Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan

87 35 0
Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ THU HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Thu Hằng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2012 Lời nói đầu Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực quan trọng Giải tích tốn học Hiện nay, có nhiều cách tiếp cận phương trình hàm với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu tính định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn Trong đó, tính ổn định nghiệm phương trình hàm số hướng nghiên cứu tiếp cận phương trình hàm Năm 1940, nhiều buổi chuyên đề câu lạc toán học trường đại học Washington, S M Ulam đưa nhiều câu hỏi số lượng lớn vấn đề chưa giải Trong đó, ơng có đưa câu hỏi có liên quan đến tính ổn định đồng cấu sau: Cho G1 , G2 hai nhóm, metric nhóm d(., ) tương ứng Với > cho trước, tồn số δ > cho hàm h : G1 → G2 cho bất phương trình: d(h(xy), h(x)h(y)) < δ, ∀x, y ∈ G1 có tồn đồng cấu H : G1 → G2 cho d(h(x), H(x)) < với ∀x ∈ G1 ? Câu hỏi ông đặt tiền đề cho loạt vấn đề nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm, mở hướng điều tra mà ngày ta gọi vấn đề ổn định khái niệm tính ổn định toán học xem vấn đề nhìn nhận rộng sau: thay đổi chút giả thuyết định lý ta khẳng định vấn đề gần đúng? Với phương trình hàm tổng quát câu hỏi đưa sau: giả thuyết nghiệm phương trình có khác với nghiệm phương trình trước khơng? Tương tự ta thay phương trình bất phương trình nghiệm bất phương trình cho có gần với nghiệm phương trình ban đầu i Lời nói đầu Nếu câu trả lời ta nói phương trình Cauchy ổn định Những dạng câu hỏi sở cho tốn tính ổn định Luận văn "Một số vấn đề ổn định phương trình hàm dạng tốn liên quan" trình bày số khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa dạng tổng quát nghiệm tổng quát phương trình hàm lớp hàm liên tục, gián đoạn trường số phức Từ đưa kết tính ổn định phương trình hàm Bố cục luận văn gồm chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm mũ, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa dạng tổng quát nghiệm phương trình lớp hàm liên tục, hàm không liên tục lớp hàm trường phức hai phương trình hàm Chương 2: Tính ổn định phương trình hàm Mục đích chương trình bày tính ổn định phương trình hàm trình bày chương Tính ổn định phương trình hàm nghiên cứu từ năm 1940 mà đặt móng cho vấn đề câu hỏi S M Ulam Năm 1941, D H Hypers người trả lời câu hỏi Ulam, ông cho định lý nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm cộng tính khơng gian Banach Định lý dãy hàm xấp xỉ cộng tính cho trước, tồn hàm cộng tính xấp xỉ dãy hàm cộng tính cho trước đó, hồn tồn tính tốn trực tiếp hàm cộng tính từ hàm cho trước Sau 30 năm sau đó, vào năm 1977, làm nghiên cứu sinh cho trương đại học California, Th M Rassias đưa điều kiện làm yếu điều kiện dạng sai phân Cauchy định lý Hypers Định lý có sức ảnh hưởng lơn đến nhà tốn học nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm.Trong hội nghị khoa học Quốc tế, Th M Rassias đưa câu hỏi để hồn thiện định lý mình, sau Z Gajda người hồn thiện định lý ông Năm 1979, J Baker, J Lawrence F Zorzitto chứng minh xét loạt hàm xác định nửa nhóm có tính chất xấp xỉ mũ (nhân tính) bị chặn hàm mũ (nhân ii Lời nói đầu tính) Tương tự việc xét tính ổn định phương trình hàm Cauchy trên, Forti chứng minh định lý tính ổn định hàm logarit xác định nửa nhóm phương pháp trực tiếp cách