Một số kết quả về tính bị chặn của tích phân dao động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS VŨ NHẬT HUY Hà Nội - Năm 2019 Mˆc lˆc M Ưu Kián thc chuân b 1.1 PhƠn hoÔch Ïn v‡ 1.2 Tẵch chêp 1.3 KhÊng gian c¡c h m gi£m nhanh 1.4 Ph²p bi¸n Íi Fourier 1.4.1 1.4.2 ¡nh gi¡ tẵch phƠn dao ẻng Stein-Wainger Ănh giĂ cên dểi ca tẵch phƠn d 2.1 Ănh giĂ cên trản ca tẵch phƠn d 2.2 ểc lềng chuân ca toĂn t tẵch phƠn dao ẻng Bà 3.1 Tẵch phƠn dao ẻng vểi h m pha 3.2 Kát luªn T i li»u tham kh£o LÌi c£m Ïn Trểc trẳnh b y nẻi dung chẵnh ca luên vôn, tấi xin gi lèi cÊm ẽn chƠn th nh v sƠu sc nhĐt ca mẳnh tểi TS V Nhêt Huy, vẳ sá gip ễ, ch bÊo tên tẳnh, cng nhng lèi ẻng viản vấ cng nghắa ca ThƯy suật quĂ trẳnh tấi ho n th nh luên vôn tật nghiằp Tấi cng xin chƠn th nh cĂm ẽn sá gip ễ ca cĂc thƯy giĂo, cấ giĂo khoa ToĂn - Cẽ - Tin hc, trèng Ôi hc Khoa hc Tá nhiản - Ôi hc Quậc gia H Nẻi v Khoa Sau Ôi hc,  nhiằt tẳnh truyÃn th kián thc v tÔo iÃu kiằn gip ễ tÊi ho n th nh kh‚a Cao hÂc TÊi xin gi lèi cÊm ẽn án gia ẳnh, bÔn b  luấn ẻng viản, khuyán khẵch, gip ễ tấi rĐt nhiÃu suật thèi gian nghiản cu v hc têp Mc d  cậ gng rĐt nhiÃu v nghiảm tc quĂ trẳnh nghiản cu nhng mểi l m quen vểi cấng tĂc nghiản cu khoa hc v cÃn hÔn chá và thèi gian thác hiằn nản luên vôn khấng th trĂnh nhng thiáu st TĂc giÊ kẵnh mong nhên ềc kián ng gp ca cĂc thƯy cấ v cĂc bÔn luên vôn ềc ho n thiằn hẽn H Nẻi, nôm 2019 Nguyạn Th XƠm M Ưu Tẵch phƠn dao ẻng  thu ht nhiÃu sá quan t¥m cıa c¡c nh To¡n hÂc v c¡c nh Vêt l t xuĐt hiằn cấng trẳnh Thorie Analytique de la Chaleur cıa Joseph Fourier v o n«m 1822 NhiÃu b i toĂn L thuyát phẽng trẳnh Ôo h m riảng, hẳnh hc Ôi sậ, l thuyát xĂc suĐt, l˛ thuy¸t sË; c¡c b i to¡n v· quang hÂc, ¥m hÂc, cÏ hÂc l˜Òng t˚, ·u c‚ thº a và viằc nghiản cu cĂc tẵch phƠn dao ẻng Tẵch phƠn dao ẻng  v ang ềc s dng nhi·u ˘ng dˆng kh¡c v thu hÛt ˜Òc nhiÃu sá quan tƠm t cĂc nh nghiản cu [3-6] NhiÃu nh nghiản cu  rĐt nẩ lác ểc tẵnh trác tiáp giĂ tr tẵch phƠn dao ẻng v tậc ẻ suy giÊm ca chuân ca Tẵch phƠn dao Îng Fourier (xem [3, 5, 6] ) Ngo i ph¦n m Ưu, kát luên v t i liằu tham khÊo, luên vôn ềc chia l m ba chẽng: Chẽng 1: Kián thc chuân b Chẽng n y luên vôn trẳnh b y cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cẽ bÊn ca phƠn hoÔch ẽn v, tẵch chêp v mẻt sậ nh lẵ quan trng ca php bián i Fourier trản khấng gian c¡c h m gi£m nhanh S (Rn) v L1(Rn) Chẽng 2: Ănh giĂ tẵch phƠn dao ẻng Stein-Wainger Ch˜Ïng n y tr¼nh b y v· vi»c ¡nh gi¡ cên trản v cên dểi ca tẵch phƠn dao ẻng k˝ d‡ I( ) = ZR eiP (x) v ˜Óc lềng cĂc cên trản v cên dểi n y thấng qua bêc ca a thc P (x) Nẻi dung chẽng n y ˜Òc tham kh£o [4] Ch˜Ïng 3: ¡nh giĂ chuân ca toĂn t dao ẻng Trong chẽng n y, chng ta s tẳm hiu tẵch phƠn dao ẻng Fourier dÔng: S(x; y) l giĂ compact v l Chẽng Kián thc chuân b Trong chẽng n y, luên vôn trẳnh b y cĂc khĂi niằm, tẵnh chĐt cẽ bÊn ca phƠn hoÔch ẽn v, tẵch chêp v php bián i Fourier Nẻi dung chẽng n y ˜Ịc tham kh£o ch½nh c¡c t i liằu [1], [2] 1.1 PhƠn hoÔch ẽn v nh nghắa 1.1 Cho l ‚ j ˜Ịc gÂi l mỴt phƠn hoÔch ẽn v ca têp f g1 j j =1 l mỴt phı m cıa n ’j C0 (R ’ Ta c·n gÂi j f Ta c‚ nh l sau và phƠn hoÔch ẽn v nh l 1.1 Cho K l m cıa K Khi ‚, tÁn tÔi mẻt h hu hÔn ca h m khÊ vi vấ hÔn nh mẻt phƠn hoÔch ẽn v ng vểi phı m fU gN j n :R !Rl Tr˜Óc ch˘ng minh ‡nh l˛ ta x²t h m sau: (x) := ( ‚, C l j=1 h¬ng sË cho Z (x)dx = 1: R n N f’jg j=1 cıa tªp K h m ˜Ịc x¡c ‡nh nh˜ x¡c ;U j =1 H m c‚ c¡c t½nh ch§t : n C0 (R ); supp = B[0; 1] = v l h m ch¿ phˆ thc v o H m cng c cĂc tẵnh chĐt ca h m ; v Vi»c °t n y c‚ ngh¾a v¼ Z Rn f(y) (x M»nh · 1.1 Cho f Lloc1(Rn) Khi , ta c cĂc kát luên sau (i) f C1(Rn) (ii) N¸u supp f = K Rn th¼ n f C0 (R ), supp f K (iii) Náu f C( Chng minh (i) Dạ d ng ch˘ng minh t¯ ¯ng th˘c sau (ii) Do supp f = K n¶n VĨi mÈi x 2= K c‚ kx Do ‚, f (x) = x 2= K hay supp f K (iii) Dạ thĐy f (x) f(x) = Z (f(x y) Rn f(x)) p(y)dy Z = (f(x y) f(x)) p(y)dy B(0;1) n¶n jf (x) f(x)j sup jf(x y) f(x)j : y2B[0;1] M n f C(R ) n¶n f li¶n tˆc ·u trản tng têp compact K lim sup jf (x) R Do ‚ n n f(x)j = 0; K R : !0+ x2K Ch˘ng minh ˜Òc ho n th nh M»nh · 1.2 Cho tªp K Rn ’(x) n 8x R , supp ’ Ch˘ng minh X²t C‚ n L (R ) K (x) l Khi ‚, vÓi mÈi v >0 c‚ h m ’ C01(Rn) th‰a m¢n ’(x) = 1; 8x K =2 h m °c tr˜ng cıa tªp K3 =4, t˘c l n L loc(R ); supp = K3 =4, n¶n theo M»nh · 1.1 c‚ n n =4 C0 (R ); supp( =4) M ( K ; ( =4)(x) 8x R : Z =4)(x) = n¶n B (x y) =4(y)dy =4(0) Z ( =4)(x) B v =4(y)dy = 8x n R ; =4(0) Z ( =4)(x) = B =4(y)dy = 1; x K =2: =4(0) Nh vêy h m cƯn tẳm l Ch˘ng minh ˜Òc ho n th nh Ch˘ng minh nh l 1.1 T giÊ thiát K l têp compact, fUjgN j=1 l K ta c‚ N W1 := K n [ J=2Uj U1 mẻt ph m ca nản tn tÔi > cho W1 W1 + B(0; 1) U1: Theo m»nh · 1.2, c‚ h m V1 := W1 + B(0; W := K n [J=2Uj N LÔi c, W2 := K n V1 [ [J=3Uj Do , tn tÔi > U2: cho W2 U2: Theo W2 + B(0; 2) 1.2, c‚ mỴt h m n C0 (R ; [0; 1]) cho V2 := W2 + B(0; C nh thá ta xƠy dáng ềc dÂy cĂc h m f jgjN=1 v n j C0 (R ; [0; 1]) ; Vj := Wj + B(0; v X N j=1 C‚ K N [ j=1Vj j(x) < N + 1; x n R : n¶n tÁn tÔi sậ > cho K K + B(0; ) N [ j=1Vj: Theo m»nh · 1.2 c‚ h m khấng Ơm tha mÂn supp K + B(0; ) n C0 (R ); K K + B(0; =2) v n (x) 1; x R ; (x) = 1; x K + B(0; =2): °t ’j(x) := N [ j=1Vj; m»nh · (2) ˜Òc ch˘ng minh Ch˘ng minh (3) C‚ hai kh£ n«ng j1 < s³ ch˘ng minh cho tr˜Ìng hỊp j1 < t˜Ïng t¸ Theo gi£ ‡nh (3.15)-(3.16): ( ) jQ j (z)j C1jx 1 v j2 > 2, ho°c j1 > v v j y j; n¶n ¡p dˆng BÍ · Vander Corput, ta nhªn ˜Ịc jK(x; y)j C n k1 Do ‚ jK(x; y)jq C n B¥y giÌ ta s³ ch˘ng minh Z q : M jK(x; y)j dy C b¬ng c¡ch chia l m tr˜Ìng hỊp º ch˘ng minh i·u n y, ta s˚ dˆng BÍ · 3.1 º c‚ bĐt ng thc dÔng sau jK(x; y)j q C n vÓi mÂi x M, v vÓi mÂi y D1 v thº nh˜ sau Tr˜Ìng hỊp j1; j2 l sË l´ jK(x; y)j N¶n ta c‚ Z q q M jK(x; y)j dy = Z C C C B1 C h 34 iÃu n y dăn ¸n Z M q jK(x; y)j dy C h Ta Ănh giĂ (3.29) bơng cĂch chn tha mÂn Do Vẳ vêy, Z q jK(x; y)j dy Trèng hềp j C : M ;j 2l sË ch®n S˚ dˆng BÍ · Vander Corput v jK(x; y)j n q Ctamin c‚ ¡nh gi¡ vÓi mÂi x; y M: VÓi y D1 jK(x; y)j q C Khi ‚ q D1 jK(x; y)j dy = Z D1\B1 C C C h iÃu n y dăn án Z jK(x; y)jqdy C BÍ · 3.1 ta c‚ (3.30) Z h B1 TËi ˜u h‚a ¡nh gi¡ tr¶n, ta ˜Ịc I1 C : 35 VĨi y D ta th§y jK(x; y)j q C minf Khi ‚ Z Z Z q jK(x; y)j dy = D2 jK(x; y)jdy + D2\B1 Z Z j2 C C jK(x; y)jdy D2\B2 jx + yj dy 1 C h iÃu n y dăn án Z q jK(x; y)j dy C i h (3.32) : B2 TËi ˜u h‚a ¡nh gi¡ tr¶n ta ˜Ịc I2 C : Do ‚ Tr˜Ìng hỊp j1 l vĨi mÂi x; y N T˜Ïng t¸ nh˜ Tr˜Ìng hỊp 2, ta c‚ thº ch˘ng minh r¬ng I1 C : VĨi y D2, ta c‚ jK(x; y)j q C 36 T˜Ïng t¸ nh˜ Tr˜Ìng hỊp ta c‚ I2 C Do vªy Z q jK(x; y)j dy M : I1 + I2 C : Tr˜Ìng hỊp j1 l sË ch®n, v ta c‚ thº tranh c˘ cho tr˜Ìng hỊp n y t˜Ïng t¸ nh˜ Tr˜Ìng hỊp Tm lÔi, vểi tĐt cÊ cĂc trèng hềp ca j1; j2 ta c‚ Z q : M jK(x; y)j dy I1 + I2 C T˜Ïng t¸ ¡nh gi¡ n y cÙng Ûng ta thay ¡p dˆng BÍ · 3.2 ta suy (3) ˜Òc ch˘ng minh Ch˘ng minh (4) ChÛng ta ch¿ ch˘ng minh tr˜Ìng hỊp j1 < trèng hềp cÃn lÔi c th ềc chng minh tẽng t¸ Tr˜Ìng hỊp j1; j2 l sË l´ Khi ‚ i·u n y cho ta jK(x; y)j q C Z q M jK(x; y)j dy C C h + h =C v¼ + + 2 Do ‚ Z j =2 : q jK(x; y)j dy M 37 C log : T˜Ïng t¸ ¡nh gi¡ n y cÙng Ûng ta thay ¡p dˆng BÍ · 3.2 ta suy kT k L !L p k¸t hỊp vĨi BÍ · 3.2 ta ch˘ng minh ˜Ịc tr˜Ìng hỊp n y Tr˜Ìng hỊp kh¡c ca j ; j CĂc trèng hềp cÃn lÔi c‚ thº ch˘ng minh v ti¸n h nh t˜Ïng t¸ theo c¡c tr˜Ìng hỊp (3), nh˜ng c¡c y¸u tË logarit nản ềc thảm v o ểc tẵnh nh l 3.1 ˜Òc ch˘ng minh xong Ch˘ng minh ˜Òc ho n th nh ChÛ ˛ 3.1 TrÂng t¥m cıa nh l nơm (3) v (3.16) tha mÂn vểi ( iÃu nghắa l : Do , náu iÃu kiằn (3.15)-(3.16) c th kát hềp, tậc ẻ hẻi t ca chuân toĂn t tểi ềc Ănh giĂ chẵnh x¡c hÏn Theo ‚ k¸t qu£ cho pha a th˘c ng nhĐt ềc chẵnh minh nh lẵ 3.1 Ta xt cĂc h m pha a thc ng nhĐt dểi Ơy X k0 (3.34) 2n 2j 2j S1(x; y) = a2jx y ; j=j0 X k0 2n 2j+1 2j+1 S2(x; y) = a2j+1x y ; (3.35) j=j0 X k0 S3(x; y) = a2jx2n j=j0 2j+1y2j: (3.36) – ¥y c‚ thº gi£ ‡nh r¬ng a2j0 a2k0 6= 0; v a2j0+1a2k0+1 6= 0: Gi£ s˚ mÂi h» sË S(x; y) cÚng d§u, t˘c l , a‘a‘+2 vĨi t§t c£ ‘ = j0; : : : Ta c‚ thº d¹ d ng kiºm tra 38 r¬ng t¯ng a th˘c S1(x; y); S2(x; y); v S3(x; y) th‰a m¢n i·u ki»n (3.15) v (3.16) Cˆ thº, S1(x; y); S2(x; y); v S3(x; y) cÚng th‰a m¢n(3.15)-(3.16) theo c¡c c°p Êi (2j0; 2n 2j0)-(2k0; 2n 2k0); (2j0 + 1; 2n 2j0 + 1)-(2k0 + 1; 2n 2k0 + 1); v (2j0; 2n 2j0 + 1) (2k0; 2n 2k0 + 1); t˜Ïng ˘ng S biu th têp hềp tĐt cÊ cĂc a thc ng nhĐt c dÔng (3.34)-(3.36) c cĂc hằ sậ cng dĐu Biu th bêc ca a thc trản b i , th¼ ‚ = 2n cho (3.34)-(3.35), ho°c = 2n + cho (3.36) H» qu£ 3.2 To¡n t˚ T vÓi h m pha S(x; y) S l L2 b giểi hÔn vểi nh mc quy nh nh˜ sau: (1) H m pha (3.34) vÓi 0 j0 < (n 1)=2 < k0 1)=2 < k0 j0 < n=2 < k0 n, v h m pha (3.36) vÓi n, ta c‚ 1= kT k2 = O (2) n, h m pha (3.35) vÓi j0 < (n + : H m pha (3.34) vĨi mỴt hai tr˜Ìng hỊp ho°c l j0 = n=2 < k0 n; ho°c j0 < n=2 = k0 n; h m pha (3.35) vĨi mỴt hai tr˜Ìng hỊp ho°c l Ta c‚ j0 = (n 1)=2 < k0 n; or j0 < (n 1)=2 = k0 n; kT k2 = O V½ dˆ 3.1 Gi£ s˚ S(x; y) tha mÂn giÊ nh (3.15)-(3.16), m tÔi (j1; k1) = (m 1; 1); (j2; k2) = (1; n Ơy chẵnh l 1) Ta thĐy rơng trèng hềp n y tha mÂn (3) ca nh l tậc ẻ ềc thiát lêp [5, 6] 39 Kát luên Luên vôn  trẳnh b y mẻt sậ kát quÊ và tẵch phƠn dao ẻng Nẻi dung chẵnh ca luên vôn bao gm: KhĂi niằm, tẵnh chĐt cẽ bÊn ca phƠn hoÔch ẽn v, tẵch chêp, khấng gian cĂc h m giÊm nhanh S (Rn) v mẻt sậ nh lẵ quan trng ca php bián i Fourier Uểc lềng tẵch phƠn dao Îng Stein-Wainger thÊng qua bªc cıa a th˘c ˜a Ănh giĂ chuân ca toĂn t dao ẻng t khấng gian khÊng gian L2(R) TÊi xin ch¥n th nh c£m Ïn! 40 p L (R) vo T i li»u tham khÊo [1] ng Anh TuĐn, L thuyát h m suy rẻng v khấng gian Sobolev NXB Ôi hc Quậc gia H Nẻi (2015) [2] inh Thá Lc, PhÔm Huy in, TÔ Duy Phềng, GiÊi tẵch cĂc h m nhiÃu bián.NXB Ôi hc Quậc gia H Nẻi (2002) [3] P K Anh, V N Huy and N M Tuan, Norm decay rates of oscillatory and spaces integrals operators with polynomial phases acting between Lp L Prepint [4] I R.Parissis ,A sharp bound for the Stein Wainger oscillatory integral , Proc Amer Math Soc.,V.136(2008),n.3,p.963-972 [5] D H Phong and E M Stein, Oscillatory integrals with polynomial phases Inv Math 110, 39-62 (1992) [6] D H Phong and E M Stein, Models of Degenerate Fourier Integral Operators and Radon Transforms Ann of Math., 140, 703722 (1994) 41 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Thị Xâm MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH BỊ CHẶN CỦA TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN... ¡nh gi¡ t½ch phƠn dao ẻng Stein-Wainger Ănh giĂ cên dểi ca tẵch phƠn d 2.1 Ănh giĂ cên trản ca tẵch phƠn d 2.2 ểc lềng chuân ca toĂn t tẵch phƠn dao ẻng Bà 3.1 Tẵch phƠn dao ẻng vểi h m pha... phƠn dao ẻng Tẵch phƠn dao ẻng  v ang ềc s dng nhi·u ˘ng dˆng kh¡c v thu hÛt ˜Òc nhi·u sá quan tƠm t cĂc nh nghiản cu [3-6] NhiÃu nh nghiản cu  rĐt nẩ lác ểc tẵnh trác tiáp giĂ tr tẵch phƠn dao