Dáng điệu tiệm cận của họ các toán tử tiến hóa bị nhiễu và một vài ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN CƠNG HÙNG DÁNG ĐIfiU TIfiM C¾N CUA HO CÁC TỐN TU TIEN HĨA B± NHIEU VÀ MđT VI NG DUNG LUắN VN THAC S KHOA HOC Hà N®i - Năm 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN CƠNG HÙNG DÁNG ĐIfiU TIfiM C¾N CUA HO CÁC TỐN TU TIEN HĨA B± NHIEU VÀ M®T VÀI ÚNG DUNG Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mà SO : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS ắNG èNH CHU H Nđi - Nm 2012 Mnc lnc Mnc lnc Lài nói dau Chương Phương trình vi phân khơng gian Banach HQ CÁC tốn tE tien hóa 1.1Sn ton tai nhat nghi¾m 1.2Phương trình vi phân tuyen tính khơng gian Banach HQ tốn tu tien hóa .11 1.3Sn n %nh v giúi nđi nghiắm cna phng trỡnh vi phân tuyen tính có nhieu 17 1.4Phương trình vi phân tuyen tính khơng gian Banach vói tốn tu hang 25 1.4.1Nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat không thuan nhat 25 1.4.2Đieu kiắn ton tai nghiắm giúi nđi cna phng trỡnh vi phân tuyen tính khơng thuan nhat 26 Chương Lý thuyet nEa nhóm tuyen tính tốn Éng dnng 31 2.1Nua nhóm liên tuc manh khơng gian Banach nhieu cna 31 2.1.1Nua nhóm liên tuc manh khơng gian Banach 31 2.1.2Tốn tu sinh cna nua nhóm liên tuc manh 36 2.1.3Bài tốn Cauchy đ¾t chinh cho phương trình tien hóa .47 2.1.4Nhieu cna nua nhóm 50 2.2Úng dung cna phương pháp nua nhóm cho mơ hình dân so phu tuői 52 2.2.1Mơ hình dân so cő đien 53 2.2.2Mơ hình dân so vói phân bo tuői dang cő đien 55 2.2.3Mơ hình dân so phu thu®c tuői dang tőng qt 60 Ket lu¾n 63 Tài li¾u tham khao 64 Lài nói đau Lý thuyet őn %nh l mđt nhung bđ phắn quan TRQNG cna lý thuyet đ%nh tính cna phương trình vi phân (LTDTCPTVP) M®t nhung hưóng nghiên cúu quan TRQNG đưoc nhieu ngưòi quan tâm cna LTDTCPTVP lý thuyet őn đ%nh theo nghĩa Lyapunov (18571918) Dù trai qua thòi gian dài lý thuyet őn đ%nh van m®t nhung lĩnh vnc mà đưoc nhieu nhà toán nghiên cúu thu đưoc nhieu thành tnu quan HQ c TRQNG quan tâm Đong thòi lý thuyet őn đ%nh đưoc ỳng dung rđng rói nhieu lnh vnc: Vắt lý, Khoa HQ c ky thu¾t cơng ngh¾, Sinh thái HQ c, Đe nghiên cúu dáng đi¾u nghi¾m cna phương trình vi phân khơng gian Banach có the su dung nhieu phương pháp khác e đây, khuụn kh cna mđt luắn thac s chỳng tụi se trình bày hai phương pháp ban phương pháp xap xi thú nhat cna HQ toán tu tien hóa phương pháp nua nhóm b% nhieu Trong phan cuoi chúng tơi se trình bày úng dung cna phương pháp nua nhóm vào vi¾c nghiên cúu mơ hình quan the phu thuđc tui Ngoi phan mo au, ket luắn tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia thành hai chương: Chương 1: Bao gom kien thúc chuan