chứng minh định lý Hypers.Tiếp theo, chương tiếp tục đưa kết nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm cosin (hay cịn gọi phương trình hàm d’ Alambert), tỉnh ổn định nghiên cứu nhà toán học J Baker P Găvruta Đồng thời, ta mở rộng nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Wilson (Af g ), (Agf ) , phương trình hàm (Af gf g ), (Af ggf ) có liên quan đến phương trình hàm d’ Alambert iii Bảng kí hiệu tập số nguyên tập số nguyên không âm tập số thực dương tập số thực tập số thực khác không tập số thực không âm tập số thực dương tập số phức F trường vô hướng, R C Rez phần thực số phức z = a + bi Imz phần ảo số phức z = a + bi   với x >  1 signx = với x =   −1 với x < Z Z+ Z∗+ R R∗ R+ R∗+ C [0, 1] ]0, 1] = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1} = {x ∈ R|0 < x ≤ 1} ]0, 1[ = {x ∈ R|0 < x < 1} µ(E) độ đo tập E số phức liên hợp z z¯ v Mục lục Lời mở đầu i Lời cảm ơn iv Bảng kí hiệu v CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Phương trình hàm Cauchy 1.1.1 Phương trình hàm cộng tính 1.1.2 Phương trình hàm mũ 1.1.3 Phương trình hàm logarit 1.1.4 Phương trình hàm nhân tính 1.2 Phương trình hàm d’ Alambert TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2.1 Tính ổn định phương trình hàm Cauchy 2.1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính 2.1.2 Tính ổn định phương trình hàm mũ 2.1.3 Tính ổn định phương trình hàm logarit 2.1.4 Tính ổn định phương trình hàm nhân tính 2.2 Tính ổn định phương trình hàm d’ Alembert 2.2.1 Tính ổn định phương trình hàm cosin (A) 2.2.2 Tính ổn định phương trình hàm (Af g ), (Agf ), (Agg ) 2.2.3 Tính ổn định phương trình hàm (Af gf g ) (Af ggf ) 1 18 23 26 29 36 36 36 48 50 52 53 53 60 71 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 vi Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi đề cập đến hai dạng tốn lý thuyết phương trình hàm phương trình hàm Cauchy phương trình hàm D’ Alambert Chúng đóng vai trị nịng cốt để giải lớp hàm khác xác định hàm số đại số lượng giác tương ứng 1.1 Phương trình hàm Cauchy Trong lý thuyết phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy nghiên cứu từ lâu tính chất hữu hiệu việc ngành khoa học tự nhiên Chúng xin đưa số dạng phương trình Cauchy sau: f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm mũ) f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm logarit) f (xy) = f (x)f (y), 1.1.1 (Phương trình hàm cộng tính) (Phương trình hàm nhân tính) Phương trình hàm cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : R → R với R tập số thực, gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) Phương trình hàm (1.1) xem xét A.M Legendre (1791) C F Gauss (1890) sau 30 năm A L Cauchy (1821) người tìm cơng thức nghiệm tổng qt Phương trình có ý nghĩa Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT đặc biệt toán học Nó bắt gặp hầu hết ngành học toán học, khởi đầu phép tính hàm số Lớp hàm cộng tính liên tục Định lí 1.1.2 Cho f : R → R hàm cộng tính Nếu f liên tục f có dạng: f (x) = ax, ∀x ∈ R (1.2) với a số thực Hơn nữa, f hàm xác định với x, y khơng âm dương liên tục f có dạng (1.2) Chứng minh Trước hết, với x = y = từ (1.1) ta thu được: f (0) = Cho y = −x thay vào (1.1) ta thu được: f (0) = f (x) + f (−x) = ⇔ f (−x) = −f (x) vậy, f hàm lẻ Bây giờ, ta f đồng hữu tỷ nghĩa với x ∈ R số r số hữu tỷ thì: (1.3) f (rx) = rf (x) Thật vậy, từ (1.1) phương pháp quy nạp ta thu được: f (x1 + x2 + + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) với xk = x, (k = 1, 2, , n) thay vào phương trình ta có: f (nx) = nf (x), ∀n ≥ (1.4) Hơn nữa, với số n nguyên âm, sử dụng f hàm lẻ (1.4) ta thu được: f (nx) = −f (−nx) = −(−n)f (x) = nf (x) Do (1.4) với số n nguyên Với số hữu tỷ r có dạng r = m = nr Ta có: f (nrx) = f (mx) ⇔ nf (rx) = mf (x) m ⇔ f (rx) = f (x) = rf (x), n ∀x ∈ R m n ⇒ Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Như f hữu tỷ Do lấy f (1) = c cho x = thay vào (1.3) ta có: f (r) = rf (1) = cr ∀r ∈ Q Từ suy f hàm tuyến tính tập số hữu tỷ Mặt khác, giả sử f hàm cộng tính, liên tục tập số thực Với số thực x tùy ý ln tồn dãy {rn } số hữu tỷ với rn → x Do f cộng tính nên f tuyến tính tập số hữu tỷ Nghĩa f (rn ) = arn , ∀n ∈ N Sử dụng tính liên tục hàm f ta có: f (x) = f ( lim rn ) = lim arn = ax n→∞ n→∞ Nhận xét: Như vậy, từ định lý ta thấy hàm cộng tính có tính liên tục tuyến tính nghĩa đồ thị hàm cộng tính liên tục có dạng đường thẳng (không thẳng đứng) qua gốc tọa độ Hơn nữa, tính liên tục hàm f (1.1) làm yếu chí điều kiện liên tục trở thành liên tục điểm hàm f có dạng tuyến tính Điều G Darboux chứng minh định lý sau Định lí 1.1.3 Nếu f liên tục điểm x0 ∈ R cho trước f thỏa mãn tính cộng tính liên tục R Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết ta có: lim f (x) = f (x0 ), x→x0 với x1 ∈ R ta có: f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) ∀x ∈ R Từ suy ra: lim f (x) = lim f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) x→x1 x→x1 = f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ) Vì x1 ∈ R tùy ý nên f hàm liên tục tập R Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM • Trong trường hợp (ii), tương tự định lý 2.5.5, ta f không bị chặn g không bị chặn Thật vậy, thay y = vào (ii) (2.53) ta thu |f (x) − g(x)f (0)| ≤ φ(0) , ∀x ∈ G (2.59) Nếu g bị chặn từ (2.59) ta có |f (x)| = |f (x) − g(x)f (0) + g(x)f (0)| ≤ ϕ(0) + |g(x)f (0)|, (2.60) Từ suy f hàm bị chặn Mặt khác, f bị chặn, ta chọn y0 ∈ G cho f (y0 ) = sử dụng (ii) (2.53) ta có |g(x)| − |f (x + y0 ) + f (x − y0 )| f (x + y0 ) + f (x − y0 ) ϕ(y0 ) ≤| − g(x)| ≤ 2|f (y0 )| 2f (y0 ) 2|f (y0 )| (2.61) điều g bị chặn G Tương tự, f (hoặc g ) không bị chặn g (hoặc f ) Giả sử g khơng bị chặn, f khơng bị chặn Khi ta chọn dãy {xn } {yn } G cho g(xn ) = |g(xn )| → ∞, f (yn ) = |f (yn )| → ∞ n → ∞ Thay x = xn vào (ii) (2.53) ta thu f (xn + y) + f (xn − y) = f (y), n→∞ 2g(xn ) lim ∀y ∈ G (2.62) Sử dụng (2.53) ta có |f ((xn + x) + y) + f ((xn + x) − y) − 2g(xn + x)f (y) + f ((xn − x) + y) + f ((xn − x) − y) − 2g(xn − x)f (y)| ≤ 2ϕ(y), (2.63) với x, y ∈ G với n ∈ N Do đó, | f (xn + (x + y)) + f (xn − (x + y)) 2g(xn ) f (xn + (x − y)) + f (xn − (x − y)) g(xn + x) + g(xn − x) −2 f (y)| 2g(xn ) 2g(xn ) ϕ(y) ≤ , |g(xn )| (2.64) với x, y ∈ G n ∈ N Cho n → ∞ sử dụng giả thiết |g(xn )| → ∞ (2.62) Vì từ (i) g thỏa mãn (A), nên f g thỏa mãn Af g Sử dụng 66 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM (ii) (2.53) lần ta có |f ((xn + y) + x) + f ((xn + y) − x) − 2g(xn + y)f (x) + f ((xn − y) + x) + f ((xn − y) − x) − 2g(xn − y)f (x)| ≤ 2ϕ(x) (2.65) f (xn + (x + y)) + f (xn − (x + y)) 2g(xn ) f (xn + (x − y)) + f (xn − (x − y)) g(xn + y) + g(xn − y) + − 2f (x) 2g(xn ) 2g(xn ) ϕ(x) ≤ , |g(xn )| (2.66) | với x, y ∈ G với n ∈ N.Sử dụng (2.64) giả thiết g thỏa mãn (A), bất đằng thức cuối suy f g nghiệm (Agf ) Điều phải chứng minh