HỆ THỐNG THƯỞNG - PHẠTTRONG ĐỊNH PHÍ BẢO HIỂM Ô TÔ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC HỆ THỐNG THƯỞNG - PHẠT TRONG ĐỊNH PHÍ BẢO HIỂM Ơ TƠ ĐỒ ÁN II Chun ngành: TOÁN TIN Chuyên sâu: Các Phương pháp ngẫu nhiên Giảng viên hướng dẫn: TS HÀ BÌNH MINH Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THẾ LÂM Lớp: Toán Tin K57 HÀ NỘI – 2015 NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN Mục đích nội dung đồ án: Kết đạt được: Ý thức làm việc sinh viên: Hà Nội, ngày tháng năm Giảng viên hướng dẫn MỤC LỤC Abstract Hệ thống thưởng phạt (Bonus-malus) kỹ thuật đánh giá sử dụng hầu hết châu Âu châu Á, số nước Mỹ - Latinh Châu Phi Những hợp đồng bảo hiểm mức rủi ro định chia thành lớp thưởng – phạt Lịch sử bồi thường họ xác định xem họ lớp tái tục hợp đồng Lý thuyết xích Markov cung cấp công cụ cho việc thiết kế, phát triển so sánh hệ thống Trong đồ án này, định nghĩa (chương 3) sở (chương 2) hệ thống Thưởng – Phạt đưa Nhưng trước phần khảo sát cách thức thị trường bảo hiểm ô tô Việt Nam hoạt động Giới thiệu Hầu phát triển, công ty bảo hiểm sử dụng số hình thức khen – thưởng, việc phân loại thành biến khác để định giá bảo hiểm trách nhiệm pháp lý bên thứ ba tơ Các cơng ty bảo hiểm có xu hướng sử dụng nhiều hệ thống biến ưu tiên, chẳng hạn độ tuổi, giới tính, nhân tình trạng kinh nghiệm lái xe hợp đồng bảo hiểm, xe mơ hình, sử dụng xe ô tô, quận nơi cư trú,… Một số hệ thống đơn giản kiểu Bảo Việt (được đưa chương 1) Hệ thống thưởng phạt giới thiệu vào năm 1960 Seminal Delaport, Bichsel Buhl-man CHƯƠNG 1: TÌM HIỂU THỊ TRƯỜNG BẢO HIỂM Ơ TƠ TẠI VIỆT NAM DANH MỤC CÁC DOANH NGHIỆP BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ Năm 2014, có 61 doanh nghiệp thuộc thành phần kinh tế tham gia hoạt động kinh doanh bảo hiểm, bao gồm 23 công ty TNHH thành viên, 11 công ty TNHH thành viên trở lên, 26 công ty cổ phần 01 chi nhánh doanh nghiệp bảo hiểm phi nhân thọ nước Việt Nam Bảng 1: Danh sách công ty bảo hiểm Phi nhân thọ ST T Tên Công ty Năm thành lập Tổng công ty bảo hiểm Bảo Việt (Bảo hiểm Bảo Việt) 1964 Tổng công ty cổ phần Bảo Minh (Bảo Minh) 1994 Tổng công ty cổ phần bảo hiểm Petrolimex (Pjico) 1995 Tổng công ty cổ phần bảo hiểm Nhà Rồng (Bảo Long) 1995 Vốn điều lệ góp (tỷ đồng) 1.800 755 709 336 Tổng công ty bảo hiểm PVI (PVI) 1996 Công ty liên doanh bảo hiểm Bảo Việt - Tokio Marine (Bảo Việt - Tokio Marine) 1996 Công ty bảo hiểm Liên hiệp (UIC) 1997 Tổng công ty cổ phần bảo hiểm Bưu điện (PTI) 1998 10 Công ty TNHH bảo hiểm tổng hợp Groupama Việt Nam (Groupama) Tổng công ty TNHH thành viên