Một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên 62 46 15 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2012 Mưc lưc Líi cam oan Danh mửc cĂc kỵ hiằu v ch vit tt M ƒu Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.2 nh x⁄ a trà 1.3 ToĂn tò ngÔu nhiản 1.4 Mt s kt quÊ vã im bĐ Phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản 2.1 Phữỡng trnh toĂn tò n 2.2 Phữỡng trnh toĂn tò n im bĐt ng ca toĂn tò ngÔu nhiản 3.1 im bĐt ng ca toĂn tò 3.2 im bĐt ng ca toĂn tò 3.3 im bĐt ºng cıa to¡n tß ii K‚t lu“n v ki‚n nghà C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n Nhœng nghi¶n cøu ti‚p theo Danh mưc cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n T i li»u tham kh£o Ch¿ sŁ iii DANHMƯCC CKÞHI UV R + CHÚVI TT T N T“p hỉp c¡c sŁ tü nhi¶n R T“p hỉp c¡c sŁ thüc T“p hỉp c¡c sŁ thüc d÷ìng C[a; b] Khỉng gian c¡c h m sŁ li¶n tưc tr¶n [a; b] L(X) Khổng gian cĂc toĂn tò tuyn tnh liản töc tł X v o X L X () Tp hổp cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr A; F - ⁄i sŁ B(X) - ⁄i sŁ Borel cıa X A X F - ⁄i sŁ t‰ch cıa c¡c - ⁄i sŁ A v F Hå c¡c t“p hæp kh¡c rØng cıa X C(X) Hå c¡c t“p hæp âng kh¡c rØng cıa X CB(X) Hå c¡c t“p hæp âng kh¡c rØng v bà ch°n cıa X d(a; B) Kho£ng c¡ch tł d(A; B) Kho£ng c¡ch giœa hai t“p hæp kh¡c rØng A; B i”m a ‚n t“p hæp B H(A; B) Kho£ng c¡ch Hausdorff giœa hai hổp õng A; B Gr(F ) ỗ th ca ¡nh x⁄ F º o Lebesgue P º o x¡c suĐt p-lim Giợi hn ca sỹ hi tử theo xĂc suĐt h.c.c Hu chc chn iv M U Phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản l mt cĂc hữợng nghiản cứu ca lỵ thuyt toĂn tò ngÔu nhiản õ l sỹ m rng, ngÔu nhiản hõa lỵ thuyt phữỡng trnh toĂn tò tĐt nh Trong vặng 60 nôm tr li Ơy, hữợng nghiản cứu n y  nhn ữổc sỹ quan tƠm ca nhiãu nh toĂn hồc v thu ữổc nhiãu kt quÊ Tuy nhiản, phn lợn cĂc kt quÊ t ữổc ca lỵ thuyt phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản trung v o mt trữớng hổp riảng l lỵ thuyt im bĐt ng ngÔu nhiản CĂc nghiản cứu vã nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò ngÔu nhiản ữổc u bi O Hans v A Spacek nhng nôm 1950 (xem [35, 70]) Hồ  chứng minh nh lỵ im bĐt ng cho Ănh x co ngÔu nhiản, õ chnh l phiản bÊn ngÔu nhiản ca nguyản lỵ Ănh x co Banach Sau cĂc cổng trnh ca Spacek v Hans, phiản bÊn ngÔu nhiản ca cĂc nh lỵ im bĐt ng ni ting khĂc cụng ữổc chứng minh Lỵ thuyt phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản v im bĐt ng ngÔu nhiản thỹc sỹ ữổc tip th¶m søc m⁄nh sau sü íi cıa cuŁn s¡ch Random integral equations (1972) v b i b¡o tŒng k‚t Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) cıa A T Bharucha-Reid (xem [19, 20]) Nhiãu tĂc giÊ Â th nh cỉng vi»c mð rºng c¡c k‚t qu£ v• i”m bĐt ng ngÔu nhiản  cõ hoc chứng minh phiản bÊn ngÔu nhiản ca cĂc nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh (chflng hn, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]) V o nhœng n«m 1990, mºt sŁ t¡c gi£ nh÷: H K Xu, K K Tan, X Z Yuan  chứng minh cĂc nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản tng quĂt, õ cĂc tĂc giÊ ch rng vợi mt s iãu kiằn n o â, n‚u c¡c quÿ ⁄o cıa to¡n tß ngÔu nhiản cõ im bĐt ng tĐt nh th toĂn tò ngÔu nhiản cõ im bĐt ng ngÔu nhiản (chflng h⁄n, xem [15, 71, 77]) Gƒn ¥y, mºt sŁ t¡c gi£ nh÷ N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal  ữa mt s nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản tng quĂt m rng cĂc kt quÊ ca cĂc tĂc giÊ trữợc v trản cỡ s õ phiản bÊn ngÔu nhiản ca nhiãu nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh  ữổc chứng minh (xem [58, 63, 64, 65]) Nu lợp cĂc toĂn tò ngÔu nhiản thọa mÂn cĂc iãu kiằn ca nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản tng quĂt l rng rÂi th viằc ngÔu nhiản hõa cĂc nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh khổng cặn nhiãu thú v, viằc chứng minh sỹ tỗn ti im bĐt ng ca toĂn tò ngÔu nhiản thỹc sỹ tr th nh viằc chứng minh sỹ tỗn ti im bĐt ng ca mt toĂn tò tĐt nh Tuy nhiản, mt iãu Ăng þ l : Trong c¡c ành lþ i”m b§t ºng ngÔu nhiản tng quĂt, iãu kiằn cĂc tĂc giÊ t lản cĂc toĂn tò ngÔu nhiản v cĂc khổng gian thữớng khĂ phức tp, thm ch nhiãu ta khõ cõ th t m ữổc v dử vã toĂn tò ngÔu nhiản thọa mÂn iãu kiằn õ Khi nghiản cứu vã phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản, chúng tổi cụng hy vång ⁄t ÷ỉc k‚t qu£ t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hổp b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản Tức l , ữa ữổc iãu kiằn mt phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản nu cõ nghiằm tĐt nh th cõ nghiằm ngÔu nhiản Bng viằc sò dửng cĂc kt quÊ ca lỵ thuyt Ănh x a tr, chúng tổi  chứng minh ữổc rng vợi iãu kiằn: ToĂn tò ngÔu nhiản o ữổc, xĂc nh trản khổng gian metric khÊ ly y , nu phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản cõ nghiằm tĐt nh vợi mỉi ! th phữỡng trnh õ cõ nghiằm ngÔu nhiản Chú ỵ rng iãu kiằn o ữổc ca toĂn tò ngÔu nhiản l khĂ yu, chflng hn cĂc toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc s thọa mÂn iãu kiằn n y p dửng kt quÊ t ữổc cho b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản chúng tổi nhn ữổc, m rng c¡c k‚t qu£ qu£ Xu, Tan, Yuan, Shahzad, v nhn ữổc hu ht cĂc nh lỵ im bĐt ng ngÔu nhiản tng quĂt hiằn cõ Theo kt quÊ m chúng tổi t ữổc, mỉi nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh s cõ mt phiản bÊn tữỡng ứng cho toĂn tò ngÔu nhiản ToĂn tò ngÔu nhiản cõ th ữổc xem nhữ mt Ănh x bin mØi phƒn tß cıa khỉng gian metric th nh mºt bin ngÔu nhiản Mỉi phn tò ca khổng gian metric cõ th ữổc xem nhữ mt bin ngÔu nhiản suy bin nhn giĂ tr l phn tò õ vợi xĂc suĐt T cĂch quan niằm nhữ vy ta coi khổng gian metric X nhữ (gỗm cĂc bin ngÔu nhiản suy bin) ca khổng gian cĂc bin ngÔu nhiản X-giĂ tr L X ( ) Vợi f l mt toĂn tò ngÔu nhiản liản tửc t X v o X cõ th xƠy dỹng ữổc mºt ¡nh x⁄ tł L X ()voL X ( ) m hn ch ca trản X trũng vợi f v f cõ im bĐt ng ngÔu nhiản v ch cõ im bĐt ng Dỹa trản thỹc tin õ vợi cĂc kt quÊ vã im bĐt ºng cıa ¡nh x⁄ khỉng gian metric x¡c su§t, O Hadzic v E Pap  cõ nhng liản hằ ứng dửng sang lỵ thuyt im bĐt ng ca toĂn tò ngÔu nhiản (xem [33, 34]) T ỵ tững ca b i to¡n mð rºng mi•n x¡c ành cıa to¡n tò ngÔu nhiản v cĂc kt quÊ ca Hadzic v Pap, chúng tổi ữa khĂi niằm toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, õ Ănh x mỉi bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian metric th nh bin ngÔu nhiản nhn giĂ tr khổng gian metric Bữợc u, chúng tổi  chứng minh ữổc mt s kt quÊ vã im bĐt ng ca toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản dỹa trản cĂc tnh toĂn thun túy xĂc suĐt m khổng sò dửng cĂc cổng cử ca lỵ thuyt khổng gian metric xĂc suĐt Chúng tổi cụng nhn ữổc cĂc kt quÊ tữỡng tü nh÷ cıa Hadzic v Pap Nºi dung cıa lu“n ¡n li¶n quan ‚n c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu vã phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản v im bĐt ng ca toĂn tò ngÔu nhiản Lun Ăn gỗm chữỡng Chữỡng thng nhĐt cĂc khĂi niằm cỡ bÊn v tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ cıa c¡c tĂc giÊ khĂc m ữổc sò dửng phn sau cıa lu“n ¡n Nhœng k‚t qu£ â ch¿ ÷ỉc tr‰ch dÔn v khổng cõ chứng minh chi tit Chữỡng tr…nh b y c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa t¡c giÊ vã phữỡng tr nh toĂn tò ngÔu nhiản Ni dung chnh ca chữỡng n y l cĂc nh lỵ vã sỹ tỗn ti nghiằm ngÔu nhiản ca phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản Chữỡng liản quan n b i toĂn im bĐt ng ca toĂn tò ngÔu nhiản p dửng cĂc kt quÊ vã phữỡng trnh toĂn tò ngÔu nhiản cho b i toĂn im bĐt ng ngÔu nhiản chúng tổi nhn ữổc v m rng mt s nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò ngÔu nhiản Phiản bÊn ngÔu nhiản ca mt s nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò tĐt nh cụng ữổc trnh b y Trong ch÷ìng n y chóng tỉi cơng ÷a khĂi niằm toĂn tò ho n to n ngÔu nhiản v chứng minh mt s nh lỵ im bĐt ng cho toĂn tò õ Lun Ăn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS.TSKH ng Hũng Thng Tổi xin b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc v chƠn th nh tợi GS.TSKH ng Hũng Thng, Thy  quan tƠm hữợng dÔn v ch bÊo tổi sut nhiãu nôm qua Tổi xin b y tọ lỈng bi‚t ìn c¡c thƒy cỉ Khoa To¡n - Cỡ - Tin hồc  cung cĐp nhiãu b i giÊng v giợi thiằu cho tổi nhiãu t i liằu bŒ ‰ch T¡c gi£ xin c£m ìn c¡c thƒy Hi ỗng cĐp cỡ s  cõ nhiãu ỵ kin õng gõp quỵ bĂu TĂc giÊ xin cÊm ỡn cĂc th nh viản ca seminar ToĂn tò ngÔu nhiản, ¢ t⁄o i•u ki»n cho t¡c gi£ tr…nh b y v gióp t¡c gi£ ki”m tra c¡c k‚t qu£ nghi¶n cứu Tổi xin cÊm ỡn cĂc cĐp lÂnh o, cĂc çng nghi»p cì quan Håc vi»n Kÿ thu“t Qu¥n sỹ v o n 871 B Quc Phặng  to iãu kiằn cho tổi ữổc hồc v nghiản cứu Tổi xin gòi lới cÊm ỡn tợi qu NAFOSTED,  hØ trỉ kinh ph‰ cho chóng tỉi qu¡ tr…nh nghi¶n cøu CuŁi cịng, t¡c gi£ xin b y tä lặng bit ỡn cĂc th nh viản ca i gia nh,  luổn ng viản, chia sà v l chØ düa vœng ch›c v• måi m°t H Nºi, ng y 15 thĂng nôm 2012 Nghiản cứu sinh T Ngåc nh [25] Chang S S (1983), "Some random fixed point theorems for conti-nous random operators", Pacific J Math 105 (1), pp 21 31 [26] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and non-linear iterations, Springer [27] Chugh R., Kumar S (2001), "Common fixed points for weakly com-patible maps", Proc Indian Acad Sci Math Sci 111 (2), pp 241 247 [28] Ciric L B (1993), "On some nonexpansive type mappings and fixed points", Indian J Pure Appl Math 24 (3), pp 145 149 [29] Ciric L B., Lakshmikantham V (2009), "Coupled random fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered metric spaces", Stoch Anal Appl 27 (6), pp 1246 1259 [30] Ciric L B., Ume J S., Jesic S N (2006), "On random coincidence and fixed points for a pair of multivalued and singlevalued map-pings", J Inequal Appl (Hindawi Publ Corp.) Article ID 81045, 2006, pp 12 [31] Engl H W., Romisch W (1985), "Approximate solutions of nonlin-ear random operator equations: Convergence in distribution", Pa-cific J Math 120 (1), pp 55 77 [32] Granas A., Dugundji J (2003), Fixed point theory, Springer [33] Hadzic O., Pap E (2001), Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Kluwer Academic Publishers 74 [34] Hadzic O., Pap E., Budincevic M (2005), "A generalization of Tardiff’s fixed point theorem in probabilistic metric spaces and ap-plications to random equations", Fuzzy Sets and Systems 156, pp 124 134 [35] Hans O (1957), "Random fixed point theorems", Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Ran-dom process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105 125 [36] Hans O (1960), "Random operator equation", Proc 4th Berkely Sympos on Math Statist and Probab., Univ of California Press, Berkely, Calif 2, pp 185 202 [37] Himmelberg C J (1975), "Measurable relations", Fund Math 87, pp 53 72 [38] Itoh S (1977), "A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping", Pacific J Math 68 (1), pp 85 90 [39] Itoh S (1978), "Nonlinear random equations with monotone opera-tors in Banach spaces", Math Ann 236, pp 133 146 [40] Itoh S (1979), "Measurable or condensing multivalued mappings and random fixed point theorems", Kodai Math J 2, pp 293 299 [41] Itoh S., Takahashi W (1978), "The common fixed point theory of singlevalued mappings and multivalued mappings", Pacific J Math 79 (2), pp 493 508 75 [42] Joshi M (1980), "Nonlinear random equations with P -compact op-erators in Banach spaces", Indian J Pure Appl Math 11 (6), pp 791 799 [43] Kaneko H., Sessa S (1989), "Fixed point theorems for compatible multi-valued and single-valued mappings", Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 257 262 [44] Karamolegos A., Kravvaritis D (1992), "Nonlinear random operator equations and inequalities in Banach spaces", Internat J Math Math Sci 15 (1), pp 111 118 [45] Khan A R., Akbar F., Sultana N., Hussain N (2006), "Coin-cidence and invariant approximation theorems for generalized f-nonexpansive multivalued mappings", Internat J Math Math Sci., Hindawi Publ Corp., Article ID17637, 2006, pp 18 [46] Khan A R., Domlo A A., Hussain N (2007), "Coincidences of Lipschitz-type hybrid maps and invariant approximation", Numer Funct Anal Optim 28 (9-10), pp 1165 1177 [47] Khan A R., Hussain N (2004), "Random coincidence point theorem in Frechet spaces with applications", Stoch Anal Appl 22 (1), pp 155 167 [48] Kolmogorov A N., Fomin S V (1970), Introductory real analysis, Dover Publications, Inc New York 76 [49] Kumam P (2004), "Fixed point theorem and random fixed point theorem for set-valued non-self mappings", Thai J Math (2), pp 295 307 [50] Kumam P., Plubtieng S (2006), "Some random fixed point theorems for non-self nonexpansive random operators", Turk J Math 30, pp 359 372 [51] Latif A., Al-Mezel S A (2008), "Coincidence and fixed point results for non-commuting maps", Tamkang J Math 39 (2), pp 105 110 [52] Lin T C (1988), "Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps", Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129 1135 [53] Mustafa G., Noshi N A., Rashid A (2005), "Some random coin-cidence and random fixed point theorems for hybrid contractions", Lobachevskii J Math 18, pp 139 149 [54] Nashed M Z., Engl H W (1979), "Random generalized inverses and approximate solution of random operator equations", in: Ap-proximate solution of random equations, A T Bharucha Reid (ed.), pp 149 210, Elsevier North - Holland, Inc New York [55] Nashed M Z., Salehi H (1973), "Measurability of generalized in-verses of random linear operators", SIAM J Appl Math 25 (4), pp 681 692 77 [56] Nashine H K (2008), "Random fixed points and invariant random approximation in non-convex domains", Hacettepe J Math Statist 37 (2), pp 81 88 [57] Nashine H K (2010), "Random coincidence points, invariant approximation theorems, nonstarshaped domain and q-normed spaces", Random Oper Stoch Equ 18, pp 165 183 [58] O’Regan D., Shahzad N., Agarwal R P (2003), "Random fixed point theory in spaces with two metrics", J Appl Math Stoch Anal 16 (2), pp 171 176 [59] Papageorgiou N S., Kyritsi-Yiallourou S Th (2009), Hanbook of applied analysis, Springer [60] Sehgal V M., Waters C (1984), "Some random fixed point theorems for condensing operators", Proc Amer Math Soc 90 (3), pp 425 429 [61] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [62] Shahzad N (2002), "Random fixed points of multivalued maps in Frechet spaces", Arch Math (Brno) 38, pp 95 100 [63] Shahzad N (2004), "Some general random coincidence point theo-rems", New Zealand J Math 33 (1), pp 95 103 [64] Shahzad N (2005), "Random fixed points of discontinuous random maps", Math Comput Modelling 41, pp 1431 1436 78 [65] Shahzad N (2008), "Random fixed point results for continuous pseudo-contractive random maps", Indian J Math 50 (2), pp 263 271 [66] Shahzad N., Latif A (2000), "A random coincidence point theorem", J Math Anal Appl 245, pp 633 638 [67] Shahzad N., Hussain N (2006), "Deterministic and random coinci-dence point results for f-nonexpansive maps", J Math Anal Appl 323, pp 1038 1046 [68] Shiryaev A N (1996), Probability, Springer [69] Singh S L., Ha K S., Cho Y J (1989), "Coincidence and Fixed points of nonlinear hybrid contractions", Internat J Math Math Sci 12 (2), pp 247 256 [70] Spacek A (1955), "Zufallige Gleichungen" (Random equations), Czechoslovak Math J (4), pp 462 466 [71] Tan K K., Yuan X Z (1993), "On deterministic and random fixed points", Proc Amer Math Soc 119 (3), pp 849 856 [72] Tarafdar E., Watson P., Yuan X Z (1997), "The measurability of caratheodory set-valued mappings and random fixed point theo-rems", Acta Math Hungar 74 (4), pp 309 319 [73] Thang D H., Anh T N (2010), "On random equations and applica-tions to random fixed point theorems," Random Oper Stoch Equ 18, pp 199 212 79 [74] Thang D H., Anh T N (2010), "Some results on random equa-tions", Vietnam J Math 38 (1), pp 35 44 [75] Thang D H., Thinh N (2004), "Random bounded operators and their extension", Kyushu J Math 58, pp 257 276 [76] Verma R U (1997), "Stochastic approximation- solvability of lin-ear random equations involving numerical ranges", J Appl Math Stoch Anal 10 (1), pp 47 55 [77] Xu H K (1990), "Some random fixed point theorems for condensing and nonexpansive operators", Proc Amer Math Soc 110 (2), pp 395 400 [78] Xu H K (1993), "A random fixed point theorem for multivalued nonexpansive operators in uniformly convex Banach spaces", Proc Amer Math Soc 117 (4), pp 1089 1092 [79] Yosida K (1980), Functional analysis, Springer-Verlag Berlin Hei-delberg New York [80] Yuan X Z., Lou X., Li G (1996), "Random approximations and fixed point theorems", J Approx Theory, 84, pp 172 187 [81] Wagner D H (1977), "Survey of measurable selection theorems", SIAM J Control Optim 15 (5), pp 859 903 80 Ch¿ s - i s, y , ngÔu nhiản, 17, 29 Borel, vỵi hƒu h‚t !, 17, 28 nh x⁄ a trà o ÷ỉc, Câ t‰nh co, 15 nh x o ữổc, ỗ th Co xĂc su§t, 51 cıa ¡nh x⁄, º Câ nghi»m Giao ho¡n, 13, 64 o x¡c su§t, i”m b§t ºng, 12, 51 H m chån, i”m b§t ºng chung, 12, 65 H m ngÔu nhiản, im bĐt ng ngÔu nhiản, 36, 43 Khổng giÂn, 51 chung, 37, 44 im trũng nhau, 13 xĂc suĐt, 51 Khổng gian ngÔu nhiản, 44 o im xĐp x ngÔu nhiản tt nhĐt, x¡c su§t, 40 x¡c su§t ƒy ı, i”m xĐp x tt nhĐt, 15 o ữổc yu, ữổc, mÔu, Khổng gian Polish, B chn theo x¡c su§t, 56 Kho£ng c¡ch Hausdorff, B£n cıa toĂn tò ngÔu nhiản, Liản tửc, 50 ngÔu 10 Bin ngÔu nhiản, nhiản, 50 81 Lipschitz, 50 xĂc suĐt, 50 Nghiằm ngÔu nhiản, 18, 29 Nghiằm tĐt nh, 17, 29 Phữỡng trnh ngÔu nhiản, 16 ỡn tr, 17 a trà, 28 câ nhi„u, 17 Quÿ ⁄o, 10, 56 T“p o ữổc, Tữỡng thch, 13 ToĂn tò ho n to n ngÔu nhiản, 50 ToĂn tò Nemytskij, 49 ToĂn tò ngÔu nhiản, a tr, 10 a tr o ÷ỉc, 11 a trà li¶n tưc, 11 o ÷ỉc, 10 co, 11 liản tửc, 11 Lipschitz, 11 XĂc suĐt, 82 ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê tốn học Mã số: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI... hi tử h.c.c vã im xĐp x ngÔu nhiản tt nhĐt ca f v dÂy cĂc bin ngÔu nhiản (x2n+1) hi tử h.c.c vã im xĐp x ngÔu nhiản tt nhĐt ca g Chứng minh T giÊ thit suy f v g l c¡c to¡n tß ngÔu nhiản liản tửc... nh lỵ 1.4.11, dÂy (x2n(!)) hi tử vã im xĐp x tt nhĐt ca f(!; :), dÂy (x2n+1(!)) hi tử vã i”m x§p x¿ tŁt nh§t cıa g(!; :) Do â, d Ây cĂc bin ngÔu nhiản (x2n) hi tử h.c.c vã im xĐp x ngÔu