Dùng phương pháp chia đôi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình

Bài 2: Dùng phương pháp chia đơi tìm nghiệm gần x3 + 3x2 - = với độ xác 10-3, biết khoảng phân ly nghiệm (-3 ; -2) Lời giải : Ta có: f (x) = x3 + 3x2 - f’ (x) = x2 +6x f’(x) = => x1 = x2 = -2 Bảng biến thiên: -2 +∞ f (x) 0 +∞ -3 f (x) -∞ c om X Ta có : Khoảng phân ly nghiệm [ -3; -2] ng f (-3) = - < Áp dụng phương pháp chia đơi ta có: an ab ( 3)  (2) = = -2.5 => F1(C1) = 0.125 >0 2 g th C1 = co f (-2) = > du on => Khoảng phân ly nghiệm [ -3;-2.5 ] C2 = ( 3)  ( 2.5) = -2.75 => F2(C2) = -1.109 < u cu => Khoảng phân ly nghiệm [-2.75; -2.5 ] C3 = ( 2.75)  ( 2.5) = -2.625 => F3(C3) = - 0.416 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.625; -2.5 ] C4 = ( 2 625 )  ( 2.5) = -2.5625 => F4(C4) = - 0.127 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.5 ] C5 = ( 2.5625 )  ( 2.5) = -2.53125 => F5(C5) = 0.004 >0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ] C6 = -2.546875 => F6(C6) = - 0.061 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ] C7 = -2.5390625=> F7(C7) = - 0.029 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ] C8 = -2.53515=> F8(C8) = - 0.012 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ] C9 = -2.537106=> F9(C9) = - 0.020 < => Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ] C10 = -2.538084=> F10(C10) = - 0.024 < Ta lấy nghiệm gần đúng: |α – bn| ≤ bn - an = |-2.5390625 – | = 9,785.10- < 10-3 co (-2.538084)  = - 2.538084 ng Đánh giá sai số: c om => Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ] a) x3 + 3x2 – = Lời giải : th g x 1 , biết khoảng cách ly nghiệm ( -2.75; -2.5) = x du on b) an Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm với độ xác 10- a) x3 + 3x2 – = u , biết khoảng cách ly nghiệm [ -2.75; -2.5] 1/3 cu x3 = - 3x2 (3 - 3x2 ) Ta nhận thấy | f ’ (x) | ≤ 0.045< nên ta chọn hàm lặp  (x) = (3 - 3x2 ) 1/3 Để bắt đầu trình lặp ta chọn xo số € [ -2.75; -2.5] Do f (- 2.5) < nên ta chọn đầu b = - 2.5 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = - 2.5 Ta có q trình lặp Đặt  (x) = (3 - 3x2 ) 1/3 ’(x) = -2/3 (3 – 3x) = (3  3x ) Để bắt đầu trình lặp ta chọn xo số € [ -2.75; -2.5] xo = - 2.5 ; q = CuuDuongThanCong.com Vì  € [ -2.75; -2.5] https://fb.com/tailieudientucntt ta có: | ’(x) |   x € [ -2.75; -2.5]; ’(x) <  x € [ -2.75; -2.5] xn + = (3 - 3x2 )1/3 xo = - 2.5 x1 = (3 – 3.(-2.5)2 )1/3 = -2.5066 x2 = (3 – 3.( x1)2 )1/3 = -2.5119 x3 = (3 – 3.( x2)2 )1/3 = -2.5161 c om x4 = (3 – 3.( x3)2 )1/3 = -2.5194 x5 = (3 – 3.( x4)2 )1/3 = -2.5221 x6 = (3 – 3.( x5)2 )1/3 = -2.5242 an x9 = (3 – 3.( x8)2 )1/3 = -2.5282 co x8 = (3 – 3.( x7)2 )1/3 = -2.5272 ng x7 = (3 – 3.( x6)2 )1/3 = -2.5259 th x10= (3 – 3.( x9)2 )1/3 = -2.590 du on g x11 = (3 – 3.( x10)2 )1/3 = -2.5296 x12 = (3 – 3.( x11)2 )1/3 = -2.5301 cu u Ta lấy nghiệm gần đúng: | Đánh giá sai số: b) x 1 = Đặt f(x) =  = - 2.5301 -x | 12 q = |x  q 12 - x11 | = 2.5.10 - < 10-3 x x 1 - x Từ đồ thị ta có : f (0.7) = - 0.12473 < f (0.8) = 0.09164 >  f (0.7) f (0.8) < Vậy ta có khoảng phân ly nghiệm [ 0.7; 0.8] Ta có: - 1/2 x = = (x + ) x 1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đặt  (x) = (x + ) Ta nhận thấy - 1/2 ’(x) = - 12 (x + 1) - 3/2 = - 12 | f ’ (x) | ≤ 0.4141< 1 ( x  1)3 nên ta chọn hàm lặp  (x) = (x + ) - 1/2 Để bắt đầu trình lặp ta chọn xo số € [ 0.7; 0.8] Do f (0.7) < nên ta chọn đầu b = 0.8 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = 0.7 Ta có q trình lặp Vì  € ta có: | ’(x) |  [ 0.7; 0.8] ’  x € [ 0.7; 0.8] ;  (x) <  x € [ 0.7; 0.8] c om q = 0.4141 xn + = (x + ) -1/2 xo = 0.7 0.755434561 x4 = (x3+ ) -1/2 = 0.754757917 g th an x3 = (x2+ ) -1/2 = co x2 = (x1+ ) -1/2 = 0.75229128 ng x1 = (0.7 + ) -1/2 = 0.766964988  = 0.754757917 du on Ta lấy nghiệm gần đúng: | - x |= q |x 1 q – x3 | = 4,7735.10-4 < 10 -3 cu u Đánh giá sai số: Bài 4: Dùng phương pháp dây cung tiếp tuyến, tìm nghiệm với độ xác 10 -2 a) x3 + 3x2 + = b) x4 – 3x + = Lời giải : a) x3 + 3x2 + = Tìm khoảng phân ly nghiệm phương trình: f (x) = x3 + 3x2 + x3 = - 3x2 Đặt y1 = x3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt y2 = - 3x2 y -2   1 -1 c om -2 Từ đồ thị ta có: ng f (-2 ) = - < co Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1 ] f (-1 ) = > g th an Vì f (-2 ) f (-1 ) < * Áp dụng phương pháp dây cung ta có: Do f (-2 ) = - < => chọn xo = -2 du on f ( x ).(b  a) x1 = xo – f (b0)  f (a ) = -1.1 cu u f (x1) = 0.036 > => Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1.1 ] f ( x1 ).(b  a) x2 = x1 – f (b)  f (a) = -1.14 f (x2) = 0.098 > => Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1.14 ] f ( x ).(b  a ) x3 = x2 – f (b)  f (a ) = -1.149 f (x3) = 0.0036> => Khoảng phân ly nghiệm [ - ; -1.149 ] x4 = -1.152 => f (x4) = 0.015> => Khoảng phân ly nghiệm [- ; -1.152 ] x5 = -1.1534 CuuDuongThanCong.com => f (x5) = 0.0054 > https://fb.com/tailieudientucntt x => Khoảng phân ly nghiệm [- ;-1.1534 ] x6 = -1.1539 => f (x6) = -1.1539 < => Khoảng phân ly nghiệm [- ;-1.1539 ] Ta chọn nghiệm gần  = - 1.53 Đánh giá sai số: |  - x6 |  | f m( x) |  x € [-2 ;-1] |  - x6 |  1.36 10 -3 < 10 -2 ’ với m số dương : < m  f (x) * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) ta có: c om f ’(-2) = 19 > f ’’(-2) = -12 < => f ’(-2) f ’’(-2) < nên ta chọn x0 = -2 f (x ) co = -1.181081081 du on g x2 = x1 - f ' ( x1 ) = -1.4 an f (x ) x1 = x0 - f ' ( x0 ) ng x0 = -2 ta có: th Với f (x ) x3 = x2 - f ' ( x2 ) f (x ) = -1.15417557 cu u x4 = x3 - f ' ( x3 ) = -1.154525889 Ta chọn nghiệm gần  = - 1.154 Đánh giá sai số: |  - x4 |  | f m( x) |  x € [-2 ;-1] |  - x4 |  1.99 10 - < 10 -2 ’ với m số dương : | f (x) |  m > b) x4 – 3x + = Tìm khoảng phân ly nghiệm : f (x) = x4 – 3x + f’(x) = 4x3 - f’(x) = => => x = CuuDuongThanCong.com 3 = 0.75 https://fb.com/tailieudientucntt Bảng biến thiên: X -∞ f (x) -∞ 0.75 f (x) +∞ +∞ - 1.044 Ta có : f (0) = > Khoảng phân ly nghiệm [ ; ] ; [ 1; ] c om f (1) = -1< f (2) = 11> f ( x ).(b  a) = 0.5 an x1 = xo – f (b0)  f (a ) co Do f (1 ) = - < => chọn xo = ng * Áp dụng phương pháp dây cung khoảng [ ; ] ta có: th f (x1) = - 0.4375 Khoảng phân ly nghiệm [ 0; 0.5 ] g du on x2 = x1 f ( x1 ).(b  a) – = 0.3478 f (b)  f (a) f (x2) = - 0.0288 Khoảng phân ly nghiệm [ ; 0.3478] u f ( x ).(b  a ) – = 0.3380 f (b)  f (a ) cu x3 = x2 f (x3) = - 0.00095 < => Khoảng phân ly nghiệm [ ; 0.3380] x4 = 0.3376 => f (x4) = 0.0019 > => Khoảng phân ly nghiệm [0.0019; 0.3380] Ta chọn nghiệm gần Đánh giá sai số: x €  = 0.3376 |  - x4 |  | f m( x) | ’ với m số dương : < m  f (x) |  - x4 |  1.9.10 - < 10 -2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) khoảng [ ; ] ta có: f ’(1) = > f ’’(1) = 12 > => f ’(1) f ’’(1) > nên ta chọn x0 = x0 = ta có: f (x ) x2 = x1 - f ' ( x1 ) f (x ) x3 = x2 - f ' ( x2 ) = 0.3333 = 0.33766 = 0.33766  = 0.3376 ’ với m số dương : | f (x) |  m > th an |  - x3|  | f m( x) | |  - x3|  10 - < 10 -2 g x € [ ; ] co Ta chọn nghiệm gần Đánh giá sai số: c om f (x ) x1 = x0 - f ' ( x0 ) ng Với du on * Áp dụng phương pháp dây cung khoảng [ 1; ] ta có: Do f (1 ) = - < => chọn xo = u f ( x ).(b  a) cu x1 = xo – f (b0)  f (a ) = 1.083 f (x1) = - 0.873 Khoảng phân ly nghiệm [1.083; 2] f ( x1 ).(b  a) x2 = x1 – f (b)  f (a) = 1.150 f (x2) = - 0.7 Khoảng phân ly nghiệm [1.150; 2] f ( x ).(b  a ) x3 = x2 – f (b)  f (a ) = 1.2 f (x3) = - 0.526< => Khoảng phân ly nghiệm [1.2 ; 2] x4 = 1.237 => f (x4) = -0.369 < CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt => Khoảng phân ly nghiệm [1.237 ; 2] x5 = 1.2618 => f (x5) = -0.25 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2618 ; 2] x6 = 1.2782 => f (x6) = - 0.165 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2782 ; 2] x7 = 1.2889 => f (x7) = - 0.1069 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2889; 2] x8 = 1.2957 => f (x8) = - 0.068 < => Khoảng phân ly nghiệm [1.2957; 2] => f (x9) = - 0.0439 < c om x9= 1.3000 x10= 1.3028 => f (x10) = - 0.027 < ng => Khoảng phân ly nghiệm [1.3; 2] th |  - x10 |  | f m( x) | ’ với m số dương : < m  f (x) g Đánh giá sai số:  = 1.30 an Ta chọn nghiệm gần co => Khoảng phân ly nghiệm [1.3028; 2] |  - x10 |  -2.8.10 - < 10 -2 du on x € cu u * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) khoảng [ 1; ] ta có: f ’(1) = > f ’’(1) = 12 > => f ’(1) f ’’(1) > nên ta chọn x0 =2 Với x0 = ta có: f (x ) x1 = x0 - f ' ( x0 ) f (x ) x2 = x1 - f ' ( x1 ) f (x ) x3 = x2 - f ' ( x2 ) CuuDuongThanCong.com = 1.6206896 = 1.404181 = 1.320566 https://fb.com/tailieudientucntt f (x ) x4 = x3 - f ' ( x3 ) f (x ) x5 = x4 - f ' ( x4 ) = 1.307772 = 1.307486 Ta chọn nghiệm gần Đánh giá sai số:  = 1.30 |  - x5|  | f m( x) | Ta chọn nghiệm gần |  - x4 |  | f m( x) | |  - x4 |  1.9.10 - < 10 -2 ’ với m số dương : < m  f (x) co ng Đánh giá sai số:  = 0.3376 c om |  - x5|  -7.486.10 - 3< 10 -2  x € [ 1; ] x € ’ với m số dương : | f (x) |  m > du on g th an Bài tập 5: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình 2x  x  (1) phương pháp tiếp tuyếnvới độ xác 105 Bài giải: B1:tìm khoảng phân ly Ta tách phương trình (1)thành y1  x y2  x f ( o)  f (0,5)  cu f (o )  u Dựa vào phương pháp đồ thị ta tìm dươc khoảng phân ly :  0; 0,5 f (0,5)  B2: tìm nghiệm phương trình f ,  0; f ,,   f ,  f ,,  nên ta chọn x0  a  x1  x0  f ( x0 ) f ,  0 ( x0 ) x2  0,3024   0,3024 3,30685 0, 02359  0, 3099 3,14521 0, 00002  0,30991 3,14076 0, 00001 x4  0, 30991   0,30991 3,14075 x3  0,3099  Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ phương trình : x= 0,30991 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 89 1611 Đa thức nội suy : p4(x) = 3-9(x+1)+6(x+1)x+5(x+1)x(x-3)+(x+1)x(x-3)(x-6) = 3-9x-9+6x2+6x+5x3-10x2-15x+x4-8x3 +9x2 +18x  p4(x) = x4-3x3 +5x2 – b Tính f(-0,25) = (-0,25)4 - 3(0,25)3 |+5(0,25)2 –b = -5,636719 c om Bài 12 : Cho bảng giá trị hàm số y=sinx 0,1 0,2 0,3 0,4 Y=f(x) 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 ng X co a Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0,1 tính gần sin(0,4) đánh giá sai số giá trị nhận th an b Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x3 =0,4 tính gần sin (0,46) đánh giá sai số g Giải: X Y 0,09983 Y 0,2  Y  Y 0,09884 cu u 0,1 du on a Đa thức nội suy bước với h=0,1 ta có bảng sai phân: -0,00199 0,19867 -0,00096 0,09685 0,3 -0,00295 0,29552 0,09390 0,4 0,38942 Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính: Sai (0,014) = pn(x) [ x=0,1+0,1t] = y0 + t y t (t  1) t (t  1)(t  2) +  y0 +  y0 1! 2! 3! Theo ta có : x=0,14  0,1+0,1t =0,1  => t=0,4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Thay vào ta có : Sin(0,14) = 0,09983 + 0,4.0,09884 + + 0,4(0,4  1) (0,00199) 0,4(0,4  1)(0,4  2) (-0,00096) = 0,13954336 Đánh giá sai số : Ta có :  (x) = (x-0,1)(x-0,2)(x-0,3)(x-0,4)  ( 0,14) = (0,14  0,1)( 0,14  0,2)( 0,14  0,3)(0,14  0,4) = 0,00009984 => sin(0,14)  0,13954336  0,00009984 =4,16.10-6 4! => Nghiệm gần sin(0,14) = 0,13954  10-5 Y 0,4 0,38942  1Y  2Y 0,0939  3Y ng X c om b Lập bảng sai phân với đa thức nội suy lùi 0,29552 -0,00096 -0,00199 0,09884 th 0,19867 du on g 0,2 0,09686 an 0,3 co -0,00295 0,1 0,09983 u Dựa vào công thức sai phân lùi ta có cu Sin(0,46) = p(x) ; [x= 0,4 + 0,1t = người nhập tài liệu Sai số tính theo cơng thức (4.7) trênta có : sin(0, 46)  0, 4439446  3,8.10 5 Ta quy tròn số0,4439446 đến chữ số lẻ thập phân : sin(0, 46)  0, 44394  5.105 Bài 13 Cho bảng giá trị: X Y 7,32 8,24 9,20 10,19 10 11,01 12 12,05 Hãy tìm cơng thực nghiệm có dạng y = ax + b N=6 Xi CuuDuongThanCong.com Yi 7,32 8,24 X2i 16 xi.yi 14,64 32,96 https://fb.com/tailieudientucntt 10 12 42 Tổng 9,20 10.9 11,01 12,05 58,01 32 64 100 144 364 55,20 81,52 110,1 144,6 439,02 Giá trị công thức na+b∑xi =∑yi a∑xi +b∑xi2 = ∑xiyi 6a  42b  58,01 42a  346b  439,02 a  6,4 =>  b  0,5 Ta có hệ phương trình :  a  6,373333338 b  0,470714285 =>  c om Vậy công thức nghiệm có dạng: y=6,4x +0,5 Bài 13: Cho bảng giá trị xi2 10 12 42 16 36 64 100 144 364 du on g th xi yi xi yi 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05 58,01 14,64 32,96 55,2 81,52 110,1 144,6 439,02 cu u  an Ta lập bảng số: n= 10 11,01 co ng x y= f(x) 7,23 8,24 9,20 10,19 Hãy tìm cơng thức thực nghiệm có dạng y = ax + b Áp dụng cơng thức: Thay số ta có hệ phương trình: 6a  42b  58,01 a  6,373333333  6,4   42a  364b  