Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình parabolic dạng divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT Số KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố HỒ Chí Minh - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT Số KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYÊN THÀNH NHÂN LỜI CẢM ƠN Trước hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Nhân, người trực tiếp hướng dẫn lựa chọn thực đề tài này, cảm ơn Thầy tận tâm bảo, giúp đỡ truyền đạt kiến thức để tơi hồn thành luận van Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt khoa Tốn- tin phòng sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Qua xin gởi lời cảm ơn đến bạn học viên lớp Tốn giải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp cổ cũ, động viên giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng năm 2019 Học viên Cao Phi Thơ DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU điểm điển hình R n R++ =không {x R:gian x >R 0} với điểm có x > B = {xquả Rcầu : |x|mở < r}tâm O, bán kính r R n n n n r n cầu B+ = nửa B \ {xquả > 0} r n Q = Bhình X (—r 0] lập2.phương parabolic r r C — hình B V -rĩ lậprĩ phương parabolic tâm gốc tọa độ yy r u r X ) Miền trụ với chiều cao T đáy Q c R Q = Q X (0;T) CQ°(QT) = {u C (Q ): u có giá compact Q } = {(x.t): x R ;t (0;T)} 12 Không gian=V(u 2(Q ) tập hợp hàm v W (Q ) cho: Vu(x.t) xi (x.t) .,u (x.t)) Gradient u n T T T n , T T Xn k ll lk(Q ) = p ll - L2(Q ) + II IIWI.2(QT) < cho với e,r > bất kỳ, ỗ = ố(e) > u nghiệm yếu ut — div(AVu) = divf Q thỏa mãn hai điều kiện sau B r \ {x > -ôr} Q B+ n r T Ỉ u = (ỠQ \ B ) ỗ2, X (—23r2, 2r2] 7r ■ ,)' |Q 5r |Á — / Á |6 J Q*r (0;2r ) Cr \ {(x,t) n : M|Vu|2 1} \ {(x,t) a : M|f|2 ố2} = 0, T T ta có đánh giá sau |{(x,t) QT : M(|Vu|2) > N12} \ Cr| c|Cr| Hệ 3.13 Tồn số N1 > cho với > e, r > 0, ố = ố(e) > u nghiệm yếu {ut — div(ÁVu) = divf Q u =0 dp Q T T [Á]BMO ố, @Q (ố, 63) — Reifenberg tính chất sau thỏa mãn: |{M|Vu|2 > N2} \ C (x, t)| > e|C (x, t)|, r (3.45) r (3.46) Cr(x,t) \ QT c {M|Vu|2 > 1} u {M|f|2 > ố2} Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Nếu C (x,t) thỏa mãn (3.45) kết luận (3.46) sai, tồn (x ,t ) Q \ C (x,t) cho r o iCn L |C„r M Q \C (x ,t ) |f |2 T | r o o o T r ố |Vu|8r 60 2; > '■ J ->T\Cr (xo,to) Nếu C (x, t) \ ỡpQ = 0, đánh giá (xem chương 1) 7r T Giả sử C (x,t) \ ỡpQ = Xét B (x) c B9 (x ), chọn y = (y ,y ) 7r T 7r r o n B7 (x) \ ỠQ Khi @Q (ố, 63r)— miền phẳng Reifenberg, ta có r Q D Q63r (0) D B9+ (x , 0) D B +(x) r r vài hệ tọa độ phù hợp Bây giờ, áp dụng Bổ đề 3.12 vào khối lập phương C (x , 0) thay e 9^+2, thu 9r |{(x, t) QT : M(|Vu|2)(x, t) > N12} \ C (x, t)| r |{(x, t) QT : M(|Vu| )(x, t) > \' } C (x ,0, t)| < 9r 9^|C9r| = e|C, |, điều mâu thuẫn với (3.45) ■ Hệ 3.14 Giả sử u nghiệm yếu ut — div(ÁVu) = divf Q T d Q p T [Á]BMO ỏ, @Q (ỏ, 63)— Reifenberg Giả thiết |{(x,t) QT : M(|W|2) >N12}| N2 }| 6P4 I(x,t) : M|f|2 >ỏ2N 2( (3.47) , c Khi ta có fc “^ + fc i ek|{(x,t) Qy : M|W|2 > 1}| Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề quy nạp Rõ ràng mệnh đề trường hợp k = Thật vậy, với Á = {(x,t) QT : M(|Vu|2) > Nỉ} B = {(x,t) QT : M(|f|2) > ỏ2} u {(x,t) QT : M(|Vu|2) > 1} Do @Q (ỏ, 63)— Reifenberg Khi từ (3.47), Bổ đề 3.11 Đinh lý 3.1, ta có |{(x,t) QT : M(|W|2) >N12}| Ci(|{(x,t) QT : M(|f| ) > ỏ }| + |{(x,t) QT : M(|W| ) > 1}|), 2 Giả sử mệnh đề với k nguyên dương Ta đinh