Một số kết quả về tính bị chặn của tích phân dao động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS V NHT HUY Mửc lửc M Ưu Kián thực chuân b 1.1 PhƠn hoÔch ỡn v 1.2 Tẵch chêp 1.3 Khæng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn) 1.4 Ph²p bi¸n êi Fourier 1.4.1 Ph²p bi¸n êi Fourier khæng gian c¡c h m gi£m 1.4.2 4 8 nhanh S (Rn) Bi¸n êi Fourier khỉng gian L1(Rn) 13 Ănh giĂ tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger 14 2.1 Ănh giĂ cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ëng 14 2.2 ¡nh gi¡ cên trản cừa tẵch phƠn dao ởng 22 ìợc lữủng chuân cừa toĂn tỷ tẵch phƠn dao ởng 26 3.1 Bờ à 26 3.2 Tẵch phƠn dao ëng vỵi h m pha lai a thùc 30 Kát luên 40 T i liằu tham khÊo 40 Lới cÊm ỡn Trữợc trẳnh b y nởi dung chẵnh cừa luên vôn, tổi xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt cừa mẳnh tợi TS Vụ Nhêt Huy, vẳ sỹ giúp ù, ch bÊo tên tẳnh, nhỳng lới ởng viản vổ ỵ nghắa cừa ThƯy suốt quĂ trẳnh tổi ho n th nh luên vôn tốt nghiằp Tổi cơng xin ch¥n th nh c¡m ìn sü gióp ï cõa c¡c th¦y gi¡o, cỉ gi¡o khoa To¡n - Cỡ - Tin hồc, trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản - Ôi hồc Quốc gia H Nởi v Khoa Sau Ôi hồc,  nhiằt tẳnh truyÃn thử kián thực v tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi ho n th nh khâa Cao håc Tỉi xin gûi líi c£m ìn án gia ẳnh, bÔn b  luổn ởng viản, khuyán khẵch, giúp ù tổi rĐt nhiÃu suốt thới gian nghiản cựu v hồc têp Mc dũ  cố gng rĐt nhiÃu v nghiảm túc quĂ trẳnh nghiản cựu mợi l m quen vợi cổng tĂc nghiản cựu khoa hồc v cỏn hÔn chá và thới gian thỹc hiằn nản luên vôn khổng th trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt TĂc giÊ kẵnh mong nhên ữủc ỵ kián õng gõp cừa cĂc thƯy cổ v cĂc bÔn luên vôn ữủc ho n thiằn hỡn H Nởi, nôm 2019 Nguyạn Th XƠm M Ưu Tẵch phƠn dao ởng ¢ thu hót nhi·u sü quan t¥m cõa c¡c nh ToĂn hồc v cĂc nh Vêt lỵ tứ xuĐt hi»n cỉng tr¼nh Th²orie Analytique de la Chaleur cõa Joseph Fourier v o nôm 1822 NhiÃu b i toĂn Lỵ thuyát phữỡng trẳnh Ôo h m riảng, hẳnh hồc Ôi số, lỵ thuyát xĂc suĐt, lỵ thuyát số; cĂc b i toĂn và quang hồc, Ơm hồc, cỡ hồc lữủng tỷ, Ãu cõ th ữa và viằc nghiản cựu cĂc tẵch phƠn dao ởng Tẵch phƠn dao ởng  v ang ÷đc sû dưng nhi·u ùng dưng kh¡c v thu hút ữủc nhiÃu sỹ quan tƠm tứ cĂc nh nghiản cựu [3-6] NhiÃu nh nghiản