b%, phương trình vi phân khơng gian Banach HQ tốn tu tien hóa Chương 2: Trình bày ve lý thuyet nua nhóm úng dung cna lý thuyet nua nhóm vào mơ hình tien hóa quan the có phu thu®c tuői Qua đây, tác gia xin đưoc gui lịi cam ơn sâu sac tói ngưịi thay, ngưịi hưóng dan khoa HQc cna mình, PGS TS Đ¾ng Đình Châu, ngưịi đưa đe tài t¾n tình hưóng dan tác gia suot q trình nghiên cúu hồn thành lu¾n văn Đong thịi tác gia chân thành cam ơn thay khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i trang b% cho tác gia kien thúc ban nhat ve lý thuyet toán HQ c Cam ơn thay phịng sau đai hQc phịng ban chúc tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác gia suot q trình HQ c t¾p tai trưịng Tác gia xin chân thành cam ơn gia đình, ban bố, ong nghiắp ó luụn c v, nng hđ tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác gia hồn thành luắn Do thũi gian v trỡnh đ cũn cú sn han che nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót rat mong nh¾n sn đóng góp cna thay ban bè đong nghi¾p Tác gia xin chân thành cam ơn! Hà n®i, Ngày 03 Tháng 11 Năm 2012 Tác gia: Nguyen Cơng Hùng Bang kí hi¾u N R T¾p hop so tn nhiên T¾p hop so thnc R+ C T¾p hop so thnc dương T¾p hop so phúc C[a,b] C[a,b T¾p hàm liên tuc đoan [a, b] T¾p hàm kha vi, liên tuc đoan [a, b] ] n R Không gianBanach n chieu B Không gian L(B) Không gian tốn tu tuyen tính giói n®i tù B vào B C([a, b]; B) Không gian hàm liên tuc [a, b] lay giá tr% B Lp(R) [a, R b] Lp([a, b]) Không Không gian gian các hàm hàm kha kha tích tích b¾c b¾c p p 1,1 Khơng gian Sobolev gianhan) hàm có đao hàm yeuWb¾c[a, b] có chuan L1([a, (Khơng b]) huu Chương Phương trình khơng gian vi Banach phân HQ CÁC tốn tE tien hóa Gia su B không gian Banach Trong không gian B ta xét phương trình vi phân: dx( = f (t, x(t)), t) dt (1.1) t ∈ R+, x(.) ∈ B hàm f : R+ × D −→ D, D m®t mien đơn liên khơng gian Banach B Tù ve sau, neu khơng nói thêm ta se hieu nghi¾m cna (1.1) nghi¾m theo nghĩa cő đien sau: Đ%nh nghĩa 1.0.1 Hàm x : I −→ B (I ⊂ R+) kha vi liên tnc theo t ∈ I đưac GQI nghi¾m cua (1.1) neu ta thay vào (1.1) se thu đưac m®t đong nhat thúc I Túc dx(t) = f (t, x(t)); ∀t ∈ I, dt dx( đao hàm hieu theo nghĩa Frechet) (trong t) dt mãn đieu ban Tìm đau nghi¾m x(t vóita (tthưịng x0) phương ∈xét I ×phương Btrình cho 0) = x 0,cna trưóc Bài tốn Cauchy: x0 = x(t) (1.1)thoa Tương úng vóiki¾n phương trình (1.1), ngưịi trình t tích phân sau: ∫ f (τ, x(τ ))dτ (1.2) n x(t) = x0 + Nh¾n xét Trong trưàng hap B = R Kí hi¾u t0 f = (f1; f2; ; fn); x(t) = (x1(t); x2(t); ; xn(t)) Khi đó, phương trình (1.1) đưac viet sau: ; ; xn)  dx1 =(t ;  ; x fx 1 =(t ; dt ; x dx fx dt   ; ; xn) d  = x f n n)  