¾n tình cna thay Em xin chân thành cam ơn thay Trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, giúp đõ em suot trình theo HQc Tơi xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u đong nghi¾p Trưịng THPT Nam Khối Châu – Hưng n tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành ke hoach HQc H Nđi, ngy thỏng 12 năm 2014 Tác gia Nguyen Th% Hong Chương Phương pháp đem 1.1 Hoán v%, chinh hap, to hap N®i dung cna chương đưoc tam khao chn yeu o tài li¾u so cna tác gia Miko’s Bo’na, “A walk through combinatorics – An introduction to enumeration anh graph theory” Ngồi so lý thuyet tài li¾u trên, h¾ thong ví du minh HQA đưoc xây dnng so lý thuyet tương úng 1.1.1 Hoán v% Đ%nh nghĩa 1.1.1 Moi sn sap xep thú tn cna n đoi tưong khác thành hàng, mà moi oi tong xuat hiắn ỳng mđt lan oc GQI m®t hốn v% cna n đoi tưong Đ%nh lý 1.1.1 So hốn v% cua t¾p hap A có n phan tu p(n) = n! Ví dn 1.1.1 M®t ngưài hoa có hoa đó, hoa vàng, hoa trang muon thành m®t hàng Hói có cách trong? Lài giai Ta xét hai trưịng hop: • Trưịng hop 1: Các hoa đơi m®t khác loai Khi so cách 10! • Trưịng hop 2: Các hoa màu thu®c m®t loai Khi sn thay đői v% trí cna hoa đo cho ta m®t cách trong, sn thay đői v% trí cna hoa vàng cho ta m®t cách trong, sn thay đői v % trí cna hoa trang cho ta m®t cách Nên so cách 10 hoa 10! 5!2!3! Chương PHƯƠNG PHÁP ĐEM Tù ví du ta thay sap xep n đoi tưong không đôi mđt phõn biắt %nh lý 1.1.1 khụng cũn ỳng Mo r®ng đ%nh nghĩa hốn v% ta có đ%nh nghĩa hốn v% l¾p sau Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho n, a1, a2, , ak so nguyên dương thoa mãn a1 + a2 + + ak = n Moi cách sap xep n đoi tưong thành hàng có đoi tưong loai i m®t hốn v% l¾p cna n đoi tưong Khi ta có so hốn v% l¾p đưoc tính sau Đ%nh lý 1.1.2 Cho n, a1, a2, , ak so ngun khơng âm thóa mãn a1 + a2 + + ak = n, có đoi tưang loai i, i = 1, k Khi so hốn v% l¾p cua n đoi tưang n! a1!a2! ak! (1.1) Ví dn 1.1.2 Cho t¾p A = {1, 2, 3, 4, 5} Có so nguyên dương có chu so đưac l¾p tù A Biet chu so xuat hi¾n lan, chu so xuat hi¾n lan Lài giai Ta coi moi so có chu so l mđt hoỏn v% lắp cna oi tưong, so xuat hi¾n lan, so xuat hi¾n lan, so so thoa mãn yêu cau là: 8! 40320 = = 3360 (so) 2!3! 2.6 a) b) c) d) Ví dn 1.1.3 Cho 2n ngưài, có n nam, n nu Hói Có cách sap xep cho 2n ngưài ngoi thành hàng cho nam nu ngoi xen ke? Có cách sap xep cho 2n ngưài ngoi thành hàng cho nam ngoi lien nhau? Có cách sap xep cho 2n ngưài ngoi quanh m®t bàn trịn? Có cách sap xep cho 2n ngưài ngoi quanh m®t bàn trịn cho nam nu ngoi xen ke? Lài giai a) Ta xét hai trưòng hop 10 3.8 Áp dnng xác suat kì vQNG vào m®t so tốn thi HQC sinh gioi N®i dung đưoc tham khao chn yeu tài liêu so cna tác gia Tran Nam Dũng, “Phương pháp xác suat ”, viet đăng trang Thơng tin tốn HQc, Hđi Toỏn HQc Viắt Nam thỏng 12 nm 2012 16 so 4, tháng năm 2013 t¾p 17 so 1, tháng năm 2013 t¾p 17 so Ngồi m®t so lịi giai đưoc tham khao tù cuon tài li¾u so cna nhóm tác gia Dusan Djukic, Vladimir Jankovíc, Ivan Matíc, Nikola Petrovíc, “The IMO compendium” – Spinger, trang 338,661,667 Ví dn 3.8.1 (Bunguri - 1984) Cho xi, yi, i = 1, n 2n so thnc dương cho xi + yi = Chúng minh MQI so nguyên m ta có (1 − x1x2 xn)m + (1 − ym1)(1 − ym2) (1 − ymn) ≥ Lài giai Gia su ta có n đong xu c1, c2, , cn thoa mãn moi đong xu có xác suat m¾t xap xi, m¾t ngua yi Thnc hi¾n tung n đong xu m lan GQI Ak bien co "o lan tung thú k ca n đong xu xuat hi¾n m¾t sap" suy p(Ak) = x1x2 xn Ak bien co "o lan tung thú k có nhat m®t đong xu xuat hi¾n