Giải hệ phương trình kích thước lớn và điều kiện xấu trên bó máy tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Tien Dũng GIÂI Hfi PHƯƠNG TRÌNH KÍCH THƯéC LéN VÀ ĐIEU KIfiN XAU TRÊN BĨ MÁY TNH LUắN N TIEN S TON HOC H Nđi 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Tien Dũng GIÂI Hfi PHƯƠNG TRÌNH KÍCH THƯéC LéN VÀ ĐIEU KIfiN XAU TRÊN BĨ MÁY TÍNH Chun ngành: Bao đam tốn HQC cho máy tính h¾ thong tính tốn Mã so: 62 46 35 01 LU¾N ÁN TIEN SĨ TỐN HOC Ngưèi hưéng dan khoa HQC: GS.TSKH PHAM KỲ ANH LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cua riêng tơi dưói sn hưóng dan cua GS Pham Kỳ Anh Các so li¾u, ket qua trình bày lu¾n án trung thnc chưa tùng đưoc công bo bat kỳ cơng trình khác Nghiên cúu sinh Vũ Tien Dũng i LèI CÂM ƠN Trưóc het tơi xin gui lịi cam ơn chân thành sâu sac tói Thay hưóng dan, GS TSKH Pham Kỳ Anh Trong suot q trình thnc hi¾n lu¾n án, tơi ln nh¾n đưoc sn giúp đõ t¾n tình, q báu cua Thay Nhò nhung ý tưong mà Thay goi ý, nhung góp ý, hưóng dan cua Thay, nhung tài li¾u bo ích mà Thay cung cap nhung cuđc trao oi thỳ v% cựng Thay ve cụng viắc nghiên cúu, tơi hồn thành đe tài cua Và ca, suot q trình HQC t¾p trưóc q trình thnc hi¾n lu¾n án, tơi ln cam nh¾n đưoc tình thương q, tin u cua thay ginh cho tụi, sn đng viờn khớch lắ cua thay tụi gắp khú khn tao đng lnc cho tơi vung tin thnc hi¾n q trình nghiên cúu Đoi vói cá nhân tơi, thay khơng chi đơn thuan ngưịi hưóng dan khoa HQC mà cịn ngưịi cha thú hai cua Tôi xin chân thành cam ơn thay anh ch% em B® mơn Tin HQC, Khoa Tốn-Cơ-Tin HQC, đ¾c bi¾t GS TS Đ¾ng Huy Ru¾n, PGS TS Nguyen Huu Ngn, PGS TS Đő Trung Tuan, PGS TS Lê TRQNG Vĩnh, TS Nguyen Th% Minh Huyen, ln chia se, đ®ng viên, tao đieu ki¾n thu xep cơng vi¾c thu¾n loi, giúp đõ tơi rat nhieu vi¾c hồn thành lu¾n án Tơi xin chân thành cam ơn thay cô, anh ch% ban Xemina "Tốn HQC tính tốn" ve nhung thao lu¾n góp ý buoi Xemina Đ¾c bi¾t, tơi xin chân thành cam ơn GS TSKH Nguyen Huu Cơng, PGS TSKH Vũ Hồng Linh, PGS TS Nguyen Huu Đien, GS TS Đ¾ng Quang Á, PGS TSKH Pham Huy Đien, PGS TS Nguyen Minh Tuan, TS Nguyen Trung Hieu giúp đõ, góp nhung ý kien xác đáng đe lu¾n án đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn thay anh ch% em Trung tâm Tính tốn Hi¾u cao, ĐHKHTN, HQG H Nđi Trong suot thũi gian HQC trúc trình nghiên cúu sinh, Trung tâm tao đieu ki¾n cho tơi đưoc tìm hieu tiep c¾n phương ti¾n, máy móc tao mơi trưịng làm vi¾c thu¾n loi đe tơi có the thnc hi¾n đe tài cua Tơi rat biet ơn Trưịng ĐHKHTN, ĐHQG Hà N®i Cơng tác quan lý đào tao mơi trưịng nghiên cúu cua Trưịng góp phan khơng nho đe cho lu¾n án đưoc hồn thành dn đ%nh Xin chân thành cam ơn TS Cao Văn Chung, Lê Trung Kiên, Nguyen Trung Kiên, Nguyen Th% Thanh Lan, Vũ Anh My, Đ¾ng Văn Hieu ban khác, nhung ngưòi chia se, giúp đõ ve nhieu m¾t, đe tơi có the hồn thành q trình nghiên cúu cua Tơi xin gui lịi cam ơn tói Quy Phát trien Khoa HQC Cơng ngh¾ Quoc gia Vi¾t Nam (NAFOSTED) Luắn ỏn ny oc h tro mđt phan ve m¾t tài boi Quy, khn kho Đe tài Nghiên cúu khoa HQC ban mã so 101.02.4209 Cuoi cùng, tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac tói me nhung ngưịi thân gia đình, nhung ngưịi cam thơng chia se MQI khó khăn suot nhung năm tháng qua đe tơi có the hồn thành lu¾n án Lu¾n án này, nhung tơi co gang thnc hi¾n, đe gui tói cha, me, vo nhung ngưịi thân gia đình, vói tat ca