Khái niệm số mũ lyapunov và một vài ứng dụng đối với hệ động lực

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - LƯèNG TH± DIU KHÁI NIfiM SO MŨ LYAPUNOV VÀ M®T VÀI ÚNG DUNG ĐOI VéI Hfi Đ®NG LUC LUẳN VN THAC S KHOA HOC H Nđi 2016 AI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - LƯèNG TH± DIU KHÁI NIfiM SO MŨ LYAPUNOV VÀ M®T VÀI ÚNG DUNG ĐOI VéI Hfi Đ®NG LUC Chuyên ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS Đ¾NG ĐÌNH CHÂU Mnc lnc LèI Me ĐAU Kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Banach nguyên lý ánh xa co 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Tốn tu tuyen tính 1.2 Sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình Volterra khơng gian Banach 1.2.1 Phương trình Volterra tuyen tính 1.2.2 Phương trình Volterra phi tuyen 10 1.2.3 Chuan Bielecki sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình Volterra phi tuyen .12 1.3 Sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân không gian Banach 15 Các phương pháp nghiên cÉu tính on đ%nh cua Lyapunov 19 2.1 Các khái ni¾m ban ve sn őn đ%nh cna nghi¾m phương trình vi phân 19 2.1.1 H¾ rút GQN 19 2.1.2 Các khái ni¾m ve őn đ%nh theo Lyapunov .20 2.1.3 Các hàm xác đ%nh dau .21 2.2 Các đ%nh lý ban theo phương pháp hàm Lyapunov Rn 22 2.2.1 Đ%nh lý thú nhat cna Lyapunov ve sn őn đ%nh 23 2.2.2 Đ%nh lý thú hai cna Lyapunov ve sn őn đ%nh ti¾m c¾n 24 2.2.3 Đ%nh lý thú ba cna Lyapunov ve sn không őn đ%nh 24 2.3 Khái ni¾m so mũ đ¾c trưng Lyapunov tính chat ban cna chúng .24 2.4 So mũ đ¾c trưng cna ma tr¾n, h¾ phương trình vi phân tuyen tính phép bien đői Lyapunov 30 2.4.1 So mũ đ¾c trưng cna ma tr¾n 30 2.4.2 Khái ni¾m ve phő Lyapunov cna h¾ phương trình vi phân tuyen tính 32 2.4.3 Bat thúc Lyapunov .34 2.4.4 Phép bien đői Lyapunov .35 Hắ đng lEc tuyen tớnh b% nhieu v Éng dnng cua phương pháp so mũ Lyapunov 37 3.1 Nua nhóm liên tuc manh khơng gian Banach toán tu sinh cna chúng .37 3.1.1 Nua nhóm liên tuc manh 37 3.1.2 Khái niắm ve toỏn tu sinh v mđt so ket qua bő tro 41 3.1.3 Đ%nh lý ve toán tu sinh cna nua nhóm 44 3.2 Bài tốn Cauchy đ¾t chinh 46 3.2.1 Khái ni¾m ve tốn Cauchy đ¾t chinh 46 3.2.2 Tính őn đ%nh nghi¾m cna tốn Cauchy đ¾t chinh .52 3.3 Sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính khơng gian Banach .56 3.4 HQ tốn tu tien hóa liên tuc manh không gian Banach 57 3.5 Phương trình tien hóa vói nhieu Lipschitz .59 3.6 Đánh giá nghi¾m cua phương trình Volterra 62 KET LU¾N 67 Lài nói đau Lý thuyet đ%nh tính phương trình vi phân đưoc hình thành phát trien tù đau the ky XIX (xem [2], [3], [5]) Trong thòi gian gan u cau địi hoi tù mơ hình úng dung lý thuyet đ%nh tính cna phương trình vi phân không gian Banach đưoc phát trien manh me (xem [4], [6], [7], [11], [13]) Muc tiêu cna lu¾n văn tìm hieu nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính có nhieu, dna vào phương pháp xap xi thú nhat cna Lyapunov Ton bđ nđi dung cna luắn bao gom hai phan chính: • Phan thú nhat dành cho viắc trỡnh by lai mđt so kien thỳc c ban biet, cu the không gian đ%nh chuan tốn tu tuyen tính, phương pháp thú nhat phương pháp thú hai cna Lyapunov (xem [1], [4], [9], [10], [13], [14], [15]) ã Phan thỳ hai dnh cho viắc sâu tìm hieu phương pháp so mũ cna Lya- punov đoi vói h¾ phương trình vi phân tuyen tính khơng gian Eucilid huu han chieu Rn Sau tiep tuc phỏt trien v mo rđng viắc nghiờn cỳu tính őn đ%nh cho phương trình vi phân tuyen tính có nhieu khơng gian Banach úng dung phương pháp cho phương trình tien hóa trùu tưong dang tuyen tính có nhieu úng dung ví du minh HQA Bo cuc cna luắn gom ba chng: ã Chương : Kien thúc chuan b% • Chương : Các phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh cua Lyapunov ã Chng : Hắ đng lnc tuyen tớnh b% nhieu úng dung cna phương pháp so mũ Lyapunov Ban lu¾n văn đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan t¾n tình cna PGS TS Đ¾ng Đình Châu Nhân d%p tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay - ngưịi dành nhieu thịi gian cơng súc đe hưóng dan, kiem tra, giúp đõ tơi vi¾c hồn thành ban lu¾n văn Tơi xin gui lòi cam ơn đen lãnh đao thay giáo Khoa Tốn Cơ - Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - ĐHQG Hà N®i ve kien thúc nhung đieu tot đep mang lai cho tơi thịi gian tơi HQc t¾p tai trưịng Tơi xin cam ơn phịng Sau đai HQc ve nhung đieu ki¾n thu¾n loi vi¾c hồn thành thn tuc HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Cuoi tơi muon bày to lịng biet ơn gia đình, ngưịi thân cho dna vung chac cho cuđc song v HQc Mắc dự ó cú nhieu sn co gang cịn có sn han che ve thòi gian lưong kien thúc bő tro nên ban lu¾n văn khó tránh khoi nhung thieu sót Tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban đe ban lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Hà N®i, tháng 11 năm 2016 Lưịng Th% Diu Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương mo đau, chúng tơi se dành cho vi¾c trình bày lai m®t so kien thúc ban nhat: Khơng gian Banach nguyên lý ánh xa co đưoc tham khao o tài li¾u [8] Sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình Volterra khơng gian Banach [13], sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân khơng gian Banach Can thiet cho vi¾c nghiên cúu o chương sau 1.1 1.1.1 Không gian Banach nguyên lý ánh xa co Không gian Banach Các kien thúc sau đưoc tham khao o tài li¾u [8], p.58 Đ%nh nghĩa 1.1 (Khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) Gia su X khơng gian vectơ trưịng vơ hưóng K ( K trưòng so thnc R hay trưòng so phúc C), X đưoc GQI không gian tuyen tính đ%nh chuan neu vói moi x ∈ X có xác đ%nh m®t so khơng âm ǁxǁ (GQI chuan cna x) thoa cỏc ieu kiắn sau: ã ǁxǁ ≥ vói MQI x ∈ X, ǁxǁ = ⇔ x = 0; • ǁλxǁ = |λ|ǁxǁ, vói MQI λ ∈ K vói MQI x ∈ X ; • ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ, vói MQI x, y ∈ X Đ%nh nghĩa 1.2 (a) Không gian X đay đn neu MQI dãy Cauchy X ∞ đeu dãy h®i tu, túc {xn } n=1 dãy Cauchy X ton tai x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞) (b) Neu khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (X, ǁ.ǁ) khơng gian đay đn (X, ǁ.ǁ) đưoc gQI khơng gian Banach 1.1.2 Tốn tE tuyen tính Các kien thúc sau đưoc tham khao o tài li¾u [8], p.82 Đ%nh nghĩa 1.3 (Tốn tu tuyen tính) Gia su X, Y hai khơng gian tuyen tính đ%nh chuan trưịng K, tốn tu A : X → Y đưoc GQI tuyen tính neu: A(αx + βy) = αAx + βAy vói MQI x, y ∈ X vói MQI α, β ∈ K Đ%nh nghĩa 1.4 Tốn tu tuyen tính A đưoc GQI liên tuc tai x0 ∈ X neu vói MQI dãy xn h®i tu đen x0 , ta đeu có Axn → Ax0 (n → ∞) Đ%nh lý 1.1 Neu toán tu tuyen tính A liên tuc tai điem x0 ∈ X A liên tuc tai MQI điem x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.5 Gia su X, Y không gian Banach Chuan ǁAǁ cna tốn tu tuyen tính liên tuc A : X → Y đai lưong : ǁAǁ = sup ǁxǁ≤1 ǁAxǁ = sup xƒ=0 ǁAxǁ ǁxǁ Đ%nh nghĩa 1.6 A : X → X toỏn tu tuyen tớnh b% chắn neu ton tai mđt hang so dương c > cho ǁAxǁ < cǁxǁ, ∀x ∈ X Ta có: M¾nh đe 1.1 a) A : X → X b% ch¾n chi liên tuc b) T¾p hop tat ca tốn tu tuyen tính tù X vào X tao thành mđt khụng gian Banach oc ký hiắu l L(X), tỳc là: L(X) = {A|A : X → X, ǁAǁ < +∞} Chúng ta xin nhac lai rang, gia su T ∈ L(X), neu ǁT (x)ǁ ≤ ǁxǁ vói MQI x ∈ X, T đưoc gQI phép co Neu ǁT xǁ = ǁxǁ, vói MQI x ∈ X T đưoc GQI m®t phép cn Trong L(X) ta có the xác đ%nh tơ pô khác tô pô đeu, tô pô manh, tơ pơ yeu Xét m®t hQ (Tα )α∈J ⊂ L(X) gom tốn tu tuyen tính b% ch¾n Tα ∈ L(X) Khi ta nói (i) (Tα)α∈J h®i tu đen T , T ∈ L(X) theo tô pô đeu neu ǁTα − Tǁ → (ii) (Tα)α∈J h®i tu đen T , T ∈ L(X) theo tô pô manh neu ǁTαx − Txǁ → 0, ∀x ∈ X (iii) (Tα)α∈J h®i tu đen T , T ∈ L(X) theo tô pô yeu neu | < Tα x − Tx , xJ > | → 0, ∀x ∈ X, xJ ∈ X J Vói khái ni¾m đó, ngun lý cna b% ch¾n đeu có the phát bieu theo m¾nh đe sau M¾nh đe 1.2 (xem [8], p.511) Cho mđt K L(X), ú cỏc tớnh chat dưói tương đương (a) K b% ch¾n theo tơ pơ yeu (b) K b% ch¾n theo tơ pơ manh (c) K b% ch¾n theo tơ pơ đeu túc ǁTxǁ ≤ c, vói MQI T ∈ K M¾nh đe 1.3 (xem [8], p.512) Trên t¾p b% chắn cna L(X) thỡ sn hđi tu theo cỏc tụ pô sau (a) Tô pô manh (b) Tụ pụ oi vúi gom cỏc iem hđi tu mà t¾p trù m¾t X (c) Tụ pụ trờn cỏc iem hđi tu eu m t¾p compact tương đoi cna X Đ%nh nghĩa 1.7 (Tốn tu đóng) Gia su X, Y khơng gian Banach Tốn tu tuyen tính A : D(A) ⊂ X → Y GQI tốn tu đóng neu vói MQI dãy {x∞ n }n=1 ⊂ D(A) mà xn → x, Axn → y x ∈ D(A) Ax = y 1.2 SE ton tai nhat nghiắm cua phng trỡnh Volterra khụng gian Banach Nđi dung phan đưoc tham khao o tài li¾u [13] Gia su X không gian Banach, J ⊂ R khoang vô han hay huu han cna truc thnc R, ta kí hi¾u ∆J = {(t, s)|(t, s) ∈ J, t ≥ s} (1.1) Sau dây ta se kớ hiắu K C[J ì X, X] l tốn tu liên tuc tù ∆J × X → X đưoc xác đ%nh boi: K : (t, s, x) ›→ K(t, s, x), (1.2) (t, s) ∈ J, x ∈ X Trong đ%nh lý tiep theo ta se xét trưịng hop cu the vói gia thiet K tuyen tính ho¾c phi tuyen, thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz đoi vói x, đeu đoi vói t, túc là: ǁK(t, s, x) − K(t, s, y)ǁ ≤ L(s)ǁx − yǁ, (1.3) L(s) hàm kha tích đ%a phương cna s 1.2.1 Phương trình Volterra tuyen tính N®i dung phan đưoc tham khao o tài li¾u [7], p.26 Lay J = [0, T ], gia su x : J → X, A : J → L(X) liên tuc manh theo x K = A(t)x(t), t ∈ J x0 ∈ X Xét phương trình Volterra ∫ t x(t) = A(τ )x(τ )dτ, vái t t , t ∈ J t ≥ t , g(t) + (1.4) 0 t0, t ∈ J (t ≥ t0 ), g0 ∈ C(J, X) o g : J → X hàm liên tuc Đ%nh lý sau se xác l¾p cho ta đieu ki¾n đn cho sn ton tai nghi¾m cna phương trình tích phân ( 1.4) Đ%nh lý 1.2 Gia su hàm g : J → X liên tuc A : J → L(X) liên tuc manh Khi phương trình (1.4) có nghi¾m nhat x = x(t) xác đ%nh đoan [a, b] ⊂ J bat kỳ Nghi¾m có the bieu dien dưói dang: ∞ Σ x(t) = g(t) + gk(t), k=1 đó: g1(t) = g(t) + gk(t) = ∫t A(t1)g(t1)dt1, t0 ∫ t t0 A(τ )g−k 1(τ )dτ, Chúng minh Gia su [a, b] ⊂ J bat kỳ, ta ký hi¾u B = C([a, b], X), C([a, b], X) t¾p hàm liên tuc [a, b] nh¾n giá tr% X, vói chuan: |||x||| = max ǁx(t)ǁ, t∈[a,b ] Vói t0 ∈ [a, b] bat kỳ ta xét toán tu S : B → B đưoc xác đ%nh boi: ∫ t (Sx)(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ t (1.5) ∂s 3.5 Phương trình tien hóa vái nhieu Lipschitz Trong phan se nghiên cúu tốn vói giá tr% ban đau sau dx = Au (t) + f (t, u (t)) , t > t0, dt u(t0) = t0 (3.24) −A m®t tốn tu sinh cna C0− nua nhóm T (t)t≥0, khơng gian Banach X f : [t0, T ] × X → X ánh xa liên tuc theo t thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz theo u Neu tốn (3.24) có nghi¾m cő đien tương úng vói phương trình (3.24) ta xét phương trình tích phân ∫t T (t − s) f (s, u (s)) ds (3.25) u (t) = T (t − t0) u0 + t0 Nói chung nghi¾m cna (3.25) có khơng nghi¾m (3.24) có đ %nh nghĩa sau Đ%nh nghĩa 3.12 M®t nghi¾m liên tuc u cna phương trình tích phân (3.25) đưoc gQI nghi¾m đn tot cna tốn Cauchy (3.24) Chúng ta se bat đau nghiên cúu sn ton tai nhat nghi¾m cna nghi¾m đn tot cna phương trình (3.24) sau Đ%nh lý 3.11 Cho hàm f : [t0, T ] × X → X liên tuc theo t [t0, T ] liên tuc Lipschitz đeu (vói hang so L) X Khi đó, −A m®t tốn tu sinh cna C0− nua nhóm T (t)t≥0, khơng gian Banach X, vói moi u0 ∈ X, tốn vói giá tr% ban đau (3.25) cú nhat mđt nghiắm n tot u C([t0, T ]; X) Chúng minh Trưóc het nhac lai rang T (t)t≥0 liên tuc manh nên ton tai M0 > cho ||T (t) || ≤ M0e ω , ω > t vói moi u0 ∈ X Đong thịi f : [t0, T ] × X → X thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz đeu X nên ton tai L > cho vói MQI u, v ∈ X ta có ||f (t, u) − f (t, v) || ≤ L||u − v|| Vói moi u0 ∈ X ta xét ánh xa F : C ([t0, T ] : X) → C ([t0, T ] : X), đưoc xác đ %nh boi t ∫ (Fu) (t) = T (t − t0) u0 + t0 T (t − s) f (s, u (s)) ds, t0 ≤ t ≤ T (3.26) Xét hi¾u ∫t T (t − s) [f (s, u (s)) − f (s, v (s)) ] ds, (Fu) (t) − (Fv) (t) = T (t − t0) (u0 − v0) t0 ≤ t ≤ T + t0 Ta có ∫t || (Fu) (t) − (Fv) (t) || ≤ M0eω(t−t0)||u0 − v0|| + M0eω(t−s)L||u (s) − v (s) ||ds t0 ∫ t ≤ ML||u (s) − v (s) ||ds, t0 M = M0eωT Do || (Fu) (t) − (Fv) (t) || ≤ ML (t − t0) ||u − v||∞ (3.27) Tiep tuc bang phương pháp truy hoi ta có (ML (t− t ))n || u) (t) − v) (t) || ||u − v||∞, n n n! (F (F ≤ nên (MLT )n || (F n u)(t) − (F Vói n đn lón ta có (M LT ) n n ! n v) (t) || ≤ n! ||u − v||∞ < Bang cách su dung nguyên lý ánh xa co khơng gian Banach ta suy F có điem bat đ®ng nhat u khơng gian C ([t0, T ] : X) iem bat đng ny l nghiắm cna phương trình tích phân (3.25) Do tốn giá tr% ban đau (3.24) ton tai nghi¾m nhat u không gian C ([t0, T ] : X) Đ%nh lý đưoc chúng minh Chúng ta biet rang gia thiet ve sn thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz đeu cna hàm f đ%nh lý đam bao sn ton tai nghi¾m tồn cuc (túc nghi¾m xác đ%nh toàn đoan [t0 , T ]) Neu gia thiet rang f chi thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz đ%a phương theo u, b% ch¾n đeu theo t đoan b% ch¾n, có nghĩa đoi vói moi tj m®t hang so c > ton tai m®t hang so L(c, tj ) cho ||f (t, u) − f (t, v) || ≤ L c, tj Σ ||u − v||, (3.28) thoa mãn đoi vói u, v ∈ X cho ||u|| < c, ||u|| < c t ∈ [0, tj ], có m®t phiên ban đ%a phương cna đ%nh lý sau Đ%nh lý 3.12 Cho f liên tuc Lipschitz đ%a phương theo u, đeu t moi oan b% chắn bat k, gia su A l mđt tốn tu sinh cna C0− nua nhóm T (t)t≥0 X Khi vói moi u0 ∈ X ton tai m®t tmax cho tốn vói giá tr% ban đau dx dt = Au (t) = f (t, u (t)) u(t0) = t0 , t ≥ 0, có nghi¾m đn tot u [0, tmax] Tuy nhiên, neu tmax < ∞ (3.29) lim ||u (t) || = ∞ t→t−m ax Chúng minh Trưóc tiên thay rang vói moi t0 ≥ 0, u0 ∈ X tù gia thiet cna đ%nh lý tốn vói giá tr% ban đau (3.29) có nghi¾m đn tot nhat u đoan J = [t0, t1] m đ di cna J b% chắn boi (t0 || u0 ) = 1, ||u0|| , K (t0) L (K (t0) , t0 + 1) + N (t0) (3.30) o L(c, tj ) hang so Lipschitz đ%a phương cna f đưoc xác đ%nh boi (3.28), M (t0) = max {||T (t) ||} , N (t0) max {||f (t, 0) ||} K (t0 ) = 2||u0 ||M (t0 ) 0≤t≤t0+ = ≤t≤t0+ 1 Th¾t v¾y xét ánh xa F : [t0, T ] × X → X đưoc cho boi ∫ (Fu) (t) = T (t − t0) u0 t T (t − s) f (s, u (s)) ds, t0 ≤ t ≤ T + (3.31) t0 Đ¾t t1 = t0 + δ (t0, ||u0||) vói δ (t0, ||u0||) cho boi (3.30) Ánh xa F đưoc xác đ %nh boi (3.26) ánh xa xác tù hình cau bán kính K(t0) tâm tai cna C ([t0, T ] : X) vào Đieu có the suy tù đánh giá sau ∫ t ||T − s|| (||f (s, u (s)) − f (s, 0) || + ||f (s, 0) ||) ds ||F (u) (t) || ≤ M (t0) ||u0|| + t0 ≤ M (t0) ||u0|| + M (t0) K (t0) L (K (t0) , t0 + 1) + M (t0) N (t0) (t − t0) ≤ M (t0) {||u0|| + K (t0) L (K (t0) , t0 + 1) + N (t0) (t − t0)} Tù cách xác đ%nh δ (t0, ||u0||) t1 ta có ||F (u) (t) || ≤ 2M (t0) ||u0|| = K (t0) Trong hình cau này, F thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz đeu vói hang so L (K (t0) , t0 + 1) chúng minh đ%nh lý 3.11, nhat thiet phai có điem bat đ®ng u hỡnh cau iem bat đng ny l nghiắm cna (3.24) đoan [t0, t1] Tù có he thay rang neu u nghi¾m đn tot cna (3.29) xác đ%nh đoan [0, τ ] có the mo r®ng khoang xác đ%nh cna khoang [0, τ + δ] Σ|| vói δ > 0, bang cách xác đ%nh [τ, τ + δ], nghi¾m cna u(t) = ω(t), vói ω(t) nghi¾m cna phương trình tích phân ∫ ω (t) = T (t − τ )t T (t − s) f (s, ω (s)) ds, + τ ≤ t ≤ t + δ, τ o can ý rang δ chi phu thu®c vào u(τ ), K(τ ) N (τ ) Gia su [0, tmax] khoang cnc đai mà nghi¾m đn tot cna phương trình lim ||u (t) || = ∞ neu ngưoc lai t → t− (3.29) ton tai Neu max ta có t→tmax ||u(tn )|| ≤ c vói MQI n Đieu kéo theo ket qua sau đây, vói moi tn đn gan tmax , u đưoc đ%nh nghĩa [0, tn ] có the mo r®ng tói [0, tn + δ] o õy > đc lắp vúi n Khi ú u có the mo r®ng vưot qua khoi tmax mâu thuan vói đ%nh nghĩa cna tmax Đe chúng minh nghi¾m đn tot đai phương u cna phương trình (3.29), ý rang neu v nghi¾m đn tot cna phương trình (3.29) moi đoan [0, t0 ] ca hai nghi¾m u, v ton tai chúng đong nhat bang nhau, đe chi đieu ta có the lý luân tương tn chúng minh cna đ%nh lý 3.11 Hơn the nua, ca u v v eu cú cựng mđt tmax vỡ vắyu ≡ v [0, tmax ] Đ%nh lý đưoc chúng minh 3.6 Đánh giá nghi¾m cua phương trình Volterra Xét phương trình tích phân Volterra x (t) = T (t − τ ) x (τ ) + ∫ t T (t − s) [ϕ (s, x (s)) +ψ (s, x (s)) ]ds (3.32) τ Trong trình nghiên cúu tốn liên quan đen mơ hình thnc te b % nhieu, đơi thưịng dan đen vi¾c nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân có nhieu dang sau dx = Ax + ϕ (t, x) + ψ (t, x) , ∀t ≥ 0, x ∈ X, (3.33) dt (A, D(A)) tốn tu sinh cna nua nhóm liên tuc manh (T (t))t≥0 X Sau ta gia thiet ϕ, ψ hàm liên tuc thoa mãn đieu ki¾n x Lipschitz (đ%a phương ho¾c đeu ) theo x moi đoan bat kỳ [0, T ] ⊂ R+ , nh¾n giá tr% khơng gian Banach X M¾nh đe 3.3 Cho khơng gian Banach X, x, y ∈ X gia su hàm ϕ, ψ liên tuc thoa mãn đieu ki¾n: (i) ϕ (t, 0) = ψ (t, 0) = 0, ||ϕ (t, x) − ϕ (t, y) || ≤ L||x − y||, (ii) (3.34) ||ψ (t, ∫∞ x) − ψ (t, y) || ≤ γ (t) ||x − y||, vói γ (t) dt = α < ∞, (3.35) gia su (T (t))t≥0 nua nhóm liên tuc manh őn đ%nh mũ đeu túc ton tai hang so M > cho ||T (t) || ≤ Me−λt, ∀t ≥ 0, nghi¾m x(t) cna phương trình (3.32) thoa mãn đánh giá sau ||x (t) || ≤ MeMαe−(λ−ML)(t−τ)||x (τ ) || Và ta có đánh giá sau: χ[||x(t)||] ≤ −λ+ML Chúng minh Gia su x(t) nghi¾m cna phương trình (3.32), x (t) = T (t − τ ) x (τ ) + ∫ t T (t − s) [ϕ (s, x (s)) +ψ (s, x (s)) ]ds τ Su dung gia thiet ve tính őn đ%nh mũ cna nua nhóm liên tuc manh (T (t))t≥0 ta có ∫t ||x (t) || ≤ Me−λ(t−τ)||x (τ ) || + Me−λ(t−τ)[L+γ (s) ]||x (s) ||ds τ Do ||x (t) ||e −λ(t−τ) ∫t M [L+γ (s) ]||x (s) ||e−λ(t−s)ds ≤ M||x (τ ) || + τ Áp dung bő đe Gronwall-belman ta có: Tù ta suy ¸t [M L+Mγ(s)]ds ||u (t) ||e−λ(t−τ) ≤ M||x (τ ) ||eτ ¸t [M L+Mγ(s)]ds ||x (t) || ≤ M||x (τ ) || e−λ(t−τ)eτ Ket hop vói gia thiet (3.35) ta có: ||x (t) || ≤ M||x (τ ) ||eMαe−(λ−ML)(t−τ) Suy χ[||x(t)||] = ln.x(t).≤t→∞ t→∞ t t lim lim ln.M ||x (τ ) ||eM α e−(λ−M L)(t−τ ) = −λ + M L Bő đe đưoc chúng Đ%nh minh lý 3.13 Gia su gia thiet cna M¾nh đe (3.3) thoa mãn Khi neu −λ + ML < Thì nghi¾m tam thưịng x(t) ≡ cna phương trình (3.33) őn đ%nh ti¾m c¾n Chúng minh (i) Chúng minh nghi¾m tam thưịng x(t) ≡ őn đ%nh theo Lyapunov Gai su x = x(t) nghi¾m cna phương trình (3.33) thoa mãn đieu ki¾n ban đau x(t0) = x0 Khi nhị m¾nh đe (3.3) ta có: ||x (t) || ≤ MeMαe−(λ−ML)(t−t0)||x0|| ε Vói MQI ε > cho trưóc, cHQN δ = Mα 2M e Neu ||x0|| < δ ta ε ||x (t) || < , ∀t ≥ t0 có: lim ||x (t) || = t→ ∞ (ii) Chúng minh Su dung ket qua cna M¾nh đe (3.3) ta có ||x (t) || ≤ M eM α ||x_0||e−(λ−M L)(t−t0 ) , nên lim ||x (t) || = 0, vói MQI t ≥ t0 t→ ∞ Đ%nh lý đưoc chúng minh Theo m¾nh đe (3.3) ta suy h¾ qua sau Hắ qua 3.5 Gia su : R+ ì X → X thoa mãn đieu ki¾n (3.35) cna m¾nh đe 3.3 Khi neu nua nhóm liên tuc manh (T (t))t≥0 őn đ%nh mũ túc là: ton tai M > cho ||T (t) || ≤ Me−λt, ∀t ≥ 0, ∀M ≥ Thì nghi¾m tam thưịng x(t) ≡ cna phương trình (3.33) őn đ%nh ti¾m c¾n H¾ qua 3.6 Gia su ϕ : R+ × X → X thoa mãn đieu ki¾n (3.34) cna m¾nh đe 3.3 đong thịi ||ϕ (t, x) || → || x|| Khi neu nua nhóm liên tuc manh (T (t))t≥0 őn đ%nh mũ túc là: ton tai M > Neu ||x|| → 0, cho ||T (t) || ≤ Me−λt, ∀t ≥ 0, ∀M ≥ Thì nghi¾m tam thưịng x(t) ≡ cna phương trình (3.33) őn đ%nh ti¾m c¾n Ví dn 3.3 Xét tính őn đ%nh cna nghi¾m tam thưịng cna h¾ x˙ = −3x t+ y + t2+1 4+1 (3.36) t +1 2 (x y˙+=y−x ), − 3yt4++ (x + y2) Ta đ¾t ψ1 Ta có t4+ (t, x, y) = (t, x, y) = t2+1 ψ2 y) = (ψ Σ x2 + y , vói ψ(t, x, (t, x, y), ψ2(t, x, y)) t2 + ||ψ (t, x1, y1) − ψ (t, x2, y2) || ≤ t4 + Vói || (x1, y1) − (x2, y2) || ∫∞ t2 + dt < +∞, t4 + ∀t ∈ R+ Đe xét tính őn đ%nh cna h¾ (3.36) ta xét h¾ thu GQN x˙ = −3x + y, y˙ = −x − 3y Ta có: −3 − λ −1 = (3 + λ) + = 0, −3 − λ Σ ⇔ λ1 = −3 + i λ2 = −3 − i Nghi¾m tőng qt cna h¾ (3.37) có dang (3.37) x (t) Σy (t) = (−3+i) te (−3+i ie )t Σ Σ C1 C2 = Σ e−3t (cost + isint) C1 e−3t (−sint + icost) C2 Σ Trong nua nhóm ma tr¾n (T (t))t≥0 đưoc xác đ%nh boi cost sint T (t) = e−3t Σ−sint cost Ta lay t0 = 2π cho: ||T (2π) || = ||e−3(2π) Σ || ≤ e−6π < 01 Theo bő đe 3.3 nua nhóm liên tuc manh (T (t))t≥0 őn đ%nh mũ đeu V¾y theo H¾ qua 3.5 nên nghi¾m tam thưịng (0, 0) cna h¾ (3.37) őn đ%nh ti¾m c¾n Do v¾y (3.36) őn đ%nh ti¾m c¾n tai nghi¾m tam thưịng (0, 0) Ví dn 3.4 Xét tính őn đ%nh cna nghi¾m tam thưịng cna h¾ x˙ = −2x + y + (x2 y˙ = −x − 2y + (x2 + y2)sint, + y2)sint, (3.38) ∀t ∈ [0, Ta có 2π] ϕ (t, x, y) = (x2 + y )sint, (x2 + đong thòi Σ lim ||(x,y)|| →0 y )sint , = lim ||ϕ (t, x, ||(x,y)|| →0 y) || ||(x, y)|| || (x2 + y2)sint, (x2 + y2)sint || ||(x, y)|| Σ Đe xét tính őn đ%nh cna h¾ (3.38) ta xét h¾ thu GQN x˙ = −2x + y, y˙ = −x − 2y De dàng thay rang nua nhóm ma tr¾n (T (t))t≥0 đưoc xác đ%nh boi Σ cost sint T (t) = e−2t −sint cost , nua nhóm liên tuc manh sinh boi ma tr¾n Σ −2 −1 −2 Suy Σ = (3.39) ||T (t) || = ||e−2t cost sint || ≤ e−2t, ∀t ∈ [0, 2π] −sint cost V¾y theo h¾ qua 3.6 nên nghi¾m tam thưịng (0, 0) cna h¾ (3.39) őn đ%nh ti¾m c¾n Do v¾y (3.38) őn đ%nh ti¾m c¾n tai nghi¾m tam thưịng (0, 0) KET LU¾N Trong ban luắn ny ó hon thnh mđt so nđi dung sau õy: Phan thỳ nhat dnh cho viắc trình bày lai m®t so kien thúc ban biet, cu the khơng gian đ%nh chuan tốn tu tuyen tính Tìm hieu nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân khơng gian Rn, dna vào phương pháp hàm Lyapunov phương pháp so mũ cna Lyapunov Phan thú hai dành cho vi¾c nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính có nhieu nhị phương pháp xap xi thú nhat theo Lyapunov Phan cuoi cna lu¾n văn úng dung phương pháp cho phương trình tien hóa trùu tưong dang tuyen tính có nhieu úng dung ví du minh HQA Đóng góp nho cna luắn ny l xõy dnng mđt so vớ du minh HQA vi¾c úng dung ket qua nhắn oc cho hắ đng lnc tuyen tớnh b% nhieu Tài li¾u tham khao [1] Pham Kỳ Anh, Tran Đúc Long, Giáo trình hàm thnc giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc gia Hà n®i, (2001) [2] Nguyen The Hồn - Pham Phu, Cơ sá phương trình vi phân lý thuyet őn đ%nh, NXB Đai HQc Quoc gia Hà n®i, (2000) [3] A.M Lyapunov, Bài tốn tőng quỏt ve n %nh chuyen đng Tuyen cỏc cụng trình V.6.T.2, (1956) (Bang tieng Nga) [4] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations, Springer - Verlag, Beclin - NewYork (1983) [5] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (Russian) (1967) [6] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems differential equations, Amer Math.Soc (1999) [7] D.Guo, V.Lakshmikantham and Xinzhi Liu, Nonlinear Intergral Equations in Abstract Spaces, Springer-Science+Business Media, B.V [8] E Kreyszig (1978), Introductory Funtional Analysis With Applications, John Wiley Sons [9] H Brezis,Giai tích hàm Lý thuyet Úng dnng, NXB Đai HQc Quoc Gia TP Ho Chí Minh [10] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [11] Klaus-Jocchen Engel Rainer Nagel,One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork (2000) [12] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trnc tiep cua Lyapunov ve lý thuyet őn đ%nh, Mosscow (1988) (Bang tieng Nga) [13] S G Krein (1971), Linear Differential Equations in Banach Space,American Mathematical Society Providence, Rhode Island 02904 Tài li¾u tham khao 69 [14] U.X Bagdanov, Phương pháp đ%nh tính cua lý thuyet dao đ®ng Tuyen t¾p cơng trình Kiev, (1970) (Bang tieng Nga) [15] U.X Bagdanov, Ve dau hi¾u bieu th% tính őn đ%nh ti¾m c¾n nhà so vd− bé, Tap chí phương trình vi phân (Differential Equations), 1966, TII, N3 (Bang tieng Nga) ... ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - LƯèNG TH± DIU KHÁI NIfiM SO MŨ LYAPUNOV VÀ M®T VÀI ÚNG DUNG ĐOI VéI Hfi Đ®NG LUC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¼N... 2.3 Khái ni¾m so mũ đ¾c trưng Lyapunov tính chat ban cna chúng .24 2.4 So mũ đ¾c trưng cna ma tr¾n, h¾ phương trình vi phân tuyen tính phép bien đői Lyapunov 30 2.4.1 So mũ đ¾c... 2.1.2 Các khái ni¾m ve on đ%nh theo Lyapunov Đe nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương trình vi phân thưòng áp dung phương pháp cna Lyapunov Đó phương pháp so mũ Lyapunov ho¾c phương pháp hàm Lyapunov