x ;x (trong t ki¾n ∈ R+ban ; x1đau ; x2; ∈ R) vái đieu n (t; 1; 2; x x(t0) = (x1(t0); x2(t0); ; xn(t0)) = (x0; x0; ; x0 ) n phương trình tích phân (1.2) có the viet dưái dang ∫ k t xk(t) = x0 + t0 fk( x2(τ ), t, , xn(τ x1 ))d(τ ) R+ × B Khi đó, ta có đ − x0 || ≤η Σ %nh lí ton tai nhat nghi¾m cna tốn Cauchy sau: 1.1 SE ton tai nhat nghi¾m Đ%nh lýđ%a1.1.1 (Tính nhat nghiắm phng) ( (k = 1, 2, mđt ), , n) Vói s, soη dương Chúng kí hi¾uta W(s,η) = lân c¾n đóng cna điem (t, x) ∈ R+ × B)| |t − t0 | ≤ s; ||x Gia su ton tai m®t lân c¾n đóng cua (t0, x0) (t0, x0) cho lõn cắn ú Hỡnh 2.2: Mụ hỡnh đng lnc dõn so: dN = f (ω) vói m®t vài trang thái őn đ%nh, Grad(f (N )) o trang thái őn đ%nh (f (N ) = 0) xác đ%nh őn đ%nh tuyen tính Vói Un- stable khơng őn đ%nh Stable őn đ%nh J d t Trang thái őn đ%nh đưoc mơ ta hình (2.2) M®t nhung thieu sót cna mơ hình dân so cő đien cna phương trình vi phân thơng thưịng khơng phan ánh đưoc cau trúc cna quan the dân so phân bo theo lúa tuői khác Trong thòi đai ngày m®t tốn thu hút nhieu ngưịi quan tâm Vì v¾y xét sn mo r®ng đau tiên liên quan đen sn phu thu®c vào đ® tuői sinh toc đ® chet Đe khac phuc han che năm 1945 nhà nghiên cúu Leslie xây dnng ma tr¾n Leslie vói muc đích có the hop nhat lóp tuői khác nguyên sinh, trưong thành hay sn di chuyen ve so lưòng tù quan the đen quan the khác vào m®t mơ hình Tiep theo nhà nghiên cúu Chalesworth (1980), Metz Diekmann (1986) Kot (2001) mo r®ng phő bien cna úng dung mơ hình cau trúc tuői 2.2.2 Mơ hình dân so vái phân bo tuoi dang co đien Xét phương trình bao ton dân so dn(t, a) = ∂n ∂n dt + da = −µ(a)n(t, a)dt ∂t ∂a (2.16) Trong n(t, a) dân so o thòi điem t theo đ® tuői tù a đen a + da Các hàm b(a) v à(a) lan lot l ty lắ sinh v ty l¾ chet cna quan the (xem hình 2.3) µ(a)n(t, a)dt so dân o đ® tuői a chet thịi gian Hình 2.3: Chat lưong sinh (a) chet (b) ty l¾ cho ngưịi chúc nhung năm tuői tăng lên rat nho dt n(t, 0) toc đ® sinh (có the khơng có cá the sinh o đ® tuői a > 0) Chia ca hai ve phương trình (2.16) cho dt ta đưoc phương trình đao hàm riêng cap (chú ý thịi gian t tăng lên tuői a tăng theo nên da = 1) d t ∂n ∂n = −µ(a)n vói t > a > (2.17) ∂t ∂a vói đieu ki¾n ban đau cna n(t, a) o thòi điem t đ® tuői a + n(0, a) = f (a) (2.18) cho biet so dân o thòi điem t = có phân bo tuői cho trưóc f (a) v mđt ieu kiắn biờn khỏc nua l toc đ sinh n(t, 0) (cú the khụng cú sinh vắt sinh o đ® tuői a > 0) n(t, 0) =∫ ∞ b(a)n(t, a)da (2.19) Theo a → ∞ b(a) → 0, nên ta có the thay ∞ boi am b(a) = vúi a > am Mđt cõu hoi chớnh l ty lắ sinh b(a) v ty lắ chet à(a) có anh hưong the đen sn phát trien cna quan the sau m®t thịi gian dài Bây giị ta xét đ¾c