Một số vấn đề về phần xoắn của đường cong elliptic

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TỐN-CƠ-TIN HOC LÊ VĂN NAM M®T SO VAN ĐE VE PHAN XOAN CUA ĐƯèNG CONG ELLIPTIC Chuyên nghành: Đai so lý thuyet so Mã so: 60460104 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: TS Phó ĐÉc Tài HÀ N®I- 2014 Mnc lnc Ma đau Các khái ni¾m ban ve đưàng cong elliptic 1.1 1.2 1.3 Đưòng cong elliptic nhóm aben 1.1.1 Đưòng cong elliptic .6 1.1.2 Luắt cđng trờn ũng cong elliptic Điem có cap huu han 1.2.1 Điem có cap huu han 1.2.2 Đ%nh lý Nagell-Lutz 10 Phan xoan cna hai lóp đưịng cong elliptic 14 M®t so phân loai biet theo danh sách cua Kubert 18 2.1 Danh sách cna Kubert 18 2.2 Phân loai cna K Ono .20 2.3 Phân loai cna Qiu - Zhang .25 2.4 Nhóm xoan nh¾n đưoc theo danh sách cna Kubert 30 Bo sung ve phân loai theo danh sách cua Kubert 32 3.1 Phan xoan chúa điem cap .32 3.2 Phan xoan chúa điem cap .34 3.3 Phan xoan chúa điem cap .38 3.4 Phan xoan chúa điem cap .44 Ket lu¾n 56 Tài li¾u tham khao 57 Lài cam ơn Nhân d%p này, muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen TS.Phó Đúc Tài, thay trnc tiep hưóng dan t¾n tình chi bao tơi suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn suot hai năm tơi bưóc vào HQc thac sĩ thay giành tâm huyet chi bao cách tiep c¾n cách HQc đai so Đong thịi, tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo, giáo khoa Tốn-Cơ-Tin, trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên- Đai HQc Quoc gia H Nđi, ó day bao tắn tỡnh suot q trình HQ c t¾p tai khoa Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè tat ca MQI ngũi ó quan tõm, tao ieu kiắn v đng viên cő vũ tơi đe tơi có the hồn thi¾n nhiắm vu cna mỡnh H Nđi, ngy 20 thỏng 11 năm 2014 HQc viên Lê Văn Nam Ma đau Đưòng cong elliptic m®t đoi tưong quan TRQNG tốn HQc L%ch su phát trien cna đưòng cong elliptic trai qua m®t thịi gian dài nhung úng dung cna đưòng cong elliptic tiep tuc đưoc khám phá Gan đây, nhung úng dung quan TRQNG cna đưòng cong elliptic đưoc phát hi¾n lý thuyet m¾t mã, phân tích so ngun lón, vi¾c giai phương trình Diophante Đ%nh lý Mordell-Weil phát bieu rang nhóm điem huu ti đưịng cong elliptic (E(Q), +) l mđt nhúm aben huu han sinh, nh vắy M E(Q) ∼= T orsE(Q) Zr, phan xoan T orsE(Q) m®t nhóm huu han hang r huu han Hơn nua, phan xoan T orsE(Q) có the xác đ%nh tưịng minh tù phương trình đ%nh nghĩa đưòng cong nhò đ%nh lý Nagell-Luzt đ%nh lý Mazur Câu hoi ngưoc lai tốn phân loai (ho¾c tìm) HQ đưịng cong elliptic vói nhóm xoan cho trúc Nđi dung chớnh cna luắn l phõn loai phan xoan cna m®t so HQ biet bő sung nhung phân loai thieu theo danh sách cna D.S Kubert (là danh sách (K) chương 2) Trong phân loai song song vói chúng minh lý thuyet, su dung phan mem đai so máy tính Sage đe kiem tra lai ket qua Bo cuc cna lu¾n văn đưoc trình bày sau: Chương 1: Các khái ni¾m ban ve đưịng cong elliptic Chúng tơi trình bày tőng quan m®t so kien thúc ban ve đưòng cong elliptic, đ%nh nghĩa dang ũng cong elliptic, xõy dnng luắt cđng trờn ũng cong elliptic, chúng minh đ%nh lý Nagell-Luzt, cHQN hai ví du có m®t ví du trình bày phân loai nhóm xoan Chương 2: M®t so phân loai biet theo danh sách cna D.S Kubert Chúng trình bày lai hai phân loai cna K Ono D Qiu-X Zhang cho hai lóp đưịng cong (2) (3) danh sách (K) cna D.S Kubert Chương 3: Bő sung ve phân loai theo danh sách cna Kubert Muc đích cna chúng tơi bő sung phân loai cho bon lóp đưịng cong (4), (5), (9) (13) theo danh sách (K) cna D.S Kubert Chương Các khái ni¾m ban ve đưàng cong elliptic Muc đích cna chương trình bày lai m®t so ket qua quan TRQNG lý thuyet đưịng cong elliptic, chang han đ%nh lý Nagell-Luzt, đ%nh lý Mazur, đ%nh lý Mordell-Weil hai ví du ve phan xoan cna đưòng cong elliptic 1.1 1.1.1 Đưàng cong elliptic nhóm aben Đưàng cong elliptic Phương trình đưịng cong b¾c tőng qt xác đ%nh trưịng K có dang ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 + ex2 + fxy + gy2 + hx + iy + j = 0, a, b, c, e, f, g, h, i, j ∈ K a, b, c khơng đong thịi bang Khi bang phép đői truc TQA đ® hop lý, có the chuyen phương trình b¾c tőng qt ve dang y2 + a1xy + a3y = x3 + a2x2 + a4x + a6 vói a1, a2, a3, a4, a6 ∈ K Phương trình đưoc GQI phương trình Weierstrass tőng quát Khi char K ƒ= 2, bang phép đői bien thích hop, cu the vói y := y − (a1x + a3), phương trình tro thành y2 = x3 + Ax2 + Bx + C Phương trình đưoc GQI phương trình dang Weierstrass đơn gian Khi char K ƒ= 3, bang phép đ¾t x := x +3 A có the chuyen phương trình Weierstrass đơn gian ve dang y2 = x3 + Ax + B Phương trình phương trìnhtrình Weierstrass chuan tac M®t đưịng congđưoc xác GQI đ%nh boi phương dang Weierstrass đơn gian đưoc gQI y2 = x3 + Ax2 + Bx + C vói A, B, C ∈ K đưịng cong elliptic neu khơng kỳ d%, túc bi¾t thúc D = −4A3C + A2B2 + 18ABC − 4B3 − 27C2 ƒ= Đe đơn gian, ta dùng kí hi¾u D thay cho bi¾t thúc cna đưịng cong elliptic neu khụng núi gỡ thờm 1.1.2 Luắt cđng trờn đưàng cong elliptic đưịng cong elliptic E có phương trìnhE ylà2 = x3 + Ax2 + Bx + C thìCho hắ TQA đ xa anh phng trỡnh cna Y 2Z = X + AX2Z + BXZ + CZ Moi điem m¾t phang xa anh có TQA đ® P [X : Y : Z] Khi P = [X : Y : 0] điem P tương úng vói điem vơ khơng gian afin mà ký hi¾u điem Θ Ký