Đặc trưng họ phân phối có chứa thống kê đủ

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THU HƯƠNG Đ¾C TRƯNG HO PHÂN PHOI CĨ CHÚA THONG KÊ ĐU LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2013 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THU HƯƠNG Đ¾C TRƯNG HO PHÂN PHOI CĨ CHÚA THONG KÊ ĐU Chuyên ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TỐN HOC Mã so : 60 46 15 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS.ĐÀO HUU HO Hà N®i - 2013 Mnc lnc Lài nói đau Thong kê đu m®t so ket qua can dùng 1.1 Đ%nh nghĩa thong kê đn 1.2 Đ%nh lý tách 1.3 1.4 Hai tính chat đ¾c trưng cna thong kê đn 11 1.3.1 Tính bat bien cna lưong thông tin Fisher 11 1.3.2 Đ%nh lý Bahudur 13 Hai ket qua ve đ¾c trưng phân phoi xác suat thơng qua tính hoi quy hang so .15 1.4.1 Đ¾c trưng phân phoi Gamma 15 1.4.2 Đ¾c trưng phân phoi chuan 17 Đ¾c trưng 2.1 HQ phân phoi có chÉa thong kê u 18 ắc trng cna phõn phoi mđt chieu m lũy thùa cna chúa thong kê đn khơng tam thưịng 18 2.2 HQ mũ vói tham so t%nh tien ty l¾ 23 2.3 Tính đn riêng đ¾c trưng phân phoi .34 2.4 Không gian đn đ¾c trưng phân phoi vói khơng gian đn .40 2.4.1 Không gian đn .40 2.4.2 Đ¾c trưng phân phoi vói khơng gian đn 42 Ket lu¾n 47 Tài li¾u tham khao 48 Chương Thong kê đu m®t so ket qua can dùng 1.1 Đ%nh nghĩa thong kê đu GiađósucáctaX cóđ®cmau ngau phân nhiênphoi cõ (X n: X , , Xn ), l¾p , A= ) là(X không gian mau, i HQ phân bo {Pθ, θ ∈ Θ} không gian (X , A ) thong kê S ánh xa tù (X , A ) vào không gian (S , B) Đ%nh nghĩa 1.1.1 Thong kê S đưac GQI thong kê đu đoi vái neu ∀A ∈ A , ta có the tìm đưac hàm ψA = ψ[S(x)] cho Pθ(A/S) = ψA Pθ − h.k.n, ∀θ ∈ Θ, đó, Pθ - h.k.n đưac hieu hau khap nơi đoi vái HQ HQ {Pθ } (1.1.1) đ® đo đưac chs Nói cách khác: Thong kê S đưoc GQI thong kê n neu xỏc suat cú ieu kiắn cna mđt bien co bat kì vói đieu ki¾n thong kê S nh¾n giá tr % xác đ%nh khơng phu thu®c vào tham so θ De dàng nh¾n thay thong kê sau đn cho phoi tương úng: HQ phân S(X) = X1 + X2 + + Xn đn cho tham so p cna phân phoi nh% thúc 2.Poisson S(X) = X1 + X2 + + Xn đn cho tham so λ cna phân phoi nn Xi đn cho tham so kì vQNG θ cna phân phoi S(X) = X = Σ chuan i=1 Đoi vói phân phoi Gamma Γ(α, β) ( đn hai chieu cho (α, β) Q Σ i= i= 1 X) i n Xi n thong kê , Thong kê thú tn (X(1), X(2), , X(n)) đn đoi vói HQ {Pθ} Rõ ràng ton tai thong kê đn khác đoi vói m®t HQ phân phoi {Pθ} (vì thong kê thú tn ln đn cho {Pθ} ) nên ngưịi ta mong muon tìm đưoc thong kê đn " bé nhat" theo m®t nghĩa đó, tù ta đưa đ%nh nghĩa sau đây: Đ%nh nghĩa 1.1.2 Thong kê T : (X , A ) → (T, T ) đưac GQI thong kê đu cnc tieu đoi vái HQ {Pθ } neu T m®t hàm cua thong kê đu S bat kỳ khác ( e đây, kí hi¾u T vùa đưoc hieu thong kê T , vùa đưoc hieu không gian giá tr% cna T Sn trùng chac không gây sn hieu lam nào.) thong kê đn xác S : (X (S là, B), ta có T −1đoi (T )vói⊂ HQ S −1(B), Chính hơn,, TA−1)se→GQI đn cnc tieu {P } −1 neu MQI T (T ) ⊂ A S (B) ⊂ A nhung ngh%ch anh cna đai θso T B đoi vói ánh xa chi −1 −1 đn thay S thoa (B) ⊂ nhiên T −1(Tlà:) Neu ST (B) T −1tieu (T ) vàthong S se Ta cómãn m®tSđieu hien đn=cnc kê m®t thong kê đn cnc tieu De cnc dàng thay đai L(θ1 | X) thong kê đn tieu đoit¾p vói Σcác {Pθ ,tyθso=hop θ1 ∪lýθcnc } Đoi vói HQ phân phoi Poisson P (λ) S(X) = Xi đn cnc tieu cho λ 1.2 Đ%nh lý tách  Đ%nh lý tách m®t đ%nh lý rat ban cho sn mô ta ve phân bo mà thong kê S(x) cho thong kê đn Đ%nh lý lan đau tiên đưoc thiet l¾p boi Holmos Savage (xem [4]), cịn dang tőng qt đưoc chúng minh sóm boi Fisher Neyman (xem [1]) Gia su tat ca phân bo {Pθ , θ ∈ Θ} l liờn tuc tuyắt oi oi vúi đ o Trong trưịng hop ta se nói HQ {P } oc lm trđi boi đ o %nh lý 1.2.1 Đe thong kê S : (X , A ) → (S , B) đu đoi vái HQ {P } ac lm trđi bỏi à, ieu kiắn can v u l hm mắt đ dP /dà = p(., θ) đưac phân tích thành: p(x, θ) = R[S(x); θ]r(x) (1.2.1) µ − h.k.n, θ ∈ Θ, đó, R(., θ) m®t hàm B - đo đưac khơng âm r m®t hàm A - đo đưac khơng âm Chúng minh Đe chúng minh đ%nh lý này, ta su dung b e ve mđt ắc trng metric m chúng minh cna se bo qua (xem [8]) Bo đe 1.2.2 Neu HQ {Pθ } b% làm trđi bỏi đ o , ú ton tai m®t HQ đem đưac {Pθ1 , Pθ2 , } cho neu Pθi (A) = vái i = 1, 2, ta suy Pθ (A) ≡ vái MQI θ Σ Σ Xét đ® đo xác suat λ = ciPθi, ∀ci > ci = Đ® đo hien nhiên có tính chat neu λ(A) i= Pθ (A) ≡ ivói MQI θ ngưoc lai Đieu ki¾n can: Gia su thong kê S đn đoi vói {Pθ} Khi đó, neu Pθ(A|S) = ψA λ(A|S) = ψA Th¾t ra, vói bat kì B ∈ S−1(B), ta có Σ Σ Σ ∫ ψA dλ = ∫ ψA d ci Pθi Σ = ci ∫ ψA dPθi = ci ∫ dPθi B i B i B = Σ ciPθi (B ∩ A) = λ(B ∩ A) i B∩A i Đ¾t dPθ /dλ = fθ Kí hi¾u IA hàm chi tiêu cna t¾p hop A, ta có vói bat kì A ∈ A , Eλ (IA fθ ) = Pθ (A) = Eθ [Pθ (A|S)] = Eλ [fθ Pθ (A|S)] = Eλ [fθ λ(A|S)] = Eλ [Eλ (fθ |S)λ(A|S)] = Eλ [Eλ {IA Eλ (fθ |S)|S}] = Eλ (IA Eλ (fθ |S)) Do fθ = Eλ (fθ |S) λ − h.k.n, túc hàm mắt đ f l B - o oc Hn the nua p( ; θ) = dPθ \dµ = (dPθ /dλ)(dλ/dµ) = fθ r boi fθ = fθ (S), ta nh¾n đưoc dang phân tích (1.2.1) Σ Đieu ki¾n đu: Tù (1.2.1), suy dλ/dµ = r R(S, θi) = r.G(S) i R[S(x), θ]/G[S(x)] neu G[S(x)] > θ˜ (x) = Ta đ¾t: f 0 neu