439,02 b  0,470714285  0,5 Vậy cơng thức thực nghiệm cần tìm y  0,5  6,4 x Bài 14: Cho bảng giá trị CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 12 12,05 x 0,78 1,56 2,34 3,12 y= f(x) 2,50 1,20 1,12 2,25 Hãy tìm cơng thức thực nghiệm có dạng y = a + bx + cx2 3,81 4,28 Ta lập bảng số: n=  xi xi2 xi3 xi4 yi xi yi xi2 yi 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 11,61 0,6084 2,4336 5,4756 9,7344 14,5161 32,7681 0,474552 3,796416 12,812904 30,371328 55,306341 102,761541 0,37015056 5,92240896 29,98219536 94,75854336 210,7171592 341,7504574 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 11,35 1,95 1,872 2,6208 7,02 16,3068 29,7696 1,521 2,92032 6,13312 21,9024 62,128908 94,605748 x a  x a i i c om Áp dụng công thức: n.a + b  xi  c. x i2   y i  b. xi2  c  xi3   xi y i  b. xi3  c  xi4   xi2 y i ng Ta có hệ phương trình : du on g th a  5,022553658    b  4,014714129  4 c  1,002440262   an co 5a  11,61b  32,7681c  11,35  11,61a  32,7681b  102,761541c  29,7696 32,7681a  102,761541b  341,7504574c  94,605748  u Vậy công thức thực nghiệm cần tìm : y   x  x cu CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 15: Cho bảng giá trị x 50 55 60 y=f(x) 1,6990 1,7404 1,7782 Tính gần y’(55) y’(60) hàm số y = lgx So sánh với kết tính đạo hàm hàm số y = lgx Bài giải Ta sử dụng công thức nội suy Niwtơn tiến bước đều: f’(x)= ∆ − ∆ + ∆ − ∆ +⋯ (1) Để tính gần đạo hàm Lập bảng sai phân: x y y0 y0 50 1,6990 > 0,0414 > - 0,0036 55 1,7404 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 60 1,7782 > 0,0378 Thay vào công thức (1) ta được: +) f’(55)= 0,0414 − (−0,0036) = 0,00864 +) f’(60)= 0,0378 − (−0,0036) = 0,00792 *) So sánh với kết tính đạo hàm hàm số y = lgx - Tính đạm hàm đúng: Ta có: = ( ) =  (55) = (lg55)’ = = 0,007896 c om  (60) = ( 60) = = 0,007238 - So sánh: +) | (55) − ( 55)′| = |0,00864 − 0,007896| = 0,000744 +) | (60) − ( 60)′| = |0,00792 − 0,007238| = 0,000682 Bài 16: Cho bảng giá trị ng x 0,11 0,13 0,15 0,17 1,18 y=f(x) 81,818182 69,230769 60,000000 52,941176 50,000000 th y g - 629,37065 - 461,53845 - 352,9412 - 294,1176 419,805 2714,93125 1960,786667 y 4 y -24681,22917 137119,1073 - 15082,89166 cu Ta có: 2 y u du on Lập bảng tỉ hiệu: y x 0,11 81,818182 0,13 69,230769 0,15 60,000000 0,17 52,941176 0,18 50,000000 an co Hãy tính y’(0,11) Kết làm trịn đến chữ số lẻ thập phân Bài giải:  P4 ( x) = 81,818182– 629,37065 (x - 0,11) + 4195,805(x - 0,1)(x – 0,13) – - 4681,2291 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) + + 137119,1073 (x- 0,11)(x- 0,13)(x- 0,15) (x- 0,17)  P4 ( x ) = 137119,1073x4 - 101467,9292 x3 + + 29809,57226 x2- 4338,14816x+ 313,9906839  P'4 ( x ) = 548476,4292 x3 – 304403,7876 x2 + 59619,144452x- 4338,148167 Vậy ta có y / (0,11) = P’4(0,11)= 548476,4292 (0,11)3 – 304403,7876(0,11)2 + 59619,144452 (0,11)- 4338,148167 = -733,3059747 /  y (0,11) = P’4(0,11)= -733,3059747 Câu 17 Cho bảng giá trị 0,12 x y 8,333333 0,15 6,666667 0,17 5,882353 0,2 5,000000 Hãy tính y / (0,12) Kết làm tròn tới chữ số thập phân CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 