Giới thiệu về tập ngẫu nhiên

đại học quốc gia hà nội trờng đại học khoa học tự nhiên Trần Thị Hải Lý Giới thiệu tập ngẫu nhiên luận văn thạc sĩ khoa học Hà Nội 2014 đại học quốc gia hà nội trờng đại học khoa học tự nhiên Trần Thị Hải Lý Giới thiệu tập ngẫu nhiên Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mà số: 60.46.15 luận văn thạc sĩ khoa học Ngời hớng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh Mục lục Mở đầu 1 Biến ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên 1.1 Kiến thức xác suất 1.2 Một vài tập ngẫu nhiên thèng kª 1.2.1 MiÒn tin cËy 1.2.2 Thống kê Bayes mạnh 1.2.3 Phân tích liệu thô 1.2.4 Th«ng tin dùa trªn nhËn thøc 10 1.2.5 LÊy mÉu x¸c suÊt 11 C¸c tËp ngÉu nhiên hữu hạn 14 2.1 Tập ngẫu nhiên phân bè cđa tËp ngÉu nhiªn 14 2.2 Các quan sát có giá trị tập 23 2.3 X¸c suất không xác 32 2.4 Phân bố entropy cực đại 36 2.5 Tập đóng ngẫu nhiên tôpô liên quan 44 TËp ngÉu nhiªn vấn đề liên quan 47 3.1 Mối quan hệ 1-1 hàm phân bố hàm mật ®é 47 3.2 TÝch ph©n Choquet 59 3.3 Đạo hàm Radon - Nikodym 66 KÕt luËn 71 Tµi liệu tham khảo 71 Mở đầu Lý thuyết tập ngẫu nhiên tơng đối Choquet đà giới thiệu vài ý tởng then chốt tập ngẫu nhiên vào năm 1953, Kendall năm 1974 Matheron đà cung cấp sở móng cho lý thuyết vào năm 1975 Tài liệu lý thuyết tập ngẫu nhiên ứng dụng trở nên có ý nghĩa kể từ Mặc dù có khó khăn trớc mắt, không tính phức tạp phân tích đợc định giá trị tập, mà thiếu thốn mô hình tập ngẫu nhiên dễ xử lý, nhiên mà lý thuyết tập ngẫu nhiên không đợc nhiều tác giả quan tâm Trong luận văn này, muốn giới thiệu tổng quát tập ngẫu nhiên nghiên cứu tập ngẫu nhiên không gian hữu hạn Dới hớng dẫn TS Nguyễn Thịnh, luận văn gồm chơng: Chơng 1: Trình bày khái niệm lý thuyết xác suất mà ta cần đến để thảo luận tập ngẫu nhiên chơng sau Chỉ tồn tập ngẫu nhiên, đặc biệt lý thuyết thống kê toán học Chơng 2: Nghiên cứu trờng hợp tập ngẫu nhiên không gian hữu hạn Đa mô hình CAR cho biến ngẫu nhiên dựa vào lý thuyết tập ngẫu nhiên Đề cập đến toán entropy cực đại liên quan cho tập ngẫu nhiên Trình bày tập đóng ngẫu nhiên tôpô thích hợp cho lớp tập ®ãng cđa Rd Ch¬ng 3: ChØ mèi quan hƯ 1-1 hàm phân bố hàm mật độ tập ngẫu nhiên Trình bày tích phân Choquet đạo hàm Radon - Nikodym hàm tập không cộng tính Luận văn đợc hoàn thành dới hớng dẫn TS Nguyễn Thịnh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy, thầy đà giao đề tài có định hớng đắn cho trình làm luận văn Cảm ơn thầy, cô Khoa Toán - Cơ - Tin học, trờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đà động viên, quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trờng Cuối cùng, mong nhận đợc ý kiến đóng góp quý báu thầy, cô giáo bạn học viên để luận văn đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 01 năm 2014 Tác giả Trần Thị Hải Lý Chơng Biến ngẫu nhiên tập ngẫu nhiên 1.1 Kiến thức xác suất Phần