m¾t ngua" Nên p(Ak) = − x1x2 xn A bien co "trong moi lan tung có nhat mđt ong xu xuat hiắn mắt ngua" m ` Ak p(A) = (1 − x1x2 xn)n A= k= B bien co "ton tai m®t đong xu m¾t ngua m lan" C bien co "có ớt nhat mđt ong xu mắt ngua o moi lan tung, nhung đong xu không giong qua moi lan tung" B bien co "moi đong xu xuat hiắn ớt nhat mđt lan mắt sap", thỡ p(B) = (1 − ym1)(1 − ym) (1 − ym).n Hơn nua A = B ∪ C, B ∩ C = ∅ nên p(A) = p(B) + p(C) = − p(B) + p(C) ⇔p(A) + p(B) = + p(C) ≥ 1vp(C) ≥ Túc ta có (1 − x1x2 xn)m + (1 − ym)(1 − ym) (1 − ym) ≥ 0, dau bang xay n = 1 n Ví dn 3.8.2 (Putnam 2000 Singaporo 2012) Cho so nguyên aj, bj, c j, ≤ j ≤ N Gia su rang vái mői j, ba so aj, b j, cj có nhat m®t so lé Chúng minh ton tai so nguyên r, s, t cho raj + sbj + tcj lé vái nhat 4N giá tr% cua j, ≤ j ≤ N Lài giai Đ¾t T = raj + sbj + tcj, ta xét tính chan le cna T vói moi b® (aj, bj, c j) thoa mãn aj, bj, cj không chan b® (r, s, t) khơng chan giá tr% cna T có kha xay ra, có kha cho T le, suy vói b® (aj, bj , c j) cHQN ngau nhiên ≤ j ≤ N giá tr% trung bình cna so ket qua "T le" 4N Do giá tr% trung bình nên se ton tai nhat m®t b® r, s, t cho so 4N lón ho¾c bang Ta có đieu phai chúng minh Ví dn 3.8.3 Trong m®t bang có 100 × 100 vng, mői vng ta viet m®t so nguyên tù 1,2, ,5000 Hơn nua mői so nguyên xuat hi¾n bang hai lan Chúng minh rang có the CHQN đưac m®t trăm cua bang thóa mãn 1) Mői hàng đưac CHQN m®t 2) Mői c®t đưac CHQN m®t 3) Các so đưac CHQN đơi m®t khác Lài giai GQI B bien co "cHQN đưoc 100 ô vuông thoa mãn 1,2,3" ta can chúng minh p(B) > Th¾t v¾y GQI (a1 , a2 , , an ) m®t hốn v% cna {1, 2, , 100} o hàng thú i ta chQn ô , cách cHQN thoa mãn đieu ki¾n 1,2 ta có 100! cách cHQN v¾y Úng vói moi cách cHQN 100 thoa mãn đieu ki¾n 1,2 GQI A bien co "cHQN đưoc hai ô so j " 100 ô cHQN A1 bien co "cHQN đưoc hai ô cựng so j thang hng hoắc thang cđt" A2 l bien co "cHQN đưoc hai ô so j không thang hàng khơng thang c®t" Khi A = A1 ∪ A2, A1 ∩ A2 = ∅, p(A1) = 0, p(A2) = =⇒ p(A) = 1 100 99 M¾t khác có 5000 c¾p so giong bang nên xác suat cHQN đưoc m®t 1 5000 c¾p 5000 nên p(B) = − > Ta có đieu phai chúng minh 100 99 100.99 Ví dn 3.8.4 Trong bang n × n mői m®t so so 1, 2, , n xuat hi¾n √ n lan Chúng minh rang ton tai ớt nhat mđt hng hoắc mđt cđt vỏi ớt nhat n so phân bi¾t Lài giai Ta se chúng minh vói m®t hàng hay m®t c®t bat kì, trung bình so phân √ tu khác n Thắt vắy so cỏch cHQN mđt hng hoắc mđt cđt bang 2n GQI X so phan tu khỏc trờn mđt hng hoắc cđt ó cHQN Xi ∈ {0, 1} Xi = neu i có m¾t hng hoắc cđt ó cHQN Xi = neu i khụng cú mắt hng hoắc cđt ó cHQN Σ Khi X i= n Xi mà = E(Xi) = n Σ Xi.p(Xi = 1) = p(Xi = 1) i=1 M¾t khác so i xuat hi¾n hng hay ớt cđt nhat so i xuat hiắn √ √ m®t vng nho kích thưóc n × n nên p(Xi = 1) ≥ √ n =√ 2n n tính tuyen tính cna kì vQNG n Σ E(X) = E(Xi) ≥ n.E(Xi) = n √ n = √ n E(X) giá tr% trung bình cna so phan tu khác trờn mđt hng hoắc mđt cđt nờn ton tai hng hoắc cđt cho so phan tu khỏc lún √ √ n, túc nhat có n phan tu khác Ví dn 3.8.5 (IMO Shortlist, 1999) Cho A l mđt gom N thắng d modulo N Chúng minh rang ton tai t¾p B gom N thắng d modulo N cho ớt nhat mđt nua th¾ng dư modulo N có the viet dưái dang a + b, a ∈ A, b ∈ B Lài giai GQI t¾p th¾ng dư theo modulo S = {0, 1, 2, , N − 1} A l mđt cú N phan tu cna S Vói i ∈ S , GQI Ai = {a + i, a ∈ A} Ta can cHQN N th¾ng dư theo modulo N i1 , i2 , , iN cho N [ Aij | “ |S| j=1 | Moi phan tu x ∈ S xuat hi¾n N t¾p Ai Ta có Σ | \ N Aij| = | {x ∈ S|x ∈/ Ai1 , , AiN } | Σ i1<