Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TRAN TH± THU HANG M®T SO VAN ĐE VE ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DANG TỐN LIÊN QUAN LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC Hà N®i - 2012 Tran Th% Thu Hang M®T SO VAN ĐE VE ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DANG TỐN LIÊN QUAN LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC Chun ngành: Tốn Giai tích Mã so: 60 46 01 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS TSKH NGUYEN VĂN M¾U Lài nói đau Lý thuyet ve phương trình hàm m®t nhung lĩnh vnc quan TRQNG cna Giai tích tốn HQc Hi¾n nay, có nhieu cách tiep c¾n phương trình hàm vói nhieu muc tiêu nghiên cúu khác nghiên cúu đ%nh tính (xác đ%nh m®t so đ¾c trưng cna hàm so) ho¾c nghiên cúu tính đ%nh lưong (ưóc lưong so nghi¾m, xác đ%nh dang nghi¾m cu the), nghiên cúu nghi¾m đ%a phương, nghi¾m tồn cuc, xác đ%nh nghi¾m liên tuc hay gián đoan Trong đó, tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình hàm m®t so nhung hưóng nghiên cúu tiep c¾n phương trình hàm Năm 1940, nhieu buői chun đe tai câu lac b® tốn HQc cna trưịng đai HQc Washington, S M Ulam đưa rat nhieu câu hoi ve m®t so lưong lón van đe van chưa giai đưoc Trong đó, ơng có đưa m®t câu hoi có liên quan đen tính őn đ%nh cna m®t đong cau sau: Cho G1 , G2 hai nhóm, m®t metric nhóm d(., ) tương úng Vái MQI s > cho trưác, ton tai m®t so δ > cho neu m®t hàm h : G1 → G2 cho bat phương trình: d(h(xy), h(x)h(y)) < δ, ∀x, y ∈ G1 có ton tai m®t đong cau H : G1 → G2 cho d(h(x), H(x)) < s vái ∀x ∈ G1? Câu hoi cna ơng đ¾t tien đe cho m®t loat nhung van đe nghiên cúu ve tính őn đ%nh cna phương trình hàm, mo m®t hưóng đieu tra mói mà ngày ta GQI van đe ve sn őn đ%nh khái ni¾m ve tính őn đ%nh tốn HQc đưoc xem l mđt van e oc nhỡn nhắn rđng hn nh sau: thay đői m®t chút gia thuyet cna đ %nh lý ta có the khang đ%nh rang van đe mói có the ho¾c gan đúng? Vói moi phương trình hàm tőng qt câu hoi đưoc đưa sau: gia thuyet nghi¾m cna phương trình có khác vói nghi¾m cna phương trình trưóc khơng? Tương tn neu ta thay phương trình bang bat phương trình nghi¾m cna bat phương trình cho có gan vói nghi¾m cna phương trình ban đau i Lèi NĨI đAu Neu câu tra lịi ta có the nói phương trình Cauchy őn đ%nh Nhung dang câu hoi so cho nhung toỏn ve tớnh n %nh Luắn "Mđt so van đe ve on đ%nh cia phương trình hàm dang toỏn liờn quan" trỡnh by mđt so khỏi niắm ban ve phương trình hàm Cauchy ban (phương trình hàm c®ng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) phương trình hàm D’ Alambert đong thịi đưa dang tőng quát ve nghi¾m tőng quát cna phương trình hàm lóp hàm liên tuc, gián đoan trưịng so phúc Tù đưa ket qua ve tính őn đ%nh cna phương trình hàm Bo cuc lu¾n văn gom chương Chương 1: Cơ sa lý thuyet Trong chương này, chúng tơi trình bày khái ni¾m ban ve phương trình hàm Cauchy ban (phương trình hàm c®ng tính, phương trình hàm mũ, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) phương trình hàm D’ Alam- bert đong thịi đưa dang tőng qt ve nghi¾m cna phương trình lóp hàm liên tuc, hàm khơng liên tuc lóp hàm trưịng phúc cna hai phương trình hàm Chương 2: Tính