hi¾u E(K) = {(x, y) ∈ K2 : y2 = x3 + Ax2 + Bx + C} ∪ {Θ} ĐeLu¾t đơn gian, dùng xác kí hi¾u E thay E(K) neuHQC khơng thêm c®ngtađưac đ%nh m®t cho cách hình nhưnói sau: Bat đau điem PP1ta (xb¾c , yP12)3điem (x32.,PKhi ythang ve đưịng 2P P , Pvói và2 cat đưòng tai P điem P2qua , E(K), lay xúng cna điem truc 12)∗trên P hồnh đưoc ta đ%nh P3làthang =tiep P1 qua 1qua +P Trong trưịng hop đưịng Pđoi 2∗P ≡ 1, Pnghĩa tuyen vóiVói đưịng cong tai P1, TQA đ® điem P3 (x ) , y3 điem 2P P11., P đ® P sau: ƒ= Θ, TQA (x3 , y3 ) xác đ%nh Neu x1 ƒ= x2 TQA −y1 x3 = λ2 − A − x1 − x2, y3 = λ(x2 − x3) − y2, vói λ = xy2 −x2 Neu x1 = x2 y1 ƒ= y2 P1 + P2 = Θ Neu P1 ≡ P2 y1 ƒ= x3 = λ2 − A − 2x1, y3 = λ(x1 − x3) , vói λ = đ® cna 3x2+2Ax B 1+ 2y1 − y1 Neu P1 ≡ P2 y1 = P1 + P2 = Θ Qui ưóc P + = P, P E(K) Luắt cđng điem cua đưàng cong E có phương trình (E) : y2 + a1xy + a3y = f (x) = x3 + a2x2 + a4x + a6 Ta ký hi¾u = qua {(x, :a yx2+ a1,1điem xy a31Py∗ =P2x2,3.yLay +) atrên x2 E(K), +xúng a4x ve + đưòng a6điem } ∪ 2đoi {Θ} Bat đauPy) vói điem PEa1+3(x y1)+và 2(x thang ,∈ P22Kvà cat tai P cna PE(K) ∗ P 2 qua đưòng thang y = − ta đưoc điem P3 Khi ta đ%nh nghĩa P3 = P1 + P2 Trưòng hop Neu x1 ƒ= x2 P1 =ƒ P2 , GQI phương trình đưịng thang qua P1, P2 y = λx + β, y1 − y2 λ= x1 − x2 Trưòng hop Neu x1 = x2 P1 ƒ= P2 P1 + P2 = Θ Trưòng hop Neu P1 = P2, GQI phương trình tiep tuyen qua P1 y = λx + β, f J (x1) − a1y1 λ= 2y1 + a1x1 + a3 Ta gQI phương trình hồnh đ® giao điem cna đưịng thang y = λx + β E (λx + β)2 + a1x(λx + β) + a3(λx + β) = x3 + a2x2 + a4x + a6, tương đương = x3 + (a2 − λ2 − λa1)x2 + (a4 − 2λβ − a1β − λa3)x + (a6 − β2 − a3β) TQA đ® cna P3(x3, y3) xác đ%nh sau Trong trưịng hop (x3, y3) = (x3, −y3J − a1x3 − a3) x3 = λ2 + λa1 − a2 − x1 − x2 , y3J = λx3 + β Trong trưòng hop (x3, y3) = (x3, y3J − a1x3 − a3) x3 = λ2 + λa1 − a2 − 2x1 , y3J = λx3 + β Đ%nh lý 1.1 E(K) vái phép c®ng xác đ%nh nh trờn lắp thnh mđt nhúm giao hoỏn vỏi phan tu đơn v% Chúng minh Có the xem chúng minh đ%nh lý [14] Chú ý 1.1 Cho E đưịng cong elliptic có phương trình y2 = x3 + Ax2 + Bx + C, A, B, C ∈ Q Neu can thiet nhân ca hai ve cna phương trình vói d6, d ∈ Z∗, ta thu đưoc (yd3)2 = (xd2)3 + d2A(xd2)2 + d4B(xd2) + Cd6 Thay yd3 boi y xd2 boi x, ta có the cHQN d cho d2 A, d4 B, Cd6 ∈ Z V¾y xét E : y2 = x3 + Ax2 + Bx + C Q có the gia su A, B, C ∈ Z 1.2 Điem có cap hEu han 1.2.1 Điem có cap hEu han Đ%nh nghĩa : y2 điem = x3 P+làAxso + Bx + dương C, vói m A,bé B,nhat C ∈thoa K Cho mP P (x y0) 1.1 ∈ E.Cho CapE cna nguyên mãn =0, Θ Neu ton tai m v¾y P có cap huu han, P cịn đưoc GQI điem xoan, ngưoc lai P đưoc GQI điem có cap vơ han Ký hi¾u E[n] t¾p điem E có cap n điem Θ Van đe đ¾t làm the đe tìm đưoc tat ca điem huu ty có cap huu han E Đe làm đưoc đieu đó, ta can đen ket qua quan đ%nh lý Nagell-Lutz TRQNG h(x) = −x2 + (c2 + a1c + m2)x − (m4 − a1m3 c2m2 a1cm2) = cú mđt nghiắm nhat x ƒ= −m2 Ta se tìm ieu kiắn e h(x) = cú mđt nghiắm nhat chi (c2 + a1c + m2)2 − 4[m4 − a1m3 + (−c2 − a1c)m2] = đieu tương đương vói (c2 + a1c + m2)2 = 4[m4 − a1m3 + (−c2 − a1c)m2], = 4(−m2)(m + c)(−m + c + a1), = 4m2(m + c)(m − c − a1) Bi¾n lu¾n hồn tồn trưịng hop m®t có ket qua cho trưịng u sau hop a=− − 2u + 2m a = −2m3 + a 1m m m, u, v ∈ Q khác a1 u(u + 4m) = v2 vói 3m u2 ho¾c a1 = −m + 2u + 2m a = 2m3 + m2 u(u − 4m) = v2 a1 vói m, u, v ∈ Q khác a1 ƒ= 3m u = Chieu ngưac Gia su a1 + 2u − 2m a3 = 2m + a1m tù phương m trình (2.1) có đưoc TQA đ® cna P vói P (x4 , y4 ) ∈ E(Q) đe cho 4P = Θ 1 3 ( mu, u + v2m − mu − − uvm) u 2 Khi phương trình đưịng thang qua điem P có cap điem (0, 0) có cap vói E(a1, a3) se cho điem Q ∈ E(Q) có cap 12 (3) Chieu thu¾n Gia su T orsE(Q) = Z/2Z ⊕ Z/6Z se tìm đieu ki¾n cna a1 a3 Phương trình hồnh đ® giao điem cna đưịng thang E(a1, a3) x3 = − y= −a1x + a3 a x + a3 a x + a3 Σ a x + a3 Σ Σ2 + a1 x+ − , − a 1 = − x2 a21+ a 1a3 x + a32Σ, 4 12 = − a 1x + Σ a3 2 Như v¾y thu đưoc phương trình sau 4x3 + a2x2 + 2a1a3x + a2 = 0(3.1) Phương trình tương vói1 phương trình sau a2 + 2a1xa3 + (4x3 + a2x2) = 2 Đe phương trình có nghi¾m huu ty neu chi neu 4x (−x) so chúng 2cna 2cho phương nghĩa ton tai n ∈ Q, n ƒ= −x = n ta thu đưoc hailàgiá tr% a thoa mãn aphai = n (a − 2n) ho¾c a = n (a + 2n) 3 Trưàng hap a3 = n2(a1 − 2n) thay vào phương trình (3.1) thu đưoc phương trình (x + n2)(4x2 + (a2 1− 4n2)x + (4n4 − 4a1n3 + n21a2)) = Đe phương trình có ba nghi¾m phân bi¾t x ∈ Q ta xét phương trình h(x) = 4x2 + (a2 − 4n2)x + (4n4 − 4a1n3 + n2a2) = có hai nghi¾m phân 1 bi¾t khác −n2 2 2thu®c huu ty chi ton tai−4n uđe∈tai Q, cho acho +phân nbi¾t −u⇔ 12n 2ki¾n 24a12 u Chúng tìmneu đieu h(x) ==ƒ so đe a1neu ∈ Qđixét neu chi ton vu∈ Q,có ƒ= 0nghi¾m saoh(−n 16n +0 = v2= Bây giò tatađi h(−n )neu = (−3n + av10)hai ) ƒ= n ƒ= v a1 = 3n Vắy trũng hop mđt thu đưoc a1 a3 thoa mãn a3 = n2(a1 − 2n) a1 = −2n + v ho¾c a3 = n2(a1 − 2n) a1 = −2n − v Trong 16n2 + u2 = v2 vói n, u, v ∈ Q khác 0, a1 ƒ= 3n M¾t khác a13a33 − 27a3 ƒ= neu chi neu v ƒ= −4n ho¾c v ƒ= 4n Trưàng hap a3 = n2(a1 + 2n) thay vào phương trình (3.1) thu đưoc phương trình sau (x + n2)(4x2 + (a2 1− 4n2)x + (4n4 + 4a1n3 + n21a2)) = trình h(x) = trình 4x2 +này (a2có − ba 4nnghi¾m )x + (4nphân + 4a +∈ n2Q