G[S(x)] = ˜ De thay hàm f θ B - đo đưoc, m®t phương án đao hàm cna dPθ /dλ , f˜θ = fθ λ − h.k.n Vói A ∈ A , ta có: Eθ [Pθ (A|S)] = Pθ (A) = Eλ [fθ IA ] = Eλ [Eλ (fθ IA |S)] = Eλ [fθ Eλ (IA |S)] = Eθ [Eλ (IA |S)] = Eθ [λ(A|S)] B S −1đúng (B) vói VóiMQI nhung thúc dang: Vì quan h¾∈này A ∈bien A , co nênnhư v¾y đúngh¾vói bien co có A∩ B, Eθ [IB Pθ (A|S)] = Eθ [IB λ(A|S)] Tù đó, rõ ràng rang Pθ(A|S) = λ(A|S) Pθ − h.k.n Đieu nói lên m®t cách xác rang thong kê S đn Ví dn: Chang han xét X1, X2, , Xn đc lắp cựng phõn phoi chuan N (, 2) Khi ú mắt đ ong thũi l: Σ θ n Σ  −  σ ( exp 2)n i=1 Xi + σ2 n  θ Xi − 2σ i=1do theo đ%nh lý n thong kê S(X) = ( Σ1.2.1, Σn 2 (θ, σ ) Nh¾n xét: i= Xi , i= Xi ) đn cho Chúng ta se chi rang neu S thong kê đn đoi vói HQ đưoc làm tr®i {Pθ } vói MQI hàm đo đưoc giá tr% thnc φ(x) vói Eθ |φ| < ∞, ∀θ ∈ Θ, ton tai m®t hàm φ˜ thoa mãn: Pθ − h.k.n, θ ∈ Θ Eθ (φ|S) = φ˜ (1.2.2) Chúng minh Đ¾t ΘN = {θ ∈ Θ : N < Eθ|φ| ≤ N + 1}; rõ ràng ∞ N[=0 ΘN = Θ Úng vói moi ΘN , ta xây dnng m®t đ® đo λN tương tn ta xây dnng đ® đo λ đoi vói Θ, đ¾t: v= ∞ Σ λN /2 N N =0 Đ® đo v se khác vói đ® đo λ mà đưoc xây dnng trưóc đó, chi o cho Ev|φ| < ∞, Eλ|φ| có+1 the vơ han Bây giị ta tien hành tương tn chúng minh đieu ki¾n đn cna đ%nh lý 1.2.1 nh¾n đưoc: Eθ(φ|S) = Ev(φ|S) Pθ − h.k.n, θ ∈ Θ Bo đe 2.3.5 Neu µ liên tnc tuyắt oi oi vỏi đ o Lebesgue v (2.3.13) đưac thóa mãn, ψ(u) trùng vái m®t đa thỳc bắc k no ú - h.k.n Chỳng minh Chúng ta se su dung phương pháp quy nap Vói k = 0, khang đ%nh đưoc chúng minh tù bő đe 2.3.1 Bây giị, gia su đieu tói k = s − chi vói k = s Gia su đó: s ψ(σu) =Σ σjφj (u) µ − h.k.n (2.3.17) j=0 Do ta bősuy đe 2.3.4, chúng ra: φ0(u) = const = c µ − h.k.n Tù (2.3.17), s Σ ψ (σ u) − c j σ = σ j−1φ∗(u), j= (2.3.18) đó, φ∗j (u) = φj (u)/u Gia su ψ ∗(u) = (ψ(u) − c)/u Khi có: Σ s−1 ∗ ψ (σu) = σ φ∗j (u) µ − h.k.n j j=0 gia thiet quy nap có: Σψ (u) − s−1 c ψ ∗(u) = = uj µ − h.k.n a j u j=0 khang đ%nh cna bő đe se đưoc suy H¾ thúc (2.3.12) có the đưoc viet lai sau: ∞ ∫ e k iτ u tù suy ra: k j aj(σu) dµ(u) ∫∞ = Σj= u e iτ σjφj(u)dµ(u) Σj= φj(u) = ajuj µ − h.k.n túc là: j E (qj|X) = ajX vói j = 0, 1, , k Do nh¾n đưoc: E1{Q(X1|X, , Xn|X)|X} = const (2.3.19) H¾ thúc (2.3.19) ket qua cna Linmik, Ruhkin Strelits (đ%nh lý 1.4.1); Các tác gia chi rang, nhung đieu ki¾n cu the cho đa thúc Q, cho hàm phân phoi F cna Xi, (2.3.19) kéo theo Xi có phân phoi Gamma Đieu cho phép trình bày ket qua tiep theo Đ%nh lý 2.3.6 Gia su (X1, , Xn) m®t mau ngau nhiên cã n ≥2 +1 đưac rút tù m®t bien ngau nhiên vái hàm phân phoi F (x/σ), σ ∈ R Gia su F thóa mãn đieu ki¾n cua đ%nh lý 1.4.1 Neu đa thúc Q thoa mãn đieu ki¾n cua đ%nh lý thóa mãn: Eσ{Q(X1|X, , Xn|X)|X} = ψ(X) h.k.n, Pσ − (2.3.20) + đoi vái MQI σ ∈ R1 , F hm phõn phoi Gamma Mđt lan nua chỳng ta nhắn thay tính đan cna (2.3.20) đoi vói đa thúc Q b¾c k “ dang tőng quát” se suy sn ton tai cna momen MQI cap cna hàm phân phoi F (x) chi can F (0) = 0, F ∗n liên tuc tuy¾t đoi ∫∞xk dF (x) < ∞; Và khơng can thiet phai thêm bat kì nhung đieu ki¾n F 2.4 Khơng gian đu đ¾c trưng phân phoi vái khơng gian đu Không gian đu Gia su (X1, , Xn) m®t mau ngau nhiên đưoc rút tù bien ngau nhiên có hàm phân phoi F (x, θ), x ∈ R1, θ ∈ Θ, và: dPθ = dF (x1, θ) dF (xn, θ) Gia su đoi vói so nguyên k ≥ vói ∫ x2kdF MQI θ (x, θ) < ∞ (2.4.1) Khi đó, t¾p đa thúc Q(X1, , Xn) có b¾c k se lắp thnh mđt k khụng gian Hilbert L(2) vói tích vơ hưóng (Q1, Q2)θ = Eθ(Q1Q2) Gia su L thong không gianchúng cna L(2) Dna nghĩa sn tương đoi vói khái ni¾m kê đn, ta đưa đ%nh sau tn đây: k Đ%nh nghĩa 2.4.1 L đưac {Pθ } neu vái HQ L(2) vào θ, cho: đó, MQI Q ∈ GQI k m®t khơng gian Lk(2) _ đu đoi vái ton tai m®t q ∈ L, khơng phn thu®c Eˆθ (Q/L) = q, Eˆθ (./L) phép chieu lên L (hay kì (2.4.2) VQNG tốn có đieu ki¾n theo nghĩa r®ng), tích vơ hưáng (., )θ L(2)k tương úng vái đ® đo P θ L ưóc khơng giankhơng đn, ∈ cna L vàhàm mđt phan Q =L(2) oc nhNeu l mđt long chắch tham sotùγ(θ) EθQ, khicoi k áp dung đ%nh lý Rao - Blackwell đoi vói thong kê q = Eˆ (Q/L), có: γ(θ) = Eθ q V arθ (q) ≤ V arθ (Q) vói MQI θ Hơn the nua, vói θ co đ%nh, thúc xay neu chi neu, đoi vói mãn ki¾nQ1∈∈L.L,Như MQI đa thúc Q ∈ L(2) − L khơng the nh¾n vào θđieu v¾y, sn có m¾t cna khơng gian đn L mà thoa lóp ưóc lưong khơng ch¾ch cna hàm tham so γ(θ) = Eθ Q, vói hàm k tőn that b¾c hai Chúng ta se xây dnng m®t lý thuyet tam thịi cna tính đn, túc mô ta tat ca F (x, θ) mà có ton tai m®t khơng gian đn khơng tam k thưịng (khác L(2) ); cho m®t HQ the phai m®t sn mo r®ng hop lý cna HQ mũ (2.1.5) De thay, đieu ki¾n đe ton tai m®t khơng gian đn khơng tam thưịng có the đưoc bieu dien chi ngôn ngu cna momen: µ1(θ) = ∫ xdF (x, θ), , µ2k(θ) = ∫ x2kdF (x, θ) e chi dùng lai o nhung trưòng hop đơn gian, l mđt tham so t%nh tien hoắc ty lắ v L l mđt khụng gian cna cỏc đa thúc cna X Đ¾c trưng phân phoi vái không gian đu Đ%nh lý 2.4.2 Gia su (X1, , Xn) m®t mau ngau nhiên đưac1 rút tù m®t bien ngau nhiên có hàm phân phoi F (x − θ), θ ∈ R , dPθ = dF (x1 − θ) dF (xn − θ) L = {a0X + · · · + ak} k Neu 2k momen đau tiên cua F trùng vái momen tương úng cua lu¾t chuan đó, L m®t khơng gian L(2) - đu đoi vái HQ k ∫ conθ} L(2) {P Neu F thóa mãn đieu ki¾n x2kdFđau (x)tiên < ∞, m®tvái khơng đu n ≥ 3, 2k momen cuaLF trùng gian k momen tương úng cua lu¾t chuan Chúng minh Gia su F hàm phân phoi chuan MQI đa thúc Q ∈ Lk(2) có the đưoc bieu th% sau: k Q = X Q0(X1 − X, , Xn − X) + X k−1 Q1(X1 − X, , Xn − X) + · · · + Qk(X1 − X, , Xn − X) Qi đa thúc Nhưng, neu Xi chuan, X vectơ (X1 − X , , Xn X) l đc lắp Do ú: k Eθ(Q|X) = a0X + · · · + ak, (2.4.3) đó: aj = Eθ(Qj|X) = Eθ(Qj) = E0(Qj) (2.4.4) Do Eθ (Q|X) ∈ L, Eˆθ (Q|X) = Eθ (Q|X) (2.4.3), L m®t khơng gian Lk(2) - đn, neu F hàm phân phoi chuan Nhưng hai hàm phân phoi mà 2k momen đau tiên trùng se cam sinh m®t tích vơ hưóng L(2) Do đó,cna neulu¾t 2k momen đau tiên cna F trùng vói 2k momen đau tiên chuan thì: k k Eˆθ (Q|L) = X + ak a0 đó, a0, , ak giong (2.4.4) Đieu chúng minh khang đ%nh đau tiên cna đ%nh lý ∫ Bây giò, gia su x2kdF (x) < ∞, n ≥ L k - đn Đau tiên, L(2) chi rang neu Q ∈ L(2) kcó dang: Q = Q(X1 − X, , Xn − X) đó: Th¾t v¾y, gia su: Eˆθ (Q|L) = const = Eθ Q = E0Q k X + ak Eˆθ (Q|L) = q(X) = a0 EθQ = Eθq, E0Q = E0q(X + θ) Chúng ta bieu th% q(X + θ) theo lũy thùa cna X: k q(X + θ) = A0(θ)X + · · · + Ak(θ) Aj(θ) nhung đa thúc cna θ Neu a0 0, b¾c cna Ak(θ) k, j cna Aj(θ) khác khơng vưot q (k − 1) Đ¾t E0Q = c, E 0X có: A0(θ)vk + A1(θ)vk−1 + · · · + Ak(θ) = c, θ ∈ R1 = v j, Ak(θ) ≤ k −đong Do đó,này a0 =chi0, bang phápđưoc tươngneu tn, b¾c chúngcna ta có Nhưng phép nhat có thephương thnc hi¾n theGia chi a = · · · = a = j k−1 su µ1j = x dF (x) đoi vói j = 1, Neu Q = Q(X ∫ − X, , Xn − X) chúng minh Eˆ0 (Q|L) = E0Q hay có the đưoc viet lai là: đoi vói MQI q ∈ L E0[Qq] = E0Q.E0q, q = q(X) (2.4.5) Chúng ta (Xà X1) , q = X Khi h¾ thúc (2.4.5) cho phép ta bieu th% Q µ3=qua µ2 Nói chung, neu nh¾n đưoc s momen đau tiên, s ≤ 2k − 1, đe xác đ%nh µs+1, tien hành làm sau: gia su r = min(k, s); (2.4.5), đ¾t: Q = (X − X2)r−1(X1 − X ), q = X s+1−r Khitheo đó, tự hắ ta secỏch bieuú, dienneu às+1 th% oc so thỳc hangnhắn , oc ,chỳng Theo haibieu momen đau tiên cna F co đ%nh,1 µ3, µ4 s , µ2k se đưoc xác đ%nh nhat boi chúng De dàng chi rang chúng momen cna lu¾t chuan ( đoi vói F the, L khơng gian L(2) k Đ%nh lý 2.4.2 đưoc chúng minh - đn) Bây giò, quay tro lai vói tham so ty l¾ Đ%nh lý 2.4.3 Gia su (X1, , Xn) m®t mau ngau nhiên đưac rút tù m®t bien ngau nhiên có hàm phân phoi F (x|σ), σ ∈ R1 , k + dPσ = dF (x1/σ) dF (xn/σ), L = {a0X + · · · + ak} Neu 2k momen đau tiên cua F trùng vái momen tương úng cua phân phoi Gamma đó, L m®t khơng gian L(2) k - đu đoi vái HQ + {Pσ : σ ∈ R1 } thúa ieu kiắn: = dF phõn (x) < ∞,suy F (0) L(2Neu - đuFđoi váimãn HQ {P }, ho¾c 2k F làx2k hàm phoi bien=ho¾c σ ) L 2k momen đau tiên cua F trùng vái momen tương úng cua phân phoi Gamma Chúng minh Gia su F phân phoi Gamma xét Eσ(Xj1 Xj n| X), n j1 + + jn = j ≤ k Chúng ta có: j1 E (X X jnn |X) = X σ j σ[(X1 /X) j1 jn (X n /X) |X] Neu F phân phoi gamma, X vectơ (X /X, , Xn/X) đc lắp; ieu ny oc suy trnc tiep X thong kê đn đay đn đoi j vói HQ {Pσ } Do đó, ve phai cna thúc tro thành , cX c giá tr% hang so cna: Eσ[(X1/X)j1 (Xn/X)jn|X] Do đó, vói mQI Q ∈ kL(2) , có Eˆσ (Q|L) = Eσ (Q|X) L k L(2) - đn Đieu vói hàm phân phoi F mà có 2k momen đau tiên trùng vói 2k momen đau tiên cna phân phoi gamma Bây giò, quay lai khang đ%nh hai cna đ%nh lý Gia su L không gian L(2)k - đn Chúng ta se chi rang, momen µ3, , µ2k cna F se đưoc xác đ%nh nhat qua momen µ1 µ2 Thắt vắy, gia su cỏc momen à3, , µs, s < 2k, đưoc xác đ%nh Neu s ≤ k, xét đa thúc: X s1− aX1s−1X2, đó, hang so a đưoc xác đ%nh tù đieu ki¾n: 1 E1(Xs − aXs−1X2) = 0, túc a = µs/µs−1µ1 Chúng ta thay rang a có the bieu dien đưoc qua momen biet - đn suy ra: k Tù đieu ki¾n L(2) σ 1 Eˆ (Xs − k Σ aj 2|L) = X j j= aXs−1X Do đó: Eσ(Xs − aXs−1X2) = Eσ Σ ajXj Σ k 1 j=0 Nhưng ve trái h¾ thúc thoa mãn σsE1(Xs − aXs−1X2) = 0, bang = Σk k 1 cách cHQN a và: j Eσ Σ ajX j= j Σ j=0 ajσjE1X j Vì E1 X > 0, đoi vói j = 0, 1, , k, có aj = vói j Do đó: Eˆσ (X s − aX s−1 X2 |L) = (2.4.6) 1 tù nh¾n đưoc: 1 E1[(Xs − aXs−1X2)X] = µs+1 đưoc xác đ%nh nhat Neu s > k, xét đa thúc X k − bXk−1X2, b đưoc MQI 1 cHQN theo E1(X1k − bX1k−1 X2 ) = Lý lu¾n tương tn, tù đieu ki¾n L(2)k - đn, nh¾n đưoc: 1 E [(Xk − bXk−1X s−k+1 )X ]=0 µs+1 đưoc xác đ%nh nhat su cỏc momen à1 v à2 oc liờn hắ vúi boiBõy hắ giũ, thỳcchỳng à2 =ta àgia De dng chi rang đieu chi có the xay F suy bien, tat nhiên L L(2)k - đn Neu đoi vói hàm phân phoi µ2 > µ1 2, ln ln tìm đưoc phân phoi gamma F* vói µ1 µ2gamma hai momen đoiµvói hàm phân phoi F mà phoi đó, đau L tiên L(2) cna - đn,nó cácBoi momen 3, , µ2k đưoc xác đ %nh có 2k momen đau tiên trùng vói moment tương úng cna hàm phân nhat boi µ1 µ2, đieu xay đoi vói hàm phân phoi gamma Do đó, đ%nh lý đưoc chúng minh k Ket lu¾n Ban lu¾n văn sâu tìm hieu trình bày đ¾c trưng HQ phân phoi có chúa thong kê đn: Đ¾c trưng phân phoi quy m®t chieu mà lũy thùa cna chúa thong kê đn khơng tam thưịng Neu giói han HQ mũ vói tham so t%nh tien v ty lắ thỡ dang hm mắt đ đưoc chi Đ¾c bi¾t, thong kê đn X neu mũ vói tham so t%nh tien phai HQ chuan, cịn neu HQ HQ mũ vói tham so ty l¾ phai HQ phân phoi Gamma Đ¾c trưng HQ phân phoi boi tính đn riêng cna trung bình mau (liên quan đen phân phoi chuan phân phoi Gamma) Đ¾c trưng HQ phân phoi boi tính chat cna khơng gian đn sinh boi lũy thùa cna trung bình mau Do thịi gian trình đ® cịn han che nên tơi khơng c¾p nh¾t đưoc ket qua mói sau năm 2000, v¾y tơi rat mong nh¾n đưoc sn chi bao đóng góp cna thay cơ, ban bè M®t lan nua, tơi xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Đào Huu Ho, Nguyen Văn Huu, Hoàng Huu Như (2004), Thong kê tốn HQc, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Tieng Anh [2] Dynkin, E B (1951), Neccessary and sufficient statistics for families of probability distribution, Uspekhi Matem Nauk VI, 66 [3] Ferguson, T (1962), Location and scale parameters in expomential families of distributions, Ann Math Statist 33, 986, 1001 [4] Halmos, P R and Savage, L J Application of the Padon Nykodym theorem to the theory of sufficient statistics, Ann Math Statis 20 (1949), 225, 441 [5] Kagan A M, Theory of estimation of families with shift - scale and expomential parameters, Trudy Matem Inst Steklov AN SSSR 104 (1968), 19-87 [6] Kagan A M, Linik Y.U and Rao C.R (1973) Characterization Problems in Mathematical Statistics, John Wiley and Sons NewYork [7] Kagan F M, Some theorems characterizing gamma distributions and distributions close to them, Litovsku Matem Sbornik VIII (1968), 265 [8] Lehmann, E Testing of statistical Hypotheses (1959), John Wiley, New York [9] Shohat, J.A and Tamarkin, J.D The problem of moments (1943), Anner Math Soc Colloquium Publ, NewYork [10] Zinger, A.A and Linnik, Yu V On class of differential equations and its application to some problems of regression theory, Vestnik Leningrad Univ 7(1957), 121-130 ... đ¾c trưng phân phoi xác suat thơng qua tính hoi quy hang so .15 1.4.1 Đ¾c trưng phân phoi Gamma 15 1.4.2 Đ¾c trưng phân phoi chuan 17 Đ¾c trưng 2.1 HQ phân phoi có chÉa thong kê. .. N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THU HƯƠNG Đ¾C TRƯNG HO PHÂN PHOI CÓ CHÚA THONG KÊ ĐU Chuyên ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC Mã so : 60 46 15 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC... thong kê đu 18 Đ¾c trưng cna phân phoi m®t chieu mà lũy thùa cna chúa thong kê đn khơng tam thưịng 18 2.2 HQ mũ vói tham so t%nh tien ty l¾ 23 2.3 Tính đn riêng đ¾c trưng phân phoi .34