nghĩa e = u tương ứng f = N Khi đó, ff nghiệm yếu với ff =0 @Q (u) — div(ÁVu) = divf Q D Q63 (r > 0), t T r thỏa mãn |{(x,t) - : M(|rf|2) >N12}| Ni2 }| k > ỏ2N12( (x,t) : M f fc_i) Ta viết bất đẳng thức thành I1 I , I1 = |{(x,t) QT : M(|rf|2) >Ni2 }|, k + ei|{(x,t) QT : M|rf|2 > 1} | k ổ2N12( (x, t) : M f > Ỉ2 = + € I {(x, t) Qy : M|Vu|2 > 1} I k-i) Ì Ta thực tính tốn đánh giá biểu thức I ; I sau: Với I , ta có I1 = |{(x,t) - : M(|rff|2) V"}| > N2 (x, t) QT : M = |{(X;t) - : M(|ru|2) >N12( +1)g| k Với I , ta có k I2 = X ổ2N12( eỉ + ck I{M|rff|2 > 1} I k-i) > ổ2N12( N1 |M + k-i) vX >1 N1 k X X ổ2N12( +1- ) eỉ k k + ck|{M|W|2 >N12}| i ổ N12( + “ ) k i + 4 ổ + |{M|Vu|2 > 1}|} k = X4 {M|f|2 >ổ2N12( +1" )| + ck+1{|{M|f|2 >ổ2}|} k i i=1 + ck+1|{M|Vu|2 > 1}| k+1 = X4 I {M|f|2 > ổ2N12( +1“ )| I + ek+1|{M|Vu|2 > 1}| k i Do I I , nên suy |{(X;t) QT : M(|ru|2) >N12( +1)}| k k+1 X4 ÍM|f| > ổ N / J XI II X 2(k+1 I + ek+1|{M|W|2 > 1}|; X IV I I J1 ' “ifỊ- i=1 suy mệnh đề với k + Vậy, theo phép chứng minh quy nạp mệnh đề với giá tri nguyên dương k 3.5 Kết quy nghiêm miền Reifenberg Định lý 3.15 Cho số thực p : < p < Có ỏ = ỏ (p) > cho u Wt ’ (Q ) T nghiệm yếu parabolic PDE ut — div(AVu) = divf Q T (3.48) u =0 ỡ Q p T với [A]BMO ỏ, toán tử P parabolic f L (Q ; R ) Vu L (Q ; R ) p T n p T n ta có bất đẳng thức sau HVU|| LP(QT) 6C (HU||LP(QT) + ||f IILP(QT)) C số khơng phụ thuộc vào u f Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả thiết |(x.t) QT : M(|Vu|2) > N2I < c|C'i| cách nhân PDE (3.48) với số nhỏ cân thiết Vì f L (Q ) nên p T M|fI2 P(p)(Q ) Do đó, ta có T ỹ N12p |{M|fI2 > ỏ2Ni2 }| C||M|f|2||)5IOT) C k k k=0 với C > số phụ thuộc vào ỏ N2.p (3.49) Mặt khác, ta có đánh giá X NỈ• ■ Mr ■ ■■ }I k=1 /k XNỈ X ĩI{MIf I2 > ỏ2N12( )} I + ek I{M I ruI2 > 1} I e 2k ! k-i k=1 /k = XN22k Xci\ỈMlfl2 > ỏ2N2(k~ih\ — / 1 / y £11 {M 1 > ỏ N1 y ! }1 N k=1 \i=1 / / + XN2 '4 I{M I ru12 > 1}I 2k k=1 — X (N1,C1) f N2 ~ I {MI f 12 > ỏ N2 ~ }I ) i X (k i) i=1 (k i} k=i + XỂ(Nfc1) ( I{M I ru12 > 1} I) k k=1 C X (Nfc1)‘ k=1 < 1, đến ta sử dụng (3.49) chọn e cho N c < Khi đó, từ đánh giá suy p M I ru 12 Lĩ (Q ), hay ru L (Q ) p r T Cuối cùng, ta chứng minh đinh lý chưong Định lý 3.16 Cho số thực p : < p < Có ỏ — ỏ(p) > cho u nghiệm yếu parabolic PDE {ut — div(Áru) — divf Q T ỡ Q u—0 p T với [Á]BMO ỏ, toán tử P parabolic đều, miền Q thỏa dQ(ổ, R) — Reifenberg hàm f L (QT; R ), u W (QT) ta có đánh giá sau p n 1P Ilullw1’p(QT) C|fk Lp(QT), C số không phụ thuộc vào u f Chứng minh Kết trường hợp p — cổ điển trường hợp < p < suy từ tính đối ngẫu nên ta cần chứng minh cho trường hợp p > Theo đinh lý 3.15 u = div(AVu + f) Q , ta có đánh giá sau t T llu|w1’ (QT) = II IILP(QT) + HrullL (OT) + ||Ar + f\\LP (QT ) U p ||U||LP(QT) + p u C (II IILP(QT) + llf\\LP(QT)) U + 2||A||L1(QT )||V ||LP(QT ) + 2||f ||pP(QT) U C (H ||LP(QT) + || Vậy, đinh lý chứng minh U f IILP(QT)) ; Kết luân Trong luận van này, tác giả tìm hiểu phương pháp đưa Wang S.-S Byun, để khảo sát tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính với liệu dạng divergence dựa bổ đề phủ Vitali bất đẳng thức dạng “level sets” Cụ thể hơn, tác giả đọc hiểu chứng minh lại cách chi tiết số kết tính quy nghiệm phương trình parabolic với hệ số khơng liên tục có dao động trung bình BMO nhỏ Có ba kết trình bày luận van, tương ứng với tính quy nghiệm địa phương tính quy nghiệm tồn cục phương trình parabolic hai trường hợp ứng với giả thiết khác miền xác định Kỹ thuật phương pháp xây dựng bất đẳng thức dạng “level sets” dựa đánh giá so sánh sai khác nghiệm yếu phương trình ban đầu với phương trình tương ứng Mặc dù luận van chưa thu kết mong đợi, tác giả cố gắng trình bày thật chi tiết rõ ràng chứng minh định lý tìm hiểu Các kết Wang S.-S Byun tìm hiểu luận van nhận nhiều trích dẫn báo gần Điều cho tác giả luận van có thêm niềm tin luận van tài liệu tham khảo có ích tiếng Việt cho sinh viên, học viên cao học người nghiên cứu quan tâm đến phương pháp chứng minh tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính 6 Tài liêu tham khảo [1] K Adimurthi, S S Byun (2019), Gradient weighted estimates at the natural exponent for Quasilinear Parabolic equations, Advances in Mathematics 348, 456511 [2] L A Caffarelli, I Peral (1998), On W estimates for elliptic equations in diver1,p gence form, Communications on Pure and Applied Mathematics 51, - 21 [3] G Di Fazio (1996), Lp estimates for divergence form elliptic equations with discontinuous coefficients, Boll Un Mat Ita l A(7) 10, 409 - 420 [4] S S Byun (2005), Parabolic equations with BMO coefficients in Lipschitz domains, Journal of Differential Equations 209(2), 229-265 [5] S S Byun (2007), Optimal W 1,p regularity theory for parabolic equations in di- vergence form, Journal of Evolution Equations 7(3), 415-428 [6] S S Byun, S Ryu (2017), Weighted Orlicz estimates for general nonlinear parabolic equations over nonsmooth domains, Journal of Functional Analysis 272(10), 4103-4121 [7] S S Byun, H Chen, M Kim, L Wang (2007), L regularity theory for linear p elliptic systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series A 18, 121 134 [8] S S Byun, L Wang (2004), Elliptic equations with BMO coefficients in Reifenberg domains, Conmmunications on Pure and Applied Mathematics 57(10), 1283 - 1310 [9] S S Byun, L Wang (2005), The conormal derivative problem for elliptic equations with BMO coefficients on Reifenberg on Reifenberg flat domains, Proceedings of London Mathematical Soc.ie.ty (3) 90, 245 - 272 [10] S S Byun, L Wang (2005), Parabolic equations in Reifenberg domains, Archive for Rational Mechanics and Analysis 176, 271-301 [11] S S Byun, L Wang (2005), Lp Estimates for Parabolic equations in Reifenberg domains, Journal of Functional Analysis 223, 44-85 [12] S S Byun, L Wang (2007), Parabolic equations in time dependent Reifenberg domains, Advances in Mathematics 212(2), 797-818 [13] L Grafakos (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall [14] L Wang (1990), On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations, Bulletin of the American Mathematical Society 22(1), 107-114 [15] L Wang (1992), On the regularity theory of fully nonlinear parabolic equations: I, Communications on Pure and Applied Mathematics 45(1), 27-76 ... HỌC Sư PHẠM THÀNH PHố Hồ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT Số KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... tính quy nghiệm phương trình parabolic dạng divergence khơng gian Wt ’ với < p < Cụ thể, chúng tơi tìm hiểu số p kết tính quy nghiệm phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều... trình bày theo ba chương: Chương Phương trình parabolic với hệ số khơng liên tục Chương khảo sát tính quy nghiệm phương trình parabolic với hệ số thỏa điều kiện BMO Chúng tơi chứng minh kết quy