on đ%nh cua phương trình hàm Muc đích cna chương trình bày tính őn đ%nh cna phương trình hàm trình bày o chương Tính őn đ%nh cna phương trình hàm đưoc nghiên cúu tù năm 1940 mà đ¾t nen móng cho van đe câu hoi cna S M Ulam Năm 1941, D H Hypers ngưịi đau tiên tra lịi câu hoi cna Ulam, ơng cho m®t đ%nh lý nghiên cúu ve tính őn đ%nh cna phương trình hàm c®ng tính khơng gian Banach Đ%nh lý chi m®t dãy hàm xap xi c®ng tính cho trưóc, ton tai m®t hàm c®ng tính nhat có the xap xi dãy hàm c®ng tính cho trưóc đó, hồn tồn có the tính tốn đưoc trnc tiep hàm c®ng tính tù hàm cho trưóc Sau 30 năm sau đó, vào năm 1977, làm nghiên cúu sinh cho trương đai HQc California, Th M Rassias đưa đieu ki¾n làm yeu đieu ki¾n ve dang sai phân Cauchy đ%nh lý cna Hypers Đ%nh lý có súc anh hưong rat lơn đen nhà tốn HQc nghiên cúu ve tính őn đ%nh cna phương trình hàm.Trong h®i ngh% khoa HQc Quoc te, Th M Rassias đưa câu hoi đe hồn thi¾n đ%nh lý cna mình, sau Z Gajda ngưịi hồn thi¾n đ%nh lý cna ơng Năm 1979, J Baker, J Lawrence F Zorzitto chúng minh đưoc rang xét m®t loat hàm xác đ%nh nua nhóm có tính chat xap xi mũ (nhân tính) ho¾c b% ch¾n ho¾c hàm mũ (nhân ii tính) Tương tn vi¾c xét tính őn đ%nh cna phương trình hàm Cauchy o trên, Forti chúng minh đưoc đ%nh lý ve tính őn đ%nh cna hàm logarit xác đ%nh nua nhóm bang phương pháp trnc tiep cách chúng minh đ%nh lý cna Hypers.Tiep theo, chương tiep tuc đưa nhung ket qua nghiên cúu ve tính őn đ%nh cna phương trình hàm cosin (hay cịn GQI phương trình hàm d’ Alambert), tinh őn đ%nh cna đưoc nghiên cúu boi nhà tốn HQc J Baker P Găvruta Đong thịi, ta mo r®ng nghiên cúu ve tính őn đ %nh cna phương trình hàm Wilson (Afg), (Agf ) , phương trình hàm (Afgfg), (Afggf ) có liên quan đen phương trình hàm d’ Alambert Bang kí hi¾u Z t¾p so nguyên Z+ t¾p so nguyên khơng âm ∗ Z+ t¾p so thnc dương R t¾p so thnc ∗ R t¾p so thnc khác khơng R+ t¾p so thnc ∗ khơng âm R + t¾p so thnc dương C t¾p so phúc F trưịng vơ hưóng, ho¾c R ho¾c C Rez phan thnc cna so phúc z = a + bi Imz phan ao cna so phúc z = a + bi  signx = 1 vói x > 0 vói x =  −1 vói x < [0, 1] = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1} ]0, 1] ]0, 1[ µ(E) z¯ = {x ∈ R|0 < x ≤ 1} = {x ∈ R|0 < x < 1} đ® đo cna t¾p E so phúc liên hop cna z v Mnc lnc Lài ma đau i Lài cam ơn iv Bang kí hi¾u v CƠ Se LÝ THUYET 1.1 Phương trình hàm Cauchy 1.1.1 Phương trình hàm c®ng tính 1.1.2 Phương trình hàm mũ 1.1.3 Phương trình hàm logarit 1.1.4 Phương trình hàm nhân tính 1.2 Phương trình hàm d’ Alambert 1 18 23 26 29 TÍNH ON бNH CUA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2.1 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm Cauchy 2.1.1 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm c®ng tính 2.1.2 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm mũ 2.1.3 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm logarit 2.1.4 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm nhân tính 2.2 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm d’ Alembert 2.2.1 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm cosin (A) 2.2.2 Tính őn đ%nh phương trình hàm (Afg), (Agf ), (Agg) 