0,22 4,545455 Giải: Lập bảng tỉ hiệu: y 8,333333 6,666667 5,882353 5,000000 4,545455 x 0,12 0,15 0,17 0,2 0,22 y 2 y - 55,555533 326,796666 - 39,215700 - 29,411767 - 22,727250 196,078660 133,690340 y 4 y -1633,975075 7427,133610 - 891,261714  P4 ( x) = 8,333333 – 55,555533 ( x -0,12) + 326,796666( x  0,12)( x  0,15)  1633,975075(x - 0,12) ( x  0,15) ( x -0,17) + 7427,133610 ( x  0,12) ( x  0,15) ( x -0,17)( ( x  0,2)  P4 ( x ) = 7427,133610 x  6387,340585x  2173,927294x  365,847435x  30,427706 c om  P4/ ( x)  29708,53444x  19162,02176x  4347,854588x  365,847435 Vậy ta có y / (0,12) = P4/ (0,12)  29708,53444.0,12  19162,02176x  4347,854588x  365,847435 ng = -68,689650 1,02 0,7563321 an co Câu 18 Tính gần y/(1) hàm y = y (x) dựa vào bảng giá trị : 0,98 1,00 x y  y(x) 0,7739332 0,7651977 th Giải: g Theo ta có h = 0,02 f ( x  h)  f ( x ) h f (1,02)  f (1,00) 0,7563321 0,7651977   0,44328 Thay số ta có: y / (1)  f / (1)  0,02 0,02 Vậy y / (1)   0,44328 cu Câu 19 u du on Áp dụng cơng thức Taylo, ta có: f / ( x0 )  1,1 Cho tính phân: 0,1 dx (1  x) a Tính gần tích phân cơng thức hình thang tổng qt chia đoạn 0,1;1,1 thành 10 đoạn b Đánh giá sai số giá trị gần tìm Giải: a Theo ta có h  b  a 1,1  0,1   0,1 n 10 Lập bảng giá trị : i CuuDuongThanCong.com x y 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,510204081 0,308641975 0,206611570 0,147928994 0,111111111 https://fb.com/tailieudientucntt 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 10 1,1 Áp dụng cơng thức hình thang IT = 0,086505190 0,069252077 0,056689342 0,047258979 0,040000000 0,034293552 h y  y10  2 y1  y  y3  y  y5  y6  y  y8  y9  0,1 Thay số ta có: IT =  0,510204081 +0,034293552 + 2(0,308641975 + 0,206611570 + + 0,147928994 +0,111111111+ 0,086505190 + 0,069252077 + 0,056689342 + 0,047258979 + 0,040000000 )  = 0,134624805 Vậy IT = 0,134624805 M h b  a ; Với M  Max f // ( x ) , với x  a, b  12 / c om b Đánh giá sai số, ta có: I  I T  ng    32x  1 /  f ( x )   f ( x )  Ta có  (1  x)   (1  x) (1  x)   /   32 x    32(1  x )  16(1  x) (32 x  8) 384 x  96    f ( x)     (1  x ) (1  x)  (1  x)  co // 384.0,1  96  24,98958767 (1  4.0,1) an // ( x ) = f (0,1)  th Ta nhận thấy, Max f // du on g 24,98958767.0,12.(1,1  0,1)  0,020824656  Sai số I  I T  12 3, Câu 20 Cho tích phân: 2 1 x dx 1 x cu u a Tích gần tích phân cơng thức Símson tổng qt chia đoạn 2;3,5 thành 12 đoạn b Đánh giá sai số giá trị vừa tìm Giải: a Theo ta có h  b  a 3,5    0,125 n 12 Lập bảng giá trị : i CuuDuongThanCong.com x y 2,125 2,25 2,375 2,5 2,625 2,75 2,875 3,0 -3 -2, 777777778 -2,6 -2,454545455 -2, 333333333 -2,230769231 -2,142857143 -2,066666667 -2 https://fb.com/tailieudientucntt 10 11 12 3,125 3,25 3,375 3,5 -1,941176471 -1, 888888889 -1,842105263 -1,8 Áp dụng cơng thức Símson IS   h  y0  y12  4( y1  y3  y5  y7  y9  y11 )  2( y  y4  y  y8  y10 )  0,125   1,8  4.(-2, 777777778 - 2,454545455 - 2,230769231 - 2,066666667 - 1,941176471 - 1,842105263)  2.( -2,6 -2, 333333333 -2,142857143 -2 -1, 888888889)  = = -3.332596758 Vậy I S  -3.332596758 c om M h (b  a ) 180 Trong M  Max f //// ( x) với a  x  b b Đánh giá sai số: I  I S  Ta có: ng 1 x 4x   12 x  24 x  20 // ///  f / ( x)   f ( x )   f ( x )  1 x  2x  x (1  x  x ) (1  x  x ) 64.(1  x)  f //// ( x )  (1  x  x ) Ta nhận thấy: Max ( x)  f //// (2)  64  I  I S  64.0,1254.(3,5  2)  0,0001302083333 180 th //// g f an co f ( x)  u Bài 21 du on CHƯƠNG 6: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN cu Dùng cơng thức Simpson tổng qt để tính gần tích phân: Chia [0;1] thành 10 đoạn nhau, suy h = 1  0,1 Ta tính bảng sau : Thứ tự CuuDuongThanCong.com  x 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 f(x) = x3  1,00000 0,99950 0,99602 0,98677 0,96946 0,94281 0,90685 0,86290 https://fb.com/tailieudientucntt x 1 dx 10 0,8 0,9 1,0 0,81325 0,76051 0,70711 Áp dụng công thức Simpson : Is = h [ y + y + 4( y1+ y3+ y5+ y7+ y9 )+ 2( y2+ y4+ y6+ y8 ) 10 0,1 [1 + 0,70711+ 4(0,99950 + 0,98677 + 0,94281 + 0,86290 + 0,76051)+ 2(0,99602 + 0,96946 + 0,90685 + 0,81325 ) Is = 0,90961 c om Is = Bài 22 0,8 ng Dùng công thức Simpson tổng quát để tính gần tích phân co Chia [-0,8; 0,8] thành 16 đoạn nhau, suy h = cu u th du on 10 11 12 13 14 15 16 x g Thứ tự an Ta tính bảng sau : - 0,8 - 0,7 - 0,6 - 0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 f(x) = 0,8  (0,8) = 0,1 16 sin x  cos x 0.934412 0.855826 0.762860 0.656932 0.539743 0.413236 0.279557 0.141009 0.000141 0.141009 0.279557 0.413236 0.539743 0.656932 0.762860 0.855826 0.934412 Áp dụng công thức Simpson : CuuDuongThanCong.com  0,8 sin2 x dx 1 cosx https://fb.com/tailieudientucntt Is = h [y +y + 4(y1+y3+y5+ y7+ y9+ y11+y13+ y15)+ 2(y2+ y4+ y6+ y8+ y10+ y12+ 16 y14 ) Thay số tính toán ta kết Is = 0,824459 Bài 23 0, Dùng cơng thức Simpson để tính gần tích phân ln(cos x) 0,5 ln(1  cos x)dx Chia [-0,5;0,5] thành đoạn ta có h =0,125 x ln(cos x) ln(1  cos x) - 0,207281 - 0,109497 - 0,046615 - 0,011365 0,000000 - 0,011365 - 0,046615 - 0,109497 - 0,207281 Is = du on g th an - 0,5 - 0,375 - 0,250 - 0,125 0,000 0,125 0,250 0,375 0,5 Áp dụng công thức Simpson : ng f(x) = co Thứ tự c om Ta tính bảng sau : h [ y + y + 4( y1+ y3+ y5+ y7 )+ 2( y2+ y4+ y6 ) u Thay số tính tốn ta kết Is = - 0,065330 cu Bài 24: Cho tốn Cauchy: y’= y2 - x2 Hãy tìm nghiệm gần phương pháp Euler [1,2], chọn bước h= 0,1 Bài giải: Theo đầu ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = Áp dụng cơng thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi) Ta tính U1= U0+ hf(x0 ; y0) = 1+ 0,1(12-12)= U2= U1+ hf(x1 ; y1) = 1+ 0,1(12-1,12)= 0,979 U3= U2+ hf(x2 ; y2) = 1+ 0,1(0,9792-1,22)= 0,9308441 U4= U3+ hf(x3 ; y3) = 1+ 0,1(0,93084412-1,32)= 0,848491173 U5= U4+ hf(x4 ; y4) = 1+ 0,1(0,8484911732-1,42)= 0,724484901 U6= U5+ hf(x5 ; y5) = 1+ 0,1(0,7244849012-1,52)= 0,551972738 U7= U6+ hf(x6 ; y6) = 1+ 0,1(0,5519727382-1,62)= 0,326440128 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt U8= U7+ hf(x7 ; y7) = 1+ 0,1(0,3264401282-1,72)= 0,048096444 U9= U8+ hf(x8 ; y8) = 1+ 0,1(0,0480964442-1,82)= - 0,275672228 U10= U9+ hf(; y9) = 1+ 0,1[(- 0,275672228)2-1,92) = - 0,629072711 U11= U10+ hf(x10 ; y10) = 1+ 0,1- 0,629072711)2-22) = - 0,989499463 Vậy nghiệm gần cần tìm là: U11= α =- 0,989499463 Câu 25 Cho toán Cauchy y /  y  2x y c om y(0) = 1,  x  Hãy tìm nghiệm gần phương pháp Euler cải tiến ( lặp lần),chọn bước h = 0,2 so sánh kết với nghiệm Giải: Theo ta có u  y(0)  1; h  0,2 Vì xi  x ih , ta có bảng giá trị x : 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Theo phương pháp Euler cải tiến ( Phương pháp hình thang) u i(01)  u i  hf ( x i , u i ) (1) h f ( x i , u i )  f ( x i 1 , u ( m ) i 1 )  (2)  u  hf ( x , u )   0,2(1  )  1,2  du on g u i(m11)  u i  Từ (1) (2) ta có u1( 0) th an co ng x0 x1 x2 x3 x4 x5  2.0   2.0,2     0,11    = 1,186667   1,2    1,2    2.0,2 u 2( 0)  u1(1)  0,2 f ( x1 , u1(1) )  1,186667  0,2 1,186667    1,356585 1,186667 h u 2(1)  u1(1)  f ( x , u1(1) )  f ( x , u 2(0) )    2.0   2.0,4   1,186667  0,11,186667    1,356585    1,348325 1,186667   1,356585   h f ( x , u )  f ( x , u1( 0) )   cu u u1(1)  u   2.0,4   u 3( 0)  u 2(1)  0, f ( x , u 2(1) )  1,348325  0, 21,348325    1,499325 1,348325   h u 3(1)  u 2(1)  f ( x , u 2(1) )  f ( x , u 3( 0) )    2.0,4   2.0,6   1,348325  0,11,348325    1, 499325    1,493721 1,348325   1,499325    2.0,6   u 4( 0)  u 3(1)  0, f ( x , u 3(1) )  1,493721  0,21,493721    1,631793 1,493721   CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt h f ( x , u 3(1) )  f ( x , u 4( 0) )    2.0,6   2.0,8    1,493721  0,11, 493721    1,631793     1,627884 1,493721   1,631793    u 4(1)  u 3(1)   2.0,8   u 5( 0)  u 4(1)  h f ( x , u 4(1) )  1,627884  0,21,627884    1,756887 1,627884   h u 5(1)  u 4(1)  f ( x , u 4(1) )  f ( x , u 5(0) )    2.0,8   2.1    1,627884  0,11,627884    1,756887     1,754236 1,627884   1,756887     c om Vậy nghiệm gần cần tính u5(1) =   1,754236 Câu 26 Cho toán Cauchy y /  x  y y(0)= Hãy tìm nghiệm gần phương pháp Euler cải tiến với độ xác đến chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị y(0,1) chọn bước h = 0,05 Giải: Theo bước h = 0,05 f(x,y) = x + y Theo công thức Euler cải tiến ta có: h f ( x i , u i )  f ( x i 1 , u i(m1) ) (1)  u i  hf ( xi , u i ) (2) u i(01)  ng  u i(m11) u i  co Từ (1) (2) ta có: u1( 0)  u  hf ( x0 , u )   0,05(0  1)  1,05    du on u1 = 1,0526 Tính tiếp cho u , ta có: g th  an h 0,05 f ( x , u )  f ( x1 , u1( 0) )   0  1  0,05  1,05  1,0525 2 h 0,05 u1( ) u  f ( x , u )  f ( x1 , u1(1) )   0  1  0,05  1,0525  1,05256 2 Ta thấy u1( 2) - u1(1) = 1,05256 – 1,0525 = 0,00006 < 10-4 đạt yêu cầu xác, lấy gần u1(1) u      cu u u 2( 0)  u1  h f  x1 , u1   1,0526  0,05(0,05  1,0526)  1,1077 h 0,05 u 2(1) u  f ( x , u1 )  f ( x , u 2( 0) )  1,0526  0,05  1,0526  0,1  1,1077  1,11036 2 h 0,05 u 2( 2) u  f ( x , u1 )  f ( x , u 2(1) )  1,0526  0,05  1,0526  0,1  1,11036  1,11042 2 Cũng với u1 ta có u 2( 2)  u2(1) = 0,00006 du on g th an Bài tập 5: Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình 2x  x  (1) phương pháp tiếp tuyếnvới độ xác 105 Bài giải: B1 :tìm khoảng phân ly Ta tách phương trình (1)thành y1  x y2  x f