cựu  rĐt nộ lỹc ữợc tẵnh trỹc tiáp giĂ tr tẵch phƠn dao ởng v tốc suy giÊm cừa chuân cừa Tẵch phƠn dao ởng Fourier (xem [3, 5, 6] ) Ngo i phƯn m Ưu, kát luên v t i liằu tham khÊo, luên vôn ữủc chia l m ba chữỡng: Chữỡng 1: Kián thực chuân b Chữỡng n y luên vôn trẳnh b y cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa phƠn hoÔch ỡn v, tẵch chêp v mởt số nh lẵ quan trồng cừa php bián ời Fourier trản khổng gian cĂc h m giÊm nhanh S (Rn) v L ( Rn) Ch÷ìng 2: Ănh giĂ tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger Chữỡng n y trẳnh b y và viằc Ănh giĂ cên trản v cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ởng ký d I() = R dx eiP (x)x , v ữợc lữủng cĂc cên trản v cên dữợi n y thổng qua bêc cừa a thực P (x) Nởi dung chữỡng n y ÷đc tham kh£o [4] Ch÷ìng 3: ¡nh giĂ chuân cừa toĂn tỷ dao ởng Trong chữỡng n y, s tẳm hiu tẵch phƠn dao ởng Fourier dÔng: (T)(x) = R eiS(x,y)(x, y)(y)dy, õ S(x, y) l mët h m pha nhªn gi¡ trà thỹc, (x, y) l h m khÊ vi vổ hÔn câ gi¡ compact v λ l mët tham sè Nëi dung ch÷ìng n y ÷đc tham kh£o [3] Chữỡng Kián thực chuân b Trong chữỡng n y, luên vôn trẳnh b y cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa phƠn hoÔch ỡn v, tẵch chêp v php bián ời Fourier Nởi dung chữỡng n y ữủc tham kh£o ch½nh c¡c t i li»u [1], [2] 1.1 PhƠn hoÔch ỡn v nh nghắa 1.1 Cho l mởt têp hủp Rn Mởt hồ ám ữủc c¡c c°p {(Ωj , ∞ j=1 , â Ωj l tªp mð Rn, ϕj l h m thuëc lợp cĂc h m khÊ vi vổ hÔn trản Rn, ữủc gồi l mởt phƠn hoÔch ỡn v cừa têp náu cĂc tẵch chĐt sau ữủc thọa m Ân: Σj=1 ∞ {Ωj } l mët phõ mð cõa Ω, Ω ⊂ Uj∞=1Ωj , ≤ ϕj (x) ≤ 1, x ∈ Ω, j ϕj )} = 1, 2, , ϕj ∈ C0∞ (Rn ), supp ϕj ⊂ΣΩj , j = 1, 2, , ∞j=1 ϕj (x) = 1, x ∈ Ω Ta cán gåi ∞ {ϕj } j=1 l phƠn hoÔch ỡn v ựng vợi phừ m {j } j=1 cừa têp Ta cõ nh lỵ sau và phƠn hoÔch ỡn v nh lỵ 1.1 Cho K l mët tªp compact Rn, hå húu j= l mởt hÔn {Uj}N m cừa NK Khi õ, tỗn tÔi mởt hồ hỳu hÔn cừa h m khÊ vi vổ hÔn {j} mởt phƠn hoÔch ỡn v ựng vợi phừ m cừa têp j= N {Uj} K phừ xĂc nh j=1 Trữợc chựng minh nh lỵ ta x²t h m ρ : Rn → R l h m ÷đc x¡c ành nh÷ sau: ρ(x) := â, C l h¬ng sè cho ǁxǁ Ce 2−1 < 0, , n¸u n¸u ∫ ρ(x)dx = Rn ǁxǁ ǁxǁ ≥ H m ρ cõ cĂc tẵnh chĐt : supp = B[0, 1] = ρ ∈ C0∞ (Rn ), Σ x ∈ Rn ǁxǁ ≤ , ρ(x) ≥ 0, ∫ ρ(x)dx = R 1, v l h m ch¿ phö thuëc v o ρ ǁxǁ ρG(x) Hm ρG Vỵi méi s > 0, x = s−n ρ Σ s cụng cõ cĂc tẵnh chĐt cừa h m G C0∞ (Rn ), G ρG nh÷ sau cư thº l ρ, suppρ ta x²t h m n = B[0, s] = x ∈ R ρG (x)dx = 1, Σ ǁxǁ ≤ s , ρG (x) R ≥ 0, ∫ v ρG l h m ch¿ phö thuëc v o ǁxǁ Vỵi méi h m °t c ∫ ∗ n f ∈ lo L (R ), f (y)ρG (x − y)dy fG (x) = (f ρG ) (x) = Rn Viằc t n y cõ nghắa vẳ f (y)ρG (x y)dy = Rn ∫− − f (x y)ρG (y)dy = Rn M»nh · 1.1 Cho f (i) f ∈ C ∞ (Rn ) (ii) N¸u supp f − ∈ L1 (Rn) lo c G th¼ = K ⊂ Rn f (y)ρG (x y)dy B[X,G] Khi â, ta cõ cĂc kát luên sau fG C0 (Rn ), supp fG ⊂ KG â Σ KG = K + B[0, s] = x ∈ Rn d(x, K) ≤ s (iii) N¸u f ∈ C(Rn ), lim sup |fG (x) − f (x)| = 0, K ⊂ Rn G→0+ x∈K Chùng minh (i) D¹ d ng chùng minh tø ¯ng thùc sau ∫ Dαx (ii)Do supp f n¶n Rn =K α f (y)ρG (x − y)dy Σ = f (y)D ρG (x − y)dy x ∫ R ∫ fG (x) ∫− f (y)ρG (x y)dy = Rn − f (y)ρG (x y)dy Rn Vỵi méi câ ǁx − yǁ > s, ∀y ∈ K M supp ρ = B[0, 1] n¶n 0, ∀y ∈ K Do â, f (x) = x ∈/ K hay supp f K (iii) Dạ thĐy x ∈/ KG G G G − ∫ fG (x) f (x) = Rn G G (f (x − sy) − f (x)) p(y)dy ρG (x − y) = T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y cơng óng ta thay |K(x, y)| dx, M ¡p döng Bê · 3.2 ta suy ǁTλ ǁLp →L2 ≤ C λ log (λ) 2γ1 q v M |K(x, y)|qdy bði (2) ÷đc chùng minh Chùng minh (3) Câ hai kh£ n«ng j1 < γ1 v j2 > γ2, ho°c j1 > γ1 v j2 < γ2 Ta s³ chùng minh cho tr÷íng hđp j1 < γ1 v j2 > , trữớng hủp cỏn lÔi cõ th coi l t÷ìng tü Theo gi£ ành (3.15)-(3.16): |Q (γ1 )(z)| ≥ C1|xj − yj |; |Q (γ )(z)| ≥ C2|xjj1− y |, 2 n¶n ¡p dưng Bê à Vander Corput, ta nhên ữủc |K(x, y)| C ,λ −1 |xj1 − y j1 | −1 , λ −1 |xj2 − y j2 | −1 , k Do â k k k |K(x, y)|q ≤ C ,λ −1 |xj1 − y j1 | −1 , λ −1 |xj2 − y j2 | −1 , γ1 γ1 γ2 (3.25) γ2 B¥y gií ta s³ chùng minh (3.26) |K(x, y)|qdy ≤ Cλ−2β ∫ b¬ng c¡ch chia l m tr÷íng hđp º chùng minh i·u n y, ta sû döng Bê · 3.1 º cõ bĐt ng thực dÔng sau | | | ± | q , −j1 −j2 , K(x, γ x y γ2 , C y) λγ |x± y| , γ λ2 vỵi måi y D1 v D2 , dỹa trản tẵnh chđn vợi mồi x M, v j2 Cử th nhữ sau ã Trữớng hủp j1 , j2 l số l Kát hñp (3.25) v Bê · 3.1 ta câ −1 q |K(x, | ≤ C y) N¶n ta câ ∫ −1 | − | −j1 λγ |x− y| −j2 γ1 |K(x, y)| dy =∫ M B − |K(x, y)|dy +∫ B − Σ Σ ≤C λ Σ1 −γj11dy + |x− |y λγ2 ∫ −1 γ ∫B1 − −1 ≤C λγ Σ1 C1 −j 1γ1 dt + |t| λ γ2 λ |x− |y ∫ |t| −1 C2 − − Bj22 γ2 dt −1 −(γ1−j1) α.γ1 ∫ −1 + λγ2 Σ j1 , (3.28) γ λ γ2 |K(x, y)|dy q ho°c l´ cõa Σ x y ; (3.27) −j2 γ2 dy ≤ C λγ1 λ (2j2) iÃu n y dăn án K(x, ∫M y)| | q dy ≤ C Σλ − α+γ1−j1 α.γ1 λ + α+γ2−j2 α.γ2 (3.29) Ta ¡nh gi¡ tron g (3.29) bơng cĂch chồn thọa m Ân α + γ − j − α λ + γ − j α γ α.γ1 − =λ D = α + γ − j2 α.γ α.γ V |(,)d Kx|y y ) | K( x, y) | q d y ≤ C λ− 2β − − j− Σ− T ≤1 | | −è − Σ| | i −1 ∫ − ≤ |− | | | Σ hñp j1 , j2 l sè ch®n Sû dưng Bê · Vander Corput v Bê · 3.1 ta câ − x y ∫ − − ( − ) −1 − ( γ1 −j1 ) (3.30) K(x, y) dy + λγ2 t γ γ1 λ dt + t C2 γ2 γ2 dt ¡ n h , α.γ1 λ γ1 + λγ2 , γ 2γ1 α.γ ; x y 2γ γ2 − γ γ1 â y) | | q D |K(x, K d 1∩ y)|dy (y B −+ ∫ x= ,∫ ¸ n ∫ B dy γ1 α+ αγ + − γj2 α γ − j K h i γ2 Σ Σg q Σ − B2 i C λ λ x2 y2 ¡ minλ − t − q j d( i C − r y | · ¶ − , u≤Σλ n λ , n vỵi måi x, y ∈ t + M Vỵi y ∈ D1 λ a ta câ ¡nh gi¡ y ÷ | −1 | d ủq C | | x y K(x, ă c −j2 y) n Σ | | − | | y − B h âC λ a Σ x u ã Trữớng I1 C C1 λ− ÷ 2β ; λ γ2 x y γ Vợi y D2 ta thĐy j −1 − j2 −1 q ≤ C min{λ γ1 |x + y| γ1 ; λ γ2 |x + y| γ2 } K | ∫D2 K(x , y)| q dy =∫ | D K( 2∩ |K(x, y)| x, B − dy y)| dy +∫ Σ dy + λγ2 γ1 C λγ γ1 dt + λγ2 Σ γ2 dt ≤ − ∫ | −1 | − ∫ || − j2 | Σ1 −1 −(γ2−j2) C λγ1 λ −j2 | − B2 t C2 | ∫ Σ Σ − B1 t − − x + γ2 ≤ | y dy x+ y C λγ D ∩ B − Σ −1 −(γ1−j1) α.γ1 λ ≤ + λγ2 q − i·u ny dă n án B2 | Kd (y C x , Σ λ y ) | ( α α + γ + − γ j − α j γ α.γ + λ 2) Tối ữu hõa Ănh giĂ trản ta ÷ñc j1 γ λ Σ− y |x j2 − | +Σ ; − I2 ≤ Cλ−2β Do â ∫ |K(x, y)|qdy ≤ I1 + I2 ≤ Cλ q M ã Trữớng hủp j1 l số l´, j2 l sè ch®n Tø Bê · 3.1 ta câ j2 x + y| , j2 j − x vỵi måi x, y ∈ N, vỵi ∈ D1 ta câ |C ym γ1 | in x λ j 1 γ γ | − j2 y Σq − |− − | x − ; − y λ y γ γ T÷ìng tü nh÷ Tr÷íng hđp 2, ta câ thº chựng minh rơng I1 C2 Vợi y D2 , ta c â | i | ≤ n K( C λ γ1 |x − x, y y) m − |− T÷ìng tü nh÷ Tr÷íng hđp ta câ I2 ≤ Cλ−2β Do vªy |K(x, y)|qdy ≤ I1 + I2 C2 M ã Trữớng hủp j1 l số chđn, v j2 l số l Bơng viằc hoĂn êi vai trá cõa ta câ thº tranh cù cho tr÷íng hđp n y t÷ìng tü nh÷ Tr÷íng hđp Tõm lÔi, vợi tĐt cÊ cĂc trữớng hủp cừa j1 , j2 ta câ M ∫ |K(x, y)| dx, M ¡p döng Bê · 3.2 ta suy q M v |K(x, y)|qdy λ2γ1 (3) ÷đc chùng minh Chùng minh (4) Chóng ta ch¿ chùng minh tr÷íng hđp j1 < v j2 = trữớng hủp cỏn lÔi cõ th ữủc chựng minh tữỡng tỹ ã Trữớng hủp j1 , j2 l sè l´ Khi â −1 q −1 | − | −j2 |K(x, | ≤ C λγ |x− y| y) −j1 γ1 λ i·u n y cho ta | Σ q ≤ ∫ |x− |y −1 d C λγ y ≤ CΣ λ −2β + λ−1 ∫ λ B − γ ; x y dy + γ2 γ ∫ Do â γ α + γ2 − j2 αγ2 |x− |y −1 − B2 |x − y|−1dyΣ = CΣλ−2β + λ−1 log λΣ ≤ Cλ−2β log(λ), v¼ Σ γ2 −j1 γ1 − B1 bði C ǁTλ ǁLp →L2 ≤ K(x, M y) j2 ∫ T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y cơng óng ta thay | v |K(x, y)|qdy ≤ I1 + I2 ≤ Cλ−2β ∫ ∫ j1 − j2 γ2 dy Σ v c¡c = 2β ∫ |K(x, y)|qdy ≤ Cλ−2β log λ M ∫ ∫ T÷ìng tü ¡nh gi¡ n y cơng óng ta thay |K(x, y)|qdx, M ¡p döng Bê · 3.2 ta suy ǁTλ ǁLp →L2 ≤ C v M |K(x, y)|qdy bi log 21 kát hủp vợi Bê · 3.2 ta chùng minh ÷đc tr÷íng hđp n y ã Trữớng hủp khĂc cừa j1 , j2 CĂc trữớng hủp cỏn lÔi cõ th chựng minh v tián h nh tữỡng tỹ theo cĂc trữớng hủp (3), cĂc yáu tố logarit nản ữủc thảm v o ữợc tẵnh nh lỵ 3.1 ữủc chựng minh xong Chựng minh ữủc ho n th nh Chú ỵ 3.1 Trồng tƠm cừa nh lỵ nơm (3) v (4) Theo õ, vợi giÊ thiát (3.15)- (3.16) thọa mÂn vỵi q Σ β Σ− (qk1 − j1 )( Σ 2k1 β − Σ = k2 B¬ng ph²p t½nh ìn gi£n ta câ − j2 ) ≤ (k2 − k1 )2 ( − j2 ) ≤ 4k1 k2 (j1 k2 − j2 k1 )2 2k k1 q − j1 )( k2 q i·u â ngh¾a l : , ; , ≤ β ≤ max , 2k 2k ; ,≤ (3.33) 2k 2k Do â, n¸u i·u ki»n (3.15)-(3.16) câ thº k¸t1 hđp, tèc ë hëi tư cừa chuân 2 toĂn tỷ tợi ữủc Ănh giĂ chẵnh xĂc hỡn Theo õ kát quÊ cho pha a thực ỗng nhĐt ữủc chẵnh minh nh l½ 3.1 Ta x²t c¡c h m pha a thùc ỗng nhĐt dữợi Ơy k0 S1(x, y) = a2jx2n2jy2j; (3.34) a2j+1x2n−2j+1y2j+1; (3.35) a2jx2n−2j+1y2j (3.36) j=j k0 Σ S2(x, y) = j=j k0 Σ S3(x, y) = j=j0 é Ơy cõ th giÊ nh rơng a2j a2k0 0, v a2j0+1a2k0+1 Gi£ sû måi h» sè S(x, y) tra cịng d§u, tùc l , aA aA+2 vợi tĐt cÊ A = j0 , Ta câ thº d¹ d ng kiºm r¬ng tøng a thùc S1(x, y), S2(x, y), v v (3.16) Cö thº, S1(x, y), S2(x, y), v (3.16) theo c¡c c°p ỉi S3(x, y) S3(x, y) thäa m¢n i·u ki»n (3.15) cịng thäa m¢n(3.15)- (2j0 , 2n − 2j0 )-(2k0 , 2n − 2k0 ), (2j0 + 1, 2n − 2j0 + 1)-(2k0 + 1, 2n − 2k0 + 1), v (2j0 , 2n − 2j0 + 1) − (2k0 , 2n − 2k0 + 1), t÷ìng ựng S biu th têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực ỗng nhĐt cõ dÔng (3.34)(3.36) cõ cĂc hằ số dĐu Biu th bêc cừa a thực trản bði δ, th¼ â δ = 2n cho (3.34)-(3.35), ho°c δ = 2n + cho (3.36) H» qu£ 3.2 To¡n tû Tλ vỵi h m pha S(x, y) S l L2 b giợi hÔn vợi nh mực quy nh nhữ sau: (1) H m pha (3.34) vợi (n − 1)/2 < k0 ≤ n, ≤ j0 < n/2 < k0 ≤ n, < v h m pha (3.36) vỵi h m pha (3.35) vỵi ≤ j0 ≤ j0 < (n + 1)/2 < k0 ≤ n, ǁTλ ǁ2 = O.λ −1/δ ta câ Σ (2) H m pha (3.34) vợi mởt hai trữớng hñp ho°c l ≤ j0 = n/2 < k0 ≤ n, ho°c ≤ j0 < n/2 = k0 ≤ n; h m pha (3.35) vỵi mët hai tr÷íng hđp ho°c l ≤ j0 = (n − 1)/2 < k0 ≤ n, Ta câ ǁT λǁ2 = O λ−1/δ V½ dư 3.1 Gi£ sû or ≤ j0 < (n − 1)/2 = k0 ≤ n; log ( λ)Σ thäa m¢n gi£ ành (3.15)-(3.16), m tÔi õ (j1, k1 ) = (m 1, 1); (j2 , k2 ) = (1, n − 1) Ta thĐy rơng trữớng hủp n y thọa mÂn (3) cừa nh lỵ 3.1.Thảm v o õ, cổng thực (3.17) cho S(x, y) (j2 − k2 ) − (j1 − k1 ) m+n−4 β = 2(k1 j2 − k2 j1 ) = , 2(mn m n) Ơy chẵnh l tốc ữủc thiát lêp [5, 6] Kát luên Luên vôn  trẳnh b y mởt số kát quÊ và tẵch phƠn dao ởng Nởi dung chẵnh cừa luên vôn bao gỗm: ã KhĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa phƠn hoÔch ỡn v, tẵch chêp, khổng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn) v mët số nh lẵ quan trồng cừa php bián ời Fourier ã Uợc lữủng tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger thổng qua bêc cừa a thực ã ữa Ănh giĂ chuân cõa to¡n tû dao ëng tø khæng gian Lp(R) v o khỉng gian L2(R) Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn! T i li»u tham kh£o [1] °ng Anh Tu§n, Lỵ thuyát h m suy rởng v khổng gian Sobolev NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi (2015) [2] inh Thá Lửc, PhÔm Huy in, TÔ Duy Phữủng, GiÊi tẵch cĂc h m nhiÃu bián.NXB Ôi hồc Quốc gia H Nëi (2002) [3] P K Anh, V N Huy and N M Tuan, Norm decay rates of oscillatory integrals operators with polynomial phases acting between Lp and L2 spaces Prepint [4] I R.Parissis ,A sharp bound for the Stein Wainger oscillatory integral , Proc Amer Math Soc.,V.136(2008),n.3,p.963-972 [5] D H Phong and E M Stein, Oscillatory integrals with polynomial phases Inv Math 110, 39-62 (1992) [6] D H Phong and E M Stein, Models of Degenerate Fourier Integral Operators and Radon Transforms Ann of Math., 140, 703 722 (1994) ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... giĂ tẵch phƠn dao ởng Stein-Wainger 14 2.1 Ănh giĂ cên dữợi cừa tẵch phƠn dao ởng 14 2.2 ¡nh gi¡ cªn trản cừa tẵch phƠn dao ởng 22 ìợc lữủng chuân cừa toĂn tỷ tẵch ph¥n dao ëng 26 3.1... riảng, hẳnh hồc Ôi số, lỵ thuyát xĂc suĐt, lỵ thuyát số; cĂc b i toĂn và quang hồc, Ơm hồc, cỡ hồc lữủng tỷ, Ãu cõ th ữa và viằc nghiản cựu cĂc tẵch phƠn dao ởng Tẵch phƠn dao ởng  v ang ÷đc