lịng biet ơn sâu sac nhat Mnc lnc Lèi cam đoan i Lèi cam ơn .ii Danh mnc ký hi¾u chE viet tat viii Danh mnc bang x Danh mnc hình ve xi Me đau Chương Kien thÉc chuan b% .12 1.1 Nguyên lý tính tốn song song 12 1.1.1 Kien trúc máy tính song song .13 1.1.2 L¾p trình song song .21 1.1.3 Đánh giá hi¾u qua cua tính tốn song song 23 1.2 Bài tốn kích thưóc lón, đieu ki¾n xau tốn đ¾t khơng chinh 24 1.2.1 Bài tốn kích thưóc lón 24 1.2.2 Bài tốn đ¾t khơng chinh tốn đieu ki¾n xau 27 1.2.3 Mđt so phng phỏp hiắu chinh 30 1.2.4 Quy trình giai m®t tốn kích thưóc lón đieu ki¾n xau bó máy tính .32 1.2.5 M®t so phương pháp tuan tn song song giai h¾ phương trình tốn tu .33 Chương Phương pháp song song giai h¾ phương trình tốn tE tuyen tính Éng dnng 35 2.1 Phương pháp chinh l¾p song song 36 2.2 Giai h¾ phương trình đai so tuyen tính q xác đ%nh úng dnng tốn khơi phnc anh 38 2.2.1 Phương pháp chinh l¾p hi¾n song song chinh l¾p an song song cho h¾ phương trình đai so tuyen tính xác đ%nh 39 2.2.2 Ưóc lưong sai so cua phương pháp .43 2.3 Thu nghi¾m so .46 2.3.1 Giai h¾ phương trình đai so tuyen tính q xác đ%nh 46 2.3.2 Bài tốn khơi phnc anh đa cap xám 52 2.4 Phương pháp song song tồn phan giai m®t lóp phương trình đao hàm riêng đai so .61 2.4.1 Phân rã tốn biên cho phương trình đao hàm riêng đai so thành tốn biên cho phương trình elliptic phương trình parabolic .62 2.4.2 Phương pháp phân rã song song giai tốn biên cho phương trình elliptic parabolic .67 2.4.3 Thu nghi¾m so .70 Chương Phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton song song giai h¾ phương trình tốn tE phi tuyen Éng dnng 75 3.1 Phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton phương pháp chinh l¾p Gauss -Newton song song 76 3.2 Sn hđi tn cua phng phỏp chinh lắp Gauss-Newton song song 80 3.3 Áp dnng cho h¾ phi tuyen dưói xác đ%nh 86 3.4 H¾ phương trình có cau trúc thưa 92 3.5 Moi liên h¾ giua phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton song song phương pháp chinh l¾p song song .95 Ket lu¾n 97 Danh mnc cơng trình khoa HQC cua tác gia liên quan đen lu¾n án 99 Tài li¾u tham khao 100 Danh mnc ký hi¾u chE viet tat (·, ·) Tích vơ hưóng (ho¾c tích đoi ngau) ǁxǁ Chuan cua véc tơ x ǁDǁ Chuan cua ma tr¾n D F J (x) Đao hàm Frechet cua F tai điem x cond(A) >> So đieu ki¾n cua ma tr¾n A Ký hi¾u lón nhieu AT Ma tr¾n chuyen v% cua ma tr¾n A Toeplitz Ma tr¾n Toeplitz vec(F) Phép dãn ma tr¾n F thành véc tơ ⊗ Tích Kronecker Tốn tu liên hop cua tốn tu A H Không gian Hilbert PIIRM (PEIRM) Phương pháp chinh l¾p an (hi¾n) song song PEIRMm Phương pháp PEIRM vói m bưóc l¾p IRGNM Phương pháp chinh l¾p Gauss Newton PIRGNM Phương pháp chinh l¾p song song Gauss Newton PSU Phương pháp phân rã song song PFS Phương pháp song song vói bưóc phân LW Phương pháp l¾p Landweber TSVD Phương pháp khai trien kỳ d% ch¾t cnt CGLS Phương pháp bình phương toi thieu gradient liên hop x† Nghi¾m cua h¾ phương trình IVP Bài tốn giá tr% ban đau BVP Bài toán biên xδn TOL(REN = T OL/ǁx† ǁ) nmax nmin Nghi¾m xap xi thú n cua x† Sai so (Sai so tương đoi) Tong so bưóc l¾p So n nho nhat sai so tương đoi (REN) cua phương pháp tương úng nho m®t giá tr% cho trưóc span(Vk) Khơng gian sinh boi t¾p k véc tơ IBVP Vk = {v1, , vk} Bài toán biên - ban đau Tp (Ts) Thòi gian (giây) chay song song (tuan tn) Sp = Ts/Tp (Ep = Sp/N) Tý l¾ tăng toc đ (Hiắu