trưng cna phương trình (2.17) sau: (xem Kevorkian 2000) da = 1, dt dn dt = àn (2.20) Hỡnh 2.4: ắc tớnh phng trỡnh Von Foerster (2.17) Gia a0 đ®m®t tuőicác banthe đauKhi cnađócáđ® thetuői o thòi t= vàđiem t0 thòi điemsusinh cna cnađiem cá the o0 thịi t bat kì xác đ%nh sau: (xem hình 2.4) tt t+ − a< > neu a t a0t0 neu a =(2.20) Phương trình thú cna se có hai nghi¾m khác nhau: (2.21) Neu a > t, tích phân hai ve phương trình thú hai cna (2.20) su dung da d t = ket hop đieu ki¾n (2.21) ta có Σ ∫a , µ(s)d s n(t, a) = n(0, a0 a > t a0)exp Σ− n(0, a0) = n(0, a − t) = f (a − t) tù (2.18) ta suy ∫a , a > t (2.22) n(t, a) = f (a − µ(s)ds a− t)exp Σ− Neu a < t, ta có t Σ ∫a Σ µ(s)ds n(t, a) = n(t0, 0)exp Σ− Do n(t0, 0) = n(t − a, 0) nên ta Σ có: n(t, a) = n(t − a, 0)exp Σ− ∫a µ(s)d s , a < t (2.23) Trong phương trình cuoi n(t − a, 0) đưoc xác đ%nh nhị vào vi¾c giai phương trình (2.19), su dung (2.22) (2.23) ta có Σ ∫t Σ b(a)n(t a, 0)exp ∫ a µ(s)ds da n(t, 0) − − 0 = Σ ∫ ∫ ∞ (2.24) d a − a)exp− + b(a)f (t à(s)ds a t a t Mắc dự vi¾c giai phương trình khơng de, ta van có the thnc hi¾n đưoc nhị vào phép l¾p Bây giị ta quan tâm đen dáng đi¾u cna quan the thịi gian dài thnc te tăng hay giam Ta xột mđt nghiắm khỏc cna phng trỡnh (2.17) sau: (xem Kevorkian 2000) n(t, a) = eγtr(a) (2.25) Khi sn phân bo tuői b% thay đői boi mđt nhõn to hoắc phỏt trien hoắc trỡ hoón tùy theo thịi gian γ > ho¾c γ < Th¾t v¾y, ta thay (2.25) vào (2.18) ta đưoc: dr = − [µ(a) + λ]r, da Σ Σ−γa ∫ a µ(s)d s r(a) = − r(0)exp (2.26) Vói r(a) (2.25) n(t, a) đưoc thêm vào đieu kiên biên (2.19) cho ta thúc: r(0) ∫ ∞ r(0)e γt b(a) e xp = eγt Σ−γa − Do đó, tri¾t tiêu eγtr(0 ta đưoc: = ∫∞ b xp ∫a µ(s)d s Σ da Σ−γa − ∫a Σ da = () à(s)ds (2.27) Phng trỡnh ny xỏc %nh mđt γ nhat, γ0, φ(γ) hàm đơn đi¾u giam theo γ Dau cna γ đưoc xác đ%nh boi đai lưong φ(0);(xem Hình 2.5: Yeu to tăng trưong y0 đưoc xác đ%nh boi giao điem cna φ(y) = : y0 > neu φ(0) > y0 < neu φ(0) < hình 2.5) Thay rang, γ0 đưoc xác đ%nh nhat boi ty l¾ sinh b(a) ty l¾ chet µ(a) Ngưõng tói han S cho sn phát trien dân so là: Σ ∫a da (2.28) µ(s)d Σ ∫∞ s b(a)exp S = φ(0) − 0 = Vói S > cho thay sn phát trien S < cho thay sn trì hỗn Trong a (2.28) ta coi exp Σ− ∫ µ(s)dsΣ xác suat đe m®t cá the song sót o đ® tuői a Nghi¾m (2.25) (2.26) khơng the thoa mãn đieu ki¾n ban đau (2.18) Câu hoi đ¾t li¾u nghi¾m ú cú xap xi túi nghiắm cna (2.17)-(2.19) sau mđt thịi gian đn lón, tốn thơng thưịng khơng Neu t đn lón đe n(t, a) (2.24) xap xi tích phân biên ve phai Σ ∫ n(t, 0) ∫ t b(a)n(t a, 0)exp a µ(s)ds da, t → ∞ (2.29) ≈ − − a− t Σ Neu tìm đưoc nghi¾m cna phương trình có dang tương tn (2.25); thay vào (2.29) thu đưoc (2.27) Vì the ta phong đốn đưoc nghi¾m cna phương trình (2.25) vói r(a) tù (2.26) γ tù (2.27) nghi¾m vói t đn lón cna phương trình (2.19) vói đieu ki¾n ban đau đieu ki¾n biên (2.20) (2.21) Tat nhiên khơng đưoc xác đ%nh đe mo r®ng hang so r(0) ta chi quan tâm đen sn phát trien hay trì hỗn nên ta khơng quan tâm đen r(0) khơng gây anh hưong ca Tham so quan TRQNG tham so ngưõng S (2.28) tù vi¾c kéo dài thịi gian anh hưong đen ty l¾ sinh tiêu vong đưoc đánh giá 2.2.3 Mơ hình dân so phn thu®c tuoi dang tong quát Chúng ta xét m®t quan the sinh HQ c đưoc phân chia thành nhieu nhóm nho theo quy mơ (kích thưóc) phân bo cna cá the (chang han theo lúa tuői) Kí hiắu n(t, s) l so long dõn so cna mđt nhóm dân so tai thịi điem t vói quy mơ s Khi đó, so lưong tồn b® dân so cna nhóm cá the o thịi điem t có kích thưóc tù s1 đen s2 đưoc xác đ%nh sau: ∫ s2 n(t, s)ds s1 Sau ta gia thiet rang: ã Moi mđt nhúm dõn so tng tuyen tớnh theo thũi gian ã Moi mđt nhúm dõn so chet vói xác suat phu thu®c vào quy mơ cna chỳng ã Moi mđt nhúm dõn so cú the phân chia thành nhóm cháu phu thu®c cách ngau nhiên vào quy mơ cna Ngồi ra, có the gia su thêm rang: • Ton tai m®t nhóm dân so có quy mơ cnc đai (thụng thũng s = 1) ã Ton tai mđt nhúm dân so có quy mơ cnc tieu s = α > tng ỳng vúi mắt đ cỏch phõn chia Như v¾y, kích thưóc s cna moi cá the quan the phai thoa mãn s ≥ α2 Tù nhung gia thiet ta có phương trình tien hóa sau: (xem [MD86, phan A-I.4]) ∂ ∂ (CE) n(t, s) = − n(t, s) − µ(s)n(t, s) − b(s)n(t, s) ∂t ∂s 4b(2s)n(t, 2s) vói α + ≤ s ≤ vói 12 ≤s≤1 α n(t, ) = vói t ≥ vói đieu ki¾n biên đieu ki¾n ban đau α n(0, ≤ s ≤ s) = n0(s) vói Ngồi ra, có the gia su rang ty l¾ chet l mđt hm liờn tuc dng xỏc đ%nh [ α , 1], ty lắ sinh l mđt hm liờn tuc thoa ieu ki¾n: b(s) > vói s ∈ (α, 1) b(s) = neu s khác Chúng ta se xác l¾p phương trình vi phân trùu tưong úng vói toán (CE) bang cách đưa đ%nh nghĩa sau: Đ%nh nghĩa 2.2.1 Trong không gian Banach B := L1[ α , 1] xác đ%nh toán tu A0f = −f J − (µ + b)f vái D(A0 (t) = A + Bu(t) u(0) = n00 u(t) vói u 2hàm véctơ u : R+ α ) = ,f ∈ W 1,1 [ α , ( ) = , , vói t ≥ 0, → L1[ α, 1] Su dung lý thuyet nhieu cna nua nhóm đ %nh lý ve tốn Cauchy đ¾t chinh (Xem muc 2.1.3 muc 2.1.4) se đen ket qua sau: 1] : f ≤ B f (b(2s) s )n(t, : s = 2s) ≤ vái α vái MQI hàm f ∈B 2 vái ≤s≤ Và toán tu A = A0 +B vái D(A) := D(A0) Vói đ%nh nghĩa phương trình đao hàm riêng (CE) cna tro ve toán Cauchy trùu tưong (ACP ) u ˙ Đ%nh lý 2.2.1 1.Toán (A D(AB0))đưac tốn sinhbái cua m®t nua 0,trên nhóm liên tnc manh xác tu đ%nh (2.30) t≥0 0(t)) ∫ (Ttu (µ(τ )+b(τ ))dτ f (s − t) vái T0 (t)f (s) e− := s−t > α s− t t vái s − t