Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải Tích Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn thạc sĩ với tên đề tài: “Một số kết quy nghiệm cho phương trình dạng Divergence” tơi thực hiện, hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ tài liệu tham khảo TP Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời tơi xin tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy TS Nguyễn Thành Nhân hướng dẫn tơi tận tình đầy nhiệt tâm suốt trình viết luận văn Những nhận xét đánh giá thầy, đặc biệt gợi ý hướng giải vấn đề suốt trình nghiên cứu, thực học vô quý giá không trình viết luận văn mà hoạt động nghiên cứu chuyên môn sau Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin, thầy giáo mơn Tốn q thầy giáo tận tình truyền đạt kiến thức thời gian học tập tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu thực đề tài Cuối tơi kính chúc q thầy, giáo dồi sức khỏe thành công nghiệp cao quý Đồng thời xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình tất bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! TP.Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Như MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU Chương KHÁI QUÁT VÀ CÁC KÝ HIỆU 1.1 Tính giải toán divergence 1.2 Định nghĩa số miền có liên quan 1.3 Một số kết tương đương miền quy .7 Chương BÀI TOÁN DIVERGENCE TRÊN MIỀN HOLDER- 2.1 Bất đẳng thức dạng Korn miền Holder- 2.2 Nghiệm toán divergence miền Holder- 13 2.2.1 Hàm trọng bên trái 14 2.2.2 Hàm trọng hai bên 16 2.3 Một số miền Holder- đặc biệt với đỉnh bên 17 Chương BÀI TỐN DIVERGENCE TRÊN MIỀN CHÍNH QUY 22 3.1 Lớp hàm Muckenhoupt .22 3.2 Tốn tử divergence có trọng miền hình 22 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG .28 4.1 Sự tương đương với bất đẳng thức Korn 28 4.1.1 Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn 30 4.1.2 Bất đẳng thức Korn kéo theo toán divergence 31 4.2 Ứng dụng vào phương trình Stokes 33 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Div u / ∇ u Ω u Diam rot/curl ∆u ∇u ∇u ∶ ∇ũ ℝ ≥0 ℝ >0 u 1, (Ω, ) (Ω, ) ( ) ( ) (Ω, ) 2×2 , (Ω) := ,2 ( )≔ H10(Ω) = ⏟01 × ( ) ×⋯× n lần MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu tính ứng dụng rộng rãi Các phương trình thường xây dựng từ mơ hình thực tế nên đơi phức tạp chưa tìm nghiệm giải tích Thay cho việc tìm nghiệm phương trình này, đánh giá định tính tồn tại, cấu trúc tập nghiệm, tính chất dáng điệu tiệm cận, ổn định, tính quy nghiệm trở nên có ích Một lớp phương trình đạo hàm riêng khảo sát phương trình dạng divergence Luận văn tập trung khảo sát số kết quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng dạng divergence Các kết ứng dụng vào phương trình Stokes Mục tiêu thứ đề tài chứng minh tồn nghiệm phương trình div u = khơng gian Sobolev có trọng số miền đặc biệt, có biên khơng trơn Cụ thể, với Ω ⊂ ℝ miền bị chặn, ta muốn tìm hàm trọng 1và cho