Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Mnc lnc Lài cam đoan i Danh mnc ký hi¾u chE viet tat iv Ma đau 1 Kien thÉc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m ban 1.2 Ánh xa đa tr% 1.3 Toán tu ngau nhiên 1.4 M®t so ket qua ve điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh Phương trình tốn tE ngau nhiên 12 16 2.1 Phương trình tốn tu ngau nhiên đơn tr% 16 2.2 Phương trình tốn tu ngau nhiên đa tr% 28 Điem bat đ®ng cua tốn tE ngau nhiên 34 3.1 Điem bat đ®ng cna tốn tu ngau nhiên đơn tr% 35 3.2 Điem bat đ®ng cna tốn tu ngau nhiên đa tr% 43 3.3 Điem bat đ®ng cna tốn tu hồn tồn ngau nhiên .48 iii Ket lu¾n kien ngh% 69 Các ket qua cna lu¾n án 69 Nhung nghiên cúu tiep theo .69 Danh mnc cơng trình khoa HQ C CUA lu¾n án tác gia liên quan đen 70 Tài li¾u tham khao 71 Chi so 81 iv DANH MUC CÁC KÝ HIfiU VÀ CHU VIET TAT N R T¾p hop so tn nhiên T¾p hop so thnc R+ C[a, b] L(X) LX(Ω) T¾p hop so thnc dương Không gian hàm so liên tuc [a, b] Khơng gian tốn tu tuyen tính liên tuc tù X vào X T¾p hop bien ngau nhiên X-giá tr% A, F σ-đai so B(X) σ-đai so Borel cna X A⊗F σ-đai so tích cna σ-đai so A F 2X C(X) CB(X) d(a, B) d(A, B) H(A, B) Gr(F ) HQ t¾p hop khác rong cna X HQ t¾p hop đóng khác rong cna X HQ t¾p hop đóng khác rong b% ch¾n cna X Khoang cách tù điem a đen t¾p hop B Khoang cách giua hai t¾p hop khác rong A, B Khoang cách Hausdorff giua hai t¾p hop đóng A, B Đo th% cna ánh xa F đ o Lebesgue P đ o xỏc suat p-lim Giói han cna sn h®i tu theo xác suat h.c.c Hau chac chan Me ĐAU Phương trình tốn tu ngau nhiên m®t hưóng nghiên cúu cna lý thuyet tốn tu ngau nhiên Đó sn mo r®ng, ngau nhiên hóa lý thuyet phương trình tốn tu tat đ%nh Trong vịng 60 năm tro lai đây, hưóng nghiên cúu nh¾n đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán HQ c thu đưoc nhieu ket qua Tuy nhiên, phan lón ket qua đat đưoc cna lý thuyet phương trình tốn tu ngau nhiờn trung vo mđt trũng hop riờng l lý thuyet điem bat đ®ng ngau nhiên Các nghiên cúu ve đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu ngau nhiên đưoc khoi đau boi O Hans A Spacek nhung năm 1950 (xem [35, 70]) HQ chúng minh đ%nh lý điem bat đ®ng cho ánh xa co ngau nhiên, phiên ban ngau nhiên cna ngun lý ánh xa co Banach Sau cơng trình cna Spacek Hans, phiên ban ngau nhiên cna đ%nh lý điem bat đ®ng női tieng khác đưoc chúng minh Lý thuyet phương trình tốn tu ngau nhiên điem bat đ®ng ngau nhiên thnc sn đưoc tiep thêm súc manh sau sn đòi cna cuon sách Random integral equations (1972) báo tőng ket Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) cna A T Bharucha-Reid (xem [19, 20]) Nhieu tác gia thành cơng vi¾c mo r®ng ket qua ve điem bat đ®ng ngau nhiên có ho¾c chúng minh phiên ban ngau nhiên cna đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh (chang han, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]) Vào nhung năm 1990, m®t so tác gia như: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan chúng minh đ%nh lý điem bat đ®ng ngau nhiên tőng quát, tác gia chi rang vúi mđt so ieu kiắn no ú, neu cỏc quy đao cna tốn tu ngau nhiên có điem bat đ®ng tat đ%nh tốn tu ngau nhiên có điem bat đ®ng ngau nhiên (chang han, xem [15, 71, 77]) Gan đây, m®t so tác gia N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal đưa m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng ngau nhiên tőng quát mo r®ng ket qua cna tác gia trưóc so phiên ban ngau nhiên cna nhieu đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh đưoc chúng minh (xem [58, 63, 64, 65]) Neu lóp tốn tu ngau nhiên thoa mãn đieu kiắn cna %nh lý iem bat đng ngau nhiờn tng quỏt l rđng rói thỡ viắc ngau nhiờn húa cỏc đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh khơng cịn nhieu thú v%, vi¾c chúng minh sn ton tai điem bat đ®ng cna tốn tu ngau nhiên thnc sn tro thành vi¾c chúng minh sn ton tai điem bat đ®ng cna m®t tốn tu tat đ%nh Tuy nhiên, m®t đieu đáng ý là: Trong đ%nh lý iem bat đng ngau nhiờn tng quỏt, ieu kiắn cỏc tác gia đ¾t lên tốn tu ngau nhiên khơng gian thưịng phúc tap, th¾m chí nhieu ta khó có the tìm đưoc ví du ve tốn tu ngau nhiên thoa mãn đieu ki¾n Khi nghiên cúu ve phương trình tốn tu ngau nhiên, hy vQNG đat đưoc ket qua tương tn trưịng hop tốn điem bat đ®ng ngau nhiên Tỳc l, a oc ieu kiắn e mđt phng trình tốn tu ngau nhiên neu có nghi¾m tat đ%nh có nghi¾m ngau nhiên Bang vi¾c su dung ket qua cna lý thuyet ánh xa đa tr%, chúng tơi chúng minh đưoc rang vói đieu ki¾n: Tốn tu ngau nhiên đo đưac, xác đ%nh không gian metric kha ly đay đu, neu phương trình tốn tu ngau nhiên có nghi¾m tat đ%nh vói moi ω phương trình có nghi¾m ngau nhiên Chú ý rang đieu ki¾n đo đưoc cna tốn tu ngau nhiên yeu, chang han toán tu ngau nhiên liên tuc se thoa mãn đieu ki¾n Áp dung ket qua đat đưoc cho tốn điem bat đ®ng ngau nhiờn chỳng tụi nhắn oc, mo rđng cỏc ket qua qua Xu, Tan, Yuan, Shahzad, nh¾n đưoc hau het đ%nh lý điem bat đ®ng ngau nhiên tőng qt hi¾n có Theo ket qua mà chúng tơi đat đưoc, moi đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh se có m®t phiên ban tương úng cho tốn tu ngau nhiên Tốn tu ngau nhiên có the đưoc xem m®t ánh xa bien moi phan tu cna khơng gian metric thành m®t bien ngau nhiên Moi phan tu cna khơng gian metric có the đưoc xem nh mđt bien ngau nhiờn suy bien nhắn giỏ tr% phan tu vói xác suat Tù cách quan ni¾m v¾y ta coi khơng gian metric X t¾p (gom bien ngau nhiên suy bien) cna không gian bien ngau nhiên X-giá tr% L0 X(Ω) Vói f m®t tốn tu ngau nhiên liên tuc tù X vào X có the xây dnng đưoc m®t ánh xa Φ tù LX(Ω) vào LX(Ω) mà han che cna Φ X trùng vói 0 f f có điem bat đ®ng ngau nhiên chi Φ có điem bat đ®ng Dna thnc tien vói ket qua ve điem bat đ®ng cna ánh xa khơng gian metric xác suat, O Hadzic E Pap có nhung liờn hắ ỳng dung sang lý thuyet iem bat đng cna toán tu ngau nhiên (xem [33, 34]) Tù ý tưong cna tốn mo r®ng mien xác đ%nh cna toán tu ngau nhiên ket qua cna Hadzic Pap, chúng tơi đưa khái ni¾m tốn tu hồn tồn ngau nhiên, ánh xa moi bien ngau nhiên nh¾n giá tr% khơng gian metric thành bien ngau nhiên nh¾n giá tr% khơng gian metric Bưóc đau, chúng tơi chúng minh đưoc m®t so ket qua ve điem bat đ®ng cna tốn tu hồn tồn ngau nhiên dna tính tốn thuan túy xác suat mà không su dung công cu cna lý thuyet không gian metric xác suat Chúng nh¾n đưoc ket qua tương tn cna Hadzic v Pap Nđi dung cna luắn ỏn liờn quan đen ket qua nghiên cúu ve phương trình tốn tu ngau nhiên điem bat đ®ng cna tốn tu ngau nhiên Lu¾n án gom chương Chương thong nhat cỏc khỏi niắm c ban v trỡnh by mđt so ket qua cna tác gia khác mà đưoc su dung phan sau cna lu¾n án Nhung ket qua chi đưoc trích dan khơng có chúng minh chi tiet Chương trình bày ket qua nghiên cúu cna tác gia ve phương trình tốn tu ngau nhiên N®i dung cna chương đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m