Bổ đề 2.2.8 (Kannappan Kim [16]) Cho bất phương trình ≥ f, g : G → C thỏa mãn |f (x + y) + f (x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ , ∀x, y ∈ G (Agf a) với f thỏa mãn điều kiện (K), (G, +) nhóm f g đồng thời bị chặn g thỏa mãn điều kiện (A) f g thỏa mãn điều kiện (Agf ) (Af g ) Hơn nữa, trường hợp tồn (đồng cấu) hàm mũ E : G → C∗ thỏa mãn (E) cho: b f (x) = (E(x) + E(−x)), 2 g(x) = (E(x) + E(−x)), với x ∈ G, b số Chứng minh Ta xét hàm không tầm thường (f = 0) Đặt y = (Agf a) ta có: |f (x) − g(x)f (0)| < với x ∈ G Nếu g bị chặn sử dụng điều ta có: |f (x)| = |f (x) − g(x)f (0) + g(x)f (0)| ≤ + |g(x)f (0)| 67 (2.67) Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM điều f bị chặn Mặt khác, f bị chặn, ta chọn y0 cho f (y0 ) = sử dụng (Agf a) |g(x)| − f (x + y0 ) + f (x − y0 ) f (x + y0 ) + f (x − y0 ) ≤ − g(x) ≤ 2f (y0 ) 2f (y0 ) 2|f (y0 )| g hàm bị chặn G Điều dễ dàng f g khơng bị chặn hàm g f Cho f g không bị chặn có dãy {xn } {yn } G cho g(xn ) = 0, |g(xn )| → ∞ f (yn ) = 0, lim |f (yn )| = ∞ n Trước hết ta g thay thỏa mãn (A) Từ (Agf a) với y = y0 ta thu được: f (x + yn ) + f (x − yn ) − g(x) ≤ 2f (yn ) 2|f (yn )| lim n f (x + yn ) + f (x − yn ) = g(x) 2f (yn ) (2.68) Sử dụng (Agf a) (K) ta có: |f (x + (y + yn )) + f (x − (y + yn )) − 2g(x)f (y + yn ) + f (x + (y − yn )) + f (x − (y − yn )) − 2g(x)f (y − yn )| ≤ nên | f ((x + y) + yn ) + f ((x + y) − yn ) f ((x − y) + yn ) + f ((x − y) − yn ) + 2f (yn ) 2f (yn ) f (y + yn ) + f (y − yn ) − 2g(x) |≤ , với x, y ∈ G 2f (yn ) |f (yn )| sử dụng (2.68) suy ra: |g(x + y) + g(x − y) − 2g(x)g(y)| ≤ g nghiệm (A) Áp dụng (Agf a) hai lần điều kiện (K) trước hết ta có: lim n f (xn + y) + f (xn − y) = f (y) 2g(xn ) (2.68a) |f ((xn + x) + y) + f ((xn + x) − y) − 2g(xn + x)f (y) + f ((xn − x) + y) + f ((xn − x) − y) − 2g(xn − x)f (y)| ≤ 68 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM nên | f (xn + (x + y)) + f (xn − (x + y)) f (xn + (x − y)) + f (xn − (x − y)) + 2g(xn ) 2g(xn ) g(xn + x) + g(xn − x) f (y)| ≤ −2 2g(xn ) |g(xn )| Từ (2.68a) g thỏa mãn (A) ta suy ra: |f (x + y) + f (x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ f g nghiệm (Agf ) Chọn y0 cho f (y0 ) = (Agf ) ta có: g(x) = f (x + y0 ) + f (x − y0 ) 2f (y0 ) nên g thỏa mãn điều kiện (K) Vì g thỏa mãn điều kiện (K), ta thấy tồn đồng cấu (mũ) E : G → C∗ thỏa mãn phần thứ hai (2.53) Cuối cùng, áp dụng (Agf ), (2.68) (K) ta thu được: |f ((xn + y) + x) + f ((xn + y) − x) − 2g(xn + y)f (x) + f ((xn − y) + x) + f ((xn − y) − x) − 2g(xn − y)f (x)| ≤ | f (xn + (x + y)) + f (xn − (x + y)) f (xn + (x − y)) + f (xn − (x − y)) + 2g(xn ) 2g(xn ) g(xn + y) + g(xn − y) − 2f (x) |≤ 2g(xn ) |g(xn )| ta thu kết (Af g ) Từ (Agf ) Af g ta dễ dàng thấy f (x) = bg(x) với số b Điều phải chứng minh Tiếp theo, ta xét tiếp tính ổn định phương trình hàm cos mở rộng sau: f1 (x + y) + f2 (x − y) = 2g1 (x)g2 (y), (Agg ) f1 , f2 , g1 , g2 : R → C Định lí 2.2.9 Cho f1 , f2 , g1 , g2 : R → C thỏa mãn: |f1 (x + y) + f2 (x − y) − 2g1 (x)g2 (y)| ≤ δ, ∀x, y ∈ R (Agg ) g1 bị chặn tồn hàm chẵn h : R → C với h(0) = cho g2 (x + y) + g2 (x − y) = 2g2 (x)h(y) 69 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chứng minh Giả sử g1 khơng bị chặn Khi ta chọn dãy {xn } cho = |g1 (xn )| → ∞ n → ∞ Với n ∈ N, thay x = xn vào (2.68) chia vế bất phương trình |2g1 (xn )| ta có: | δ f1 (xn + y) + f2 (xn − y) − g2 (y)| ≤ 2g1 (xn ) |2g1 (xn )| Vế phải tiến tới n → ∞ Do f1 (xn + y) + f2 (xn − y) n→∞ 2g1 (xn ) ∀y ∈ R g2 (y) = lim (2.69) Thay (x, y) = (xn + y, x) (x, y) = (xn − y, x) vào (2.68) ta có |f1 ((xn + y) + x) + f2 ((xn + y) − x) − 2g1 (xn + y)g2 (x)| ≤ δ |f1 ((xn − y) + x) + f2 ((xn − y) − x) − 2g1 (xn − y)g2 (x)| ≤ δ Sử dụng bất đẳng thức tam giác, từ hai bất đẳng thức ta suy | f1 (xn + (x + y)) + f2 (xn − (x + y)) 2g1 (xn ) f1 (xn + (x − y)) + f2 (xn − (x − y)) + 2g1 (xn ) 2δ g1 (xn + y) + g1 (xn − y) g2 (x)| ≤ −2 2g1 (xn ) |2g1 (xn )| (2.70) Dễ thấy vế phải hội tụ tới không n → ∞ nên ta định nghĩa g1 (xn + y) + g1 (xn − y) n→∞ 2g1 (xn ) ∀ ∈ R h(y) = lim Như h hàm chẵn h(0) = 1, cho n → ∞ (Agg ) ta có g2 (x + y) + g2 (x − y) = 2g2 (x)h(y) ∀x, y ∈ R Trong trường hợp ta thấy g2 hàm khơng bị chặn Định lí 2.2.10 Cho f1 , f2 , g1 , g2 : R → C hàm thỏa mãn |f1 (x + y) + f2 (x − y) − 2g1 (x)g2 (y)| ≤ δ, ∀x, y ∈ R (2.71) g2 hàm bị chặn tồn hàm chẵn h : R → C với h(0) = cho g1 (x + y) + g1 (x − y) = 2g1 (x)h(y), 70 ∀x, y ∈ R Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chứng minh Giả sử g2 không bị chặn, tồn dãy {yn } cho = |g2 (yn )| → ∞ n → ∞ Ta điều tương tự định lý sau: f1 (x + yn ) + f2 (x − yn ) n→∞ 2g2 (yn ) g1 (y) = lim ∀y ∈ R (2.72) Thay (x, y) = (xn + y, x) (x, y) = (xn − y, x) tương ứng vào (Agg ) trình làm tương tự chứng minh trước Ta suy định nghĩa hàm h sau: g2 (yn + y) + g2 (yn − y) ∀y ∈ R h(y) = lim n→∞ 2g2 (xn ) g1 (x + y) + g1 (x − y) = 2g1 (x)h(y), ∀x, y ∈ R dễ thấy h hàm chẵn h(0) = Hệ 2.2.11 Cho f, g1 , g2 : R → C hàm số thỏa mãn |f (x + y) + f (x − y) − 2g1 (x)g2 (y)| ≤ δ ∀x, y ∈ R Giả sử f hàm chẵn g1 ≡ 0, g2 bị chặn gˆ1 := f (x) f (0) thỏa mãn (A) Chứng minh Lấy f1 = f2 = f định lý 2.5.8, tính chẵn hàm g2 suy trực tiếp từ (2.68) nên ta có điều phải chứng minh 2.2.3 Tính ổn định phương trình hàm (Af gf g ) (Af ggf ) Tiếp theo, xem xét tính ổn định phương trình hàm Af gf g Af ggf dạng mở rộng khác phương trình hàm d’ Alembert Trước hết, ta xem xét dạng phương trình hàm sau: Cho f, g : G → C khơng đồng 0, (G, +) nhóm Abel f (x + y) + g(x − y) = 2f (x)g(y) (Af gf g ) f (x + y) + g(x − y) = 2g(x)f (y) (Af ggf ) Định nghĩa 2.2.12 Hàm g : G → C thỏa mãn điều kiện (S)-chia hết g hàm thỏa mãn phương trình (S) f (x)f (y) = f ( x−y x+y ) − f( ) 2 (S) đồng thời (G, +) nhóm chia hết cho (nghĩa với g ∈ G tồn số y ∈ G cho 2n y = g ) 71 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Định lí 2.2.13 Giả sử f, g : G → C thỏa mãn bất đằng thức sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2f (x)g(y)| ≤, ∀x, y ∈ G (2.72) Nếu g khơng bị chặn (i) f thỏa mãn S - chia hết cho f (0) = (ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện g thỏa mãn (A) f, g nghiệm phương trình f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y) Chứng minh Do g hàm không bị chặn nên từ (2.72) ta chọn dãy {yn } G cho = |g(yn )| → ∞ n → ∞ Thay y = yn vào phương trình (2.72) chia hai vế cho |2f (xn )| cho qua giới hạn n → ∞, ta thu được: f (x + yn ) + g(x − yn ) , n→∞ 2g(yn ) f (x) = lim x ∈ G (2.73) Thay y y + yn y − yn áp dụng (2.73), ta có |f (x + (y + yn )) + g(x − (y + yn )) − 2f (x)g(y + yn ) f (x + (y − yn ) + g(x − (y − yn )) − 2f (x)g(y − yn )| ≤ nên | f ((x + y) + yn ) + g((x + y) − yn ) 2g(yn ) f ((x − y) + yn ) + g((x − y) − yn ) g(y + yn ) + g(y − yn ) + − 2f (x) | 2g(yn ) 2g(yn ) ≤ |g(yn )| , ∀x, y ∈ G tồn hàm giới hạn: g(y + yn ) + g(−y + yn ) n→∞ g(yn ) k1 (y) := lim k1 : G → C hàm thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = f (x)k1 (y), 72 ∀x, y ∈ G (2.74) Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Hơn nữa, f (0) = thay vào (2.74) suy f (y) + f (−y) = hay f hàm lẻ Mặt khác, xét phương trình f (x + y)2 − f (x − y)2 = [f (x + y) + f (x − y)][f (x + y) − f (x − y)] = f (x)k1 (y)[f (x + y) − f (x − y)] = f (x)[k1 (y)f (x + y) − k1 (y)f (x − y)] = f (x)[f (x + 2y) − f (x − 2y)] = f (x)[f (2y + x) + f (2y − x)] (2.75) = f (x)f (2y)k1 (x) Cho y = x thay vào (2.74) ta thu f (2x) = f (x)k1 (x) nên từ (2.75) ta suy f (x + y)2 − f (x − y)2 = f (2x)f (2y) Điều với x, y ∈ G G nhóm chia hết Hay g hàm thỏa mãn (S)- chia hết (ii) Nếu g hàm thỏa mãn (A) tức g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y) hàm giới hạn k1 (y) thay 2g(y) Như từ (2.74) điều kiện trên, suy f, g nghiệm phương trình f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y) Định lí 2.2.14 Giả sử f, g : G → C thỏa mãn bất đằng thức sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2f (x)g(y)| ≤ , ∀x, y ∈ G Nếu f khơng bị chặn (i) g thỏa mãn S - chia hết cho g(0) = (ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện f thỏa mãn (A) g thỏa mãn g(x + y) + g(−x + y) = 2f (x)g(y) 73 (2.76) Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chứng minh Do f hàm không bị chặn nên từ (2.76) ta chọn dãy {xn } G cho = |f (xn )| → ∞ n → ∞ Thay x = xn vào phương trình (2.76) chia hai vế cho |2f (xn )| cho qua giới hạn n → ∞, ta thu được: f (xn + y) + g(xn − y) , n→∞ 2f (xn ) g(y) = lim x ∈ G (2.77) Thay x xn + x xn − x áp dụng (2.77), ta có |f ((xn + x) + y) + g((xn − x) − y) − 2f (xn + x)g(y) f ((xn − x) + y) + g((xn − x) − y) − 2f (xn − x)g(y)| ≤ nên | f (xn + (x + y)) + g(xn − (x + y)) 2f (xn ) f (xn − (x − y)) + g(xn − (x − y)) f (xn + x) + f (xn − x) + − 2g(y) | 2f (xn ) 2f (xn ) ≤ |f (xn )| , ∀x, y ∈ G tồn hàm giới hạn: f (xn + x) + f (xn − x) n→∞ f (xn ) k2 (x) := lim k2 : G → C hàm thỏa mãn phương trình g(x + y) + g(−x + y) = k2 (x)g(y), ∀x, y ∈ G (2.78) Hơn nữa, g(0) = thay vào (2.78) suy g(y) + g(−y) = hay g hàm lẻ Mặt khác, xét phương trình g(x + y)2 − g(−x + y)2 = [g(x + y) + g(−x + y)][g(x + y) − g(−x + y)] = g(y)k2 (x)[g(x + y) − g(−x + y)] = g(y)[k2 (x)g(x + y) − k2 (x)g(−x + y)] = g(y)[g(2x + y) − g(−2x + y)] = g(y)[g(y + 2x) + g(−y + 2x)] = g(y)g(2x)k2 (y) Cho x = y thay vào (2.78) ta thu g(2y) = g(y)k2 (y) 74 (2.79) Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM nên từ (2.79) ta suy g(x + y)2 − g(−x + y)2 = g(2x)g(2y) Điều với x, y ∈ G G nhóm chia hết Hay g hàm thỏa mãn (S)- chia hết (ii) Nếu f hàm thỏa mãn (A) tức f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) hàm giới hạn k2 (x) thay 2f (x) Như từ (2.78) suy g thỏa mãn g(x + y) + g(−x + y) = 2f (x)g(y) Điều phải chứng minh Định lí 2.2.15 Giả sử f, g : G → C thỏa mãn bất đằng thức sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ , ∀x, y ∈ G (2.80) Nếu f khơng bị chặn (i) g thỏa mãn S - chia hết cho g(0) = (ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện f thỏa mãn (A) g thỏa mãn (A) Chứng minh Do f hàm không bị chặn nên từ (2.80) ta chọn dãy {yn } G cho = |f (yn )| → ∞ n → ∞ Thay y = yn vào phương trình (2.80) chia hai vế cho |2f (xn )| cho qua giới hạn n → ∞ ta f (x + yn ) + g(x − yn ) , n→∞ 2f (yn ) ∀x ∈ G g(x) = lim Thay y y + yn −y + yn , tồn hàm giới hạn: f (yn + y) + f (yn − y) n→∞ f (yn ) k3 (y) := lim k3 : G → C hàm thỏa mãn phương trình g(x + y) + g(x − y) = k3 (y)g(x), ∀x, y ∈ G Chứng minh tương tự định lý ta có điều phải chứng minh 75 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM Định lí 2.2.16 Giả sử f, g : G → C thỏa mãn bất đằng thức sau: |f (x + y) + g(x − y) − 2g(x)f (y)| ≤ , ∀x, y ∈ G (2.81) Nếu g không bị chặn (i) f thỏa mãn S - chia hết cho f (0) = (ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện g thỏa mãn (A) f, g thỏa mãn f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)g(y) Chứng minh Do g hàm không bị chặn nên từ (2.81), thay x xn + x xn − x, tương tự chứng minh định lý trước Ta có điều phải chứng minh 76 Kết luận Luận văn "Một số vấn đề ổn định phương trình hàm dạng toán liên quan" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: 1.Trình bày cách hệ thống dạng phương trình hàm Cauchy phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa nghiệm tính chất nghiệm phương trình hàm Đưa định lý tính ổn định phương trình hàm Cauchy cụ thể phương trình hàm cộng tính, nhân tính, logarit phương trình hàm D’ Alambert cụ thể phương trình hàm cosin, phương trình hàm Wilson (Af g ), (Agf ) (Agg ) phương trình hàm dạng (Af gf g ) (Af ggf ) Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 77 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Lớp phương trình hàm Cauchy, d’ Alembert dạng toán liên quan, Hội thảo Khoa học: Các chuyên đề chuyên Toán bồi dưỡng học sinh giỏi [2] T Acze’l(1966), Lectures on functional equations and their applications, Acedemic Press, New York/ San Fancisco/ London [3] R Badora and R Ger(1998), On the stability of cosine functional equation, Wyzszkola Red Krakow Rocz Nauk-Dydakt, Pr Mat, 15, 1-14 [4] J A Baker(1980), The stability of the cosine equation, Proc Am Math Soc 80, 411-416 [5] D G Bourgin(1949), Approximately isometric and multiplicative transformations on continuous function rings, Duke Math J, 16, 385-397 [6] G L Forti(1987), The Stability of homomorphisms and amenability with applications to functional equations, Abh Math, Semin Univ Hamb, 57, 215-226 [7] Z Gajda(1991), On stability of additive mappings, Int J Math Math Sci, 14, 431-434 Zbl: 721.39006 [8] G Gaudet and M Moreaux(1990), Price versus quantity rules in dynamics competition, The case of nonrenewable natural resouces, Int Econ Rev, 31, 639-650 [9] R.Ger(1994), A survey of recent results on stability of functional equations, in Proceedings of the 4th International Conference on Functions and Inequalities, Pedagogical Universityin Cracow, 5-36 [10] D H Hyper(2011), Hyers-Ulam- Rassias Stability of Functional Equations in Nonlinear Analysis, Jung, Springer, 19-30 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] D H Hyper, G Isac and Th M Russias(1998), Stability of Functional Equations in Several Variables, Birkhauser, Boston [12] PL Kannappan(2008), Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer [13] Pl Kannappan(1968) The functional equation f (xy) + f (xy −1 ) = 2f (x)f (y) for groups, Proc Am Math, Soc, 19, 69 - 74 [14] Gwang Hui Kim and Sever S Dragomir(2006), On the stability of generalized D’ Alembert and Jensen functional equations, International Journal of Mathematics and Mathematical Siences, Volume 2006, 1-12 [15] C Kusollerchariya and P Nakmahachalasint(2008) The stability of the Pexiderized Cosine Functional Equations, Thai Journal of Mathematics [16] C H Morgan(1995) The stability of Cauchy’ s equation in Banach Spaces, Thesis of the university of Louisville [17] Pl Kannappan and G H Kim(2001), On the stability of the generalized consine functional equations, Stud, Math, Ann, Acad, Paedagogicae Cracowiensis, 4, 49-57 [18] L Szekelyhidi(2000), Ulam’s problem, Hyper’ s solutions- And to where they led, in Th M Russias- Functional Equations and Inequalities, Vol.518, Kluwer, Dordrecht, 259-285 [19] G Polya and G Szego(1972)Problems and theorems in analysis I, in Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 193, Springer- Verlag, Berlin [20] J Ratz(1980), In General Inequalities 2, Internat, Schriftenreihe Numer, Math, Vol 47 Proceedings on the 18th ISFE, University of Waterloo, Waterloo, 22-23 [21] Th M Russias(1978), On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc.Am Math, Soc, 72, 297-300 [22] Th M Russias(1991), On a modified Hyers- Ulam sequence, J Math, Anal, Appl, 154, 106-113 [23] Th M Rassias and P Semrl(1993), On the Hyper-Ulam stability of linear mappings, J Math Anal App, 173, 325-338 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO [24] E V Shulman(1996), Group representations and stability of functional equations, J London Math Soc, 54, 111-120 [25] P Semrl(1994), The functional equation of multiplicative derivation is superstable on standard operator algebras, Integr Equations Oper Theory, 18, 118-122 [26] L Szekelyhidi(1982), Note on stability theorem, Can Math Bull, 25, 500501 [27] L Szekelyhidi(1985), Remark 17, ISFE 22, Aeq Math, 29, 95-96 [28] Lu Xu, Huai- Xin Cao, Wen-Ting Zheng and Zhen- Xia Gao(2010), SuperStability and Stability of the exponential equations, Journal of Mathematical Inequalities, Volume 4, Number 1, 37-40 80 ... văn "Một số vấn đề ổn định phương trình hàm dạng tốn liên quan" trình bày số khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) phương trình hàm. .. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2.1 Tính ổn định phương trình hàm Cauchy 2.1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính 2.1.2 Tính ổn định phương trình hàm mũ ... đưa dạng tổng quát nghiệm phương trình lớp hàm liên tục, hàm không liên tục lớp hàm trường phức hai phương trình hàm Chương 2: Tính ổn định phương trình hàm Mục đích chương trình bày tính ổn định

Ngày đăng: 23/02/2021, 19:16

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Lời nói đầu

  • Bảng kí hiệu

  • Mục lục

  • Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

  • 1.1 Phương trình hàm Cauchy

  • 1.1.1 Phương trình hàm cộng tính

  • 1.1.2 Phương trình hàm mũ

  • 1.1.3 Phương trình hàm logarit

  • 1.1.4 Phương trình hàm nhân tính

  • 1.2 Phương trình hàm d' Alambert

  • Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM

  • 2.1 Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy

  • 2.1.1 Tính ổn định của phương trình hàm cộng tính

  • 2.1.2 Tính ổn định của phương trình hàm mũ

  • 2.1.3 Tính ổn định của phương trình hàm logarit

  • 2.1.4 Tính ổn định của phương trình hàm nhân tính

  • 2.2 Tính ổn định của phương trình hàm d' Alem-bert

  • 2.2.1 Tính ổn định của phương trình hàm cosin (A)

  • 2.2.2 Tính ổn định phương trình hàm (Afg), (Agf ), và  (Agg)

  • 2.2.3 Tính ổn định của phương trình hàm (Afgfg) và  (Afggf )

  • Kết luận

  • Tài liệu tham khảo

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan