Chiến lược đầu tư tối ưu cực tiểu hóa phương sai với thời gian rời rạc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Quốc Hoàn CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Quốc Hoàn CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2013 Mục lục Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2 Không gian L2 (P ) 1.3 Kỳ vọng điều kiện Martingale 1.3.1 Không gian xác suất lọc 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 1.3.3 Martingale Chương Sự tồn cấu trúc chiến lược tối ưu 11 2.1 Vấn đề 11 2.2 Sự tồn chiến lược tối ưu 15 2.3 Cấu trúc chiến lược tối ưu 17 2.4 Cấu trúc chiến lược tối ưu với độ đo dấu 28 Chương Sự lựa chọn chiến lược vốn ban đầu 34 3.1 Sự lựa chọn tối ưu chiến lược vốn ban đầu 34 3.2 Chiến lược cực tiểu hóa phương sai 36 3.3 Biên trung bình phương sai 36 Chương Những trường hợp đặc biệt ví dụ 39 4.1 Những trường hợp đặc biệt 39 4.1.1 Trường hợp martingale 39 4.1.2 Trường hợp H đạt tới (theo nghĩa LH T = P - h.c.c) 40 4.1.3 Trường hợp X có q trình cân trung bình phương sai xác định 41 4.2 Các ví dụ tường minh 45 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 LỜI NÓI ĐẦU Thị trường tài nơi diễn hoạt động trao đổi, mua bán quyền sử dụng nguồn tài thơng qua phương thức giao dịch cơng cụ tài định Thị trường tài tổng hòa quan hệ cung cầu vốn kinh tế Nói cách đơn giản , thị trường tài nơi diễn hoạt động mua bán loại giấy tờ có giá, nơi gặp gỡ nguồn cung vốn cầu, qua hình thành nên giá mua giá bán loại cổ phiếu, trái phiếu hình thành loại vốn đầu tư bao gồm: lãi suất vay, lãi suất cho vay, lãi suất ngắn hạn, lãi suất trung dài hạn Trong thị trường tài chính, giá số tài sản rủi ro ( ví dụ, cổ phiếu, trái phiếu ) yếu tố ngẫu nhiên, tức giá khơng thể đốn trước Khi đầu tư vào thị trường tài với số vốn ban đầu c, mong muốn lựa chọn chiến lược tối ưu nhất, tức mua vào bán để có lời phải đạt lỗ ròng thấp Trong phạm vi đề tài đề cập đến điều kiện để tồn chiến lược tối ưu, nghiên cứu cấu trúc chiến lược tối ưu Bên cạnh chúng tơi đề cập đến việc lựa chọn chiến lược tối ưu vốn ban đầu cho phù hợp với chiến lược tối ưu Luận văn chia làm bốn chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm q trình ngẫu nhiên, khơng gian L2 (P ), kì vọng điều kiện Martingale làm sở cho chương sau Chương Sự tồn cấu trúc chiến lược tối ưu Trình bày vấn đề luận văn, tồn cấu trúc chiến lược tối ưu Chương Sự lựa chọn chiến lược vốn ban đầu Trình bày lựa chọn chiến lược tối ưu vốn ban đầu Chương Những trường hợp đặc biệt ví dụ Đưa số trường hợp đặc biệt số ví dụ tường minh Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn luận văn mình, TS Nguyễn Thịnh, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình làm luận văn tác giả Tôi xin cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, đặc biệt thầy cô môn Xác suất Thống kê truyền đạt cho nhiều kiến thức quý báu Cuối xin cảm ơn thành viên lớp cao học chuyên ngành Lý thuyết xác suất thống kê toán học khóa 2009-2011 ln động viên, giúp đỡ tơi q trình hồn thành luận văn Do thời gian trình độ hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Học viên Đỗ Quốc Hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Quá trình ngẫu nhiên Giả sử T tập vơ hạn Nếu với t ∈ T , Xt biến ngẫu nhiên ta ký hiệu X = {Xt , t ∈ T }, gọi X hàm biến ngẫu nhiên (với tham biến t ∈ T ) • Nếu T tập đếm ta gọi X = {Xt , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số rời rạc • Nếu T = N ta gọi X = {Xn , n ∈ N} dãy biến ngẫu nhiên phía • Nếu T = Z ta gọi X = {Xn , n ∈ Z} dãy biến ngẫu nhiên hai phía • Nếu T khoảng đường thẳng thực ta gọi X = {Xt , t ∈ T } trình ngẫu nhiên với tham số liên tục 1.2 Không gian L2 (P ) Ký hiệu L2 (P ) = L2 (Ω, F, P ) tập hợp biến ngẫu nhiên X (xác định (Ω, F, P )) cho E|X|2 < ∞ Khi đó, X ∈ L2 (P ), ta ký hiệu ||X||2 = (E|X|2 ) gọi chuẩn bậc X Hai biến ngẫu nhiên X, Y ∈ L2 (P ) gọi trực giao E(XY ) = 1.3 Kỳ vọng điều kiện Martingale Kỳ vọng có điều kiện martingale khái niệm đặc biệt quan trọng lý thuyết xác suất Chúng có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn tài Ở nhắc lại khái niệm kết nhằm mục đích sử dụng tính tốn chương lại 1.3.1 Khơng gian xác suất lọc Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất Một họ σ - trường Ft ⊂ F gọi lọc thỏa mãn i) Nó họ tăng, tức Fs ⊂ Ft (s < t) ii) Họ liên tục phải tức Ft = ∩ Ft+ε ε>0 iii) Mọi tập P - bỏ qua A ∈ F chứa F0 Một không gian xác suất (Ω, F, P ) gắn thêm lọc Ft ⊂ F gọi không gian xác suất lọc 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 1.3.2.1 Khái niệm Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, G ⊂ F σ - trường X biến ngẫu nhiên khả tích Kỳ vọng điều kiện X với biến ngẫu nhiên ký hiệu E(X|G) thỏa mãn i) E(X|G) G ⊂ F đo ii) XdP với A ∈ G E(X|G)dP = A A Ta định nghĩa E(X|Y ) kỳ vọng điều kiện X theo σ - trường σ(Y ) 1.3.2.2 Tính chất kỳ vọng điều kiện Các tính chất sau hiểu hầu chắn (h.c.c) 1) Nếu C số E(C|G) = C 2) Tính tuyến tính: E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) 3) Nếu G σ - trường tầm thường {∅, Ω} E(X|G) = X 4) E(E(X|G)) = EX 5) Nếu X độc lập với G tức σ(X) độc lập với G E(X|G) = EX 6) Nếu Y G - đo được, E|Y | < ∞, E|XY | < ∞ E(XY |G) = Y E(X|G) 7) Nếu G1 ⊂ G2 E(E(X|G2 )|G1 ) = E(E(X|G1 )|G2 ) = E(X|G1 ) 8) Nếu X ≤ Y h.c.c E(X|G) ≤ E(Y |G) 9) |E(X|G)| ≤ E(|X||G) 10) Bất đẳng thức Jensen: Giả sử φ : R → R lồi dưới, φX khả tích Khi φ(E(X|G)) ≤ E(φ(X)|G) 11) Hội tụ đơn điệu Beppo - Levy: Nếu X ≥ 0, Xn ↑ X E|X| < ∞ E(Xn |G) ↑ E(X|G) 12) Bổ đề Fatou: Nếu Xn ≥ E(limXn |G) ≤ limE(Xn |G) 13) Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue: Giả sử Y biến ngẫu nhiên khả tích |Xn | ≤ Y (h.c.c) Nếu Xn → X (h.c.c) E(lim Xn |G) = lim E(Xn |G) 1.3.3 Martingale Các khái niệm định lý hiểu martingale với thời gian rời rạc 1.3.3.1 Định nghĩa Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với lọc Ft khả tích E|Xt | < ∞ với t Với s, t hai số không âm s ≤ t: i) Xt martingale E(Xt |Fs ) ≤ Xs ii) Xt martingale E(Xt |Fs ) ≥ Xs iii) Xt martingale vừa martingale vừa martingale tức E(Xt |Fs ) = Xs Khi khơng nói rõ lọc ta hiểu lọc tự nhiên sinh từ lịch sử X nghĩa Ft = σ(Xs )s≤t Theo lý thuyết trò chơi coi Xt số vốn thời điểm t, Ft = σ(Xs )s≤t thơng tin tích lũy đến thời điểm t trò chơi thiệt hại martingale trên, trò chơi có lợi martingale cơng martingale Các kết martingale bất đẳng thức định lý hội tụ, khai triển Doob 1.3.3.2 Hiệu martingale Dãy tương thích (ξt ; Ft ) hiệu martingale E|ξt | < ∞ E(ξt+1 |Ft ) = Chương Những trường hợp đặc biệt ví dụ 4.1 Những trường hợp đặc biệt Trong phần này, quay trở lại toán (2.1) rút gọn số trường hợp đặc biệt 4.1.1 Trường hợp martingale Bài toán (2.1): J0 := ϑ∈Θ, c∈R E[(H − c − GT (ϑ))2 ] có kết J0 = E[(LH T ) ] Thật vậy, X martingale nên ta có: • Q trình A đồng 0, điều kiện (ND) thỏa mãn Do GT (Θ) đóng L2 (P ) X martingale có cặp gia số trực giao • Q trình β đồng 0, trùng với X, độ đo P , P , P trùng Theo Định lý 2.9, ta có (c) ξk = k = E[H∆Xk |Fk−1 ] E[∆Xk2 |Fk−1 ] Theo Bổ đề 2.15, ta có H0 = V0 = E[H] Mặt khác, H − c − GT (ξ (c) ) = H0 − c + LH T 39 = E[H] − c + LH T nên H E[(H − c − GT (ξ (c) ))2 ] = (E[H] − c)2 + E[(E[H] − c)LH T ] + E[LT ] H H = (E[H] − c)2 + E[(LH T )] + E[H]E[LT ] − cE[LT ] = (E[H] − c)2 + E[(LH T )] + (E[H] − c)(E[H] − H0 ) H = (E[H] − c)2 + E[(LH T )] ≥ E[(LT ) ] Vậy E[(H − c − GT (ϑ))2 ] = E[(LH T ) ] Đặc biệt, ta có ξ (c) = 4.1.2 = ξ H với c ∈ R Trường hợp H đạt tới (theo nghĩa LH T = P - h.c.c) H = (LH Do LH T = P - h.c.c L k )k=0,1, ,T (P, F) - martingale nên LH k = 0, k = 0, 1, , T Khi đó, H phân tích T ξjH ∆Xj , H = H0 + P − h.c.c (4.1) j=1 Điều kéo theo V = H0 + G(ξ H ) γ ≡ Mặt khác, theo Định lý 2.16 ta có với k   k−1 (c) (c) ξk − ξkH = βk H0 − c − (ξj − ξjH )∆Xj  , P − h.c.c j=1 theo cách lập luận quy nạp ta có k−1 (c) ξk = ξkH + (H0 − c) (1 − βl ∆Xl ), P − h.c.c, k = 1, , T l=1 Điều kéo theo Vk − c − Gk (ξ (c) ) = (H0 − c) − (Gk (ξ (c) ) − Gk (ξ H )) 40 (4.2) k Vk − c − Gk (ξ (c) (c) (ξj − ξjH )∆Xj ) = (H0 − c) − j=1 k = (H0 − c) (1 − βj ∆Xj ), P − h.c.c j=1 Đặc biệt VT = H, ta có T H − c − GT (ξ (c) (1 − βj ∆Xj ) = (H0 − c)Z ) = (H0 − c) j=1 Khi đó: E[(H − c − GT (ϑ))2 ] = E[(H − c − GT (ξ (c) ))2 ] ϑ∈Θ = (H0 − c)2 E[Z ]2 = (H0 − c)E[Z ] Trường hợp X có q trình cân trung 4.1.3 bình phương sai xác định Trong tiểu mục này, xét trường hợp đặc biệt X có trình cân trung bình phương sai xác định nghĩa là: trình K xác định (4.3) Điều tương đương với trình (λk ∆Ak )k=1, ,T xác định V ar[∆Xk |Fk−1 ] (E[∆Xk |Fk−1 ])2 = − λk ∆Ak = − E[∆Xk |Fk−1 ] E[∆Xk2 |Fk−1 ] = (E[∆Xk |Fk−1 ])2 1+ V ar[∆Xk |Fk−1 ] (4.4) Trong phần lại tiểu mục này, giả sử X thỏa mãn điều kiện (ND), xét contingent H ∈ L2 (P ) Bổ đề 4.1 Nếu X có q trình cân trung bình phương sai xác định  T E j=k  T (1 − λj ∆Xj )|Fk−1  = (1 − λj ∆Aj ), j=k 41 P − h.c.c, k = 1, , T Chứng minh Với k = T , ta có E[(1 − λT ∆XT )|FT −1 ] = − λT E[∆XT |FT −1 ] = − λT ∆AT Với k cố định, ta có    T (1 − λj ∆Xj )|FT −1  = E (1 − λT ∆XT ) E  T −1 (1 − λj ∆Xj )|FT −1  j=k j=k T −1 = E[(1 − λT ∆XT )|FT −1 ] · (1 − λj ∆Xj ) j=k T −1 = (1 − λT ∆AT ) (1 − λj ∆Xj ) j=k Do K xác định nên − λT ∆AT xác định khẳng định có cách áp dụng liên tiếp điều kiện FT −2 , , Fk−1 Hệ 4.2 Nếu X có q trình cân trung bình phương sai xác định, trình điều chỉnh β trùng với λ, độ đo P P trùng Chứng minh ⇒ Chứng minh β ≡ λ quy nạp lùi Với k = T , E[∆XT |FT −1 ] = βT E[∆XT2 |FT −1 ] λT = Với k < T , ta có T (1 − βj ∆Xj )|Fk−1 E ∆Xk j=k+1 βk = E ∆Xk2 T (1 − βj ∆Xj )2 |Fk−1 j=k+1 T (1 − βj ∆Xj )|Fk−1 E ∆Xk j=k+1 = E ∆Xk2 E T (1 − βj ∆Xj )2 |Fk |Fk−1 j=k+1 T (1 − βj ∆Xj )|Fk−1 E ∆Xk j=k+1 = E ∆Xk2 T (1 − βj ∆Xj )|Fk−1 j=k+1 42 T (1 − λj ∆Xj )|Fk−1 E ∆Xk j=k+1 = E ∆Xk2 T (1 − λj ∆Xj )|Fk−1 j=k+1 T (1 − λj ∆Xj )|Fk |Fk−1 E ∆Xk E j=k+1 = T E ∆Xk2 E (1 − λj ∆Xj )|Fk |Fk−1 j=k+1 T E[∆Xk |Fk−1 ] (1 − λj ∆Aj ) j=k+1 = E[∆Xk2 |Fk−1 ] = T (1 − λj ∆Aj ) E[∆Xk |Fk−1 ] = λk E[∆Xk2 |Fk−1 ] j=k+1 Vậy βk = λk với k = 1, 2, , T ⇒ β ≡ λ • Chứng minh độ đo P P trùng Theo Bổ đề 4.1, ta có   T E[Z ] = E  T (1 − λj ∆Xj ) = j=1 (1 − λj ∆Aj ) > j=1 λk ∆Ak ≤ δ P - h.c.c, k = 1, 2, , T , δ ∈ (0, 1) Do Z định nghĩa tốt ZT Vậy P = P Mệnh đề 4.3 Nếu X có q trình cân trung bình phương sai xác định, nghiệm ξ (c) toán (2.1) thỏa mãn (c) ξk = ξkH + λk (Vk − c − Gk−1 (ξ (c) )), P − h.c.c, k = 1, 2, , T (4.5) Chứng minh Theo Định lý 2.16, ta có (c) ξk = ξkH + βk (Vk−1 − c − Gk−1 (ξ (c) )) + γk , P − h.c.c, k = 1, 2, , T Ta chứng minh γk = 0, P − h.c.c, k = 1, , T Với k cố định, ta có với j > k T E ∆LH j ∆Xk (1 − βl ∆Xl )|Fj−1 l=k+1 43 (4.6)  =E  ∆LH j (1  T − λj ∆Xj )E   j−1 (1 − λl ∆Xl )|Fj  |Fj−1  ∆Xk l=j+1 l=k+1 j−1 T =E ∆LH j (1 (1 − λl ∆Xl ) − λj ∆Xj )|Fj−1 (1 − λl ∆Al )∆Xk l=j+1 (1 − λl ∆Xl ) l=k+1 P − h.c.c = 0, H H E[∆LH j (1 − λj ∆Xj )|Fj−1 ] = E[∆Lj |Fj−1 ] − λj E[∆Lj ∆Xj |Fj−1 ] P − h.c.c = 0, Mặt khác, ta có: T E ∆LH k ∆Xk (1 − βl ∆Xl )|Fk−1 l=k+1 T = E[∆LH k ∆Xk |Fk−1 ] (1 − λl ∆Al ) = 0, P − h.c.c l=k+1 Lại có H H H H LH T − Lk−1 = ∆LT + ∆LT −1 + · · · + ∆Lk nên suy T E (LH T − LH k−1 )∆Xk (1 − βl ∆Xl )|Fk−1 = 0, P − h.c.c l=k+1 Do ta có (4.6) Vậy (c) ξk = ξkH + λk (Vk−1 − c − Gk−1 (ξ (c) )), P − h.c.c, k = 1, 2, , T Định lý 4.4 Giả sử X có q trình cân trung bình phương sai với (c) c ∈ R, trình ψ (c) = (ψk )k=1, ,T : (c) ψk = ξkH + λk (Vk−1 − c − Gk−1 (ψ (c) )) 44 (4.7) thuộc Θ nghiệm (2.1) Hơn minE[(H − c − GT (ϑ))2 ] = E[(H − c − GT (ψ (c) ))2 ] ϑ∈Θ T = ((H0 − c) + E[(LH ) ]) T T E[(∆LH k ) ] (1 − λj ∆Aj ) + j=1 k=1 (1 − λj ∆Aj ) j=k+1 (4.8) Nghiệm (3.1) cho cặp (H0 , ψ (H0 ) ), tổng rủi ro cực tiểu T J0 = E[(LH ) ] T T E[(∆LH k ) ] (1 − λj ∆Aj ) + j=1 k=1 (1 − λj ∆Aj ) (4.9) j=k+1 Cuối cùng, ψ (c) ξ (c) trùng 4.2 Các ví dụ tường minh Mục đích tiểu mục minh họa khái niệm phát triển mục trước thơng qua ví dụ mà ta tính tốn cách cụ thể Ví dụ 4.5 Giả sử X0 = ∆X1 nhận giá trị +1, 0, −1 với xác suất nhận giá trị 13 Cho trước X1 = +1, ∆X2 nhận giá trị ±1 với xác xuất cho giá trị Phân phối có điều kiện ∆X2 với X1 = +1 ký hiệu ν, giả sử +∞ x2 ν(dx) < ∞ (4.10) −∞ ν({0}) < (4.11) Bộ lọc F sinh X Để đơn giản ký hiệu, ký hiệu giá trị biến ngẫu nhiên F1 - đo Y tập {X1 = +1}, {X1 = 0}, {X1 = −1} tương ứng Y (+) , Y (0) Y (−) Do vậy, có (−) ∆A2 = E[∆X2 |X1 = −1] = 45 Dễ dàng kiểm tra (−) λ1 = λ2 (0) = λ2 = ∞ (+) λ2 xν(dx) E[∆X2 |X1 = +1] = = E[∆X22 |X1 = +1] −∞ ∞ (4.12) x2 ν(dx) −∞ Điều định nghĩa tốt (4.10) bất đẳng thức Jensen, ∞ xν(dx) (+) (+) λ2 ∆A2 = −∞ ∞ V0 xảy ra, H0 = V0 Z Z2 thường gọi giá trạng thái (state prices) hay giá trạng thái mật độ (state prices densities) tương ứng với P P Một điểm thú vị Ví dụ đưa ví dụ cho contingent claim, cụ thể H ω1 = I{∆X1 =+1,∆X2 =+2} , mà bị chặn, không âm dương với xác suất dương, lúc có H0 = V0 = Điều giải thích H0 V0 giá thuận lợi H khơng phải ln ln có ý nghĩa kinh tế Thuật ngữ “fair hedging price” a bi Schă al (1994) khụng nờn s dng cách thiếu cẩn thận Chú ý vấn đề khơng phải tính cố hữu X; hiển nhiên X chấp nhận độ đo martingale tương đương không đưa hội bn chứng khốn Để kết thúc ví dụ này, tính chiến lược tối ưu ξ (c) giá trị trung bình moment cấp hai lỗ ròng H − c − GT (ξ (c) ) cho contingent claim H ω1 = I{ω1 } Đầu tiên, = (2.11) tính (−) = (0) = 0, (+) = Sử dụng Định lý 2.9, thu ξ (c) sau (c) c , (c) = (ξ2 )(0) = 0, ξ1 = (c) (ξ2 )(−) 48 (c) (ξ2 )(+) = c − 2c = +c− 3 Điều cho biết thời điểm 0, ta nên mua chứng khoán lên, nên mua thêm ra, bán c 3 c cổ phiếu Nếu + c cổ phiếu thời điểm 1; cổ phiếu thời điểm Tại thời điểm 2, lý thứ có Ta nhận xét ξ (c) dĩ nhiên (−) (0) (+) nhận cách tham số hóa ξ (ξ1 , ξ2 , ξ2 , ξ2 ) sau cực tiểu hàm toàn phương (−) (0) (+) E[(H − c − G2 (ξ))2 ] = h(ξ1 , ξ2 , ξ2 , ξ2 ) Đối với tổng số lỗ ròng, Hệ 2.10 đưa E[H − c − G2 (ξ (c) )] = − E[(H − c − G2 (ξ (c) ))2 ] = 7c 7c2 + 27 với cực tiểu hiển nhiên c = = V0 Ví dụ 4.7 Trong ví dụ này, X khơng thỏa mãn (ND), GT (Θ) khơng cần thiết phải đóng L2 (P ) (2.1) khơng có nghiệm Cho Ω = [0, 1] × {−1, +1} với σ - đại số Borel F; phần tử Ω ký hiệu ω = (u, v) với u ∈ [0, 1], v ∈ {−1, +1}, ta ký hiệu U (ω) := u tọa độ thứ nhất, V (ω) := v tọa độ thứ hai Cho F0 = F1 = σ(U ), F2 = F, cho P độ đo (Ω, F) cho U phân phối [0, 1] phân phối có điều kiện V U U δ{+1} + (1 − U )δ{−1} Cuối cùng, cho X0 = 0, ∆X1 = ∆X2 = V + (1 + U ) − = V + U − V − , ∆X2 (u, v) = uI{v=+1} − I{v=−1} Mơ hình giải thích sau Tại thời điểm 0, theo dõi giá trị biến ngẫu nhiên U phân phối [0, 1] Với giá trị U , X0 = X1 = Tại thời điểm 2, tung đồng xu (ngẫu 49 nhiên) với xác suất U xuất mặt ngửa Nếu đồng xu ngửa ∆X2 = U , ngược lại ∆X2 = −1 Bây xen xét contingent claim 1 + V + = V + (1 + U ) U U H= Khi H ∈ L2 (P ), E[H ] = E +1 U E[(V + )2 |U ] = E[(1 + U )2 ] < ∞ Nếu ξ q trình khả đốn với G2 (ξ) = H P - h.c.c, + V (1 + U ) = H = ξ1 ∆X1 + ξ2 ∆X2 = ξ1 + ξ2 (V + (1 + U ) − 1) U suy ξ1 = ξ2 = , U (4.17) P − h.c.c, việc xem xét (4.17) cách riêng biệt {V = +1} {V = −1} Tuy nhiên, ξ1 ∆X1 = ∈ / L2 (P ) U ξ ∈ / Θ, khơng có q trình khả đốn ϑ với G2 (ϑ) = H P - h.c.c, kết luận H∈ / G2 (Θ) Nhưng đặt ξ n := ξI{U ≥ n1 } = ξ1n ∆X1 = ξ2n ∆X2 = 1 I U {U ≥ n } 1 I ∈ L2 (P ) U {U ≥ n } + (V (1 + U ) − 1)I{U ≥ n1 } ∈ L2 (P ), U ξ n ∈ Θ với n ∈ N, G2 (ξ n ) = + V (1 + U )I{U ≥ n1 } = HI{U ≥ n1 } U 50 hội tụ đến H ∈ L2 (P ) Điều G2 (Θ) khơng đóng L2 (P ) (2.1) khơng có nghiệm cho contingent claim H cho c = Để kết thúc ví dụ, X vi phạm điều kiện (ND) Cụ thể là, E[∆X2 |F1 ] = E[V + (1 + U ) − 1|U ] = U + U − E[∆X22 |F1 ] = E[(V + U − V − )2 |U ] = U − U + 1, tỷ số (E[∆X2 |F1 ])2 (U + U − 1)2 = E[∆X22 |F1 ] U4 − U2 + không bị chặn cách xa 1, vế phải tiến tới U tiến tới 51 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến tồn cấu trúc chiến lược tối ưu thơng qua số q trình ngẫu nhiên khả đốn Bên cạnh đề cập đến việc lựa chọn vốn đầu tư ban đầu cho hợp lý Luận văn đề cập đến số trường hợp đặc biệt giá tài sản rủi ro, số áp dụng ví dụ tường minh 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Đình Cơng (2010), Nhập mơn tốn học tài chính, Viện Toán học Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hồng Hữu Như (2004), Thống kê tốn học, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo Dục Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn tốn học tài chính, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tiếng anh Martin Schweizer (1995), Approximation Pricing and the Variance-Optimal Martingale Measure, Annals of Probability 24 (1996), 206- 236 53 ... kiện để tồn chiến lược tối ưu, nghiên cứu cấu trúc chiến lược tối ưu Bên cạnh chúng tơi đề cập đến việc lựa chọn chiến lược tối ưu vốn ban đầu cho phù hợp với chiến lược tối ưu Luận văn chia làm... QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Quốc Hoàn CHIẾN LƯỢC ĐẦU TƯ TỐI ƯU CỰC TIỂU HÓA PHƯƠNG SAI VỚI THỜI GIAN RỜI RẠC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số:... trúc chiến lược tối ưu với độ đo dấu 28 Chương Sự lựa chọn chiến lược vốn ban đầu 34 3.1 Sự lựa chọn tối ưu chiến lược vốn ban đầu 34 3.2 Chiến lược