ngau nhiên cna phương trình tốn tu ngau nhiên Chương liên quan đen tốn điem bat đ®ng cna tốn tu ngau nhiên Áp dung ket qua ve phương trình tốn tu ngau nhiên cho tốn điem bat đ®ng ngau nhiờn chỳng tụi nhắn oc v mo rđng mđt so đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu ngau nhiên Phiên ban ngau nhiên cna m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu tat đ%nh đưoc trình bày Trong chương đưa khái ni¾m tốn tu hồn tồn ngau nhiên chúng minh m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng cho tốn tu Lu¾n án đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna GS.TSKH Đ¾ng Hùng Thang Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac chân thành tói GS.TSKH Đ¾ng Hùng Thang, Thay quan tâm hưóng dan chi bao suot nhieu năm qua Tôi xin bày to lịng biet ơn thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c cung cap nhieu giang giói thi¾u cho tơi nhieu tài li¾u bő ích Tác gia xin cam ơn thay H®i đong cap so có nhieu ý kien đóng góp q báu Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Viet Phú, Nguyen Duy Tien (2004), Cơ sá lý thuyet xác suat, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia H Nđi [2] ắng Hựng Thang (2006), Quỏ trình ngau nhiên tính tốn ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [3] Nguyen Duy Tien, Đ¾ng Hùng Thang (2001), Các mơ hình xác suat úng dnng phan II: Quá trình dùng úng dnng, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [4] Nguyen Duy Tien (2001), Các mơ hình xác suat úng dnng phan III: Giai tích ngau nhiên, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [5] Nguyen Duy Tien, Vũ Vi¾t Yên (2000), Lý thuyet xác suat, Nhà xuat ban Giáo duc Tieng Anh [6] Abbas M (2005), Solution of random operator equations and inclusions, Ph.D thesis, National College Administration and Economics, Parkistan 88 of Business [7] Agarwal R P., Meehan M., O’regan D (2004), Fixed point theory and applications, Cambridge university press [8] Al-Thagafi M A., Shahzad N (2007), "Coincidence points, generalized I-nonexpansive multimaps and applications", Nonlinear Anal 67 (7), pp 2180–2188 [9] Anh T N (2010), "Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations", Vietnam J Math 38 (2), pp 227–235 [10] Anh T N (2011), "Common random fixed points of random oper- ators", submitted [11] Anh T N (2011), "Random equations and applications to general random fixed point theorems", New Zealand J Math 41, 17–24 [12] Basha S S (2011), "Best proximity points: global optimal approxi- mate solutions", J Glob Optim 49 (1), pp 15–21 [13] Beg I., Abbas M (2008), "Random fixed points of asymptotically nonexpansive random operators on unbounded domains", Math Slovaca 58 (6), pp 755–762 [14] Beg I., Shahzad N (1994), "Random fixed point theorems for nonex- pansive and contractive-type random operators on Banach spaces", J Appl Math Stoch Anal (4), pp 569–580 [15] Benavides T D., Acedo G L., Xu H K (1996), "Random fixed points of set-valued operators", Proc Amer Math Soc 124 (3), pp 831–838 [16] Benavides T D., Ramirez P L (2001), "Structure of the fixed point set and common fixed points of asymptotically nonexpansive map- pings", Proc Amer Math Soc 129 (12), pp 3549–3557 [17] Berinde V (2007), Iterative approximation of fixed points, Springer [18] Bharucha Reid A T (1964), Lectures on theory of random equations, Madras, Institute of Mathematical Sciences [19] Bharucha Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York and London [20] Bharucha Reid A T (1976), "Fixed point theorems in probabilistic analysis", Bull Amer Math Soc 82 (5), pp 641– 657 [21] Browder F E (1963), "The solvability of nonlinear functional equa- tions", Duke Math J 30, pp 557–566 [22] Browder F E (1963), "Nonlinear elliptic boundary value problems", Bull Amer Math Soc 69, pp 862–874 [23] Castaing C., Valadier M (1977), Convex analysis and measurable multifunctions in Lecture notes in matheatics, Edited by A Dold and B Eckmann, Springer-Verlag Berlin - Heidelberg New York [24] Chandra M., Mishra S N., Singh S L., Rhoades B E (1995), "Co- incidence and fixed points of nonexpansive type multi-valued and single-valued maps", Indian J Pure Appl Math 26 (5), pp 393– 401 [25] Chang S S (1983), "Some random fixed point theorems for conti- nous random operators", Pacific J Math 105 (1), pp 21– 31 [26] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and non- linear iterations, Springer [27] Chugh R., Kumar S (2001), "Common fixed points for weakly com- patible maps", Proc Indian Acad Sci Math Sci 111 (2), pp 241– 247 [28] Ciric L B (1993), "On some nonexpansive type mappings and fixed points", Indian J Pure Appl Math 24 (3), pp 145–149 [29] Ciric L B., Lakshmikantham V (2009), "Coupled random fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered metric spaces", Stoch Anal Appl 27 (6), pp 1246–1259 [30] Ciric L B., Ume J S., Jesic S N (2006), "On random coincidence and fixed points for a pair of multivalued and singlevalued map- pings", J Inequal Appl (Hindawi Publ Corp.) Article ID 81045, 2006, pp 1–12 [31] Engl H W., Romisch W (1985), "Approximate solutions of nonlin- ear random operator equations: Convergence in distribution", Pa- cific J Math 120 (1), pp 55–77 [32] Granas A., Dugundji J (2003), Fixed point theory, Springer [33] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers [34] Hadzic O., Pap E., Budincevic M (2005), "A generalization of Tardiff’s fixed point theorem in probabilistic metric spaces and ap- plications to random equations", Fuzzy Sets and Systems 156, pp 124–134 [35] Hans O (1957), "Random fixed point theorems", Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Ran- dom process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 [36] Hans O (1960), "Random operator equation", Proc 4th Berkely Sympos on Math Statist and Probab., Univ of California Press, Berkely, Calif 2, pp 185–202 [37] Himmelberg C J (1975), "Measurable relations", Fund Math 87, pp 53–72 [38] Itoh S (1977), "A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping", Pacific J Math 68 (1), pp 85– 90 [39] Itoh S (1978), "Nonlinear random equations with monotone opera- tors in Banach spaces", Math Ann 236, pp 133–146 [40] Itoh S (1979), "Measurable or condensing multivalued mappings and random fixed point theorems", Kodai Math J 2, pp 293–299 [41] Itoh S., Takahashi W (1978), "The common fixed point theory of singlevalued mappings and multivalued mappings", Pacific J Math 79 (2), pp 493–508 [42] Joshi M (1980), "Nonlinear random equations with P -compact op- erators in Banach spaces", Indian J Pure Appl Math 11 (6), pp 791–799 [43] Kaneko H., Sessa S (1989), "Fixed point theorems for compatible multi-valued and single-valued mappings", Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 257–262 [44] Karamolegos A., Kravvaritis D (1992), "Nonlinear random operator equations and inequalities in Banach spaces", Internat J Math Math Sci 15 (1), pp 111–118 [45] Khan A R., Akbar F., Sultana N., Hussain N (2006), "Coin- cidence and invariant approximation theorems for generalized f nonexpansive multivalued mappings", Internat J Math Math Sci., Hindawi Publ Corp., Article ID17637, 2006, pp 1–18 [46] Khan A R., Domlo A A., Hussain N (2007), "Coincidences of Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation", Numer Funct Anal Optim 28 (9-10), pp 1165–1177 [47] Khan A R., Hussain N (2004), "Random coincidence point theorem in Frechet spaces with applications", Stoch Anal Appl 22 (1), pp 155–167 [48] Kolmogorov A N., Fomin S V (1970), Introductory real analysis, Dover Publications, Inc New York [49] Kumam P (2004), "Fixed point theorem and random fixed point theorem for set-valued non-self mappings", Thai J Math (2), pp 295–307 [50] Kumam P., Plubtieng S (2006), "Some random fixed point theorems for non-self nonexpansive random operators", Turk J Math 30, pp 359–372 [51] Latif A., Al-Mezel S A (2008), "Coincidence and fixed point results for non-commuting maps", Tamkang J Math 39 (2), pp 105–110 [52] Lin T C (1988), "Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps", Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129–1135 [53] Mustafa G., Noshi N A., Rashid A (2005), "Some random coin- cidence and random fixed point theorems for hybrid contractions", Lobachevskii J Math 18, pp 139–149 [54] Nashed M Z., Engl H W (1979), "Random generalized inverses and approximate solution of random operator equations", in: Ap- proximate solution of random equations, A T Bharucha Reid (ed.), pp 149–210, Elsevier North - Holland, Inc New York [55] Nashed M Z., Salehi H (1973), "Measurability of generalized in- verses of random linear operators", SIAM J Appl Math 25 (4), pp 681–692 [56] Nashine H K (2008), "Random fixed points and invariant random approximation in non-convex domains", Hacettepe J Math Statist 37 (2), pp 81–88 [57] Nashine H K (2010), "Random coincidence points, invariant approximation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces", Random Oper Stoch Equ 18, pp 165–183 [58] O’Regan D., Shahzad N., Agarwal R P (2003), "Random fixed point theory in spaces with two metrics", J Appl Math Stoch Anal 16 (2), pp 171–176 [59] Papageorgiou N S., Kyritsi-Yiallourou S Th (2009), Hanbook of applied analysis, Springer [60] Sehgal V M., Waters C (1984), "Some random fixed point theorems for condensing operators", Proc Amer Math Soc 90 (3), pp 425– 429 [61] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [62] Shahzad N (2002), "Random fixed points of multivalued maps in Frechet spaces", Arch Math (Brno) 38, pp 95–100 [63] Shahzad N (2004), "Some general random coincidence point theo- rems", New Zealand J Math 33 (1), pp 95–103 [64] Shahzad N (2005), "Random fixed points of discontinuous random maps", Math Comput Modelling 41, pp 1431–1436 [65] Shahzad N (2008), "Random fixed point results for continuous pseudo-contractive random maps", Indian J Math 50 (2), pp 263– 271 [66] Shahzad N., Latif A (2000), "A random coincidence point theorem", J Math Anal Appl 245, pp 633–638 [67] Shahzad N., Hussain N (2006), "Deterministic and random coinci- dence point results for f -nonexpansive maps", J Math Anal Appl 323, pp 1038–1046 [68] Shiryaev A N (1996), Probability, Springer [69] Singh S L., Ha K S., Cho Y J (1989), "Coincidence and Fixed points of nonlinear hybrid contractions", Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 247–256 [70] Spacek A (1955), "Zufallige Gleichungen" (Random equations), Czechoslovak Math J (4), pp 462–466 [71] Tan K K., Yuan X Z (1993), "On deterministic and random fixed points", Proc Amer Math Soc 119 (3), pp 849–856 [72] Tarafdar E., Watson P., Yuan X Z (1997), "The measurability of caratheodory set-valued mappings and random fixed point theo- rems", Acta Math Hungar 74 (4), pp 309–319 [73] Thang D H., Anh T N (2010), "On random equations and applica- tions to random fixed point theorems," Random Oper Stoch Equ 18, pp 199–212 [74] Thang D H., Anh T N (2010), "Some results on random equa- tions", Vietnam J Math 38 (1), pp 35–44 [75] Thang D H., Thinh N (2004), "Random bounded operators and their extension", Kyushu J Math 58, pp 257–276 [76] Verma R U (1997), "Stochastic approximation-solvability of lin- ear random equations involving numerical ranges", J Appl Math Stoch Anal 10 (1), pp 47–55 [77] Xu H K (1990), "Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators", Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395–400 [78] Xu H K (1993), "A random fixed point theorem for multivalued nonexpansive operators in uniformly convex Banach spaces", Proc Amer Math Soc 117 (4), pp 1089–1092 [79] Yosida K (1980), Functional analysis, Springer-Verlag Berlin Hei- delberg New York [80] Yuan X Z., Lou X., Li G (1996), "Random approximations and fixed point theorems", J Approx Theory, 84, pp 172–187 [81] Wagner D H (1977), "Survey of measurable selection theorems", SIAM J Control Optim 15 (5), pp 859–903 Chi so σ-đai so, Có nghi¾m đay đn, ngau nhiên, 17, 29 Borel, vói hau het ω, 17, 28 Ánh xa đa tr% đo đưoc, Có tính co, 15 Ánh xa đo đưoc, Co xác suat, 51 Đo th% cna ánh xa, Đ® đo xác suat, Giao hốn, 13, 64 Điem bat đ®ng, 12, 51 Hàm cHQN, Điem bat đ®ng chung, 12, 65 Hàm ngau nhiên, Điem bat đ®ng ngau nhiên, 36, 43 chung, 37, 44 Điem trùng nhau, 13 ngau nhiên, 44 Điem xap xi ngau nhiên tot nhat, 40 Điem xap xi tot nhat, 15 Đo đưoc yeu, B% ch¾n theo xác suat, 56 Ban cna toán tu ngau nhiên, 10 Bien ngau nhiên, Không giãn, 51 xác suat, 51 Không gian đo đưoc, xác suat, xác suat đay đn, mau, Không gian Polish, Khoang cách Hausdorff, Liên tuc, 50 ngau nhiên, 50 Lipschitz, 50 xác suat, 50 Nghi¾m ngau nhiên, 18, 29 Nghi¾m tat đ%nh, 17, 29 Phương trình ngau nhiên, 16 đơn tr%, 17 đa tr%, 28 có nhieu, 17 Quy đao, 10, 56 T¾p đo đưoc, Tương thích, 13 Tốn tu hồn tồn ngau nhiên, 50 Tốn tu Nemytskij, 49 Toán tu ngau nhiên, đa tr%, 10 đa tr% đo đưoc, 11 đa tr% liên tuc, 11 đo đưoc, 10 co, 11 liên tuc, 11 Lipschitz, 11 Xác suat, ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chun ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... tr% phương trình ngau nhiên Ngồi phương trình ngau nhiên dang tőng qt (2.1), ta xét m®t so phương trình ngau nhiên dang đ¾c bi¾t Khi ve phai cna (2.1) bien ngau nhiên η nh¾n giá tr% Y ta có phương. .. ngau nhiên đa tr% phương trình có dang ∩∞n=1 Tn (ω, x) ƒ= ∅ Đe đơn gian, ta GQI (2.11) phương trình tốn tu ngau nhiên đa tr% phương trình ngau nhiên Đ%nh nghĩa 2.2.2 Ta nói rang phương trình