với ∈ (Ω, 2) có tích phân khơng, tồn nghiệm u ∈ 1, (Ω, 1) div u = thỏa mãn với ‖u‖ 1, (Ω, 1) số dương phụ thuộc Ω, , ≤ ‖ ‖ (Ω, , 2) , Trong đó, với hàm trọng ∶ ℝ → ℝ≥0 hàm khả tích địa phương, khơng gian Lebesgue có trọng (Ω, ) ứng với chuẩn ‖ ‖ (Ω, ) =(∫Ω| ( )| ( ) ), khơng gian Sobolev có trọng 1, (Ω, ) ứng với chuẩn ‖ ‖ (Ω, ) Ta kí hiệu Mục tiêu thứ hai ứng dụng kết tìm khơng gian có hàm trọng vào việc đánh giá tính quy nghiệm phương trình Stokes bất đẳng thức Korn Trong luận văn này, tác giả đọc hiểu, tổng hợp trình bày cách chi tiết số báo khoa học liên quan đến tính quy nghiệm phương trình divergence Từ hướng đến vài ý tưởng mở rộng kết dựa nghiên cứu cơng bố gần Cơng việc địi hỏi phải vận dụng kiến thức học phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng giải tích hàm Nội dung luận văn tập trung khảo sát số kết tính quy nghiệm phương trình dạng divergence với số ứng dụng Luận văn trình bày gồm chương: Chương Khái quát ký hiệu Nội dung chương trình bày phương trình divergence, với số định nghĩa khơng gian có hàm trọng, số miền miền Lipschitz, miền hình sao, miền John, miền Holder- , bất đẳng thức Korn, bổ đề Lions để làm tiền đề sử dụng cho chương Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [3], [5] Chương Nghiệm có trọng toán divergence miền phẳng Nội dung chương nội dung luận văn giới thiệu nghiệm phương trình Divergence miền Holder- , hàm trọng bên trái, hàm trọng hai bên số miền Holder- đặc biệt với 25 ‖u‖ 1, (ℝ , ) ≤ ‖ ‖ ( , ) Chứng minh Ta có ( , ) chứa 1( ) Do đó, nghiệm u xác định Với số chung phụ thuộc vào , , , , độc lập với u đường kính Đầu tiên ta thấy u ∈ (ℝ , ) Từ (3.5) ta có =0 ∞ ≤ ∑∫ ≤ ∑ 2− với hàm cực đại Hardy-Littlewood Vì ∈ tốn tử cực đại bị chặn (ℝ , ) nên Để đạo hàm thành phần u sử dụng khai triển sau: vớilà hàm bị chặn số phụ thuộc vào ∗ Suy ∗ bị chặn ( , ) Tuy nhiên, khơng liên tục rộng tốn tử ∗ tới Ta có tính liên tục Do đó, ta mở ( , ) với 26 ∗ ( ) mở rộng tới hàm (ℝ ) ∈ (ℝ ) theo cách khác để đảm bảo tính liên tục khơng gian có hàm trọng Cho tốn tử tích phân kỳ dị xác định ( ) = lim ∫ →0 với ∈ ∞ ( ) thỏa mãn ( ) = với ∈ hình cầu ∗ ( )⊂ | − |> ⏟ ∗ có đường kính tâm giống mà ta giả sử tâm khơng Ta có G đóbiểu thị ký hiệu Kronecker Bây giờ, cho ∈ ℝ ∈ ∗ ta thấy Do ( , )= ( )∫ Vì liên tục tuần hồn từ 2(ℝ ) vào nên để chứng minh tính liên tục (ℝ , ) vào ta chứng minh điều kiện (3.6), (3.7), (3.8) Cho , , ′ ∈ ℝ cho | − | ≥ 2| − ′| ta có Do đó, với, ′ ( ) = ( ( ) − ( )) ∫ ( ( ( )= )= )= Biểu thức dấu ngoặc ( ), ( ) ( ) bị chặn | − ′| Do | − | đó, ta có (3.8) 28 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong phần đầu ta miền phẳng liên thông đơn giản, bất đẳng thức Korn có hàm trọng tương đương với tồn khơng gian Sobolev có hàm trọng tốn Divergence Tiếp theo sử dụng tính giải toán Divergence để chứng minh tồn nghiệm phương trình Stokes khơng gian Hilbert thích hợp 4.1 Sự tương đương với bất đẳng thức Korn Ta biết bất đẳng thức Korn toán divergence tương đương miền xác định quy Mở rộng kỹ thuật trước miền Holder- , ta mở rộng tương đương với khơng gian Sobolev có hàm trọng miền phẳng liên thơng hồn tồn Cho Ω ⊂ ℝ miền phẳng bị chặn = Ω → ℝ hàm trọng bị chặn thỏa mãn ≤ ( )≤ với ∈ tập compact ⊂ Ω, với số dương phụ thuộc vào Xét không gian Banach thương (Ω, , ) = {v ∈ 1, (Ω)2 ∶ v ∈ (Ω, với chuẩn (Ω, , ) = {w ∈ ‖v‖ ≔ ‖ v‖ 1, /{ℎằ với chuẩn ố}, (Ω, ) + ‖div v‖ (Ω) )2×2 div v ∈ (Ω)} /{ℎằ ố}, 29 ‖w‖ ≔ ‖ w‖ Ta khái quát điều kiện biên đưa vào (2.12) cho trọng tùy ý Ta định nghĩa không gian sau: (Ω, , ) = {v ∈ (Ω, , ) ∶ ∫ Ω w ∶ curl v = 0, ∀ w ∈ (Ω, , ) } Trên thực tế, dễ dàng để kiểm tra tọa độ tích tọa độ hai ma trận, ký hiệu với hai điểm, tích khơng đối xứng phản đối xứng Vì vậy, Ω ∫ Curl v : w = ∫(Curl v) : ( w) + ∫(Curl v) : ( w) , Ω Ω với số theo thứ tự phần đối xứng phản đối xứng ma trận Do đó, ∫ Curl v : w = ∫ Ω rot(w) Sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta thu được: |∫Ω Curl v : w | ≤ 2×2 − ≤ ‖v‖ ‖w‖ Ta viết = (Ω, , ), (Ω, + ‖div v‖ (Ω)‖rot(w)‖ (Ω) ) = (Ω, , ) = (Ω, , ) Trong phần trước ta định nghĩa khơng gian có hàm trọng khác với không ‖(Curl v) ‖ (Ω, )‖ (w)‖ gian phần , hai không gian giới thiệu để tìm định nghĩa rõ ràng tốn tử phân kỳ nghịch đảo Ta xây dựng biến thể tốn divergence có hàm trọng bất đẳng thức Korn miền phẳng bị chặn Cho Ω ⊂ ℝ miền bị chặn = Ω → ℝ hàm trọng bị chặn thỏa mãn (4.1) < < ∞ 30 Ta nói (Ω, , ) thỏa mãn tính chất divergence (4.2) cho (Ω) với giá trị trung bình khơng tồn trường v ∈ div v = với ‖v‖ ∈ cho ≤ ‖ ‖ (Ω), (4.2) phụ thuộc vào Ω Mặt khác, ta nói (Ω, , ) thỏa mãn tính chất Korn (4.2) tồn số phụ thuộc Ω cho inf ‖w − z‖ ≤ ‖ (w)‖ ∈ ∀w ∈ , = {z ∈ ∶ (z) = 0} Nhận thấy tính chất (4.2) (4.3) tương đương với tính chất tiêu chuẩn miền Lipschitz với ≡ 4.1.1 Bài toán divergence kéo theo bất đẳng thức Korn Trong mệnh đề ta chứng minh tính chất divergence (4.2) kéo theo tính chất Korn (4.3) = Mệnh đề 4.1 ([4]) Cho Ω ⊂ ℝ miền bị chặn = Ω → (0, ∞) hàm trọng bị chặn cho (Ω, 2, (4.2), (Ω, 2, ) thỏa mãn bất đẳng thức Korn (4.3) Chứng minh Cho w ∈và ta giả sử rot(w) ≔ − phân khơng Do đó, từ (4.2) tồn v ∈ cho div v = rot(w) ‖v‖ ≤ ‖rot(w)‖ 2(Ω) Bằng tính tốn đơn giản ta nhận thấy (w) = w − Do div v = rot(w) ta có (w): ( w − Curl v) = ( w − ) thỏa mãn tính chất divergence 31 = w : w − w : Curl v − ∶ ( w − Curl v) w : w − w : Curl v − 12 rot(w)(rot( ) − div v) = w : w − w : Curl v = bị chặn nên Vì v ∈ ‖ w‖22(Ω) = ∫ (w): ( w − Curl v) + ∫ w : Curl v Ω ≤ ‖ (w)‖ 2(Ω, −1)(‖ w‖ 2(Ω, ) + ‖Curl v‖ 2(Ω, )) ≤ ≤ Chia cho ‖ w‖ 2(Ω) ta có Ω ‖ (w)‖ 2(Ω, −1)(‖ w‖ 2(Ω, ) + ‖v‖ ) ‖ (w)‖ 2(Ω, −1)‖ w‖ 2(Ω, ) ‖w‖ cho rot(w) có giá trị trung bình khơng ≤ ‖ (w)‖ 2(Ω, −1) ∀w ∈ Với z ∈ ta viết z = ( rot(w−z)= + ,− + ) với , , ∈ ℝ Do đó, cho tùy ý w ∈ tồn z ∈ cho ∫ Kết