2.2.3 Tính őn đ%nh cna phương trình hàm ( A fgfg ) (Afggf ) 36 36 36 48 50 52 53 53 60 71 Ket lu¾n 77 Tài li¾u tham khao 78 vi Chương CƠ Se LÝ THUYET Trong chương này, chúng tơi se đe c¾p đen hai dang toán ban nhat lý thuyet ve phương trình hàm phương trình hàm Cauchy phương trình hàm D’ Alambert Chúng đóng vai trị nịng cot đe giai quyet lóp hàm khác ve xác đ%nh hàm so đai so lưong giác tương úng 1.1 Phương trình hàm Cauchy Trong lý thuyet ve phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy đưoc nghiên cúu tù rat lâu tính chat cna huu hi¾u vi¾c ngành khoa HQc tn nhiên Chúng tơi xin đưa m®t so dang ban cna phương trình Cauchy sau: (Phương trình hàm c®ng tính) (Phương trình f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x) + f (y), hàm mũ) f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm logarit) f (xy) = f (x)f (y), (Phương trình hàm nhân tính) 1.1.1 Phương trình hàm c®ng tính Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t hàm f : R → R vái R t¾p so thnc, đưac GQI m®t hàm c®ng tính chs thóa mãn phương trình hàm Cauchy c®ng tính: Chương f (x + y) = f (x) + f (y), y ∈ R ∀x, (1.1) Phương trình hàm (1.1) đưoc xem xét đau tiên boi A.M Legendre (1791) C F Gauss (1890) sau 30 năm A L Cauchy (1821) ngưịi đau tiên tìm cơng thúc nghi¾m tőng qt cna Phương trình có ý nghĩa Chương CƠ Sá LÝ THUYET đ¾c bi¾t tốn HQc Nó đưoc bat g¾p o hau het ngành HQc cna tốn HQc, sn khoi đau cna phép tính đoi vói hàm so Láp hàm c®ng tính liên tnc Đ%nh lí 1.1.2 Cho f : R → R m®t hàm c®ng tính Neu f liên tnc f có dang: ∀x ∈ R f (x) = ax, (1.2) vái a hang so thnc Hơn nua, neu f m®t hàm xác đ%nh vái MQI x, y khơng âm ho¾c dương liên tnc f có dang (1.2) Chúng minh Trưóc het, vói x = y = tù (1.1) ta thu đưoc: f (0) = Cho y = −x thay vào (1.1) ta thu đưoc: f (0) = f (x) + f (−x) = ⇔ f (−x) = −f (x) v¾y, f hàm le Bây giò, ta chi f đong nhat huu ty nghĩa vói mQI x ∈ R m®t so r so huu ty thì: (1.3) f (rx) = rf (x) Th¾t v¾y, tù (1.1) bang phương pháp quy nap ta thu đưoc: f (x1 + x2 + + xn) = f (x1) + f (x2) + + f (xn) vói xk = x, (k = 1, 2, , n) thay vào phương trình ta có: f (nx) = nf (x), ∀n (1.4) Hơn nua, vói moi so n ≥ nguyên âm, su dung f hàm le (1.4) ta thu đưoc: f (nx) = −f (−nx) = −(−n)f (x) = nf (x) Do (1.4) vói MQI so n ngun Vói m®t so huu ty r có dang r = n m = nr Ta có: f (nrx) = f (mx) ⇔ nf (rx) = mf (x) m ⇔ f (rx) = f (x) = rf (x), n ∀x ∈ R m ⇒ (ii) (2.53) m®t lan nua ta có |f ((xn + y) + x) + f ((xn + y) − x) − 2g(xn + y)f (x) + f ((xn − y) + x) + f ((xn − y) − x) − 2g(xn − y)f (x)| ≤ 2ϕ(x) (2.65) | f (xn + (x + y)) + f (xn − (x + y)) 2g(xn) f (xn + (x − y)) + f (xn − (x − y)) g(xn + y +) + g(xn − y) − 2f (x) ≤ ϕ(x) , |g(xn)| 2g(xn ) (2.66) 2g(x n) vói MQI x, y ∈ G vói MQI n ∈ N.Su dung (2.64) gia thiet g thoa mãn (A), bat thúc cuoi suy f g nghi¾m cna (Agf ) Đieu phai chúng minh Bo đe 2.2.8 (Kannappan Kim [16]) Cho s ≥ f, g : G → C thóa mãn bat phương trình |f (x + y) + f (x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ s, (Agf a) ∀x, y ∈ G vái f thóa mãn đieu kiắn (K), ỏ ú (G, +) l mđt nhúm thỡ ho¾c f g đong thài b% ch¾n ho¾c g thóa mãn đieu ki¾n (A) f g thóa mãn đieu ki¾n (Agf ) (Afg) Hơn nua, trưàng hap ton tai m®t (đong cau) hàm mũ E : G → C∗ thóa mãn (E) cho: b f (x) = (E(x) + E(−x)), (E(x) + E(−x)), (2.67) g(x) = vái MQI x ∈ G, b hang so Chúng minh Ta se xét hàm khơng tam thưịng (f ƒ= 0) Đ¾t y = (Agf a) ta có: s |f (x) − g(x)f (0)| < vói x ∈ G Neu g b% ch¾n su dung đieu ta se có: |f (x)| = |f (x) − g(x)f (0) + g(x)f (0)| s ≤ + |g(x)f (0)| 2 đieu chi f b% ch¾n M¾t khác, neu f b% ch¾n, ta cHQN y0 cho f (y0) ƒ= su dung (Agf a) |g(x)| − f (x + y0) + f (x − y0) 2f (y0) ≤ f (x + y0) + f (x − y0) − g(x) ≤ 2|fs (y0 )| 2f (y0) v¾y g mđt hm b% chắn trờn G ieu ny cng de dàng chi neu f ho¾c g khơng b% ch¾n hàm g ho¾c f the Cho f g khơng b% ch¾n có dãy {xn} {yn} G cho g(xn) ƒ= 0, |g(xn )| → ∞ f (yn ) ƒ= 0, lim |f (yn )| = ∞ n Trưóc het ta chi g đưoc thay the thoa mãn (A) Tù (Agf a) vói y = y0 ta thu đưoc: f (x + y n ) + f (x − y n ) s − g(x) ≤ 2|f 2f f n(x ) n )| (y ) + yn) + f (x − yn(y lim = g(x) n 2f (yn) v (2.68) Su dung (Agf a) (K) ta có: |f (x + (y + yn )) + f (x − (y + yn )) − 2g(x)f (y + yn) + f (x + (y − yn)) + f (x − (y − yn)) − 2g(x)f (y − yn)| ≤ 2s nên f ((x + y) + yn) + f ((x + y) − yn) f ((x − y) + yn) + f ((x − y) − | n) + y 2f (yn) 2f (yn) f (y + yn) + f (y − yn) s − 2g(x) |≤ , vói x, y ∈ G 2f |f (yn )| (yn) su dung (2.68) suy ra: |g(x + y) + g(x − y) − 2g(x)g(y)| ≤ g nghi¾m cna (A) Áp dung (Agf a) hai lan đieu ki¾n (K) trưóc het ta có: lim n f (xn + y) + f (xn − y) = f (y) (2.68a) 2g(xn) |f ((xn + x) + y) + f ((xn + x) − y) − 2g(xn + x)f (y) + f ((xn − x) + y) + f ((xn − x) − y) − 2g(xn − x)f (y)| ≤ 2s nên | f (xn + (x + y)) + f (xn − (x + y)) f (xn + (x − y)) + f (xn − (x − y)) + 2g(xn) 2g(xn) g(xn + x) + g(xn − x) s −2 f (y)| 2g(xn) |g(x≤n)| Tù (2.68a) g thoa mãn (A) ta suy ra: |f (x + y) + f (x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ f g nghi¾m cna (Agf ) CHQN y0 cho f (y0 ) ƒ= (Agf ) ta có: g(x) = f (x + y0) + f (x − y0) 2f (y0) nên g thoa mãn đieu ki¾n (K) Vì g thoa mãn đieu ki¾n (K), ta thay rang ton tai m®t đong cau (mũ) E : G → C∗ thoa mãn phan thú hai (2.53) Cuoi cùng, áp dung (Agf ), (2.68) (K) ta thu đưoc: |f ((xn + y) + x) + f ((xn + y) − x) − 2g(xn + y)f (x) + f ((xn − y) + x) + f ((xn − y) − x) − 2g(xn − y)f (x)| ≤ 2s | f (xn + (x + y)) + f (xn − (x + y)) f (xn + (x − y)) + f (xn − (x − y)) + 2g(xn) 2g(xn) g(xn + y) + g(xn − y) s − 2f (x) |≤ 2g(xn) |g(x n)| ta thu đưoc ket qua (Afg) Tù (Agf ) Afg ta de dàng thay đưoc f (x) = bg(x) vói hang so b Đieu phai chúng minh Tiep theo, ta xét tiep tính őn đ%nh cna phương trình hàm cos mo r®ng sau: f1 (x + y) + f2 (x − y) = 2g1 (x)g2 (y), (Agg ) f1 , f2 , g1 , g2 : R → C Đ%nh lí 2.2.9 Cho f1 , f2 , g1 , g2 : R → C thóa mãn: |f1 (x + y) + f2 (x − y) − 2g1 (x)g2 (y)| ≤ δ, (Agg ) ∀x, y ∈ R ho¾c g1 b% chắn hoắc ton tai mđt hm chan h : R → C vái h(0) = cho g2(x + y) + g2(x − y) = 2g2(x)h(y) Chúng minh Gia su g1 khơng b% ch¾n Khi ta có the cHQN đưoc m®t dãy {xn } cho ƒ= |g1 (xn )| → ∞ n → ∞ Vói moi n ∈ N, thay x = xn vào (2.68) chia ca ve cna bat phương trình |2g1 (xn )| ta có: f1 (xn + y ) + f2 (xn − y ) g2(y)| ≤ 2g1(xn) | Ve phai tien tói n → ∞ Do g2(y) = lim f1(xn + y) + f2(xn − n→∞ y) 2g1(xn) δ |2g (x )| ∀y ∈ R (2.69) Thay (x, y) = (xn + y, x) (x, y) = (xn − y, x) vào (2.68) ta có |f1 ((xn + y) + x) + f2 ((xn + y) − x) − 2g1 (xn + y)g2 (x)| ≤ δ |f1 ((xn − y) + x) + f2 ((xn − y) − x) − 2g1 (xn − y)g2 (x)| ≤ δ Su dung bat thúc tam giác, tù hai bat thúc ta suy f1(xn + (x + y)) + f2(xn − (x + y)) | 2g1(xn) f1 (xn + (x − y )) + f2 (xn − (x − y )) + 2g1(xn) Σ− 2δ g1(xn + y) + g1(xn − y) g (x)| ≤ |2g (x )| 2g1(xn) (2.70) De thay ve phai h®i tu tói khơng n → ∞ nên ta có the đ%nh nghĩa h(y) = lim n→∞ g1(xn + y) + g1(xn − y) 2g1(xn) ∀ ∈ R Như v¾y h hàm chan h(0) = 1, cho n → ∞ (Agg) ta có g2(x + y) + g2(x − y) = 2g2(x)h(y) ∀x, y ∈ R Trong trưịng hop ta có the thay g2 l mđt hm khụng b% chắn %nh lớ 2.2.10 Cho f1 , f2 , g1 , g2 : R → C hàm thóa mãn |f1 (x + y) + f2 (x − y) − 2g1 (x)g2 (y)| ≤ δ, ∀x, y ∈ R (2.71) ho¾c g2 l mđt hm b% chắn hoắc ton tai mđt hm chan h : R → C vái h(0) = cho g1(x + y) + g1(x − y) = 2g1(x)h(y), ∀x, y ∈ R Chúng minh Gia su g2 khụng b% chắn, ú ton tai mđt dóy {yn} cho ƒ= |g2(yn)| → ∞ n → ∞ Ta có the chi đieu tương tn đ%nh lý sau: g1(y) = lim f1(x + yn) + f2(x − n→∞ yn) 2g2(yn) ∀y ∈ R (2.72) Thay (x, y) = (xn + y, x) (x, y) = (xn − y, x) tương úng vào (Agg) trình làm tương tn chúng minh trưóc Ta có the suy đ%nh nghĩa ve hàm h sau: g2(yn + y) + g2(yn − ∀y ∈ R h(y) = y) lim n→∞ 2g2(xn) g1(x + y) + g1(x − y) = 2g1(x)h(y), ∀x, y ∈ R de thay rang h mđt hm chan v h(0) = Hắ qua 2.2.11 Cho f, g1, g2 : R → C hàm so thóa mãn |f (x + y) + f (x − y) − 2g1 (x)g2 (y)| ≤ δ ∀x, y ∈ R Gia su rang f m®t hàm chan g1 thóa mãn (A) ƒ≡ 0, ho¾c g2 b% ch¾n ho¾c gˆ1 := f (x ) f (0) Chúng minh Lay f1 = f2 = f đ%nh lý 2.5.8, tính chan cna hàm g2 đưoc suy trnc tiep tù (2.68) nên ta có đieu phai chúng minh 2.2.3 Tính on đ%nh cua phương trình hàm (A fgfg ) (Afggf ) Tiep theo, xem xét tính őn đ%nh cna phương trình hàm A fgfg Afggf dang mo r®ng khác cna phương trình hàm d’ Alembert Trưóc het, ta xem xét dang phương trình hàm sau: Cho f, g : G → C không đong nhat 0, (G, +) m®t nhóm Abel f (x + y) + g(x − y) = 2f (x)g(y) (Afgfg) f (x + y) + g(x − y) = 2g(x)f (y) (Afggf ) Đ%nh nghĩa 2.2.12 Hàm g : G → C thóa mãn đieu ki¾n (S)-chia het chs g hàm thóa mãn phương trình (S) f (x)f (y) = f ( x+y )2 − f ( x−y )2 (S) đong thài (G, +) m®t nhóm nhat chia het cho (nghĩa vái MQI g ∈ G ton tai so y ∈ G cho 2ny = g) Đ%nh lí 2.2.13 Gia su rang f, g : G → C thóa mãn bat thúc sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2f (x)g(y)| ≤, s ∀x, y ∈ G (2.72) Neu g khơng b% ch¾n (i) f thóa mãn S- chia het cho f (0) = (ii) Hơn nua, bő sung đieu ki¾n g thóa mãn (A) f, g nghi¾m cua phương trình f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y) Chúng minh Do g hàm khơng b% ch¾n nên tù (2.72) ta có the cHQN đưoc m®t dãy {yn} G cho |g(yn)| → ∞ n → ∞ Thay y = yn vào phương trình (2.72) roi chia ca hai ve cho |2f (xn )| cho qua giói han n → ∞, ta thu đưoc: f (x) = lim f (x + yn) + g(x − yn) ∈ , x 2g(yn) G (2.73) n→∞ Thay y lan lưot boi y + yn y − yn áp dung (2.73), ta có |f (x + (y + yn )) + g(x − (y + yn )) − 2f (x)g(y + yn ) f (x + (y − yn) + g(x − (y − yn)) − 2f (x)g(y − yn)| ≤ 2s nên | f ((x + y) + yn) + g((x + y) − yn) 2g(yn) f ((x − y) + yn) + g((x − y) − yn) g ( y + y n ) + g(y − y n ) + − 2f (x) | 2g(yn) 2g(yn) s ≤ , ∀x, y ∈ | )| G g(y n ton tai m®t hàm giói han: +g (−y + yn) k1(y) := lim g(y + yn)g(y n) n→∞ k1 : G → C hàm thoa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x)k1(y), (2.74) ∀x, y ∈ G Hơn nua, neu f (0) = thay vào (2.74) suy f (y) + f (−y) = hay f hàm le M¾t khác, xét phương trình f (x + y)2 − f (x − y)2 = [f (x + y) + f (x − y)][f (x + y) − f (x − y)] = f (x)k1 (y)[f (x + y) − f (x − y)] = f (x)[k1 (y)f (x + y) − k1 (y)f (x − y)] = f (x)[f (x + 2y) − f (x − 2y)] = f (x)[f (2y + x) + f (2y − x)] (2.75) = f (x)f (2y)k1(x) Cho y = x thay vào (2.74) ta thu đưoc f (2x) = f (x)k1(x) nên tù (2.75) ta suy f (x + y)2 − f (x − y)2 = f (2x)f (2y) Đieu vói MQI x, y ∈ G G nhóm chia het Hay g m®t hàm thoa mãn (S)- chia het (ii) Neu g hàm thoa mãn (A) túc g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y) hàm giói han k1(y) đưoc thay the boi 2g(y) Như v¾y tù (2.74) đieu ki¾n trên, suy f, g nghi¾m cna phương trình f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y) Đ%nh lí 2.2.14 Gia su rang f, g : G → C thóa mãn bat thúc sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2f (x)g(y)| ≤ s, (2.76) Neu f khơng b% ch¾n (i) g thóa mãn S- chia het cho g(0) = (ii) Hơn nua, bő sung đieu ki¾n f thóa mãn (A) g thóa mãn g(x + y) + g(−x + y) = 2f (x)g(y) ∀x, y ∈ G Chúng minh Do f hàm khơng b% ch¾n nên tù (2.76) ta có the cHQN đưoc m®t dãy {xn } G cho ƒ= |f (xn )| → ∞ n → ∞ Thay x = xn vào phương trình (2.76) roi chia ca hai ve cho |2f (xn )| cho qua giói han n → ∞, ta thu đưoc: g(y) = lim f (xn + y) + g(xn − y) , x (2.77) ∈ 2f (xn) n→∞ G Thay x lan lưot boi xn + x xn − x áp dung (2.77), ta có |f ((xn + x) + y) + g((xn − x) − y) − 2f (xn + x)g(y) f ((xn − x) + y) + g((xn − x) − y) − 2f (xn − x)g(y)| ≤ 2s nên | f (xn + (x + y)) + g(xn − (x + y)) 2f (xn) f (xn − (x − y)) + g(xn − (x − y)) f (xn + x) + f (xn − x) + − 2g(y).2f (xn) | 2f s (xn) ≤ |f , ∀x, y ∈ )| (xn G ton tai m®t hàm giói han: k2(x) := lim n→∞ f (xn +−x)x)+ ff (xn (xn) k2 : G → C hàm thoa mãn phương trình g(x + y) + g(−x + y) = k2(x)g(y), ∀x, y ∈ G (2.78) Hơn nua, neu g(0) = thay vào (2.78) suy g(y) + g(−y) = hay g hàm le M¾t khác, xét phương trình g(x + y)2 − g(−x + y)2 = [g(x + y) + g(−x + y)][g(x + y) − g(−x + y)] = g(y)k2(x)[g(x + y) − g(−x + y)] = g(y)[k2(x)g(x + y) − k2(x)g(−x + y)] = g(y)[g(2x + y) − g(−2x + y)] = g(y)[g(y + 2x) + g(−y + 2x)] = g(y)g(2x)k2(y) Cho x = y thay vào (2.78) ta thu đưoc g(2y) = g(y)k2(y) (2.79) nên tù (2.79) ta suy g(x + y)2 − g(−x + y)2 = g(2x)g(2y) Đieu vói MQI x, y ∈ G G nhóm chia het Hay g m®t hàm thoa mãn (S)- chia het (ii) Neu f hàm thoa mãn (A) túc f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) hàm giói han k2(x) đưoc thay the boi 2f (x) Như v¾y tù (2.78) suy g thoa mãn g(x + y) + g(−x + y) = 2f (x)g(y) Đieu phai chúng minh Đ%nh lí 2.2.15 Gia su rang f, g : G → C thóa mãn bat thúc sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ s, ∀x, y ∈ G (2.80) Neu f không b% ch¾n (i) g thóa mãn S- chia het cho g(0) = (ii) Hơn nua, bő sung đieu ki¾n f thóa mãn (A) g thóa mãn (A) Chúng minh Do f hàm không b% chắn nờn tự (2.80) ta cú the cHQN oc mđt dãy {yn } G cho ƒ= |f (yn )| → ∞ n → ∞ Thay y = yn vào phương trình (2.80) roi chia ca hai ve cho |2f (xn)| cho qua giói han n → ∞ ta đưoc g(x) = lim f (x + yn) + g(x − y∀n)∈ , x 2f (yn) G n→∞ Thay y boi y + yn −y + yn, ton tai m®t hàm giói han: k3(y) := lim f (yn +−y)y)+ ff (yn n→∞ (yn) k3 : G → C hàm thoa mãn phương trình g(x + y) + g(x − y) = k3(y)g(x), ∀x, y ∈ G Chúng minh tương tn đ%nh lý ta có đieu phai chúng minh Đ%nh lí 2.2.16 Gia su rang f, g : G → C thóa mãn bat thúc sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ s, ∀x, y ∈ G (2.81) Neu g khơng b% ch¾n (i) f thóa mãn S- chia het cho f (0) = (ii) Hơn nua, bő sung đieu ki¾n g thóa mãn (A) f, g thóa mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y) Chúng minh Do g hàm khơng b% ch¾n nên tù (2.81), thay x boi xn + x xn − x, tương tn chúng minh o đ%nh lý trưóc Ta có ieu phai chỳng minh Ket luắn Luắn "Mđt so van đe ve őn đ%nh cna phương trình hàm dang tốn liên quan" t¾p trung nghiên cúu van e sau: Trỡnh by mđt cỏch hắ thong dang phương trình hàm Cauchy phương trình hàm D’ Alambert đong thịi đưa đưoc nghi¾m tính chat nghi¾m cna phương trình hàm Đưa đ%nh lý ve tính őn đ%nh cna phương trình hàm Cauchy cu the phương trình hàm c®ng tính, nhân tính, logarit phương trình hàm D’ Alambert cu the phương trình hàm cosin, phương trình hàm Wilson (Afg), (Agf ) (Agg) phương trình hàm dang (A fgfg ) (Afggf ) M¾c dù rat co gang, van đe đưoc đe c¾p lu¾n văn tương đoi phúc tap thịi gian có han, v¾y lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý kien cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn chinh 77 Tài li¾u tham khao [1]Nguyen Văn M¾u, Láp phương trình hàm Cauchy, d’ Alembert dang tốn liên quan, H®i thao Khoa HQc: Các chun đe chuyên Toán boi dưõng HQc sinh gioi [2]T Acze’l(1966), Lectures on functional equations and their applications, Acedemic Press, New York/ San Fancisco/ London [3]R Badora and R Ger(1998), On the stability of cosine functional equation, Wyzszkola Red Krakow Rocz Nauk-Dydakt, Pr Mat, 15, 1-14 [4]J A Baker(1980), The stability of the cosine equation, Proc Am Math Soc 80, 411-416 [5]D G Bourgin(1949), Approximately isometric and multiplicative transfor- mations on continuous function rings, Duke Math J, 16, 385397 [6]G L Forti(1987), The Stability of homomorphisms and amenability with applications to functional equations, Abh Math, Semin Univ Hamb, 57, 215-226 [7]Z Gajda(1991), On stability of additive mappings, Int J Math Math Sci, 14, 431-434 Zbl: 721.39006 [8]G Gaudet and M Moreaux(1990), Price versus quantity rules in dynamics competition, The case of nonrenewable natural resouces, Int Econ Rev, 31, 639-650 [9]R.Ger(1994), A survey of recent results on stability of functional equations, in Proceedings of the 4th International Conference on Functions and Inequalities, Pedagogical Universityin Cracow, 5-36 [10] D H Hyper(2011), Hyers-Ulam- Rassias Stability of Equations in Nonlinear Analysis, Jung, Springer, 19-30 78 Functional TÀI LI›U THAM KHAO [11] D H Hyper, G Isac and Th M Russias(1998), Stability of Functional Equations in Several Variables, Birkhauser, Boston [12] PL Kannappan(2008), Functional Equations and Inequalities with Applica- tions, Springer [13] Pl Kannappan(1968) The functional equation f (xy) + f (xy−1) = 2f (x)f (y) for groups, Proc Am Math, Soc, 19, 69 - 74 [14] Gwang Hui Kim and Sever S Dragomir(2006), On the stability of general- ized D’ Alembert and Jensen functional equations, International Journal of Mathematics and Mathematical Siences, Volume 2006, 1-12 [15] C Kusollerchariya and P Nakmahachalasint(2008) The stability of the Pex- iderized Cosine Functional Equations, Thai Journal of Mathematics [16] C H Morgan(1995) The stability of Cauchy’ s equation in Banach Spaces, Thesis of the university of Louisville [17] Pl Kannappan and G H Kim(2001), On the stability of the generalized consine functional equations, Stud, Math, Ann, Acad, Paedagogicae Cra- cowiensis, 4, 49-57 [18] L Szekelyhidi(2000), Ulam’s problem, Hyper’ s solutions- And to where they led, in Th M Russias- Functional Equations and Inequalities, Vol.518, Kluwer, Dordrecht, 259-285 [19] G Polya and G Szego(1972)Problems and theorems in analysis I, in Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 193, Springer- Verlag, Berlin [20] J Ratz(1980), In General Inequalities 2, Internat, Schriftenreihe Numer, Math, Vol 47 Proceedings on the 18th ISFE, University of Waterloo, Wa- terloo, 22-23 [21] Th M Russias(1978), On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc.Am Math, Soc, 72, 297-300 [22] Th M Russias(1991), On a modified Hyers- Ulam sequence, J Math, Anal, Appl, 154, 106-113 79 TÀI LI›U THAM KHAO [23] Th M Rassias and P Semrl(1993), On the Hyper-Ulam stability of linear mappings, J Math Anal App, 173, 325-338 80 [24] E V Shulman(1996), Group representations and stability of functional equations, J London Math Soc, 54, 111-120 [25] P Semrl(1994), The functional equation of multiplicative derivation is su- perstable on standard operator algebras, Integr Equations Oper Theory, 18, 118-122 [26] L Szekelyhidi(1982), Note on stability theorem, Can Math Bull, 25, 500- 501 [27] L Szekelyhidi(1985), Remark 17, ISFE 22, Aeq Math, 29, 95-96 [28] Lu Xu, Huai- Xin Cao, Wen-Ting Zheng and Zhen- Xia Gao(2010), Super- Stability and Stability of the exponential equations, Journal of Mathematical Inequalities, Volume 4, Number 1, 37-40 ... chúng tơi trình bày khái ni¾m ban ve phương trình hàm Cauchy ban (phương trình hàm c®ng tính, phương trình hàm mũ, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) phương trình hàm D’ Alam-... đ%nh cia phương trình hàm dang tốn liên quan" trỡnh by mđt so khỏi niắm c ban ve phương trình hàm Cauchy ban (phương trình hàm c®ng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) phương trình hàm D’... cna phương trình lóp hàm liên tuc, hàm khơng liên tuc lóp hàm trưịng phúc cna hai phương trình hàm Chương 2: Tính on đ%nh cua phương trình hàm Muc đích cna chương trình bày tính őn đ%nh cna phương