bảo hiểm Ngân hàng công thương Việt Nam (Bảo Ngân) 2001 2002 11 Công ty TNHH bảo hiểm Samsung Vina (Samsung Vina) 2002 12 Công ty cổ phần bảo hiểm Viễn Đông (VASS) 2003 13 Tổng Công ty cổ phần Bảo hiểm Ngân hàng Đầu tư Phát triển Việt Nam (BIC) 2005 14 Công ty cổ phần bảo hiểm AAA (AAA) 2005 15 Công ty TNHH bảo hiểm phi nhân thọ AIG (Việt Nam) 2005 16 Công ty TNHH bảo hiểm QBE (Việt Nam) (QBE) 2005 17 Công ty cổ phần bảo hiểm Ngân hàng Nông nghiệp Việt Nam (ABIC) 2006 18 Cơng ty cổ phần bảo hiểm Tồn Cầu (GIC) 2006 19 Công ty cổ phần bảo hiểm Phú Hưng 2006 20 Công ty TNHH bảo hiểm Liberty (Liberty) 2006 21 Công ty TNHH bảo hiểm ACE (ACE) 2006 22 Tổng Công ty cổ phần bảo hiểm Quân đội (MIC) 2007 23 Công ty cổ phần bảo hiểm Hàng Không (VNI) 2008 24 Công ty cổ phần bảo hiểm Sài Gịn – Hà Nội 2008 25 Cơng ty cổ phần bảo hiểm Hùng Vương (BHV) 2008 26 Công ty TNHH bảo hiểm phi nhân thọ MSIG Việt Nam (MSIG) 2008 27 Công ty TNHH bảo hiểm Fubon (Việt Nam) (Fubon) 2008 1.700 300 300 504 389 500 450 170 660 844 480 300 380 400 300 1.204 337 400 500 300 300 300 300 28 Tổng công ty cổ phần bảo hiểm Xuân Thành (Xuân Thành) 2009 29 Công ty TNHH bảo hiểm Cathay (Cathay) 2010 306 30 Chi nhánh Công ty bảo hiểm bảo lãnh Seoul Hà Nội (nguồn: Cục quản lý, giám sát bảo hiểm) 2014 200 300 QUY MÔ THỊ TRƯỜNG NĂM 2014 Năm 2014, thị trường bảo hiểm tiếp tục trì tốc độ tăng trưởng cao so với tăng trưởng GDP, doanh thu toàn ngành (kể doanh thu đầu tư) đạt 65.802 tỷ đồng, tăng 13,45% so với năm 2013, doanh thu phí bảo hiểm đạt 54.635 tỷ đồng, doanh thu hoạt động đầu tư đạt 11.167 tỷ đồng (nguồn: Cục quản lý, giám sát bảo hiểm) HOẠT ĐỘNG KINH DOANH BẢO HIỂM PHI NHÂN THỌ NĂM 2014 Năm 2014, doanh thu phí bảo hiểm phi nhân thọ ước đạt 27.307 tỷ đồng, tăng 11,36% so với năm 2013 Phần lớn thị phần doanh thu phí bảo hiểm tiếp tục tập trung vào doanh nghiệp bao gồm Bảo hiểm PVI (21,26%), Bảo Việt (20,89%), Bảo Minh (9,12%), PJICO (7,69%) 26 doanh nghiệp bảo hiểm phi nhân thọ, chi nhánh phi nhân thọ nước Việt Nam cịn lại chiếm 41,04% thị phần doanh thu phí (nguồn: Cục quản lý, giám sát bảo hiểm) Biểu 2: Năm 2014, nghiệp vụ bảo hiểm xe giới chiếm tỷ trọng lớn (28,19%) (nguồn: Cục quản lý, giám sát bảo hiểm) CÁCH TÍNH PHÍ BẢO HIỂM VÀ HỆ THỐNG THƯỞNG PHẠT CỦA MỘT SỐ DNBH i PVI - Cơng thức tính phí cho xe 12 chỗ khơng kinh doanh vận tải Phí bảo hiểm = Tỷ lệ phí x Số tiền bảo hiểm Cơng thức tính tỷ lệ phí dựa  Thơng tin xe (hãng sản xuất, dòng xe, năm sản xuất, số chỗ ngồi)  Số tiền bảo hiểm Bảng tỷ lệ phí số loại xe (bao gồm phí bảo hiểm vật chất xe phí bảo hiểm tai nạn cho người xe): St t Hãng xe TOYOTA HYUNDAI Dòng xe CAMRY 2.0E; ( NK Đài Loan) Nhập CAMRY 2.4 HYBRID; 05 chỗ (model 2010) Nhập CAMRY 2.5 LE (model 2011) Mỹ Nhập CAMRY 2.5 LE (model 2011) Mỹ Nhập VOLVO V70 3.2; 05 chỗ Nhập 4RUNNER SPORT EDITION 4x2 4.0; 07 chỗ Nhập ACCENT 1.4 MT ( Hàn Quốc); 05 chỗ Nhập Năm sản xuất Số chỗ ngồi 2014 tỷ lệ phí Vật chất (%) người 1.022 0.425 2014 1.022 0.425 2014 1.022 0.425 2009 1.097 0.425 2014 1.022 0.425 2014 1.022 0.595 2015 1.022 0.425 WOLKSWAGEN ACCENT 1.4 MT ( Hàn Quốc); 05 chỗ Nhập GRAND STAREX 2.5; 07 chỗ Nhập GRAND STAREX 2.5; 07 chỗ Nhập NEW BEETLE 1.4; 4,5 chỗ Nhập 2015 1.022 0.255 2015 2009 2015 1.022 1.097 1.022 0.425 0.425 0.34  Bảng phí số loại xe chủ xe ký hợp đồng bảo hiểm với giá trị tỷ đồng: Phí St t Hãng xe TOYOTA Dòng xe HYUNDAI WOLKSWAGEN ii CAMRY 2.0E; ( NK Đài Loan) Nhập CAMRY 2.5 LE (model 2011) Mỹ Nhập 4RUNNER SPORT EDITION 4x2 4.0; 07 chỗ3 Nhập ACCENT 1.4 MT ( Hàn Quốc); 05 chỗ Nhập GRAND STAREX 2.5; 07 chỗ Nhập NEW BEETLE 1.4; 4,5 chỗ Nhập Năm sản xuất Số chỗ ngồi 2014 Vật chất (triệu đồng) người (triệu đồng) 10,22 4,25 2009 10,97 4,25 2014 10,22 5,95 2015 10,22 4,25 2009 2015 10,97 10,22 4,25 3,4 Bảo Việt - Cách tính phí • Phí bảo hiểm vật chất bản: Phí bảo hiểm = Tỷ lệ phí x Số tiền bảo hiểm Trong tỷ lệ phí quy định sau: S TT Nhóm loại xe/Mục đích sử dụng Nhóm loại xe có tỷ lệ tổn thất thấp Xe tơ vận tải hàng Xe ô tô kinh doanh vận tải hành khách Xe ô tô chở hàng đông lạnh Xe Đầu kéo Taxi • Phí bảo hiểm tai nạn người xe: Tỷ lệ phí bảo hiểm (%) Bảo hiểm Bảo hiểm toàn xe thân vỏ 1,55 2,55 1,80 2,80 2,05 3,05 2,60 4,60 2,80 4,60 3,90 5,90 với x∈ R Một ví dụ tiếng biến ngẫu nhiên liên tục X cách cho X có hàm mật độ Gausian Tuy nhiên, biến ngẫu nhiên ví dụ xét thuộc [ , 1] hàm phân phối hàm phân phối Ta thấy, X biến ngẫu nhiên thuộc [0, 1] X lấy giá trị đâu khoảng đơn vị [ 0, 1].Chính xác hơn, cho khoảng l chiều dài a bên [ 0, 1] ta có P(X∈ l ) = a *Kỳ Vọng: - Kỳ vọng E[X] biến ngẫu nhiên X số thực phản ánh giá trị " trung bình " mà biến ngẫu nhiên nhận -Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f X(x ) giá trị kỳ vọng xác định là: +Trong trường hợp X [ 0, 1] giảm xuống thành: +Trong trường hợp X biến ngẫu nhiên không âm: Hay * Kỳ vọng biến ngẫu nhiên vơ hạn, chí X lấy giá trị hữu hạn Ví dụ 1.1 (Nghịc lý St Peters burg):Xét trị chơi, Ném ngẫu nhiên, liên tục đồng xu lần xuất mặt xấp Cho X số mặt ngửa trước xuất mặt xấp lần đầu tiên.Giả sử, ngân hàng trả 2X rúp phụ thuộc vào X Có người sẵn sàng trả để tham gia trò chơi này? Theo lý thuyết cổ điền trò chơi may rủi, bạn nên đồng ý trả lên đến E[Y], với Y = X số tiền bạn nhận từ ngân hàng trị chơi kết thúc.Vậy tính E[Y]: P(X=n) = P ( n ngửa sấp ) = (½)n với n vậy, Do đó, có sai với lý thuyết cổ điển trị chơi may rủi *Phương Sai - Phương sai Var[X] biến ngẫu nhiên X định nghĩa bởi: Phương sai có ý nghĩa trung bình độ lệch bình phương X với kỳ vọng Cơng thức Steiner: * Có nhiều phương pháp tuyến tính áp dụng để tính kỳ vọng phương sai: Nếu C số: Với phương sai ta có: X1, , Xn độc lập (**) Ví dụ 1.2: p ∈ [ 0, 1] xét khơng thỏa mãn (**) khơng thể áp dụng (7) X gọi biến ngẫu nhiên Bernouli ( p) E[X] = p, x nhận giá trị X2 = X E[X2] = E[X] Ví dụ 1.3: Cho Y tổng n biến ngẫu nhiên Bernouli (p) độc lập X1, , Xn (ví dụ X số mặt ngửa việc tung đồng xu phép thử tung đồng xu với xác suất p) Y cho biến ngẫu nhiên nhị thức (n , p) sau sử dụng cơng thứ (4) (7) ta có Phương sai hữu ích Ví dụ việc xác định ranh giới mà biến ngẫu nhiên lệch lớn với trung bình Ví dụ kết tiếng sau Định lý 1.1: Bất đẳng thức Chebyshev Cho X biến ngẫu nhiên với trung bình μ phương sai σ 2, với a >0, ta có xác suất P[ |X- μ| ≥ a] độ lệch trung bình tối thiểu đáp ứng Chứng minh: xác định biến ngẫu nhiên Y ta ln có Y ≤ ( X - μ)2 E[Y] ≤ E[( X - μ)2 ] Hơn E[Y] = a2P(|X - μ|≥ a) Bất đằng thức Chebyshev Sử dụng để chúng minh kết quan trọng chương (Bổ đề 9.3) Một ừng dụng tiếng bất đẳng thức chebyshev chứng minh kết tiếng quan trọng * Định lý 1.2 : Luật số lớn Cho X1, X2, biến ngẫu nhiên độc lập phân phối xác suất với trung bình μ hữu hạn phương sai σ hữu hạn Cho Mn biểu thị cho trung bình n với ε > ta có : Chứng minh: Sử dụng (4) (5) ta có : Tương tự, áp dụng (6) (7) ta có: Bất đằng thức Chebyshev ta có hướng tới n → ∞ XÍCH MARKOV Chúng ta bắt đầu với ví dụ Giả sử có “người ngẫu nhiên” thị trấn nhỏ với bốn phố bốn góc phố v 1, v2, v3 v4 xếp theo Hình Vào thời điểm 0, “người ngẫu nhiên” đứng v Vào thời điểm 1, tung đồng xu di di chuyển tới v v4 phụ thuộc vào việc đồng xu mặt xấp hay ngửa Vào thời điểm 2, lại tung đồng xu để định tới góc liền kề nào, với quy tắc đồng xu mặt ngửa, di chuyển bước theo chiều kim đồng hồ, đồng xu mặt xấp, di chuyển bước ngược chiều kim đồng hồ Việc tiếp diễn vào thời điểm 3, 4,… Với n, cho Xn biểu thị số góc phố mà người đứng vào thời điểm n Theo đó, (X0, X1,…) q trình ngẫu nhiên nhận giá trị {1, 2, 3, 4} Người thời điểm v1, ta có P(X0 = 1) = (8) Hình Một người ngẫu nhiên thị trấn nhỏ Tiếp theo, di chuyển tới v2 v4 với xác suất đỉnh, P(X1 = 2) = (9) P(X1 = 4) = (10) Để tính phân phối Xn với n ≥ phức tạp chút; bạn yêu cầu làm điều Bài tập 2.1 Để đến kết luận, việc xem xét xác suất có điều kiện hữu ích Nếu thời điểm n, người đứng ở, chẳng hạn, v Chúng ta có xác suất có điều kiện P(Xn+1 = v1 | Xn = v2) = P(Xn+1 = v3 | Xn = v2) = , việc định bước phương pháp tung đồng xu Thực tế, có xác suất có điều kiện lấy điều kiện xa tồn lịch sử q trình thời điểm n, ví dụ, P(Xn+1 = v1 | X0 = i0, X1 = i1,…, Xn-1 = in-1 Xn = v2) = P(Xn+1 = v3 | X0 = i0, X1 = i1,…, Xn-1 = in-1 Xn = v2) = với i0,…,in-1 (Có điều việc tung đồng xu vào thời điểm n+1 độc lập với việc tung vào thời điểm trước, độc lập với X0,…, Xn ) Hiện tượng gọi thuộc tính khơng nhớ (memoryless property): phân phối có điều kiện Xn+1 biết (X0,…, Xn) phụ thuộc vào Xn Hay nói cách khác: để tạo tun đốn tốt cho chuyện xảy vào “ngày mai” (thời điểm n+1), cần xem xét chuyện xảy “ngày hơm nay” (thời điểm n), cịn “q khứ” (thời điểm 0,…,n-1) khơng cung cấp thêm thơng tin có ích Một đặc trưng trình ngẫu nhiên phân phối có điều kiện Xn+1 biết Xn = v2 (giả sử) giống với n (Có điều phương pháp mà người sử dụng để định đâu giống thời điểm) Tính chất biết với tên gọi tính đồng thời gian (time homogeneity), đơn giản tính đồng Những thơng tin đưa định nghĩa tổng quát: Định nghĩa 2.1 Cho P ma trận k × k với phần tử {P ij : i, j = 1,…,k} Một trình ngẫu nhiên (X0, X1,…) với không gian trạng thái hữu hạn S = {s 1,…, sk} gọi xích Markov (thuần nhất) với ma trận chuyển P ((homogeneous) Markov chain with transition matrix P), với n, i, j ∈ {1, , k} i0, , in−1 ∈ {1, , k} có P(Xn+1 = sj | X0 = si0, X1 = si1, , Xn−1 = sin−1, Xn = si) = P(Xn+1 = sj | Xn = si) = Pij Phần tử ma trận P gọi xác suất chuyển (transiton probabilities) Xác suất chuyển Pij xác suất có điều kiện trạng thái s j “ngày mai” biết trạng thái si “hôm nay” Thuật ngữ “homogeneous” thường xuyên bỏ qua ngầm hiểu nói đến “chuỗi Markov” Chẳng hạn với ví dụ người ngẫu nhiên chuỗi Markov, với tập trạng thái {1,…,4} ma trận chuyển (11) Mỗi ma trận chuyển thỏa mãn Pi, j ≥ với i, j ∈ {1, , k} , (12) = với i ∈ {1, , k} (13) Tính chất (12) thực tế xác suất có điều kiện ln khơng âm, tính chất (13) nói chúng có tổng 1, ví dụ, P(Xn+1 = s1 | Xn = si) + P(Xn+1 = s2 | Xn = si) + · · · + P(Xn+1 = sk | Xn = si) = Sau xem xét đặc điểm quan trọng khác (bên cạnh ma trận chuyển ) xích Markov (X0, X1,…), gọi phân phối ban đầu (initial distribution), điều nói rõ bắt đầu xích Markov Phân phối ban đầu biểu thị vector µ(0) cho µ(0) = (µ1(0), µ2(0), , µk(0)) = (P(X0 = s1), P(X0 = s2), , P(X0 = sk)) Do µ(0) biểu diễn phân phối xác suất, có = Trong ví dụ người ngẫu nhiên ta có µ(0) = (1,0, 0,0) (8) Tương tự vậy, cho vector xích Markov vào thời điểm 1, 2,…, (14) µ(1) , µ(2), … biểu diễn phân phối Với ví dụ ngẫy nhiên, đẳng thức (9) (10) cho ta µ(0) = (0, , 0, ) Hóa biết phân phối ban đầu µ(0) ma trận chuyển P, tính tất phân phối µ(1) , µ(2) ,… xích Markov Kết sau cho biết đơn giản vấn đề phép nhân ma trận Chúng ta viêt Pn để biểu diễn lũy thừa bậc n ma trận P Định lý 2.1 Với chuỗi Markov (X0, X1,…) với tập trạng thái {s1, , sk}, phân phối ban đầu µ(0) ma trận chuyển P, ta có với n mà phân phối µ(n) vào thời điểm n thỏa mãn µ(n) = µ(0) Pn (15) Chứng minh: Xem xét trường hợp n = Ta có, với j = 1,…,k, Với (µ(0)P)j biểu diễn phần tử thứ j vector µ(0)P Do µ(1) = µ(0)P Để chứng minh (15) trường hợp tổng quát, sử dụng phương pháp quy nạp Lấy m bất kì, giả sử (15) với n = m Với n = m+1, ta có Do µ(m+1) = µ(m)P Nhưng µ(m) = µ(0) Pm giả thiết quy nạp, Và chứng minh hồn thành Ta xét vài ví dụ - nhỏ lớn: Ví dụ 2.2: Thời tiết thành phố Gothenburg Đôi cho cách tốt để dự đoán thời tiết ngày mai đơn giản đốn giống ngày hôm Nếu giả thiết tuyên bố đúng, dễ dàng mơ hình hóa thời tiết xích Markov Để đơn giản, giả sử có hai loại thời tiết: mưa nắng Nếu dự đoán 75% số lần (bỏ qua thời tiết ngày hôm nắng hay mưa), mơ hình thời tiết biểu diễn xích Markov với khơng gian trạng thái S = {s1, s2} (s1 = “mưa”, s2 = “nắng”) ma trận chuyển Ví dụ 2.2: Thời tiết thành phố Los Angeles weather Chú ý ví dụ 2.1, có tính đối xứng “mưa” “nắng”, với cảm giác xác suất để thời tiết hôm kéo dài đến ngày mai giống bỏ qua việc thời tiết hơm Điều hợp lý Gothenburg, không Los Angeles, nơi mà thông thường nắng nhiều mưa Một ma trận chuyển hợp lý cho thời tiết Los Angeles sau (vẫn giả sử s1 = “mưa”), s2 = “nắng”) Ví dụ 2.3: Mạng Internet xích Markov Tưởng tượng bạn lướt web, lần bạn truy cập trang web, bạn click vào liên kết cách ngẫu nhiên Nếu Xn biểu diễn nơi bạn sau n click, (X0, X1,…) miêu tả xích Markov với khơng gian trạng thái S tập tất website Internet ma trận chuyển P cho với di số link từ trang si (Để làm xích Markov mơ tả tốt hơn, cần định nghĩ điều xảy khơng có link trang s i Chúng ta có thể, ví dụ đặt Pii = (và Pị = với i ≠ j) trường hợp này, có nghĩa bạn truy cập trang khơng có link, bạn bị kẹt) Điều đương nhiên xích Markov phức tạp (đặc biệt so sánh với ví dụ 2.1 2.2), đưa mơ hình hữu ích mà giả định đơn giản hóa khác thừa nhận phân tích thú vị Một biến thể mơ hình đưa vào thống kê xác suất sử dụng “nút back” trình duyệt Tuy nhiên, kết trình (X , X1 ,…) khơng cịn xích Markov nữa, chuyện xảy nút back ấn không phụ thuộc vào trạng thái X n , mà phụ thuộc vào X0 , X1 ,… Tuy nhiên, hóa biến thể nghiên cứu số kỹ thuật từ lý thuyết xích Markov Chúng ta khơng nói thêm mơ hình Một cách hữu hiệu để miêu tả xích Markov đồ thị chuyển (transiton graph) Đồ thị chuyển bao gồm nút biểu thị cho trạng thái xích Markov, đoạn có hướng nút, biểu thị cho xác suất chuyển Điều giải thích đơn giản xem đồ thị chuyển ví dụ xét Hình Hình Đồ thị chuyển cho Hình 1, ví dụ 2.1 2.2 Trong tất ví dụ trên, giống định nghĩ 2.1, “luật” để lấy Xn+1 từ Xn không đổi theo thời gian Trong số tình huống, thực tế hơn, lý cấp thiết khác, ta phải để luật thay đổi theo thời gian Điều đưa đến chủ đề xích Markov khơng (inhomogeneous Markov chains), theo định nghĩa sau, tổng quát Định nghĩa 2.1 Định nghĩa 2.2 cho P(1), P(2),… ma trận k × k tuần tự, chúng thỏa mã (12) (13) Một q trình ngẫu nhiên (X 0, X1,…) với khơng gian trạng thái hữu hạn S = {s1,…, sk} gọi xích Markov khơng đồng với ma trận chuyển P(1), P(2),… với n, i,j {1,…,k} i0,… in-1 {1,…,k} ta có Ví dụ 2.4: Một mơ hình tinh tế cho tốn thời tiết thành phố Gethenburg Tất nhiên có nhiều để biến mơ hình thơ ví dụ 2.1 trở lên thực tế Có cách đưa vào quan sát thay đổi theo mùa: khơng hợp lý bỏ qua lịch ví dự “Tháng Một” “Tháng Bảy” dự đoán thời tiết ngày mai Để kết thúc ví dụ này, ta mở rộng khơng gian trạng thái tới {s 1, s2, s3}, s1 = mưa, s2 = nắng s3 = tuyết Cho Và giả sử thời tiết miêu tả Psummer từ tháng Năm – tháng Mười, Pwinter từ tháng Mười – tháng Tư Đây mơ hình xích Markov khơng cho tốn thời tiết thành phố Gothenburg Chú ý khoảng Tháng Năm – Tháng Mười, mơ hình xảy Ví dụ 2.1, trừ ngoại lệ trời có tuyết vào 1/5 Kết sau, định lý tổng quát cho Định lý 2.1, cho ta cách tính phân phối µ(1) ,µ(2) ,… vào thời điểm 1, 2, … xích Markov khơng đồng với phân phối ban đầu µ(0) ma trận chuyển P(1), P(2),… Với n, ta có Chứng minh giống ví dụ 2.1 CHƯƠNG : HỆ THỐNG THƯỞNG-PHẠT (BMS) TRONG TÁI TỤC HỢP ĐỒNG BẢO HIỂM Ô TÔ Định nghĩa Hệ thống thưởng – phạt xem xích Markov với tập trạng thái hữu hạn E lớp thưởng - phạt Một cơng ty bảo hiểm sử dụng BMS : • Người bảo hiểm nhóm giá xếp vào lớp thưởng phạt (C1, C2,…,Cs), theo đó, phí bảo hiểm hàng năm người phụ thuộc vào lớp • Người mua bảo hiểm bắt đầu lớp Ci • Lớp người cho thời kì bảo hiểm (thường năm) định bời lớp mà năm trước số vụ bồi thường báo cáo năm Những hệ thống quy định ba thành phần sau : • Lớp ban đầu Ci0 • Mức phí ứng với lớp b = (b1, b2,…, bs) • Luật chuyển – luật định việc chuyển từ lớp sang lớp khác số vụ bồi thường ghi nhận Dưới ví dụ luật chuyển cho dạng bảng, bảng hệ thống thưởng phạt Đức năm 2002 Trong hệ thống này, người mua chia thành 18 lớp với mức phí tương ứng Một hợp đồng lớp 13 với mức phí 100% Khi xảy việc bồi thường, lớp người mua bị thay đổi (trong phần new class after claim) Chẳng hạn lớp 13 năm qua yêu cầu bồi thường lần bị chuyển sang lớp 16 phải trả phí 175% năm Luật chuyển đưa hàm T k, theo đó, Tk(i) = j hợp đồng chuyển từ lớp i sang lớp j có k vụ bồi thường T k biểu diễn dạng ma trận : Tk = (tij(k)) với tij(k)=1 Tk(i) = j khác Xác suất pij(λ) hợp đồng chuyển từ lớp i sang j năm, với người mua bảo hiểm đặc trưng đối vào λ (số vụ bồi thường), pij(λ) = với xác suất mà lái xe với tần số bồi thường có k vụ bồi thường năm Đương nhiên pij(λ) ≥ Ở đây, ta giả sử số vụ bồi thường chủ xe tuân theo phân phối Poision với đối vào Phân phối {pk : k=0, 1, 2, } tính sau : pk = Ma trận M() = [] = Tk ma trận chuyển xích Markov Ma trận chuyển hệ thống thưởng – phạt Đức (năm 2002) Phân phối dừng xích Markov a Định nghĩa : Với số điều kiện hợp lý ma trận chuyển P, hệ phương trình tuyến tính =P Có nghiệm ln khác không, với = (, j E ) Nghiệm gọi phân phối dừng xích Markov, = = = Với phân phối ban đầu Chú ý: Nếu p(0) = , Pp(0) = , ví dụ xác suất trạng thái khơng đổi theo thời gian Đây lý gọi phân phối dừng Phân phối dừng sau: = 1’(I – P + Q)-1 Với = (1,…1)’, I ma trận đồng Trong hệ thống thưởng - phạt, phân phối dừng tỷ lệ phần trăm người lái xe lớp khác sau hệ thống thưởng – phạt chạy môt thời gian dài b Mức phí trung bình γ Định nghĩa : Là mức phí tính trung bình mà khách hàng phải trả năm Cơng thức tính γ = bT c Ví dụ Ta xét hệ thống BMS Brazil có luật chuyển cho bảng sau : Ma trận chuyển : Với λ = 0.1, Phân phối dừng ma trận : a1 = 0.88948; a2 = 0.09355; a3 = 0.01444; a4 = 0.00215; a5 = 0.00032; a6 = 0.00005; a7 = 0.00001 Phân phối rằng, ví dụ có khoảng 89% hợp đồng bảo hiểm cuối nằm class Khi mức phí trung bình tính 65.65 % Bảng sau cho biết phát triển mức phí trung bình hệ thống BMS : Đài Loan, Nhật, Thủy Sĩ, Brazil Bỉ Đối với hệ thống đơn giản Đài Loan, mức phí giảm đột ngột năm đầu tiên, khoảng thời gian mà cần để người mua bảo hiểm đạt đến mức giảm tốt Hệ thống sau ổn định nhanh chóng Đối với hệ thống phức tạp hơn, phí bảo hiểm giảm theo đường cong trơn, cần khoảng thời gian dài để đạt trạng thái ổn định (khoảng 30 năm) ... sinh viên: Hà Nội, ngày tháng năm Giảng viên hướng dẫn MỤC LỤC Abstract Hệ thống thưởng phạt (Bonus- malus) kỹ thuật đánh giá sử dụng hầu hết châu Âu châu Á, số nước Mỹ - Latinh Châu Phi Những hợp