suat trung bỡnh mi CPU) SISD n lắnh, đơn dịng du li¾u SIMD Đơn l¾nh, đa dịng du li¾u MISD Đa l¾nh, đơn dịng du li¾u MIMD Đa lắnh, a dũng du liắu VPU Bđ xu lý vộc tơ SM_MIMD Kien trúc máy tính đa l¾nh, đa dịng du liắu vúi bđ nhú chia se DM_MIMD Kien trỳc mỏy tớnh a lắnh, a dũng du liắu vúi bđ nhó phân tán UMA Kien trúc máy tính song song vúi bđ nhú chia se truy cắp ngang quyen SMP Máy tính đa b® xu lý đoi xúng NUMA Kien trúc máy tính song song vói b® nhó chia se truy c¾p khơng ngang quyen GPU Đơn v% xu lý đo HQA CUDA Kien trúc thiet b% tính tốn hop nhat 3.5 Moi liên h¾ giEa phương pháp chinh l¾p Gauss- Newton song song phương pháp chinh l¾p song song Do phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton song song dùng đe giai h¾ phương trình phi tuyen, nên ta có the su dnng phương pháp đe giai h¾ phương trình tuyen tính Khi đó, phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton song song, có the viet lai đơn gian sau: (BT Bi + βnI)xδ i = BT yδ , i = 1, , N, n+1,i = xδ N n+1 i (3.32) i N xδ ∑ i= (3.33) n+1,i Tuy nhiên, βn gan tói 0, phương trình (3.32) tro nên khơng on đ%nh M¾t khác, phương pháp chinh l¾p an song song có dang Σ BT Bδ δi + (γn + i N, N αn Σ n γnzn + BT δgδ i, )I zi = i = z N zi ∑n N i=1 n+1 i = 1, 2, , (3.34) n (3.35) ≥ , Trong trưịng hop h¾ q xác đ%nh, phương trình (3.32) (3.34) có kích thưóc Tuy nhiên, phương trình (3.34) nhị có tham so phân rã, γn → ∞ nên ln on đ%nh Trong trưịng hop h¾ dưói xác đ%nh, phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton song song có the viet lai dưói dang bieu thúc đơn gian sau xδ n+1,i = BT (BiBT + βnI)−1yδ , i = 1, , N, i i xδ n+1 = N (3.36) i N xδ ∑ i= n+1,i (3.37) Nh¾n xét 3.7 Rõ ràng, vi¾c tính tốn n+1, bang bieu thúc (3.36) de dàng nhieu so xδ vái vi¾c tính zi n bang bieu thúc (3.34) kích thưác ma tr¾n can tính ngh%ch đáo bieu thúc (3.36) nhó rat nhieu so vái ma tr¾n can tính ngh%ch đáo bieu thúc (3.34) Do đó, trưàng hap h¾ tuyen tính dưái xác đ%nh, phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton có ưu điem đơn gián hóa tính tốn nhà giám kích thưác đáng ke ma tr¾n can tính nghich đáo so vái phương pháp chinh l¾p an song song KET LU¾N CHƯƠNG Trong chương này, chúng tơi đe xuat m®t phương án song song cua phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton đe giai h¾ phương trình tốn tu đ¾t khơng chinh Dna tính tốn song song, chúng tơi giam thieu đưoc khoi lưong tính tốn node mà khơng can đ¾t thêm đieu ki¾n lên tốn tu Thu nghi¾m so bó máy tính chúng to tính ưu vi¾t cua phương pháp song song cho h¾ phi tuyen dúi xỏc %nh v mđt so hắ cỏc phng trình phi tuyen thưa Ket lu¾n Lu¾n án đe xuat mđt so phng phỏp song song giai hắ phng trình kích thưóc lón đieu ki¾n xau bó máy tính Các ket qua mà lu¾n án thu đưec bao gom: (1)Phương pháp giai h¾ đai so tuyen tính q xác đ%nh dna phương pháp chinh l¾p an song song (PIIRM) phương pháp chinh l¾p hi¾n song song (PEIRM) úng dnng tốn khơi phnc anh (2)Phương pháp song song tồn phan giai m®t lóp phương trình đao hàm riêng đai so (3)Phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton song song (PIRGNM) giai h¾ phương trình toán tu phi tuyen Các phương pháp (1) (3) đưoc xét trưịng hop du li¾u xác du li¾u có nhieu Khi nghi¾m thoa ieu kiắn nguon, toc đ hđi tn cho phng pháp PIRGNM đưoc thiet l¾p Mői phương pháp đe xuat lu¾n án đeu có nhung thu nghi¾m so minh HQA bó máy tính M¾c dù phương pháp đe xuat lu¾n án có the su dnng cho MQI máy tính song song, chúng to huu hi¾u so vói nhieu phương pháp song song khác thnc thi bó máy tính vói b® nhú han che Luắn ỏn me mđt so van đe có the tiep tnc nghiên cÉu: (i)Úng dnng phương pháp giai h¾ đai so tuyen tính q xác đ%nh vào toán xu lý anh (ii)Úng dnng phương pháp chinh l¾p Gauss-Newton song song vào tốn khóp du li¾u đưịng cong m¾t cong (iii)Nghiên cúu phương pháp ket hop giua chinh hóa, phân rã song song rịi rac hóa đe giai h¾ phương trình tốn tu đ¾t khơng chinh Áp dnng đe giai phương trình tích phân loai (iv)Nghiên cúu ky thu¾t phân rã, chia mien khác đe xây dnng phương pháp song song mói Các ket qua chớnh cua luắn ỏn ó ec bỏo cỏo tai: ã Xêmina cua b® mơn Tốn HQC Tính tốn - Khoa Tốn Cơ Tin HQC - Trưịng ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nđi ã Hđi ngh% khoa HQC - Trũng HKHTN, HQG H Nđi nm 2010 ã The 4th International Conference on High-Performance Scientific Computing, Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Hanoi, Vietnam, March 2-6, 2009 • Second Workshop on Computer-Assisted Science, Cybermedia Center, Osaka Univ., Toyonaka, Japan, November 6, 2009 • International Conference on New Directions in Analysis, Ha Noi, August 915, 2010 ã Hđi ngh% ton quoc lan thỳ ve Úng dnng Tốn HQC, Hà N®i, 23 25/12/2010 • International conference on Analysis and Applied Mathematics, Saigon University, Ho Chi Minh City, March 14, 2011 • The 5th International conference on High-Performance Scientific Computing, Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Hanoi, Vietnam, March 5-9, 2012 ã Hđi ngh% Tốn HQC Vi¾t Nam lan thú 8, Nha Trang 10-14/8/2013 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CÛA TÁC GI LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN [1] Vu Tien Dung (2007), "Fully parallel methods for a class of linear par- tial differential-algebraic equations",VNU Journal of Science, Mathematics Physics, 23, pp 201-209 [2]Pham Ky Anh, Vu Tien Dung (2010), "Parallel iterative regularization algorithms for large overdetermined linear systems", International Journal of Computational Methods (SCIE), (4), pp 525 - 537 [3] P K Anh, C V Chung and V T Dung (2011), "Cimmino methods for regularizing nonlinear ill-posed problems", Proc International Conference on Analysis and Applied Mathematics, Saigon Univ HCM City, March 14 2011, pp 67-86 [4]Pham Ky Anh, Vu Tien Dzung (2013), "Parallel iteratively regularized Gauss–Newton method for systems of nonlinear ill-posed equations", International Journal of Computer Mathematics (SCIE), 90 (11), pp 2452-2461 Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1]Pham Kỳ Anh, Nguyen Bưịng (2005), Bài tốn đ¾t khơng chinh, NXB Đai HQC Quoc gia Hà N®i [2]Nguyen Bưịng (2001), Hi¾u chinh tốn bang phương pháp tốn tu n iắu, NXB HQC Quoc gia H Nđi [3]Cao Văn Chung (2012), Phương pháp song song giái toán đ¾t khơng chinh vái tốn tu đơn đi¾u, Lu¾n án Tien sĩ Tốn HQC, Đai HQC Quoc gia Hà N®i [4]Nguyen Thanh Thuy (2006), Nghiên cúu h¾ thong tính tốn hi¾u cao úng dnng mơ phóng v¾t li¾u vi mơ, Báo cáo thnc hi¾n đe tài 5957, Trưịng Đai HQC Bách khoa Hà N®i Tieng Anh [5]Alber Ya I., Ryazantseva I P (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer [6]Andrews, H and Hunt, B (1997), Digital Image Restoration, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [7]P K Anh, C V Chung (2009), "Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations", Appl Math Comput., 212, pp 542550 [8]P K Anh, C V Chung (2011), "Parallel regularized Newton method for nonlinear ill-posed equations", Numer Algorithms, 58 (3), pp 379–398 [9]P K Anh, C V Chung (2011), "On strongly convergent parallel proximal point algorithms", Journal of Science, VNU, Hanoi, 27 (2), pp 67-75 [10]P K Anh, C V Chung (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, 35 (6), pp 649-664 [11]P.K Anh, N.M Tuan and P.D Tuan (2013), "The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels", J Math Anal Appl., 397(2), pp 537-549 [12]Attouch H., Brice n˜o-Arias L M., and Combettes P L (2010), "A Paral- lel Splitting Method for Coupled Monotone Inclusions", SIAM J Control Optim., 48, pp 3246-3270 [13]Almasi G.S., Gottlieb A (1989), Highly Parallel Computing, BenjaminCummings Publishers, Redwood City, California [14]Baker M., Buyya R., Laforenza D (2002), "Grids and Grid Technologies for Wide-Area Distributed Computing", Software—Practice and Experience archive, 32, pp 1437 - 1466 [15]Bakusinskii A B., Goncharskii A V (1989), Ill-posed problems, Numerical Methods and Applications, Moscow Univ Press [16]Bakushinskhii A B (1992), "The problem of the convergence of the iteratively regularized Gauss-Newton method", Computational Mathematics and Mathematical Physics, 32, pp 1353-1359 [17]Bakusinskii A B., Goncharskii A V (1994), Ill-posed Problems: Theory and Applications, Kluwer, Dordrecht [18]Barbara K., Neubauer A., and Scherzer O (2008), Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems, Walter de Gruyter, Berlin - New York [19]Bauschke H H., Borwein J M (1996), "On projection algorithms for solving convex feasibility problems", SIAM Rev., 38, pp 367-426 [20]Bauschke H H., Borwein J M and Lewis A S (1997), "The method of cyclic projections for closed convex sets in Hilbert space", Contemp Math., 204, pp 1-38 [21]Bernstein A J (1966), "Program Analysis for Parallel Processing", IEEE Trans on Electronic Computers, EC-15, pp 757–62 [22]Blaschke B., Neubauer A and Scherzer O (1997), "On convergence rates for the iteratively regularized Gauss-Newton method", IMA Journal of Numeriacal Analysis, 17, pp 421-436 [23]N Buong, N D Dung (2009), "Regularization for a common solution of a system of nonlinear ill-posed equations", Int J Math Anal., (34), pp 1693-1699 [24]N Buong, P V Son (2008), "An explicit iteration method for convex feasibility problems in Hilbert spaces", Appl Math Sci (Hikari), (15), pp 725-734 [25]Burger M and Kaltenbacher B (2006), "Regularizing Newton-Kaczmarz methods for nonlinear ill-posed problems", SIAM Numer Anal., 44, pp 153182 [26]Calvetti D and Reichel L (2002), "Tikhonov regularization of large linear problems", BIT, 43 (2), pp 1-14 [27]Campbell S L and Marszalek W (1996), "The index of an infinite dimensional implicit system", Math Modelling Syst., (1), pp 1-25 [28]Campbell S L and Marszalek W (1997), "DAEs arising from traveling wave solutions of PDEs", J Comput Appl Math., 82 (1-2), pp 41-58 [29]Censor Y (2001), "On sequential and parallel projection algorithms for feasibility and optimization" (Keynote Paper) in: Visualization and Optimization Techniques (Editors: Censor Y and Ding M.), Proceedings of SPIE (SPIE: The International Society for Optical Engineering, Bellingham, WA, USA), 4553, pp 1-9 [30]Censor Y., Gordon D and Gordon R (2001), "Component averaging: An efficient iterative parallel algorithm for large and sparse unstructured problems", Parallel Comput., 27, pp 777-808 [31]Censor Y., Gordon D and Gordon R (2001), "BICAV: An inherently parallel algorithm for sparse systems with pixel-dependent weighting", IEEE Trans Medical Imaging, 20, pp 1050-1060 [32]Combettes P L (2004), "Solving monotone inclusions via compositions of nonexpansive averaged operators", Optimization, 53, pp 475–504 [33]Cunha R.D da, Hopkins T.R (1991), "Parallel Over relaxation Algorithms for systems of Linear Equations", World Transputer user group conference, Sunnyvale transputing ’91 Amsterdam: IOS Press, Vol 1, pp 159-169 [34]De Cezaro A., Haltmeier M., Leitão A., and Scherzer O (2008), "On steepest-descent-Kaczmarz method for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations", Appl Math Comput., 202, pp 596-607 [35]Deuflhard P (1974), "A Modified Newton Method for the Solution of IllConditioned Systems of Nonlinear Equations with Application to Multiple Shooting", Numerische Mathematik, 22, pp 289-316 [36]Deuflhard P., Engl H W and Scherzer O (1948), "A convergence analysis of iterative methods for the solution of nonlinear ill-posed problems under affinely invariant conditions", Inverse Problems, 14, pp 1081-1106 [37]Diniz-Ehrhardt M A., Martinez J M (1993), "A parallel projection method for overdetermined nonlinear systems of equations", Numer Algorithms, 4, pp 241-262 [38]Diniz-Ehrhardt M A., Martinez J M and Santos S A (1994), "Parallel projection methods and the resolution of ill-posed problems", Comput Math Appl., 27, pp 11-24 [39]Eggermont P P B., HermanG T and Lent A (1981), "Iterative algorithms for large partitioned linear systems, with applications to image reconstruction", Linear algebra and its Appl., 40, pp 37-67 [40]Engl H W., Hanke M., and Neubauer A (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht [41]Engl H W., Kunisch K and Neubauer A (1989), "Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems", Inverse Problems, 5, pp 523-540 [42]Evans D.J (1984), "Parallel SOR iterative methods", Parallel Computing, 1, pp 3-18 [43]Gallivan K A., Heath M T., Ng E., Ortega J M, Peyton B W., Plemmons R J., Romine C H., Sameh A H and Voigt R G (1990), "Parallel Algorithms for Matrix Computations", SIAM, Philadelphia [44]Galo J R., Albarreal I., Calzada M C., Cruz J L (2005), "Stability and Convergence of a Parallel Fractional Step Method for the Solution of Linear Parabolic Problems", Applied Mathematics Research eXpress, 4, pp 117142 [45]Golub G.H., Van Loan C.F (1996), "Matrix Computations", The John Hopkins University Press, Second Edition [46]Grindrod P (1996), "The Theory and Applications of Reaction-diffusion Equations", Clarendon Press, Oxford [47]Haltmeier M., Kowar R., Leitão A., and Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for regularizing nonlinear ill-posed equations, I Convergence analysis", Inverse Probl Imaging, (2), pp 289-298 [48]Haltmeier M., Kowar R., Leitão A., and Scherzer O (2007), "Kaczmarz methods for regularizing nonlinear ill-posed equations, II Applications", Inverse Probl Imaging, (3), pp 507-523 [49]Hanke M (1991), "Accelerated Landweber iterations for the solution of illposed equations", Numer Math, 60, pp 341-373 [50]Hansen P C., Nagy J G (2006), Deblurring images: matrices, spectra, and filtering, SIAM [51]Hansen P C (2002), "Deconvolution and regularization with Toeplitz matrices", Numer Algorithms, 29, pp 323-378 [52]Hohage T (1997), "Logarithmic convergence rates of the iteratively regularized Gauss-Newton method for an inverse potential and inverse scattering problem", Inverse Problems, 13, pp 1279-1299 [53]Jin Q N (2000), "On the iteratively regularized Gauss-Newton method for solving nonlinear ill-posed problems", Mathematics of Computation, 69, pp 1603-1623 [54]Kaltenbacher B., Neubauer A and Scherzer O (2008), Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems, Walter de Gruyter, Berlin New York [55]Kennett B L N, Williamson P R (1998), "Subspace Methods for Large Scale Nonlinear Inversion", Mathematical Geophysics: a Survey of Recent Developments in Seismology and Geodynamics, pp 139-154 [56] Kowar R and Scherzer O (2002), "Convergence analysis of a LandweberKaczmarz method for solving nonlinear ill-posed problems", Ill-posed and inverse problems (book series), 23, pp 69-90 [57] Kreji c´ N., Luzˇanin Z., Radeka I (2007), "Newton-like method for nonlin- ear banded block diagonal system" , Applied Mathematics and Computation, 189 (2), pp 1705-1711 [58]Lavrentiev M M (1967), Some improperly posed problems in mathematical physics, Springer, New-York [59]Landweber L (1951), "An Iteration Formula for Fredholm Integral Equations of the first kind", Amer J Math, 73, pp 615-624 [60]Lin P (1997), "A sequential regularization method for time-dependent incompressible Navier-Stokes equation", SIAM J.Numer Math., 34 (3), pp 1051-1071 [61]Liu F., Nashed M Z (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, pp 313344 [62]Leung A W (1989), "Systems of Nonlinear Partial Differential Equations", Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [63]Lewis B and Reichel L (2003), "Parallel deconvolution methods for three dimensional image restoration", Proc SPIE 5205, Advanced Signal Processing Algorithms, Architectures, and Implementations XIII, 291, doi:10.1117/12.507894 [64] Lu T., Neittaanm aăki P and Tai X.-C (1992), "A parallel splitting up method for partial differential equations and its application to NavierStokes equations", RAIRO Math Model Numer Anal., 26 (6), pp 673-708 [65]Lucht W., Strehmel K and Eichler-Liebenow C (1997) , "Linear Partial Differential Algebraic Equation", Report No 18 , pp 430-450 [66]Lucht W., Strehmel K and Eichler-Liebenow C (1999), "Indexes and Special Discretization Methods for Linear Partial Differential Algebraic Equations", BIT, 39 (3), pp 484-512 [67]Mai G.C and De Rose C.A.F (2000), "Low Cost Cluster Architectures for Parallel and Distributed Processing", CLEI Electonic Journal (1), pp 1-9 [68]Marszalek W (1997), "Analysis of partial differential algebraic equations", PhD thesis, North Carolina State University, Raleigh, NC [69]Marszalek W ,Trzaska Z (2002), "A Boundary-value problem for linear PDAEs", Int.J.Appl.Math.Comput.Sci, 12 (4), pp 487-491 [70]Nair M.T and Pereverzev S.V (2007), "Regularized collocation method for Fredholm integral equations of the first kind", J Complexity , 23, pp 454467 [71] Niethmmer W (1989), "The SOR method on parallel computers", Numer Math., 56, pp 247-254 [72]Oldenburg D.W., McGillvary P.R., Ellis R.G (1993), "Generalized Subspace Methods for Large Scale Inverse Problems", Geophys J Int., 114, pp 12-20 [73]Oldenburg D W., Li Y (1994), "Subspace Linear Inverse Method", Inverse Problems, 10, pp 915-935 [74]Paige C C., Saunder M A (1982), "LSQR: an Algorithm for Sparse Linear Equations and Sparse Least Squares", ACM Trans Math Software, 8, pp 195-209 [75]Saad, Y and van der Vorst, H.A (2000), "Iterative solution of linear systems in the 20th century", J Comput Appl Math., 123, pp 1-33 [76]Scherzer O., Engl H W and Kunisch K (1993), "Optimal a posteriori parameter choice for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems", SIAM Journal on Numerical Analysis, 30, pp 1796-1838 [77]Scherzer O., Grasmair M., Grossauer H., Haltmeier M., Lenzen F (2008), "Variational Methods in Imaging", Applied Mathematical Sciences, 167, Springer [78]Simeon B (1996), "Modelling a flexible slider crank mechanism by mixed system of DAEs and PDEs", Math Modelling Syst., 2(1), pp 1-18 [79]Tautenhahn U (2002), "On the method of Lavrentiev regularization for nonlinear ill-posed problems", Inverse Problems, 18, pp 191-207 [80] Varah J M (1983), "Pitfalls in Numerical Solutions of Linear Ill-Posed Problems", Siam J Sci Comp., 4, pp 164-176 [81] Van Huffel, S., Vandewalle, J (1991), The Total Least Square Problem, SIAM Philadelphia [82] Vogel C R (2002), Computational Methods for Inverse Problems, SIAM Philadelphia [83]Weickert J (1996), "Navier-Stokes equations as a differential-algebraic system", Preprint SFB 393/96-08, Technische Universitaăt ChemnitzZwickau [84]Xie D and Adams L (99), "New parallel method by domain partitioning", SIAM J Sci Comput, 20 (6), pp 2261-2281 [85]Zhang C , Hong Lan, Yang Y E , Estrade B D (2005), "Parallel SOR Iterative Algorithms and Performance Evaluation on a Linux Cluster", Proceedings by the International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications (PDDTA 2005), CSREA Press, 1, pp 263-268 [86]Zilli G and Bergamaschi L (1999), "Parallel Newton methods for sparse systems of nonlinear equations", Rend Circ Mat Palermo (II), 58, pp 247257 Tieng Nga [87] Бакушинский А Б., Гончарский А В (1989), Некорректные задачи: Численные методы и приложения, Издательство Московского университета [88] Тихонов А Н (1963), "O решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации", Доклады Академии наук СССP, 151 (3), C 501504 [89] Тихонов А Н (1963), "О регуляризации некорректных задач", Доклады Академии наук СССP, 153, C 49-52 Tieng Pháp [90]Hadamard J (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris ... KHOA HOC TU NHIÊN Vũ Tien Dũng GIÂI Hfi PHƯƠNG TRÌNH KÍCH THƯéC LéN VÀ ĐIEU KIfiN XAU TRÊN BĨ MÁY TÍNH Chun ngành: Bao đam tốn HQC cho máy tính h¾ thong tính tốn Mã so: 62 46 35 01 LU¾N ÁN TIEN... lý cua tính tốn song song, bao gom kien trúc máy tính song song, l¾p trình song song bao đam tốn HQC cho bó máy tính bang thu¾t tốn song song Lu¾n án giói thi¾u chi tiet ve hai bó máy tính IBM... TRQNG quyet đ%nh xu hưóng cua tính tốn hi¾u cao liên quan đen van đe xây dnng siêu máy tính phan mem chay Ő vào thịi điem năm 1980, m®t siêu máy tính phai máy tính có kha tính tốn 100 Mflops (Mflops: