Khái niệm số mũ lyapunov và một vài ứng dụng đối với hệ động lực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - LƯỜNG THỊ DỈU KHÁI NIỆM SỐ MŨ LYAPUNOV VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ ĐỘNG LỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - LƯỜNG THỊ DỈU KHÁI NIỆM SỐ MŨ LYAPUNOV VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ ĐỘNG LỰC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2016 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Toán tử tuyến tính 1.2 Sự tồn nghiệm phương trình Volterra khơng gian Banach 1.2.1 Phương trình Volterra tuyến tính 1.2.2 Phương trình Volterra phi tuyến 1.2.3 Chuẩn Bielecki tồn nghiệm phương trình Volterra phi tuyến 1.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân không gian Banach 5 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Lyapunov 2.1 Các khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân 2.1.1 Hệ rút gọn 2.1.2 Các khái niệm ổn định theo Lyapunov 2.1.3 Các hàm xác định dấu 2.2 Các định lý theo phương pháp hàm Lyapunov Rn 2.2.1 Định lý thứ Lyapunov ổn định 2.2.2 Định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận 2.2.3 Định lý thứ ba Lyapunov không ổn định 2.3 Khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov tính chất chúng 2.4 Số mũ đặc trưng ma trận, hệ phương trình vi phân tuyến tính phép biến đổi Lyapunov 2.4.1 Số mũ đặc trưng ma trận 2.4.2 Khái niệm phổ Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.4.3 Bất đẳng thức Lyapunov 10 12 15 19 19 19 20 21 22 23 24 24 24 30 30 32 34 2.4.4 Phép biến đổi Lyapunov 35 Hệ động lực tuyến tính bị nhiễu ứng dụng phương pháp số mũ Lyapunov 3.1 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian Banach toán tử sinh chúng 3.1.1 Nửa nhóm liên tục mạnh 3.1.2 Khái niệm toán tử sinh số kết bổ trợ 3.1.3 Định lý tốn tử sinh nửa nhóm 3.2 Bài toán Cauchy đặt chỉnh 3.2.1 Khái niệm toán Cauchy đặt chỉnh 3.2.2 Tính ổn định nghiệm toán Cauchy đặt chỉnh 3.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach 3.4 Họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh không gian Banach 3.5 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz 3.6 Đánh giá nghiệm phương trình Volterra KẾT LUẬN 37 37 37 41 44 46 46 52 56 57 59 62 67 Lời nói đầu Lý thuyết định tính phương trình vi phân hình thành phát triển từ đầu kỷ XIX (xem [2], [3], [5]) Trong thời gian gần yêu cầu đòi hỏi từ mơ hình ứng dụng lý thuyết định tính phương trình vi phân khơng gian Banach phát triển mạnh mẽ (xem [4], [6], [7], [11], [13]) Mục tiêu luận văn tìm hiểu nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu, dựa vào phương pháp xấp xỉ thứ Lyapunov Toàn nội dung luận văn bao gồm hai phần chính: • Phần thứ dành cho việc trình bày lại số kiến thức biết, cụ thể khơng gian định chuẩn tốn tử tuyến tính, phương pháp thứ phương pháp thứ hai Lyapunov (xem [1], [4], [9], [10], [13], [14], [15]) • Phần thứ hai dành cho việc sâu tìm hiểu phương pháp số mũ Lya- punov hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Eucilid hữu hạn chiều Rn Sau tiếp tục phát triển mở rộng việc nghiên cứu tính ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu không gian Banach ứng dụng phương pháp cho phương trình tiến hóa trừu tượng dạng tuyến tính có nhiễu ứng dụng ví dụ minh họa Bố cục luận văn gồm ba chương: • Chương : Kiến thức chuẩn bị • Chương : Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định cuả Lyapunov • Chương : Hệ động lực tuyến tính bị nhiễu ứng dụng phương pháp số mũ Lyapunov Bản luận văn thực hướng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy - người dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô giáo Khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối muốn bày tỏ lịng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa vững cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng cịn có hạn chế thời gian lượng kiến thức bổ trợ nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Lường Thị Dỉu Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương mở đầu, dành cho việc trình bày lại số kiến thức nhất: Không gian Banach nguyên lý ánh xạ co tham khảo tài liệu [8] Sự tồn nghiệm phương trình Volterra không gian Banach [13], tồn nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach Cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau 1.1 Không gian Banach nguyên lý ánh xạ co 1.1.1 Không gian Banach Các kiến thức sau tham khảo tài liệu [8], p.58 Định nghĩa 1.1 (Không gian tuyến tính định chuẩn) Giả sử X khơng gian vectơ trường vô hướng K ( K trường số thực R hay trường số phức C), X gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn với x ∈ X có xác định số không âm x (gọi chuẩn x) thỏa mãn điều kiện sau: • x ≥ với x ∈ X, x = ⇔ x = 0; • λx = |λ| x , với λ ∈ K với x ∈ X ; • x + y ≤ x + y , với x, y ∈ X Định nghĩa 1.2 (a) Không gian X đầy đủ dãy Cauchy X dãy hội tụ, tức {xn }∞ n=1 dãy Cauchy X tồn x0 ∈ X mà xn → x0 (n → ∞) (b) Nếu khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, ) khơng gian đầy đủ (X, ) gọi khơng gian Banach 1.1.2 Tốn tử tuyến tính Các kiến thức sau tham khảo tài liệu [8], p.82 Định nghĩa 1.3 (Tốn tử tuyến tính) Giả sử X, Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn trường K, toán tử A : X → Y gọi tuyến tính nếu: A(αx + βy) = αAx + βAy với x, y ∈ X với α, β ∈ K Định nghĩa 1.4 Tốn tử tuyến tính A gọi liên tục x0 ∈ X với dãy xn hội tụ đến x0 , ta có Axn → Ax0 (n → ∞) Định lý 1.1 Nếu toán tử tuyến tính A liên tục điểm x0 ∈ X A liên tục điểm x ∈ X Định nghĩa 1.5 Giả sử X, Y khơng gian Banach Chuẩn A tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y đại lượng : A = sup Ax = sup x ≤1 x=0 Ax x Định nghĩa 1.6 A : X → X tốn tử tuyến tính bị chặn tồn số dương c > cho Ax < c x , ∀x ∈ X Ta có: Mệnh đề 1.1 a) A : X → X bị chặn liên tục b) Tập hợp tất tốn tử tuyến tính từ X vào X tạo thành không gian Banach ký hiệu L(X), tức là: L(X) = {A|A : X → X, A < +∞} Chúng ta xin nhắc lại rằng, giả sử T ∈ L(X), T (x) ≤ x với x ∈ X, T gọi phép co Nếu T x = x , với x ∈ X T gọi phép đẳng cự Trong L(X) ta xác định tô pô khác tô pô đều, tô pô mạnh, tô pô yếu Xét họ (Tα )α∈J ⊂ L(X) gồm toán tử tuyến tính bị chặn Tα ∈ L(X) Khi ta nói (i) (Tα )α∈J hội tụ đến T , T ∈ L(X) theo tô pô Tα − T → (ii) (Tα )α∈J hội tụ đến T , T ∈ L(X) theo tô pô mạnh Tα x − T x → 0, ∀x ∈ X (iii) (Tα )α∈J hội tụ đến T , T ∈ L(X) theo tô pô yếu | < Tα x − Tx , x > | → 0, ∀x ∈ X, x ∈ X Với khái niệm đó, nguyên lý bị chặn phát biểu theo mệnh đề sau Mệnh đề 1.2 (xem [8], p.511) Cho tập K ⊂ L(X), tính chất tương đương (a) K bị chặn theo tô pô yếu (b) K bị chặn theo tô pô mạnh (c) K bị chặn theo tô pô tức T x ≤ c, với T ∈ K Mệnh đề 1.3 (xem [8], p.512) Trên tập bị chặn L(X) hội tụ theo tô pô sau (a) Tô pô mạnh (b) Tô pô tập gồm điểm hội tụ mà tập trù mật X (c) Tô pô tập điểm hội tụ mà tập compact tương đối X Định nghĩa 1.7 (Tốn tử đóng) Giả sử X, Y khơng gian Banach Tốn tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y gọi toán tử đóng với dãy {xn }∞ n=1 ⊂ D(A) mà xn → x, Axn → y x ∈ D(A) Ax = y 1.2 Sự tồn nghiệm phương trình Volterra khơng gian Banach Nội dung phần tham khảo tài liệu [13] Giả sử X không gian Banach, J ⊂ R khoảng vô hạn hay hữu hạn trục thực R, ta kí hiệu ∆J = {(t, s)|(t, s) ∈ J, t ≥ s} (1.1) Sau dây ta kí hiệu K ∈ C[∆J × X, X] tốn tử liên tục từ ∆J × X → X xác định bởi: K : (t, s, x) → K(t, s, x), (1.2) (t, s) ∈ J, x ∈ X Trong định lý ta xét trường hợp cụ thể với giả thiết K tuyến tính phi tuyến, thỏa mãn điều kiện Lipschitz x, t, tức là: K(t, s, x) − K(t, s, y) ≤ L(s) x − y , (1.3) L(s) hàm khả tích địa phương s 1.2.1 Phương trình Volterra tuyến tính Nội dung phần tham khảo tài liệu [7], p.26 Lấy J = [0, T ], giả sử x : J → X, A : J → L(X) liên tục mạnh theo x K = A(t)x(t), t ∈ J x0 ∈ X Xét phương trình Volterra t x(t) = g(t) + với t0 , t ∈ J t ≥ t0 , A(τ )x(τ )dτ, (1.4) t0 t0 , t ∈ J (t ≥ t0 ), g ∈ C(J, X) g : J → X hàm liên tục Định lý sau xác lập cho ta điều kiện đủ cho tồn nghiệm phương trình tích phân ( 1.4) Định lý 1.2 Giả sử hàm g : J → X liên tục A : J → L(X) liên tục mạnh Khi phương trình (1.4) có nghiệm x = x(t) xác định đoạn [a, b] ⊂ J Nghiệm biểu diễn dạng: ∞ x(t) = g(t) + gk (t), k=1 đó: t g1 (t) = g(t) + A(t1 )g(t1 )dt1 , t0 t gk (t) = A(τ )gk−1 (τ )dτ, t0 Chứng minh Giả sử [a, b] ⊂ J bất kỳ, ta ký hiệu B = C([a, b], X), C([a, b], X) tập hàm liên tục [a, b] nhận giá trị X , với chuẩn: |||x||| = max x(t) , t∈[a,b] Với t0 ∈ [a, b] ta xét toán tử S : B → B xác định bởi: t (Sx)(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ t0 (1.5) Pj (t) ma trận dạng đa thức Từ giả thiết mệnh đề ta suy ||T (t) || < M eαt , với M ≥ α < Như (T (t))t≥0 ổn định mũ Từ ta suy nghiệm tầm thường u(t) = (3.13) ổn định tiệm cận Hệ chứng minh Để minh họa cho định nghĩa trình bày chúng tơi xét ví dụ đơn giản Ví dụ 3.2 Trong khơng gian X = R2 , ta xét hệ phương trình vi phân dx dt dy dt = αx + βy, (3.17) = −βx + αy, α, β số thực khơng âm Ta có α−λ β −β α−λ = ⇔ (α − λ)2 + β = λ1 = α + iβ ⇔ λ2 = α − iβ (+) Với λ1 = α + iβ , xét hệ −iβ β γ1 −β −iβ γ2 =0 Chọn vectơ riêng γ1 = γ2 i Dễ dàng thấy nửa nhóm ma trận (T (t))t≥0 xác định T (t) = eαt cos βt eαt sin βt −eαt sin βt eαt cos βt , nửa nhóm liên tục mạnh sinh ma trận A= α β −β α Bằng tính tốn trực tiếp ta khẳng định sau đây: 55 (a) Nếu α < nửa nhóm ma trận (T (t))t≥0 ổn định (b) Nếu α ≤ nửa nhóm ma trận (T (t))t≥0 bị chặn (c) Nếu α < nghiệm tầm thường (3.17) ổn định tiệm cận (d) Nếu α = nghiệm tầm thường (3.17) ổn định, nửa nhóm ma trận (T (t))t≥0 bị chặn không ổn định 3.3 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach Giả sử X không gian Banach, J ⊂ R khoảng vô hạn hay hữu hạn trục thực R, ta kí hiệu ∆J = {(t, s)|(t, s) ∈ J, t > s}, với t ∈ J ta xét toán tử tuyến tính A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X hàm f (t) xác định J , nhận giá trị không gian Banach X(f : J → X) Nếu khơng có bổ sung thêm ta ln ln giả thiết hàm f : J → X, A : J → X đo mạnh khả tích Bochner Giả sử J = [0; T ], t0 ∈ J , x0 ∈ X xét toán với giá trị ban đầu   dx(t) = A(t)x(t) + f (t), t ∈ J dt (3.18) x(t ) = x 0 Áp dụng định lý (1.2) ta có định lý sau đây: Định lý 3.9 Giả sử với t ∈ [t0 ; T ] tốn tử tuyến tính A(t) bị chặn X , A(t) ∈ L(X) f ∈ C([t0 ; T ], X) A : [t0 ; T ] → L(X) liên tục mạnh với x ∈ X tốn giá trị ban đầu (3.18) có nghiệm cổ điển Chứng minh Ta xét phương trình t t u(t) = x + f (τ )dτ A(τ )u(τ )dτ + (3.19) t0 t0 Phương trình có dạng (1.4) với: t g(t) = x + f (τ )dτ t0 Áp dụng định lý (3.9) ta suy phương trình (3.19) có nghiệm Từ giả thiết định lý (3.9) ta hàm dấu tích phân vế phải phương trình (3.19) liên tục theo t Do vế phải phương trình (3.19) hàm khả vi theo t, u = u(t) nghiệm cổ điển phương trình (3.19), định lý chứng minh 56 Tiếp theo với J = [0; T ] với t, s ∈ J ta xét toán với giá trị ban đầu:   du(t) = A(t)u(t) với ≤ s < t ≤ T dt (3.20) u(s) = x Bài toán thường gọi tốn tiến hóa Để thuận tiện việc trình bày, ta ln sử dụng kí hiệu ∆J = {(t, s)|t, s ∈ [0, T ]; ≤ s ≤ t ≤ T } Từ định lý (3.9), ta suy Hệ quả: Hệ 3.4 Giả sử A : J → L(X) liên tục mạnh Khi ứng với (t, s) ∈ ∆J x ∈ X nghiệm toán (3.20) tồn Nhận xét Nếu A(t) = A với t ∈ J tức A ∈ L(X) cơng thức biểu diễn nghiệm tốn Cauchy   du = Au dt u(s) = x có dạng u(t) = eA(t−s) x, ∞ e At = n=0 3.4 (At)n n! Họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh khơng gian Banach Giả sử X không gian Banach J ⊂ R khoảng hữu hạn hay vô hạn trục số thực R Với t ∈ J ta xét tốn tử tuyến tính A(t) : D(A(t)) ⊂ X → X hàm f (t) xác định J nhận giá trị không gian Banach X(f : J → X) Trong phần nghiên toán với giá trị bạn đầu dx dt = A(t)x(t) + f (t) x(s) = x với t ∈ J, (3.21) Bài toán với giá trị ban đầu (3.21) gọi tốn tiến hóa Nếu khơng có giả thiết thêm sau giả thiết hàm f (t)(f : J → X) A(t)(A : J → L(X)) đo mạnh khả tích Bochner đoạn hữu hạn tập J 57 Trước tiên ta cố định s = t0 ∈ J Khi nghiệm x = x(t) (3.21) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với t0 ∈ J , x0 ∈ X nghiệm khả vi liên tục phương trình tích phân sau t x (t) = x0 + t A (τ )x (τ ) dτ + t0 f (τ )dτ, (3.22) t0 x0 = x(t0 ) Trong trường hợp tổng quát xét phương trình tích phân Volterra có dạng sau đây: t x (t) = g (t) + A (τ )x (τ ) dτ, (3.23) s hàm g(t)(g : J → X) liên tục J A(t) đo mạnh khả tích Bochner J Định nghĩa 3.11 Một họ hai tham số toán tử tuyến tính bị chặn U (t, s), (0 ≤ s ≤ t ≤ T ), X gọi họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) U (s, t) = I, U (t, s)=U(t,r)(r,s) với ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T (ii) (t, s) → U (t, s) liên tục mạnh với ≤ s ≤ t ≤ T Xét họ toán tử U (t, s) : X → X xác định U (t, s) : x → x(t), x=x(t) nghiệm (3.4) Để hiểu thêm tính chất họ tốn tử tiến hóa liên tục mạnh chúng tơi xin trích dẫn Định lý sau Định lý 3.10 Giả sử A(t) thỏa mãn điều kiện định lý (3.9) tức A ∈ C(J, L(X)) với J = [0; T ] Khi với (t, s) ∈ ∆J toán tử U (t, s) tốn tử tuyến tính bị chặn với (t, s) ∈ ∆J ta có đánh giá sau: (i) U (t, s) ≤ e t t0 A(τ ) dτ (ii) U (t, t) = I, U (t, s) = U (t, r)U (r, s) với ≤ s ≤ r ≤ t ≤ T (iii) (t, s) → U (t, s) liên tục theo tô pô ∂U (t, s) = A(t)U (t, s) ∂t ∂U (t, s) (v) = −U (t, s)A(s) ∂s (iv) 58 3.5 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz Trong phần nghiên cứu toán với giá trị ban đầu sau dx dt = Au (t) + f (t, u (t)) , t > t0 , (3.24) u(t0 ) = t0 −A tốn tử sinh C0 − nửa nhóm T (t)t≥0 , không gian Banach X f : [t0 , T ] × X → X ánh xạ liên tục theo t thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u Nếu tốn (3.24) có nghiệm cổ điển tương ứng với phương trình (3.24) ta xét phương trình tích phân t u (t) = T (t − t0 ) u0 + T (t − s) f (s, u (s)) ds (3.25) t0 Nói chung nghiệm (3.25) có khơng nghiệm (3.24) có định nghĩa sau Định nghĩa 3.12 Một nghiệm liên tục u phương trình tích phân (3.25) gọi nghiệm đủ tốt toán Cauchy (3.24) Chúng ta bắt đầu nghiên cứu tồn nghiệm nghiệm đủ tốt phương trình (3.24) sau Định lý 3.11 Cho hàm f : [t0 , T ] × X → X liên tục theo t [t0 , T ] liên tục Lipschitz (với số L) X Khi đó, −A toán tử sinh C0 − nửa nhóm T (t)t≥0 , khơng gian Banach X , với u0 ∈ X , tốn với giá trị ban đầu (3.25) có nghiệm đủ tốt u ∈ C([t0 , T ]; X) Chứng minh Trước hết nhắc lại T (t)t≥0 liên tục mạnh nên tồn M0 > cho ||T (t) || ≤ M0 eωt , ω > với u0 ∈ X Đồng thời f : [t0 , T ] × X → X thỏa mãn điều kiện Lipschitz X nên tồn L > cho với u, v ∈ X ta có ||f (t, u) − f (t, v) || ≤ L||u − v|| Với u0 ∈ X ta xét ánh xạ F : C ([t0 , T ] : X) → C ([t0 , T ] : X), xác định t (F u) (t) = T (t − t0 ) u0 + T (t − s) f (s, u (s)) ds, t0 59 t0 ≤ t ≤ T (3.26) Xét hiệu t (F u) (t) − (F v) (t) = T (t − t0 ) (u0 − v0 ) + T (t − s) [f (s, u (s)) − f (s, v (s)) ] ds, t0 ≤ t ≤ T t0 Ta có t || (F u) (t) − (F v) (t) || ≤ M0 eω(t−t0 ) ||u0 − v0 || + M0 eω(t−s) L||u (s) − v (s) ||ds t0 t ≤ M L||u (s) − v (s) ||ds, t0 M = M0 eωT Do || (F u) (t) − (F v) (t) || ≤ M L (t − t0 ) ||u − v||∞ (3.27) Tiếp tục phương pháp truy hồi ta có (M L (t − t0 ))n ||u − v||∞ , || (F u) (t) − (F v) (t) || ≤ n! n n nên || (F n u) (t) − (F n v) (t) || ≤ (M LT )n ||u − v||∞ n! n ) Với n đủ lớn ta có (M LT < Bằng cách sử dụng nguyên lý ánh xạ co n! không gian Banach ta suy F có điểm bất động u khơng gian C ([t0 , T ] : X) Điểm bất động nghiệm phương trình tích phân (3.25) Do tốn giá trị ban đầu (3.24) tồn nghiệm u không gian C ([t0 , T ] : X) Định lý chứng minh Chúng ta biết giả thiết thỏa mãn điều kiện Lipschitz hàm f định lý đảm bảo tồn nghiệm toàn cục (tức nghiệm xác định toàn đoạn [t0 , T ]) Nếu giả thiết f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo u, bị chặn theo t đoạn bị chặn, có nghĩa t số c > tồn số L(c, t ) cho ||f (t, u) − f (t, v) || ≤ L c, t ||u − v||, (3.28) thỏa mãn u, v ∈ X cho ||u|| < c, ||u|| < c t ∈ [0, t ], có phiên địa phương định lý sau Định lý 3.12 Cho f liên tục Lipschitz địa phương theo u, t đoạn bị chặn bất kỳ, giả sử A tốn tử sinh C0 − nửa nhóm T (t)t≥0 60 X Khi với u0 ∈ X tồn tmax cho toán với giá trị ban đầu dx dt = Au (t) = f (t, u (t)) , t ≥ 0, (3.29) u(t0 ) = t0 có nghiệm đủ tốt u [0, tmax ] Tuy nhiên, tmax < ∞ lim ||u (t) || = ∞ t→t− max Chứng minh Trước tiên thấy với t0 ≥ 0, u0 ∈ X từ giả thiết định lý toán với giá trị ban đầu (3.29) có nghiệm đủ tốt u đoạn J = [t0 , t1 ] mà độ dài J bị chặn δ (t0 ||u0 ||) = 1, ||u0 || K (t0 ) L (K (t0 ) , t0 + 1) + N (t0 ) , (3.30) L(c, t ) số Lipschitz địa phương f xác định (3.28), M (t0 ) = max {||T (t) ||} , N (t0 ) = 0≤t≤t0 +1 max {||f (t, 0) ||} K (t0 ) = 2||u0 ||M (t0 ) 0≤t≤t0 +1 Thật xét ánh xạ F : [t0 , T ] × X → X cho t (F u) (t) = T (t − t0 ) u0 + T (t − s) f (s, u (s)) ds, t0 ≤ t ≤ T (3.31) t0 Đặt t1 = t0 + δ (t0 , ||u0 ||) với δ (t0 , ||u0 ||) cho (3.30) Ánh xạ F xác định (3.26) ánh xạ xác từ hình cầu bán kính K(t0 ) tâm C ([t0 , T ] : X) vào Điều suy từ đánh giá sau t ||F (u) (t) || ≤ M (t0 ) ||u0 || + ||T − s|| (||f (s, u (s)) − f (s, 0) || + ||f (s, 0) ||) ds t0 ≤ M (t0 ) ||u0 || + M (t0 ) K (t0 ) L (K (t0 ) , t0 + 1) + M (t0 ) N (t0 ) (t − t0 ) ≤ M (t0 ) {||u0 || + K (t0 ) L (K (t0 ) , t0 + 1) + N (t0 ) (t − t0 )} Từ cách xác định δ (t0 , ||u0 ||) t1 ta có ||F (u) (t) || ≤ 2M (t0 ) ||u0 || = K (t0 ) Trong hình cầu này, F thỏa mãn điều kiện Lipschitz với số L (K (t0 ) , t0 + 1) chứng minh định lý 3.11, thiết phải có điểm bất động u hình cầu Điểm bất động nghiệm (3.24) đoạn [t0 , t1 ] Từ có hể thấy u nghiệm đủ tốt (3.29) xác định đoạn [0, τ ] mở rộng khoảng xác định khoảng [0, τ + δ] 61 với δ > 0, cách xác định [τ, τ + δ], nghiệm u(t) = ω(t), với ω(t) nghiệm phương trình tích phân t ω (t) = T (t − τ ) + T (t − s) f (s, ω (s)) ds, τ ≤ t ≤ t + δ, τ cần ý δ phụ thuộc vào u(τ ), K(τ ) N (τ ) Giả sử [0, tmax ] khoảng cực đại mà nghiệm đủ tốt phương trình (3.29) tồn Nếu lim ||u (t) || = ∞ ngược lại t → t− max ta có t→tmax ||u(tn )|| ≤ c với n Điều kéo theo kết sau đây, với tn đủ gần tmax , u định nghĩa [0, tn ] mở rộng tới [0, tn + δ] δ > độc lập với n Khi u mở rộng vượt qua khỏi tmax mâu thuẫn với định nghĩa tmax Để chứng minh nghiệm đủ tốt đại phương u phương trình (3.29), ý v nghiệm đủ tốt phương trình (3.29) đoạn [0, t0 ] hai nghiệm u, v tồn chúng đồng nhau, để điều ta lý luân tương tự chứng minh định lý 3.11 Hơn nữa, u v có tmax vậyu ≡ v [0, tmax ] Định lý chứng minh 3.6 Đánh giá nghiệm phương trình Volterra Xét phương trình tích phân Volterra t x (t) = T (t − τ ) x (τ ) + T (t − s) [ϕ (s, x (s)) +ψ (s, x (s)) ]ds (3.32) τ Trong trình nghiên cứu tốn liên quan đến mơ hình thực tế bị nhiễu, thường dẫn đến việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân có nhiễu dạng sau dx = Ax + ϕ (t, x) + ψ (t, x) , dt ∀t ≥ 0, x ∈ X, (3.33) (A, D(A)) tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 X Sau ta giả thiết ϕ, ψ hàm liên tục thỏa mãn điều kiện x Lipschitz (địa phương ) theo x đoạn [0, T ] ⊂ R+ , nhận giá trị không gian Banach X Mệnh đề 3.3 Cho không gian Banach X , x, y ∈ X giả sử hàm ϕ, ψ liên tục thỏa mãn điều kiện: (i) ϕ (t, 0) = ψ (t, 0) = 0, ||ϕ (t, x) − ϕ (t, y) || ≤ L||x − y||, 62 (3.34) (ii) ∞ γ (t) dt = α < ∞, ||ψ (t, x) − ψ (t, y) || ≤ γ (t) ||x − y||, với (3.35) giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh ổn định mũ tức tồn số M > cho ||T (t) || ≤ M e−λt , ∀t ≥ 0, nghiệm x(t) phương trình (3.32) thỏa mãn đánh giá sau ||x (t) || ≤ M eM α e−(λ−M L)(t−τ ) ||x (τ ) || Và ta có đánh giá sau: χ[||x(t)||] ≤ −λ+ML Chứng minh Giả sử x(t) nghiệm phương trình (3.32), t x (t) = T (t − τ ) x (τ ) + T (t − s) [ϕ (s, x (s)) +ψ (s, x (s)) ]ds τ Sử dụng giả thiết tính ổn định mũ nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ta có t ||x (t) || ≤ M e−λ(t−τ ) ||x (τ ) || + M e−λ(t−τ ) [L+γ (s) ]||x (s) ||ds τ Do t ||x (t) ||e−λ(t−τ ) ≤ M ||x (τ ) || + M [L+γ (s) ]||x (s) ||e−λ(t−s) ds τ Áp dụng bổ đề Gronwall-belman ta có: t −λ(t−τ ) ||u (t) ||e ≤ M ||x (τ ) ||eτ [M L+Mγ(s)]ds Từ ta suy t ||x (t) || ≤ M ||x (τ ) ||e−λ(t−τ ) eτ [M L+Mγ(s)]ds Kết hợp với giả thiết (3.35) ta có: ||x (t) || ≤ M ||x (τ ) ||eM α e−(λ−M L)(t−τ ) 63 Suy 1 ln x(t) ≤ lim ln M ||x (τ ) ||eM α e−(λ−M L)(t−τ ) = −λ + M L t→∞ t t→∞ t χ[||x(t)||] = lim Bổ đề chứng minh Định lý 3.13 Giả sử giả thiết Mệnh đề (3.3) thỏa mãn Khi −λ + M L < Thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình (3.33) ổn định tiệm cận Chứng minh (i) Chứng minh nghiệm tầm thường x(t) ≡ ổn định theo Lyapunov Gải sử x = x(t) nghiệm phương trình (3.33) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 Khi nhờ mệnh đề (3.3) ta có: ||x (t) || ≤ M eM α e−(λ−M L)(t−t0 ) ||x0 || Với ε > cho trước, chọn δ = Nếu ||x0 || < δ ta có: ε 2M eM α ε ||x (t) || < , ∀t ≥ t0 (ii) Chứng minh lim ||x (t) || = t→∞ Sử dụng kết Mệnh đề (3.3) ta có ||x (t) || ≤ M eM α ||x_0||e−(λ−M L)(t−t0 ) , nên lim ||x (t) || = 0, với t ≥ t0 t→∞ Định lý chứng minh Theo mệnh đề (3.3) ta suy hệ sau Hệ 3.5 Giả sử ψ : R+ × X → X thỏa mãn điều kiện (3.35) mệnh đề 3.3 Khi nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ổn định mũ tức là: tồn M > cho ||T (t) || ≤ M e−λt , ∀t ≥ 0, ∀M ≥ Thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình (3.33) ổn định tiệm cận 64 Hệ 3.6 Giả sử ϕ : R+ × X → X thỏa mãn điều kiện (3.34) mệnh đề 3.3 đồng thời Nếu ||x|| → 0, ||ϕ (t, x) || → ||x|| Khi nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ổn định mũ tức là: tồn M > cho ||T (t) || ≤ M e−λt , ∀t ≥ 0, ∀M ≥ Thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ phương trình (3.33) ổn định tiệm cận Ví dụ 3.3 Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ x˙ = −3x + y + y˙ = −x − 3y + Ta đặt ψ1 (t, x, y) = ψ2 (t, x, y) = Ta có t2 +1 t4 +1 t2 +1 t4 +1 (x t2 +1 t4 +1 (x + y ), (3.36) + y ) x2 + y , với ψ(t, x, y) = (ψ1 (t, x, y), ψ2 (t, x, y)) ||ψ (t, x1 , y1 ) − ψ (t, x2 , y2 ) || ≤ t2 + || (x1 , y1 ) − (x2 , y2 ) || t4 + Với ∞ t2 + dt < +∞, t4 + ∀t ∈ R+ Để xét tính ổn định hệ (3.36) ta xét hệ thu gọn x˙ = −3x + y, (3.37) y˙ = −x − 3y Ta có: −3 − λ −1 −3 − λ = (3 + λ)2 + = 0, λ1 = −3 + i ⇔ λ2 = −3 − i Nghiệm tổng quát hệ (3.37) có dạng x (t) y (t) = e(−3+i)t C1 ie(−3+i)t C2 = 65 e−3t (cost + isint) C1 e−3t (−sint + icost) C2 Trong nửa nhóm ma trận (T (t))t≥0 xác định T (t) = e−3t cost sint −sint cost Ta lấy t0 = 2π cho: ||T (2π) || = ||e−3(2π) || ≤ e−6π < 1 Theo bổ đề 3.3 nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ổn định mũ Vậy theo Hệ 3.5 nên nghiệm tầm thường (0, 0) hệ (3.37) ổn định tiệm cận Do (3.36) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường (0, 0) Ví dụ 3.4 Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ x˙ = −2x + y + (x2 + y )sint, y˙ = −x − 2y + (x2 + y )sint, ∀t ∈ [0, 2π] (3.38) Ta có ϕ (t, x, y) = (x2 + y )sint, (x2 + y )sint , đồng thời || (x2 + y )sint, (x2 + y )sint || ||ϕ (t, x, y) || = lim = lim ||(x, y)|| ||(x, y)|| ||(x,y)||→0 ||(x,y)||→0 Để xét tính ổn định hệ (3.38) ta xét hệ thu gọn x˙ = −2x + y, (3.39) y˙ = −x − 2y Dễ dàng thấy nửa nhóm ma trận (T (t))t≥0 xác định T (t) = e−2t cost sint −sint cost , nửa nhóm liên tục mạnh sinh ma trận −2 −1 −2 Suy ||T (t) || = ||e−2t cost sint || ≤ e−2t , −sint cost ∀t ∈ [0, 2π] Vậy theo hệ 3.6 nên nghiệm tầm thường (0, 0) hệ (3.39) ổn định tiệm cận Do (3.38) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường (0, 0) 66 KẾT LUẬN Trong luận văn hoàn thành số nội dung sau đây: Phần thứ dành cho việc trình bày lại số kiến thức biết, cụ thể khơng gian định chuẩn tốn tử tuyến tính Tìm hiểu nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân khơng gian Rn , dựa vào phương pháp hàm Lyapunov phương pháp số mũ Lyapunov Phần thứ hai dành cho việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu nhờ phương pháp xấp xỉ thứ theo Lyapunov Phần cuối luận văn chúng tơi ứng dụng phương pháp cho phương trình tiến hóa trừu tượng dạng tuyến tính có nhiễu ứng dụng ví dụ minh họa Đóng góp nhỏ luận văn xây dựng số ví dụ minh họa việc ứng dụng kết nhận cho hệ động lực tuyến tính bị nhiễu 67 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long, Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, (2001) [2] Nguyễn Thế Hồn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, (2000) [3] A.M Lyapunov, Bài toán tổng quát ổn định chuyển động Tuyển tập cơng trình V.6.T.2, (1956) (Bằng tiếng Nga) [4] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations, Springer - Verlag, Beclin - NewYork (1983) [5] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (Russian) (1967) [6] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems differential equations, Amer Math.Soc (1999) [7] D.Guo, V.Lakshmikantham and Xinzhi Liu, Nonlinear Intergral Equations in Abstract Spaces, Springer-Science+Business Media, B.V [8] E Kreyszig (1978), Introductory Funtional Analysis With Applications, John Wiley Sons [9] H Brezis,Giải tích hàm Lý thuyết Ứng dụng, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [10] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [11] Klaus-Jocchen Engel Rainer Nagel,One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork (2000) [12] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trực tiếp Lyapunov lý thuyết ổn định, Mosscow (1988) (Bằng tiếng Nga) [13] S G Krein (1971), Linear Differential Equations in Banach Space,American Mathematical Society Providence, Rhode Island 02904 Tài liệu tham khảo 69 [14] U.X Bagdanov, Phương pháp định tính lý thuyết dao động Tuyển tập cơng trình Kiev, (1970) (Bằng tiếng Nga) [15] U.X Bagdanov, Về dấu hiệu biểu thị tính ổn định tiệm cận nhờ số vd− bé, Tạp chí phương trình vi phân (Differential Equations), 1966, TII, N3 (Bằng tiếng Nga) ... - - - - - - o0o - - - - - - - - - LƯỜNG THỊ DỈU KHÁI NIỆM SỐ MŨ LYAPUNOV VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG ĐỐI VỚI HỆ ĐỘNG LỰC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG... s không vượt số mũ đặc trưng lớn số số mũ ma trận trùng với với số có ma trận có số mũ đặc trưng lớn 2.4.2 Khái niệm phổ Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính Đầu tiên ta chứng minh định... tiệm cận nghiệm tầm thường hệ (2.24) 36 Chương Hệ động lực tuyến tính bị nhiễu ứng dụng phương pháp số mũ Lyapunov Do số hạn chế phương pháp số mũ Lyapunov nên chương ba luận văn dành quan tâm