a2)neu = 0và cóchi haineu nghi¾m 1n x Đe phương bi¾t phương 1 phõn biắt khỏc n2 Biắn luắn nh trũng hop mđt thu đưoc ket qua sau + v ho¾c a = n2(a − 2n) a = 2n − a3 = n2(a + 16n 2n)2 a21 = = v2n 3Q khác 1−3n vĐe Trong vói neu n, u,v vƒ=∈4n a1 −4n =ƒ a31a33 −1đó 27a34 ƒ=+0uneu chi ho¾c 0, v ƒ= Chieu ngưac Gia su a3 = n2(a1 − 2n) a1 = −2n + v có ba điem cap (−n2, n3); (−81 (−v + u)(4n − v),1 (4n − v)(8n2 − 2nu + 2nv + vu − v2)) ( 18(v + u)(4n − v), 11 (4n − v)(8n + 2nu + 2nv − vu − v2)) Khi giao điem cna đưịng thang qua điem cap điem cap vói đưòng cong elliptic xét se cho điem cap (4) Chúng ta đãtacó cap cap (0, 0) (0, −a3) ba điem cap v¾y chúng sehai cóa điem sáu điem 6.ki¾n Gia su P ∈ E(a , ) ta se tìm đieu cna , a0) PP,có cap ho¾c 1−a 33qua 3P = (0, ).đe9P =2P, Θ ⇔ = Trưàng hap phương đưịng thang 3P9.3(3P (0, 0)) Θ, v¾y cóGia hai su trưịng hop trình xay là(d3) 3P = a(0, y = kx Phương trình hồnh đ® giao điem cna (d3) vói E(a1, a3) x(x2 − (k2 + a1k)x − a3k) = Đe toán thoa mãn chi phương trình h(x) − đieu (k2 +ki¾n a1k)x− a3k = có nghi¾m phân bi¾t x1, x2 ∈ Q khác Ta se=đix tìm đe phương trình h(x) = x2 − (k2 + a1k)x − a3k = có nghi¾m phân bi¾t x1, x2 ∈ Q chi ton tai u ∈ Q, u cho (k2 + a1k)2 + 4ka3 = u2 Như v¾y ton tai v ∈ Q, v ƒ= cho a − = u2 v2 4k 2 a = u −v ho¾c = Kha a3 , = u v2 4k v−k2 k −v−k2 a1 a 4k k = v−k2k tìm đưoc x1 x2 − = a1 x1 = 21(v − u) ho¾c x1 = 12(v + u) Gia su x(P ) = 12(v + u) theo phép c®ng điem tìm đưoc − x(2P ) = (v + u)( u + 2k + v)u (u + 2k2 + v)2 Tù đe P điem cap can đieu ki¾n 2(v + u)(−u + 2k2 + v)u = v − u (u + 2k2 + v)2 Khi x(P ) = x1 = 21(v − u) tìm đưoc − x(2P ) = ( v + u)(u + 2k2 + v)u + v)2 (−u + 2k Tù đe P điem cap can đieu ki¾n 2(−v + u)(u + 2k2 + v)u = v + u (−u + 2k2 + v)2 Đe a31a33 − 27a34 ƒ= neu chi neu u =ƒ Q Kha a3 ±v q ƒ= −3k + 12v vói q ∈ k − = u v2 4k −v−k = tìm đưoc x1 x2 a1 x1 = − 12(v + u) ho¾c x1 = − 12 (v − u) Gia su x(P ) = −12 (v + u) tìm đưoc − x(2P ) = (v + u)(u + 2k2 v)u − v)2 (−u + 2k Tù đe P điem cap can đieu ki¾n 2(v + u)(u + 2k2− v)u = −(v − u) (−u + 2k2 − v)2 Khi x(P ) = − 12 (v − u) tìm đưoc − − x(2P ) = ( v + u)(−u + 2k2 (u + 2k2 − v)2 v)u Tù đe P điem cap can đieu ki¾n 2(−v + u)(−u + 2k2 v)u − = −(v + u) (u + 2k2 − v)2 Đe a13a33 − 27a34 ƒ= neu chi neu u ƒ= ±v q2 ƒ= −3k2 − 12v vói q ∈ Q Trưàng hap Gia su phương trình đưịng thang qua P, 2P, 3P (0, −a3) y = lx − a3(d4) Phương trình hồnh đ® giao điem cna (d4) vói E(a1, a3) x(−x2 + (l2 + a1l)x − (a3l + a1a3)) = Đe toán thoa mãn chi phương trình h(x) = −x2+(l2+a1l)x−(a3l+a1a3) = có nghi¾m phân bi¾t x1, x2 ∈ Q khác Ta se tìm đieu ki¾n đe phương trình h(x) = −x2 + (l2 + a1l)x − (a3l + a1a3) = có hai nghi¾m phân bi¾t x1, x2 ∈ Q chi ton tai u ∈ Q, u ƒ= cho (k2 + a1k)2 + 4(la3 + a1a3) = u2 Như v¾y ton tai v ∈ Q khác cho a= ho¾c −(u2−v v 2)l v−l2 l , −v−l2 l = a1 a3 = (u2 v2)l 4v = a1 Biắn luắn nh trũng hop mđt chỳng ta thu đưoc ket qua sau Vói a − neu v chi neu mđt hai ieu kiắn sau = v−l , = 2 (u −v )l a xay l 4v 2 l2v) = v − u, −2l u(v + u)(l u − 2v (l2v + l2u + − 2v2)2 u(u − v)(l2v + l2u + 2v2) = v + u 2u − 2v2 − l2v)2 (l l Đe a3a3 − 27a4 ƒ= neu chi neu u ƒ= ±v q2 ƒ= −3v2 + 12vl2 vói 2 q ∈ Q Vói a xay ra1 = a −v−l2 , l neu chi neu m®t hai đieu ki¾n sau (u −v )l 4v 2l u(v + u)(l2u + 2v2− l2v) = −(v − u), (l2v + l2u − 2v2)2 Đe a3a3 − 27a4 q ∈ Q =2 2l2u(u − v)(l2v + l2u 2v2) = v + u (l2u + 2v2 − l2v)2 ƒ= neu chi neu u ƒ= ±v q2 ƒ= −3v2 + 12vl2 vói Tat ca ieu kiắn rang buđc %nh lý eu tham so hóa huu ty đưoc Nh¾n xét 3.3 (1) Vói u(u + 4m) = v2, tham so hóa huu ty ta đưoc − u = s= , v 4ms s2 4m − 2s , s ∈ Q 4m − 2s (2) Vói u(u − 4m) = v2, tham so hóa huu ty ta đưoc −2 u = =s , v 4ms + s , s ∈ Q 4m + 2s 4m + 2s (3) Vói 16n2 + u2 = v2, tham so hóa huu ty ta đưoc 2 16n2 − s2 u= , v 16n + s = , s ∈ Q 2s 2s (4) Vói 2(v + u)(−u + 2k2 + v)u = (v − u)(u + 2k2 + v)2, tham so hóa huu ty ta đưoc u = 2sk 2(1 + 4sk + 4s2k + 3s2 )/(6sk + 12s2k + 8s3 k − 2s3 k − 4s3k4 + s3 − 4s2k2 − s2 − s + 1), v = 2sk2(1 + 4sk2 + 4s + 4s2k4 − s2 + 8s2 k 2)/(6sk + 12s2 k + 8s3k − 2s3k − 4s3k + s3 − 4s2k − s2 − s + 1), s ∈ Q (5) Vói 2(v + u)(u + 2k2 − v)u = −(v − u)(−u + 2k2 − v)2, tham so hóa huu ty ta đưoc u = 2sk 2(1 − 4sk + 3s2 + 4s2 k 4)/(6sk − 12s2k − 2s3k + 8s3 k −s + 4s3k4 + s2 − 4s2k2 + s− 1), v = 2sk2(1 + 4s− 4sk2 − 8s2k2 −s + 4s2k )/(6sk − 12s2 k − 2s3 k + 8s3k − s3 + 4s3k + s2 − 4s2k + s − 1), s ∈ Q 2 (6) tham Vói −2l u(v huu + u)(l u− 2v2 − l2v) = (v − u)(l2v + l2u + 2v2)2, so10hóa ty ta đưoc u = (3l + 6l s − 8l s − 16l4 s3 − 16l2s4 − 32s5)/(2l8 + 32l6s + 112l4 s2 − 128l2 s3 + 32s4), v = (−l6 − 2l4s + 4l2 s2 + 8s3)/(2l4 + 16l2s − 8s2 ), s ∈ Q (7) so Vóihóa 2l2huu u(u − v)(l v + l2u − 2v2) = (v + u)(l2u + 2v2 − l2v)2, tham ty ta đưoc u = (3l10 + 6l8s − 8l6s2 − 16l4 s3 − 16l2s4 − 32s5)/(2l8 + 32l6s + 112l4 s2 −128l2s3 +32s4 ), v = (l6 +2l4s−4l2s2 −8s3)/(2l4 +16l2s−8s2 ), s ∈ Q Ket lu¾n Như chúng tơi giúi thiắu phan mo au, nđi dung chớnh cna lu¾n văn nghiên cúu phan xoan cna đưịng cong elliptic Đóng góp cna lu¾n văn bő sung thêm phân loai HQ đưịng cong elliptic vói nhóm xoan cho trưóc vào danh sách D.S Kubert Hưóng nghiên cúu tiep theo cna phan tn cna đưịng cong elliptic mà o cịn có nhieu câu hoi mo Chang han, m®t HQ đưịng cong elliptic vói nhóm xoan cho trưóc, hang lón nhat có the bang Tài li¾u tham khao [1] J Gebel and H.G Zimmer, Computing the Mordell-Weil group of an elliptic curve In H Kisilevsky et al., editors, Elliptic curves and related topics, volume of Proc and Lect Notes, page 61-83 Centre Rech Math., Montréal, Amer Math Soc., 1993 [2] F.Q Gouvêa, p-adic Numbers, Springer-Verlag, NewYork, Heidelderg Berlin, 1997 [3] D Husemoller, Elliptic curves, Springer-Verlag, NewYork, 2002 [4] N.H.V Hưng, Đai so đai cương, Nhà xuat ban giáo duc, 1997 [5] M A Kenku and F Momose, Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields, Nagoya Math J., Vol 109 (1988), 125149 [6] D.S Kubert, Universal bounds on the torsion of elliptic curvers, Proc London Math Soc (3), 33 (1976), 193-237 [7] B Mazur, Rational isogenies of prime degree, Invent Math .44, 129162, 1978 [8] B Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, IHES Publ Math.47(1977), 33-186 [9] B Mazur, Rational point on modular curves, Modular Functions of One Variable V, Lecture Notes in Math 601(1977), 107-148, SpringerVerlag, NewYork [10] M Oka, Elliptic curves from sextics, J Math Soc Japan, Vol 54, No 2, 2002 [11] K Ono, Euler’s concordant forms, Acta Arthmetica, LXX VIII 2(1996), 101-123 [12] D Qiu and X Zhang, Explicit classification for torsion subgroups of rational point of elliptic curves, Acta Mathematica Sinica (English Series), 18(2002.7), No.3, 539-548 [13] J Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, NewYork, 1986 [14] J Silverman and J Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Springer- Verlag, NewYork, 1992 [15] L.C Washington, Elliptic curves: Number Theory and Cryptography, Chapman - Hall/CRC, 2003 [16] A Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Ann Math 141, no 3(1995), 443-551 [17] H G Zimmer, Torsion of elliptic curves over cubic and certain bi- quadratic number fields, Arithmetic geometry, 203-220, Comtemp Math., 174, Amer Math Soc ... Ma đau Các khái ni¾m ban ve đưàng cong elliptic 1.1 1.2 1.3 Đưòng cong elliptic nhóm aben 1.1.1 Đưòng cong elliptic .6 1.1.2 Luắt cđng trờn ũng cong elliptic Điem có cap huu han... ni¾m ban ve đưịng cong elliptic Chúng tơi trình bày tőng quan m®t so kien thúc ban ve đưòng cong elliptic, đ%nh nghĩa cỏc dang ũng cong elliptic, xõy dnng luắt cđng trờn đưòng cong elliptic, chúng... lý Mordell-Weil hai ví du ve phan xoan cna đưòng cong elliptic 1.1 1.1.1 Đưàng cong elliptic nhóm aben Đưàng cong elliptic Phương trình đưịng cong b¾c tőng qt xác đ%nh trưịng K có dang ax3 +