trình bày khái niệm lý thuyết xác suất mà ta cần đến để thảo luận tập ngẫu nhiên chơng sau Định nghĩa 1.1.1 (Mô hình toán học cho tợng ngẫu nhiên) Mô hình toán học cho phép thử ngẫu nhiên không gian xác suất ( , A, P ), đó: ) tập, biểu diễn không gian mẫu phép thử ) A -đại số (biểu diễn biến cố), tức : (i) ∈ A (ii)NÕu A ∈ A th× Ac ∈ A (iii) CỈp NÕu An ∈ A víi n ≥ S An A n1 (, A) đợc gọi không gian đo đợc ) P : A [0, 1] đợc gọi độ đo xác suất, tức lµ : i) P (Ω) = ii)NÕu {An, n 1} dÃy (hữu hạn vô hạn đếm đợc) phần tử rời đôi mét (Ai ∩Aj = ∅ víi iƒ=j ) th× P( [ n≥ A n) = n≥ Σ P (An) TÝnh chất đợc gọi - cộng tính P Định nghĩa 1.1.2 (Phần tử ngẫu nhiên) xạ cho (B(R)) xác A, tức là,Một B biến , X1nhiên (B) A, Cho ( ,tới A,RPcách ) làkhác, mộtXkhông gian ngẫu X mộttừánh nói X ánh xạ suất A - B(R) - đoB(R) đợc Trong B(R) - trờng Borel đợc sinh bëi c¸c tËp më cđa R, X−1(B) = {ω : X() B} Định nghĩa 1.1.3 (Luật xác suất phần tử ngẫu nhiên) Cho (, A, P ) không gian xác suất (U, U ) không gian đo xác xạ suất Ulà A đợc định nghĩa Pcủa = PX ®ỵc X Ánh X : Ω → U U ®o đợc Luật xác suất X độ đo Định nghĩa 1.1.4 (Hàm phân bố biến ngẫu nhiên) nó: PCho PX biến B(R) nhiên Hàm biến ngẫu nhiên X = hàmsuất : (,bố A,của P )bởi: (R, B(R)) vàXluật xác F : R ngẫu [0, 1] đợcXphân định nghĩa F (x) = PX((−∞, x]) TÝnh chÊt Hµm F nµy tháa m·n tính chất sau: (i) F đơn điệu không giảm, tức là, x y F (x) ≤ F (y), (ii) lim F (x) = F (x) = ; x3+ lim x\−∞ ∞ (iii) tức là, với x F (x+), có giới hạn trái x R F liên tục phải R, R, F (x) = lim F (y) = y\x Tất hàm R tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (i), (ii), (iii) ë hàm phân bố độ đo xác suất B(R) Nói cách khác, có song ánh hàm thỏa mÃn tính chất (i), (ii), (iii) với độ đo xác suất B(R) Định nghĩa 1.1.5 (Hàm phân bố véc tơ ngẫu nhiên) Cho X : (, A, P ) → (Rd, B(Rd)) (X = (X1, · · · , Xd) véc tơ ngẫu nhiên d chiều) Hàm phân bè F cđa X lµ hµm: F : Rd → [0, 1] d x1, · · · , Xd ≤ xd) = PX −1 ((−∞, F (x)∀x == P (X x]), (x1,≤· x) · ·= , xPd) (X ∈1R≤ TÝnh chất Từ tính chất P, F tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: (i) ≤ F (x) ≤ 1, (ii) lim F (x1, · · · , xd) = víi Ýt nhÊt mét j đó, x j lim xj + F (x1, · · · , xd) = víi tÊt c¶ j = 1, 2, · · · , d (iii) F liên tục phải Rd, tøc lµ lim F (y) = F ∀(x), x Rd y\x 1.2 Một vài tập ngẫu nhiên thống kê Phần tồn tập ngẫu nhiên, đặc biệt lý thuyết thống kê toán học 1.2.1 Miền tin cậy Xét mô hình thèng kª tham sè hãa {f (x, θ) : x ∈ X ⊆ Rm , θ ∈ Ⓢ ⊆ Rd }, tham số mà ta quan tâm Khi đó, ta có định nghĩa đạo hàm Radon - Nikodym trờng hợp hai độ đo không cộng tính Định nghĩa 3.3.25 Cho à, : U [0, ] hai hàm tập tăng Nếu tồn hàm U - đo đợc f : U [0, ∞) cho ∀A ∈ U ∫ µ(A) = ∞ ν({u : f (u) ≥ t} ∩ A)dt th× f đợc gọi đạo hàm Radon - Nikodym µ ®èi víi ν, vµ ta viÕt dµ f =fdν, d dà = Trong trờng hợp cổ điển, dà = f d ,