ta có ‖w − z‖ ≤ ‖ (w − z)‖ 2(Ω, −1) = ‖ (w)‖ 2(Ω, −1), Suy điều phải chứng minh 4.1.2 Bất đẳng thức Korn kéo theo toán divergence Ta chứng minh (4.3) kéo theo (4.2) với < < ∞ Đặc biệt, với = ta khẳng định kết tương đương miền bị chặn liên thơng hồn tồn, Mệnh đề 4.2 ([4]) Cho Ω ⊂ ℝ = Ω → (0, ∞) hàm trọng bị chặn thỏa (4.1) < (Ω, , ) thỏa mãn tính chất Korn (4.3), (Ω, , ) thỏa mãn tính chất (4.2) Chứng minh Lấy u ∈ 1, (Ω)2 cho < ∞ cho 32 div u = Vì ‖u‖ 1, bị chặn nên u ∈ (Ω) ≤ ‖ ‖ (Ω) (Ω, , ) ‖u‖ ≤ ‖ ‖ Do tồn v ∈ với div v = thỏa mãn (Ω) u−v∈ (Ω, , ) ‖v‖ ≤ ‖ ‖ (Ω) Áp dụng ( ) ≔ ∫Curl u : w Ω với ∈ (Ω, − / )2×2 viết = xác định Hơn (w) với w ∈ (Ω, , ) Khi div u có giá trị trung bình nghĩa có nữa, áp dụng tính chất Korn (4.3) ta thu tính liên tục (Ω, − / )2×2 sau: | ( )| = |∫Curl u : w| ≤ Ω ‖Curl u‖ ‖Curl u‖ ≤ (Ω) (Ω) inf‖ (w − v)‖ ∈ ‖ (w)‖ 2(Ω, − (Ω) ) Theo định lí Hanhn-Banach thành (Ω, (Ω, − / 2×2 ) cho − / ) 2×2 , 33 ( )≔∫ ∶ Ω ‖ ‖ (Ω, ) ≤ với phụ thuộc vào Ω, Đặc biệt, ∫Ω ∶ (w) = ∫Ω Curl u : w, Khi đó, Vì thỏa mãn điều kiện (4.1) nên w đối xứng nên ta thay (w) (4.4) Ta có: với r ∈ ∫ Div ∙r=−∫ ∶ Ω (Ω) Div ‖ v‖ (Ω, ) = ‖Curl v‖ (Ω, ) Ω =‖ ‖ (Ω, ) tenso đối xứng ta có v1 div v = với Từ (4.4) ta có u − v ∈ r = ∫Div Curl v ∙ r = 0, Curl v = Ta kiểm tra div v = 0, Do v ∈ (Ω) Ta chứng minh Div σ = Ω = 0 Do r = ∫ Curl v ∶ Ω ∞ ∈ ‖v‖ = ‖ v‖ (Ω, ) =‖ ‖ (Ω, ) ≤ ‖ ‖ + v2 =− 12 + 21 = (Ω) (Ω, , ) Suy điều phải chứng minh □ 4.2 Ứng dụng vào phương trình Stokes Mục đích phần tồn nghịch đảo phải tốn divergence khơng gian Sobolev có hàm trọng Xét phương trình Stokes = Ω u Với miền bị chặn Ω Lipschitz, f ∈ −1 (Ω) tồn nghiệm (Ω) (u, ) ∈ 0(Ω) × Hơn nữa, đánh giá tiên nghiệm sau ‖u‖ +‖ ‖ ≤ ‖f‖ , với số 1(Ω) 2(Ω) −1 (Ω) phụ thuộc vào miền Ω Phát biểu yếu (4.5) viết sau với (u, v) = ∫ u : v Ω (v, ) = ∫ div v, Ω với v ∈ ( ) ℝ (Ω) , v ma trận vi phân v , cho hai ma trận = ( ) = × , ∶ =∑ , =1 Sự tồn (4.6) chuẩn song tuyến tính liên tục, coercive nhân toán tử ∶ → ′ liên hợp với , thỏa mãn điều kiện inf-sup inf (v, ) sub 0≠ ∈ 0≠v∈ > ‖ ‖ ‖v‖ Trong trường hợp tốn Stokes, ta chọn khơng gian = 01(Ω) = 20(Ω), tính liên tục dạng song tuyến tính coercivity 35 sinh bất đẳng thức Schwarz Poincare Vì vậy, tốn đưa chứng minh điều kiện inf-sup cho xác định sau inf 0≠ ∈ Ngoài điều kiện tương đương với tồn nghiệm div v = , với miền có đỉnh bên ngồi Với miền mà (4.7) khơng đúng, ta thay điều kiện điều kiện yếu Do ta làm việc với chuẩn trọng Xét không gian 2(Ω, −1) ⊂ 1(Ω) với ∈ 1(Ω) ∫Ω = với gian ,0(Ω, ∈ 2(Ω, ) = { ∈ (Ω, ) ∶ ∫Ω = 0} Định lí 4.3 ([7]) Cho ∈ (Ω) hàm trọng dương Giả sử với ∈ ‖u‖ (Ω) ≤ với số phụ thuộc Ω Khi đó, với f ∈ ) toán Stokes (4.5) Hơn nữa, ‖u‖ với (Ω) phụ thuộc +‖ ‖ (Ω, ) 1‖ ‖ −1 (Ω, −1 ) 0(Ω, tồn u ∈ (Ω) cho div u = −1 , ) (Ω) tồn nghiệm (u, ≤ ‖f ‖ −1 ) ∈ (Ω) × ,0(Ω, , (Ω) Ω Chứng minh Xét áp suất ta xét khơng gian ‖ ‖ ) Do ta xác định không = ,0(Ω, ) với chuẩn ‖ ‖ = (Ω, ) Vì thay đổi không gian áp suất, phải mở rộng chuẩn khơng gian vận tốc để bảo tồn tính liên tục dạng song tuyến Khi đó, ta xét với ‖v‖2 = ‖v‖2 1(Ω) + ‖div v‖22(Ω, −1) (Ω) = {v ∈ 36 ∶ div u ∈ (Ω, −1 )} Vì ‖v‖ 1(Ω) ≤ ‖v‖ , sử dụng bất đẳng thức Schwarz ta có tính liên tục × Ngồi ra, từ định nghĩa không gian dễ dàng thấy liên tục × Mặt khác, coercivity theo chuẩn nhân toán tử sinh từ bất đẳng thức Poincare nhân chứa trường vecto tự phân kỳ Ta chứng minh inf sub 0≠ ∈ 0≠v∈ ‖ ‖ ‖v‖ Thật vậy, cho ∈ tồn u ∈ ‖ (Ω) cho div u = ‖u‖ Hơn nữa, ‖div u ‖ 2(Ω, −1) = ‖ ‖ với phụ thuộc vào Khi đó, ‖ ‖ = Do ta có (4.8) ‖u‖ ≤ ‖ ‖ , ta có 1(Ω) ≤ 1‖ ‖ 2(Ω, −1) = 1‖ 37 38 KẾT LUẬN Luận văn khảo sát tính quy nghiệm phương trình dạng Divergence khơng gian hàm có trọng Cụ thể, khảo sát tính quy nghiệm phương trình div u = miền Holder− với lớp hàm trọng lớp hàm lũy thừa khoảng cách lớp hàm trọng Muckenhoupt Kết định lí 2.1, định lí 2.6, định lí 2.9, định lí 2.10, định lí 3.1 Kết ứng dụng vào để chứng minh bất đẳng thức Korn với tính quy nghiệm phương trình Stokes Kết trình bày định lí 4.3 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Acosta, R.G Duran and A Lombardi, Weighted Poincare and Korn inequalities for Holder- domains, Math Meth Appl Sci 29 (2006) 387-400 [2] G Acosta, R.G Duran and F Lopez Garcia, Korn inequality and divergence operator: Counterexamples and optimality of weighted estimates, Proceedings of the American Mathematical Society 141 (2013), 217-232 [3] G Acosta R.G Duran and M A Muschietti, Solutions of the divergence operator on John Domains, Advances in Mathematics 206 (2006) 373-401 [4] R Duran and F Lopez Garcia, Solutions of the divergence and analysis of the Stokes equations in planar domains, Math Mod Meth Appl Sci 20 (1) (2010) 95-120 [5] R Duran and F Lopez Garcia, Solutions of the divergence and Korn inequalities on domains with an external cusp, Ann Acad Sci Fenn Math 35 (2010), 421-438 [6] R.G Duran and M A Muschietti, An explicit right inverse of the divergence operator which is continuous in weighted norms, Studia Math 148 (2001) 207-219 [7] G P Galdi, An introduction to the Mathematical theory of the Navier-Stokes equations, Linearized steady problems I, Springer (1994) ... phương trình dạng divergence Luận văn tập trung khảo sát số kết quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng dạng divergence Các kết ứng dụng vào phương trình Stokes Mục tiêu thứ đề tài chứng minh tồn nghiệm. .. khảo sát số kết tính quy nghiệm phương trình dạng divergence với số ứng dụng Luận văn trình bày gồm chương: Chương Khái quát ký hiệu Nội dung chương trình bày phương trình divergence, với số định... PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Quỳnh Như MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải Tích Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA