Chiến lược đầu tư tối ưu cực tiểu hóa phương sai với thời gian rời rạc

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Đő Quoc Hoàn CHIEN LƯeC ĐAU TƯ TOI ƯU CUC TIEU HÓA PHƯƠNG SAI VéI THèI GIAN RốI RAC LUẳN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2013 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Đő Quoc Hoàn CHIEN LƯeC ĐAU TƯ TOI ƯU CUC TIEU HÓA PHƯƠNG SAI VéI THèI GIAN RèI RAC Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQC Mã so: 60.46.15 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Nguyen Th%nh Mnc lnc Lài nói đau Chương Kien thÉc chuan b% .5 1.1 Quá trình ngau nhiên 1.2 Không gian L2(P ) 1.3 Kỳ vQNG đieu ki¾n Martingale .6 1.3.1 Không gian xác suat đưoc LQc 1.3.2 Kỳ vQng đieu ki¾n 1.3.3 Martingale Chương SE ton tai cau trúc cua m®t chien lưac toi ưu 11 2.1 Van đe ban 11 2.2 Sn ton tai cna chien lưoc toi ưu .15 2.3 Cau trúc cna chien lưoc toi ưu .17 2.4 Cau trúc cna chien lưoc toi ưu vói đ® đo dau 28 Chương SE lEa cHQN chien lưa c von ban đau 34 3.1 Sn lna cHQN toi ưu cna chien lưoc von ban đau 34 3.2 Chien lưoc cnc tieu hóa phương sai 36 3.3 Biên trung bình phương sai 36 Chương NhEng trng hap ắc biẳt v cỏc vớ dn 39 4.1 Nhung trưịng hop đ¾c bi¾t 39 4.1.1 Trưòng hop martingale 39 4.1.2 Trưịng hop H có the đat tói đưoc (theo nghĩa LH = T P - h.c.c) 40 4.1.3 Trưịng hop X có m®t q trình cân bang trung bình phương sai xác đ %nh 41 4.2 Các ví du tưịng minh 45 Ket lu¼n 52 Tài li¼u tham khao 53 LèI NĨI ĐAU Th% trưịng tài nơi dien hoat đ®ng trao đői, mua bán quyen su dung nguon tài thơng qua nhung phương thúc giao d%ch cơng cu tài nhat đ%nh Th% trưịng tài tőng hịa quan h¾ cung cau ve von nen kinh te Nói m®t cách đơn gian , th% trưịng tài nơi dien hoat đ®ng mua bán loai giay tị có giá, nơi g¾p gõ cna nguon cung ve von cau, qua hình thành nên giá mua giá bán loai cő phieu, trái phieu hình thành loai von đau tư bao gom: lãi suat vay, lãi suat cho vay, lãi suat ngan han, lãi suat trung dài han Trong th% trưịng tài chính, giá cna m®t so tài san rni ro ( ví du, cő phieu, trái phieu ) yeu to ngau nhiên, túc giá cna khơng the đốn trưóc đưoc Khi đau tư vào th% trưịng tài vói so von ban đau c, mong muon lna cHQN m®t chien lưoc toi ưu nhat, túc mua vào ho¾c bán the đe có lịi ho¾c phai đat đưoc lo ròng thap nhat Trong pham vi đe tài chúng tơi đe c¾p đen đieu ki¾n đe ton tai m®t chien lưoc toi ưu, nghiên cúu cau trúc cna m®t chien lưoc toi ưu Bên canh chúng tơi đe c¾p đen vi¾c lna cHQN chien lưoc toi ưu von ban đau cho phù hop vói chien lưoc toi ưu Lu¾n văn chia làm bon chương: q trình ngau nhiên, khơng L2 (P kì bày vQNGnhung đieu khái ki¾nni¾m Martingale Chương Kien thÉcgian chuan b% ),Trình ban làm so cho chương sau Chương SE ton tai cau trúc cua m®t chien lưac toi ưu Trình bày van đe ban cna lu¾n văn, sn ton tai cau trúc cna chien lưoc toi ưu Chương SE lEa cHQN chien lưac von ban đau Trình bày ve sn lna cHQN chien lưoc toi ưu von ban đau Chương NhEng trưàng hap ắc biẳt v cỏc vớ dn a mđt so trũng hop ắc biắt v mđt so vớ du tũng minh Qua đây, tơi xin đưoc gui lịi cam ơn sâu sac đen ngưịi thay, ngưịi hưóng dan lu¾n văn cna mình, TS Nguyen Th%nh, ngưịi đưa đe tài t¾n tình hưóng dan suot q trình làm lu¾n văn cna tác gia Tơi xin cam ơn thay khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, ắc biắt l cỏc thay cụ bđ môn Xác suat Thong kê truyen đat cho nhieu kien thúc quý báu Cuoi xin cam ơn thành viên lóp cao HQc chuyên ngành Lý thuyet xác suat thong kê toán HQc khóa 2009-2011 ln đ®ng viên, giúp đõ tơi q trình hồn thành lu¾n văn Do thịi gian trỡnh đ cũn han che, chac chan ban luắn khơng the tránh khoi nhung thieu sót, tác gia rat mong nh¾n đưoc sn chi bao t¾n tình cna thay cô ban, tác gia xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng năm 2013 HQc viên Đő Quoc Hoàn Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Q trình ngau nhiên nhiên X t¾p = {X t ∈ T }, GQI hàmt bien nhiên (vúithỡ GiatasukýT hiắu l mđt , han Neu Xvúilmoi ∈ T ngau , Xt bien ngau tham bien t T ) ã Neu T l em đưoc ta GQI X = {Xt, t ∈ T} q trình ngau nhiên vói tham so rịi rac Neu T = N ta GQI X = {Xn, n N} l dóy cỏc bien ngau nhiờn mđtã phía • Neu T = Z ta GQI X = {Xn, n ∈ Z} dãy bien ngau nhiên hai phía m®t cna tham đưịngsothang thnc ta GQI X = {Xt, t ∈ T} •làNeu qTtrình ngaukhoang nhiên vói liên tuc 1.2 Khơng gian L2(P ) 2 )= trênKý (Ω,hi¾u F, PL))(Psao choL (Ω, F, P ) t¾p hop bien ngau nhiên X (xác đ%nh E|X|2 < ∞ Khi đó, X ∈ L2(P ), ta ký hi¾u ||X||2 = (E|X| ) đưoc GQI chuan b¾c cna X Hai bien ngau nhiên X, Y ∈ L2 (P ) đưoc GQI trnc giao neu E(XY ) = 1.3 Kỳ vQNG đieu ki¾n Martingale Kỳ vQNG có đieu ki¾n martingale nhung khái ni¾m đ¾c bi¾t quan TRQNG lý thuyet xác suat Chúng có nhieu úng dung lĩnh vnc tốn tài e chúng tơi nhac lai khái ni¾m ket qua ban nham muc đích su dung tính tốn o chương cịn lai 1.3.1 Khơng gian xác suat đưac LQC Cho (Ω, F, P ) m®t khơng gian xác suat M®t HQ σ - trưịng Ft ⊂ F đưoc GQI b® LQc neu thoa mãn i) Nó m®t HQ tăng, túc Fs ⊂ Ft (s < t) ii) HQ liên tuc phai túc Ft = ∩ Ft+ε >0 iii) MQI t¾p P - bo qua đưoc A ∈ Fε đeu chúa F0 M®t giansuat xác đưoc suat (Ω, F, P ) đưoc gan thêm b® LQc Ft ⊂ F GQI khôngkhông gian xác LQ c 1.3.2 K vQNG ieu kiắn 1.3.2.1 Khỏi niẳm F, P ) khơng G ⊂ F σthoa - trưịng mãn Gia su (Ω, X gian xác suat,E(X|G) bien ngau nhiên kha tích Kỳ vQNG đieu ki¾n cna X vói bien ngau nhiên ký hi¾u i) E(X|G) G ⊂ F đo đưoc ∫ ii) XdP vói MQI A ∈ G A E(X|G)dP = A∫ Ta đ%nh nghĩa E(X|Y ) kỳ vQNG đieu ki¾n cna X theo σ - trưịng σ(Y ) 1.3.2.2 Tính chat cua kỳ vQNG đieu ki¼n Các tính chat sau đưoc hieu hau chac chan (h.c.c) 1) Neu C hang so E(C|G) = C 2) Tính tuyen tính: E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) 3) Neu G σ - trưòng tam thưòng {∅, Ω} E(X|G) = X 4) E(E(X|G)) = EX 5) Neu X đc lắp vúi G tỳc l (X) đc lắp vói G E(X|G) = EX 6) Neu Y G - đo đưoc, E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ E(XY |G) = Y E(X|G) 7) Neu G1 ⊂ G2 E(E(X|G2)|G1) = E(E(X|G1)|G2) = E(X|G1) 8) Neu X ≤ Y h.c.c 9) |E(X|G)| ≤ E(|X||G) E(X|G) ≤ E(Y |G) 10) Bat thúc Jensen: Gia su φ : R → R loi dưói, φX kha tích Khi φ(E(X|G)) ≤ E(φ(X)|G) 11) H®i tu đơn đi¾u Beppo - Levy: Neu X ≥ 0, Xn ↑ X E|X| < ∞ E(Xn|G) ↑ E(X|G) 12) Bő đe Fatou: Neu Xn ≥ E(limXn|G) limE(Xn|G) 13) %nh lý hđi tu b% chắn Lebesgue: Gia su Y bien ngau nhiên kha tích |Xn| ≤ Y (h.c.c) Neu Xn → X (h.c.c) E(lim Xn|G) = lim E(Xn|G) 1.3.3 Martingale Các khái ni¾m đ%nh lý dưói đưoc hieu martingale vói thịi gian rịi rac 1.3.3.1 Đ%nh nghĩa trình ngau nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi vói b® LQc Ft khaCho tích m®t E|Xq t | < ∞ vói moi t Vói s, t hai so khơng âm s ≤ t: i) Xt martingale neu E(Xt|Fs) ≤ Xs ii) Xt martingale dưói neu E(Xt|Fs) ≥ Xs iii) Xt martingale neu vùa martingale vùa martingale dưói túc E(Xt|Fs) = Xs cna X = σ(X s≤t Khisu khơng nóinghĩa rõ b®làLQcFtnào tas )hieu b® LQc tn nhiên sinh tù l%ch Theo lý thuyet trò chơi neu coi Xt so von o thòi điem t, Ft = σ(Xs)s≤t thơng tin tích lũy đen thịi điem t trị chơi thi¾t hai neu martingale trên, trị chơi có loi neu martingale dưói cơng bang neu martingale Các ket qua cna martingale bat thúc đ%nh lý h®i tu, nhat khai trien Doob 1.3.3.2 Hiẳu martingale Dóy tng thớch (t; Ft) l hiắu martingale neu E|ξt| < ∞ E(ξt+1|Ft) = De dàng kiem tra đưoc rang (−) λ˜ = λ˜ (0) = λ˜ = ∫ ∞ xν(dx) ∫ λ˜ (+) = E[∆X2 |X1 = +1] = −∞ 2 (4.12) ∞ x2ν(dx) −∞ E[∆X2|X1 = +1] Đieu đưoc đ%nh nghĩa tot boi (4.10) bat thúc Jensen, Σ ∫ (+) ∞ xν(dx) (+) −∞ ∫ ∞ λ˜2 ∆A2 V0 đeu có the xay ra, ˜ H0 = V0 Z Z2 thưòng đưoc GQI giá trang thái (state prices) hay giá trang thỏi mắt đ ^ (state prices densities) tng úng vói P P M®t điem thú v% nua cna Ví du đưa ^ m®t ví du cho m®t contingent claim, cu the Hω1 = I{∆X 1=+1,∆X 2=+2}, không âmravàrang dương dương, lúc có ca H0 = vàmà V0b% = chắn, ieu ny chi mđtvúi snxỏc giaisuat thớch cna Hv hoắc V0 nh l mđt giỏ thuắn loi cna H khơng phai ln ln có ý nghĩa ve kinh te Thu¾t ngu “fair hedging price” đưoc đưa boi Schăal (1994) khụng nờn su co dung thieu can th¾n Chú ý rang van đe o khơng phai boi tính huum®t nàocách cna X; hien nhiên X chap nhắn mđt đ o martingale tng ng v boi vắy khụng a c hđi buụn chỳng khoỏn Đe ket thúc ví du này, bây giị se tính chien lưoc toi ưu ξ(c) giá tr% trung bình moment cap hai cna lo rịng H − c − GT (ξ(c)) cho contingent claim Hω1 = I{ω }1 Đau tiên, q (2.11) đưoc tính boi q = q(−) = q(0) = 0, q(+) = 2 sau3 Su dung Đ%nh lý 2.9, thu đưoc ξ(c) (c) ξ = c , (c) (−) (c))(0) = 0, = (ξ 2 c − (c) (+) c (ξ ) = = + c −3 (ξ ) Đieu cho biet tai thịi điem 0, ta nên mua chúng khốn lên, nên mua thêm c cő phieu Neu + c cő phieu tai thòi điem 1; ra, bán c3 cő phieu cna tai thòi điem Tai thòi điem 2, lý bat kỳ thú có Ta nh¾n xét rang ξ(c) dĩ nhiên có the nh¾n đưoc bang cách tham so hóa ξ (ξ1, ξ(−), ξ(0), ξ(+)) sau cnc tieu hàm toàn phương 2 E[(H − c − G2(ξ))2] = h(ξ1, ξ(−), ξ(0), ξ(+)) 2 Đoi vói tőng so lo rịng, H¾ qua 2.10 đưa (ξ(c))] = −7 c 7c2 + E[H − c − G2 E[(H − c − (c ) G2(ξ ))2] 27 = vói m®t cnc tieu hien nhiên tai c = = V0 Ví dn 4.7 Trong ví du này, chi rang neu X khơng thoa mãn (ND), GT (Θ) khơng can thiet phai đóng L2(P ) (2.1) có the khơng cú nghiắm Cho = [0, ì {1, - F; phan se đưoc ký Ω hi¾u boi 1] ω = (u, v)+1} vói vói u ∈σ [0, 1],sovBorel ∈ {−1, +1}, vàtutacna ký Ω hi¾u U (ω) := u TQA đ® thú nhat, V (ω) := v TQA đ® thú hai Cho F0 = F1 = σ(U ), F2 = F, cho P đ® đo (Ω, F) cho U phân phoi đeu [0, 1] phân phoi có đieu ki¾n cna V đoi vói U U δ{+1} + (1 − U )δ{−1} Cuoi cùng, cho X0 = 0, ∆X1 = ∆X2 = V +(1 + U ) − = V +U − V v¾y − , ∆ X 2(u, v) = uI{v=+1} − I{v=−1} nhiên) vói∆X xác suat U xuat hi¾n m¾t ngua Neu đong xu ngua ∆X2 = U , ngưoc lai = −1 Bây giò xen xét contingent claim Σ 1 H = U + V + = V +(1 + U ) U Σ Σ Khi H ∈ L (P ), E[H ] = E Σ + E[(V +)2|U ] = E[(1 + U )2] < ∞ U Neu ξ m®t q trình kha đốn vói G2(ξ) = H P - h.c.c, + V (1 + U ) = H = ξ U ∆X1 + ∆X2 = + (V +(1 + U ) − 1) (4.17) suy rang ξ2 ξ1 = ξ2 = ξ1 ξ2 U , P − h.c.c, bang viắc xem xột (4.17) mđt cỏch riờng biắt {V = +1} {V = −1} Tuy nhiên, ξ1∆X1 = U ∈/ L (P ) chi rang ξ ∈/ Θ, v¾y khơng có q trình kha đốn ϑ vói G2 (ϑ) = H P - h.c.c, ket lu¾n rang H ∈/ G2 (Θ) Nhưng neu đ¾t n U n ξ := ξI {U≥ } I{U≥ } n = 1 ξn∆X1 = 2n ξ ∆X2 + (V U U (P ) I{U≥ } ∈ L n (1 + U ) − 1)I{U≥ } n = (P ), ∈L v¾y ξn ∈ Θ vói moi n ∈ N, G2(ξ ) = n + U n V (1 + U )I n1 = HI {U≥ } {U≥ } hđi en Hcúnghiắm L2(P ) cho ieucontingent ny chi raclaim rang H G2và (Θ) không (2.1)tukhông cho c = đóng L (P ) Đe ket thúc ví du, chi rang X vi pham đieu ki¾n (ND) Cu the là, E[∆X2|F1] = E[V +(1 + U ) − 1|U ] = U +U −1 E[∆X22|F1] = E[(V +U − V −)2|U ] = U v¾y ty so (E[∆X2|F1])2 (U = E[∆X22|F1] +U −U + 1, − 1)2 U 4−U 2+ khơng b% ch¾n đeu cách xa 1, ve phai tien tói U tien tói KET LU¾N Lu¾n văn đe c¾p đen sn ton tai cau trúc cna chien lưoc toi ưu thơng qua m®t so q trình ngau nhiên kha đốn Bên canh đe c¾p đen vi¾c lna cHQN von đau tư ban đau cho hop lý Lu¾n văn đe c¾p đen mđt so cỏc trũng hop ắc biắt ve giỏ cna tài san rni ro, m®t so áp dung ví du tưịng minh TÀI LIfiU THAM KHAO Tieng Viẳt Nguyen ỡnh Cụng (2010), Nhắp mụn toỏn HQc tài chính, Vi¾n Tốn HQc Đào Huu Ho, Nguyen Văn Huu, Hồng Huu Như (2004), Thong kê tốn HQc, Nhà xuat ban ĐHQG Hà N®i Nguyen Duy Tien, Vũ Viet Yên (2009), Lý thuyet xác suat, Nhà xuat ban Giáo Duc Tran Hùng Thao (2009), Nh¾p mơn tốn HQc tài chính, Nhà xuat ban Khoa HQc Ky thu¾t Tieng anh Martin Schweizer (1995), Approximation Pricing and the Variance-Optimal Martingale Measure, Annals of Probability 24 (1996), 206- 236 ... QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Đő Quoc Hoàn CHIEN LƯeC ĐAU TƯ TOI ƯU CUC TIEU HÓA PHƯƠNG SAI VéI THèI GIAN RèI RAC Chuyên ngành: Lý thuyet xác suat thong kê tốn HQC Mã so: 60.46.15... c von ban đau 34 3.1 Sn lna cHQN toi ưu cna chien lưoc von ban đau 34 3.2 Chien lưoc cnc tieu hóa phương sai 36 3.3 Biên trung bình phương sai 36 Chương NhEng trng hap ắc... chien lưac toi ưu 11 2.1 Van đe ban 11 2.2 Sn ton tai cna chien lưoc toi ưu .15 2.3 Cau trúc cna chien lưoc toi ưu .17 2.4 Cau trúc cna chien lưoc toi ưu vói đ® đo dau